Plano inclinado simple

Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
EL PLANO INCLINADO
Supongamos que tenemos un plano inclinado. Sobre él colocamos un cubo, de manera
que se deslice sobre la superficie hasta llegar al plano horizontal.
Vamos a suponer que tenemos rozamiento entre las dos superficies (entre el cubo y el
plano inclinado).
Vamos a hacer un estudio de las ecuaciones desde el punto de vista dinámico y por
supuesto cinemático.
Hay que recordar la “Ley Cero de la Dinámica”, esto es, lo que estamos utilizando son
modelos matemáticos, por lo que estamos despreciando, por ejemplo, la fuerza de
rozamiento con el aire, la posibilidad que ruede el cubo sobre el plano inclinado, etc.
Primero voy a hacer un sencillo dibujo de la situación:
A continuación voy a colocar las fuerzas que intervienen en nuestro problema.

Fr

N

a

P
He añadido el vector aceleración,
indicando su dirección (paralelo al
plano inclinado) y su sentido (hacia
abajo).
En este caso el sentido del vector
aceleración es fácil identificarlo.
Sin embargo, no es siempre así de
fácil.
Fíjate que las fuerzas Normal y Peso, las he colocado en el Centro del cubo, que es su
punto de aplicación. Sin embargo, la fuerza Rozamiento el punto de aplicación lo he
situado en el contacto entre el cubo y la superficie.
1
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
El siguiente paso, consiste en colocar el Sistema de Referencia. En este caso, como el
movimiento es en un plano sólo necesitamos dos ejes, estos pueden ser el eje X y el Y.
Lo más razonable es colocar el eje X paralelo al plano inclinado, porque es por donde
transcurre el desplazamiento y el eje Y perpendicular al plano inclinado, porque hay
fuerzas en esta dirección, como es la fuerza Normal al plano.
Y
El sentido del eje X lo he dibujado
hacia la derecha para hacerlo
coincidir con el sentido del
movimiento.
El sentido del eje Y lo he dibujado
hacia arriba, porque está la fuerza
normal, aunque este eje es indiferente
porque no hay movimiento en esta
dirección.
X
A partir de ahora, todos los vectores que coincidan en el sentido de los ejes los tomaré
como positivo, y si tiene sentido contrario al sentido del eje los tomaré como negativo.
Este es el criterio de signo que hay que seguir en cualquier caso. Por este motivo es
importante elegir un buen Sistema de Referencia.
Voy a dibujar los vectores junto con el Sistema de Referencia:

Fr

N

P
Y
X
Fíjate que tanto la fuerza Normal como Rozamiento son paralelas a algún eje del
Sistema de Referencia, mientras que el Peso no es paralelo a ningún eje.
Cuando esto ocurre, tenemos que descomponer el vector Peso sobre los dos ejes del
Sistema de Referencia.
2
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
Px
Py

P
Bien, para poder escribir la descomposición en ecuaciones, necesito encontrar el ángulo
de inclinación del plano inclinado con el plano horizontal, en el esquema del vector
Peso:
Px
Py
φ
Ese es el ángulo fi del plano inclinado con respecto al plano horizontal, por la
perpendicularidad de las rectas:
φ
φ
3
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
En este caso el vector Peso, lo podemos descomponer, utilizando trigonometría del
siguiente modo:
Px  Psen
Py  P cos 
La primera ecuación es consecuencia que la componente X del vector Peso es el cateto
opuesto al ángulo fi.
La segunda ecuación es consecuencia que la componente Y del vector Peso es el cateto
continuo al ángulo fi.
φ
Py
Px
P
Llegados a este punto, estoy preparado para utilizar le Segunda Ley de Newton.
La utilizaré tanto en el eje X como en el eje Y por separado, puesto que puedo
descomponer la ecuación vectorial en sus dos componentes:

 
 Fx  max
 F  ma  F  ma
y
 y
En el problema particular, se traduce en lo siguiente:

 
 Fx  ma
F

m
a




 Fy  0
Porque la única aceleración que hay está en el eje X. En el eje Y, no hay movimiento.
Ahora voy a descomponer esas sumatorias en los vectores que hay en cada dirección:
4
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.

N

Fr

Py
Y

Px
X

 Fx  Px  Fr  ma


 Fy  N  Py  0
Como se puede ver he utilizado el criterio de signos. Esto es, en el eje X, los vectores
que tienen el mismo sentido que el eje positivo, esto es hacia la derecha son positivos, y
los que tienen sentido contrario son negativos. En el eje Y, es indiferente.
Voy a desarrollar las ecuaciones anteriores, descomponiendo los vectores que la
forman:

 Fx  P sen  N  ma


 Fy  N  P cos   0
Llegados a este punto, tengo que plantear el sistema de dos ecuaciones:
Psen  N  ma

 N  P cos 
Con este sistema de ecuaciones podemos calcular cualquier cuestión dinámica que se
nos presente y siempre que tengamos los datos necesarios.
5
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
Vamos a suponer que nos interesa encontrar la aceleración que adquiere el cubo, y así
poder abordar el problema cinemático. Supongo que el peso (P), el coeficiente de
rozamiento (μ), y el ángulo fi (φ) son datos, sin embargo no lo vamos a sustituir por
ningún valor, puesto que lo interesante es seguir operando con las letras hasta que
despeje la aceleración.
 Es importante que en los problemas de física, no se sustituyan los datos hasta
que no se ha despejado la incógnita en la ecuación, por varias razones:
1. Porque quién te corrige el examen es físico, y a los físicos les encantan
las ecuaciones con letras.
2. Aunque pienses lo contrarios es más fácil operar con letras y olvidarse de
los números, la calculadora, y además es menos probable que te
equivoques.
3. Es típico en los problemas hacer preguntas teóricas, de manera que la
respuesta sólo la podremos dar observando la ecuación resultante. Es
imposible dar una respuesta teórica con un resultado numérico. Repito
mejor sustituye al final, cuando tengas la incógnita despejada.
 Puede ocurrir que te cueste despejar ecuaciones, pues practica, empieza hoy
mismo. Dedícate a despejar ecuaciones, aunque no signifiquen nada. Para ello
visita el módulo de Matemáticas.
Bien, en mis dos ecuaciones, tengo dos incógnita, una de ellas es la aceleración (a) que
me interesa, y la otra (N) la Normal, es habitual que no te la pidan en los problemas.
Así que lo correcto es sustituir la N de la segunda ecuación en la primera:
Psen  P cos   ma


A continuación, descompongo el peso (P) que es la masa por la aceleración de la
gravedad, y luego despejamos la aceleración (a):
mgsen  mg cos   ma
a
mgsen  mg cos 
 gsen  g cos 
m
Y sacando factor común a la aceleración de la gravedad (g), obtengo la aceleración:
a  g (sen   cos  )
6
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
Ya tenemos nuestra aceleración. Como puedes ver, este razonamiento es típico y se
repite en muchísimos problemas. Evidentemente el resultado no será el mismo, porque
dependerá de las condiciones iniciales, pero obtendrás algo parecido.
Vamos a mirar un poco la ecuación que tenemos:
1. Tiene unidades de aceleración, porque tenemos la aceleración de la gravedad (g)
multiplicando un paréntesis que es adimensional. Las funciones trigonométricas
son adimensionales y el coeficiente de rozamiento tampoco tiene unidades.
2. La aceleración es más pequeña que la aceleración de la gravedad, como debe
ser, puesto que no se trata de una caída libre.
3. Si no hubiera fuerza de Rozamiento, el coeficiente de rozamiento (μ) sería cero,
por tanto la aceleración sería:
a  gsen
En este caso la aceleración sólo dependería del ángulo entre el plano inclinado y
el plano horizontal.
4. Si además, el ángulo de inclinación fuera cero, esto es un plano horizontal,
entonces el seno de cero es cero, por tanto la aceleración sería cero.
5. Si volvemos a la ecuación general, la que está encuadrada, y llevamos el ángulo
de inclinación a 90 grados, en este caso el seno de 90 es uno, y el coseno de 90
es cero, así la aceleración sería la aceleración de la gravedad, esto es una caída
libre.
6. Todas estas consideraciones las podemos hacer, porque hemos deducido una
ecuación matemática con letras, sin sustituir los valores de las magnitudes
físicas. En caso contrario, tendríamos un resultado para la aceleración, pero no
podríamos deducir nada más.
Podríamos avanzar un poco más en nuestro estudio. Ahora voy a estudiar el problema
desde el punto de vista cinemático. Esta parte es necesaria porque en los problemas de
dinámica que vayas a hacer es muy común completarlos con un apartado de cinemática.
Supongamos que el plano inclinado tiene una altura con respecto al plano horizontal de
h. y nos piden que calculemos con que velocidad llega al final del plano inclinado.
Supongamos también que la aceleración es un dato que hemos obtenido de la ecuación
anteriormente calculada. Bien entonces, ya estamos en condiciones para encontrar la
velocidad.
El Sistema de Referencia lo vamos poner justo en el punto de partida del cubo, y en la
misma disposición que indicamos anteriormente. Esto es eje X hacia la derecha del
plano inclinado, y el eje Y perpendicular al plano inclinado y hacia arriba.
Veamos que tipo de movimientos tengo por eje:
1. Eje X: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.
2. Eje Y: No hay movimiento.
Por tanto mis Ecuaciones generales son las siguientes:
7
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
1 2

 x  x0  v0t  at
2


v  v0  at
Estos son las Ecuaciones generales para un Movimiento Rectilíneo Uniformemente
Variado. Sin embargo, tengo desarrollarlas para mi problema en particular. Veamos:
1. El Sistema de Referencia está justo en el punto de partida del cubo, por tanto
x0=0. Porque no hay ninguna distancia desde el punto de partida del objeto con
respecto al Sistema de Referencia.
2. El cubo parte del reposo. Esto es la velocidad inicial es cero, v0=0.
3. La aceleración como hemos dicho antes, es un dato que hemos calculado.
Por tanto las ecuaciones serían las siguientes:
1 2

 x  at
2


v  at
Ya tenemos preparadas nuestras ecuaciones para calcular lo que nos pidan desde el
punto de vista cinemático.
En concreto queremos calcular la velocidad que tendrán el cubo una vez haya recorrido
el plano inclinado, sabiendo que el cubo parte desde una altura h, y el ángulo de
inclinación es fi.
Para ello necesitamos hacer un pequeño cálculo de trigonometría, por la distancia que
recorre el cubo por el plano inclinado no la conocemos, sin embargo conocemos la
altura y el ángulo.
h
sen 
d
h
d
φ
Si despejamos d, que es lo que nos interesa obtenemos:
El seno de un ángulo es
el cateto opuesto al
ángulo dividido por la
hipotenusa.
d
h
sen
En la ecuación anterior tenemos la distancia, y la sustituimos en la ecuación del
movimiento en el lugar de la x. Y después despejamos el tiempo que tarda en recorrer la
distancia d:
8
Física
guay
EJERCICIO PRÁCTICO DEL PLANO INCLINADO.
d
t
h
1
 at 2
sen 2
2h
asen
Este tiempo hay que sustituirlo en la ecuación de la velocidad:
v  at  a
2h
asen
9