Árboles binarios - Escuela de Ingeniería Industrial

Árbol: definición
™Árbol (del latín arbor –oris):
ƒ Planta perenne, de tronco leñoso y elevado, que se
ramifica a cierta altura del suelo.
ƒ (otras, ver Real Academia Española…)
Árboles binarios
Franco Guidi Polanco
Escuela de Ingeniería Industrial
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile
[email protected]
Actualización: 13 de mayo de 2005
Franco Guidi Polanco
Árbol: definición (cont.)
Árbol: definición (cont.)
™Árbol:
ƒ Grafo conexo, no orientado y acíclico.
™Árbol:
ƒ Una estructura de datos accesada desde un nodo raíz.
Cada nodo es ya sea una hoja o un nodo interno. Un
nodo interno tiene uno o más nodos hijos, y se le llama
padre de sus nodos hijos.
C
E
A
2
ƒ Un árbol es, ya sea:
• un conjunto vacío, o
• una raíz con cero
o más árboles
B
D
H
Franco Guidi Polanco
3
Franco Guidi Polanco
4
Hojas y nodos internos
Representación de un árbol
™Una hoja es cualquier nodo que tiene sus hijos
vacíos.
™Un nodo interno es cualquier nodo con al menos
un hijo no vacío.
subárbol
b
a
b
e
f
h
5
c
h
d
j
i
l
e
j
i
subárbol
m
k
subárbol
Franco Guidi Polanco
6
Nodos padres e hijos
™Las raíces de los subárboles de un árbol son hijos
de la raíz del árbol.
™Existe un arco desde cada nodo a cada uno de sus
hijos, y se dice que este nodo es padre de sus
hijos.
a
g
d
subárbol
Representación de un árbol (cont.)
f
h
l
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b
g
f
g
Hojas
c
Nodos internos
c
d
raíz
a
e
k
m
subárbol de nodo e
subárboles de
nodo b
subárboles de
nodo c
Franco Guidi Polanco
7
Franco Guidi Polanco
8
Ruta y largo de una ruta
Ancestros y descendientes
™Si n1, n2,... nk es una secuencia de nodos en un
árbol, de modo que ni es padre de ni + 1, para
1<=i<=k, entonces esta secuencia se llama ruta
desde n1 a nk.
™El largo de esta ruta es k.
a
n1
b
c
d
™Si existe una ruta desde un nodo A a un nodo B,
entonces A es ancestro de B y B es
descendiente de A.
™Luego, todos los nodos de un árbol son
descendientes de la raíz del árbol, mientras que la
raíz es el ancestro de todos los nodos.
n2
e
f
g
n3
h
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9
Altura
Franco Guidi Polanco
10
Niveles
™La altura de un nodo M de un árbol corresponde
al número de nodos en la ruta desde la raíz hasta
M.
™La altura de un árbol corresponde a la altura del
nodo más profundo.
™Todos los nodos de altura d están en el nivel d en
el árbol.
™La raíz está en el nivel 1, y su altura es 1.
a
Nivel 1
a
b
Altura del
nodo=2
c
Nivel 3
Altura del árbol=4
d
e
f
Nivel 4
g
Franco Guidi Polanco
b
Nivel 2
d
c
e
f
g
h
h
11
Franco Guidi Polanco
12
Árboles binarios
Representación de un árbol binario (I)
™Un A.B. está constituido por un conjunto finito de
elementos llamados nodos.
raíz
subárbol izquierdo
a
™Un árbol binario:
b
ƒ no tiene nodos (está vacío); o
ƒ tiene un nodo llamado raíz, junto con otros dos árboles
binarios llamados subárboles derecho e izquierdo
de la raíz.
d
subárbol derecho
c
e
f
g
h
Nota: Una parte importante del material presentado en esta sección
fue elaborado por Marcelo Silva F.
Franco Guidi Polanco
13
Representación de un árbol binario (II)
Franco Guidi Polanco
14
Igualdad de árboles binarios
™Para ser iguales, dos árboles deben tener tanto la
misma estructura, como el mismo contenido.
raíz
a
subárbol derecho
b
d
subárbol izquierdo
c
e
f
g
a
h
b
Franco Guidi Polanco
15
Franco Guidi Polanco
≠
a
b
16
Árboles binarios llenos
Árboles binarios completos
™Un árbol binario lleno es aquel en que cada nodo
es un nodo interno con dos hijos no vacíos, o una
hoja.
a
b
d
™Un árbol binario completo tiene una forma
restringida, que se obtiene al ser llenado de
izquierda a derecha. En un A.B. Completo de
altura d, todos los niveles, excepto posiblemente el
nivel d están completamente llenos.
a
c
e
b
f
g
No es A.B. lleno
c
e
h
a
f
g
b
Es un A.B. completo
pero no es un A.B. lleno
h
d
c
e
f
Es A.B. lleno
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17
Franco Guidi Polanco
18
Representación de árboles binarios mediante
nodos y referencias
Número de nodos en un árbol binario
™El máximo número de nodos en el nivel i de un
árbol binario es 2(i-1).
™El máximo número de nodos en un árbol binario
de altura K es 2(K)-1.
a
b
c
d
e
f
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19
Franco Guidi Polanco
20
Diagrama de clases de un árbol binario
Diagrama de objetos de un árbol binario
™Diagrama de clases árbol binario de enteros:
ABB
:ABB
root:ABBNode
ABBNode
data:20
1..1 data:int
insert(i:int)
find(d:Data):boolean
delete(i:int)
root
left
setData(i:int)
getData():int
setLeft(n:ABBNode)
getLeft():ABBNode
setRight(n:ABBNode)
getRight():ABBNode
isLeaf():boolean
data:2
Franco Guidi Polanco
21
Representación de árboles binarios mediante
arreglos
c
1
2
3
4
a b c d
Franco Guidi Polanco
5
6
7
e f
8
9
10
h
11
12
13
14
data:40
Franco Guidi Polanco
22
ƒ Preorden
ƒ Inorden
ƒ Postorden
f
g
data:15
:ABBNode
™Un recorrido es cualquier proceso destinado a
visitar los nodos de un árbol binario en un
determinado orden.
™Cualquier recorrido que visite cada nodo
exactamente una vez, se denomina una
enumeración de los nodos del árbol.
™Recorridos de enumeración a analizar:
a
e
:ABBNode
Recorrido de árboles binarios
™Si la raíz de un subárbol se almacena en A[i], su
hijo izquierdo se almacena en A[2*i], y su hijo
derecho en A[2*i+1].
d
data:32
data:7
right
:ABBNode
b
:ABBNode
:ABBNode
15
16
g h
23
Franco Guidi Polanco
24
Recorrido en Preorden
Código para recorrido Preorden
Dado un árbol binario:
void preorder(BinNode rt) // rt es la raíz del subarbol
{
if (rt==null)
return;
// subarbol vacío
visit(rt)
// hace algo con el nodo
preorder(rt.left());
preorder(rt.right());
}
1) Visitar su raíz.
2) Recorrer en preorden su subárbol izquierdo.
3) Recorrer en preorden su subárbol derecho.
1
2
3
Franco Guidi Polanco
25
Ejemplo de recorrido en Preorden
2
b
3
d
26
Recorrido en Inorden
Dado un árbol binario:
a
1
Franco Guidi Polanco
c
e
1) Recorrer en inorden su subárbol izquierdo.
2) Visitar su raíz.
3) Recorrer en inorden su subárbol derecho.
f
g
h
i
j
2
k
1
3
a b d c e f g i j k h
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27
Franco Guidi Polanco
28
Código para recorrido Inorden
Ejemplo de recorrido en Inorden
a
2
void inorder(BinNode rt) // rt es la raíz del subarbol
{
if (rt==null)
return;
// subarbol vacío
inorder(rt.left());
visit(rt)
// hace algo con el nodo
inorder(rt.right());
}
1
b
3
d
c
e
f
g
h
i
j
k
d b a e c g j i k f h
Franco Guidi Polanco
29
Recorrido en Postorden
Franco Guidi Polanco
30
Código para recorrido Postorden
Dado un árbol binario:
void postorder(BinNode rt) // rt es la raíz del subarbol
{
if (rt==null)
return; // subarbol vacío
postorder(rt.left());
postorder(rt.right());
visit(rt) // hace algo con el nodo
}
1) Recorrer en postorden su subárbol izquierdo.
2) Recorrer en postorden su subárbol derecho.
3) Visitar su raíz.
3
1
Franco Guidi Polanco
2
31
Franco Guidi Polanco
32
Ejemplo de recorrido en Postorden
™Supongamos que tenemos un conjunto de n
elementos que pueden ser ordenados por alguna
clave.
™En un árbol binario de búsqueda (ABB), todos
los nodos almacenados en el subárbol izquierdo de
un nodo cuyo valor clave es C tienen claves
menores que C, mientras que todos los nodos
ubicados en el subárbol derecho tienen claves
mayores que C.
a
3
1
Árbol binario de búsqueda
b
2
d
c
e
f
g
h
i
j
k
d b e j k i g hf c a
Franco Guidi Polanco
33
Ejemplos de árboles binarios de búsqueda
34
Ingreso de elementos a un ABB
a
b
Franco Guidi Polanco
{ 10, 5, 7, 15, 14, 12, 18 }
{ 15, 18, 14, 5, 10, 12, 7 }
c
15
c
d
<c
>c
e
f
10
14
18
No es ABB
5
c
Definición de ABB
b
15
7
14
18
10
e
12
a
5
d
7
12
f
Es ABB
Franco Guidi Polanco
35
Franco Guidi Polanco
36
ABB de referencia
Ingreso de elementos a un ABB (cont.)
ABB
insert(e:Element)
find(key:int):Element
delete(i:int):Element
Element
ABBNode
1 setData(e:Element)
root getData():Element
left
setLeft(n:ABBNode)
getLeft():ABBNode
setRight(n:ABBNode)
getRight():ABBNode
isLeaf():boolean
1
{interface}
private BinNode insert (BinNode rt, Element val)
{
if (rt == null)
return new BinNode(val);
Element it = (Element)rt.element();
if (it.key() > val.key())
rt.setLeft(insert(rt.left(), val));
else
rt.setRight(insert(rt.right(), val));
return rt;
}
data getKey():int
right
Franco Guidi Polanco
37
Franco Guidi Polanco
Características del ingreso de elementos a un ABB
38
Recorrido Inorden en ABB
™Los elementos agregados a un ABB siempre son
incorporados inicialmente como hojas.
™Un conjunto de elementos dado puede generar
diversos ABB, dependiendo del orden en que son
ingresados.
15
10
14
5
15
7
14
5
18
10
12
5
Franco Guidi Polanco
39
7
Franco Guidi Polanco
18
10 12 14 15 18
7
5
12
7
10 12 14 15 18
40
Características del recorrido Inorden de un ABB
Búsqueda en ABB
Para hallar un elemento con clave C, en un
árbol A:
™Si bien existen muchos ABBs posibles para un
mismo conjunto de elementos, el recorrido
Inorden de todos estos árboles siempre entrega el
conjunto ordenado de menor a mayor.
Franco Guidi Polanco
™Si la raíz del árbol A almacena C, la búsqueda
termina exitosamente.
™Si C es menor que el valor de la raíz de A, buscar
en el subárbol izquierdo. Si C es mayor que el
valor de la raíz, buscar en el subárbol derecho.
™La búsqueda termina al hallar el valor C, o al
pretender buscar en un subárbol vacío.
41
Búsqueda en ABB (cont.)
Franco Guidi Polanco
42
Ejemplo de búsqueda en ABB
10
10
Elem find(BinNode rt, int key) {
if (rt == null)
return null;
Element it = (Element)rt.element();
if ((int)it.key() > key)
return find(rt.left(), key);
else if (it.key() == key)
return it;
else
return find(rt.right(), key);
}
Franco Guidi Polanco
5
5
15
7
14
18
12
Buscar 12
Búsqueda exitosa
43
Franco Guidi Polanco
15
7
14
18
12
Buscar 16
Búsqueda infructuosa
44
Eliminar nodo que es una hoja o tiene a lo más
un hijo
Eliminación de elementos de un ABB
Se pueden presentar tres casos:
™El elemento no existe.
™El elemento es una hoja o tiene a lo más un hijo.
™El elemento tiene dos hijos.
10
10
5
15
7
14
7
18
12
Franco Guidi Polanco
45
Ejemplo eliminación de nodo con dos hijos
10
15
7
14
5
18
16
18
17
17
Franco Guidi Polanco
14
18
12
Franco Guidi Polanco
46
1. Hallar el nodo que contiene el menor de los
elementos mayores del nodo a eliminar (el
elemento más a la izquierda de su subárbol
derecho)
2. Reemplazar los datos del nodo eliminar con
los del nodo hallado.
3. Eliminar el nodo hallado, que tiene a lo más
un hijo, con el procedimiento descrito
previamente.
16
7
14
Eliminar nodo con dos hijos
10
5
15
El menor de los
elementos
mayores
(Nodo más a la
izquierda del
subárbol derecho)
47
Franco Guidi Polanco
48
Importancia de una estructura balanceada en los
ABB
Utilidad de los árboles binarios de búsqueda
™La estructura de un ABB es importante al
momento de realizar búsquedas en él.
™Al buscar, el ABB permite descartar a priori un
subconjunto de elementos, en forma análoga a la
búsqueda binaria en arreglos ordenados.
™El ABB presenta además la ventaja de poder ser
implementado con punteros (estructura dinámica).
™La incorporación y eliminación de elementos al
ABB es mas rápida que en arreglos ordenados.
18
10
15
5
3
15
7
14
14
En el peor de los casos se
hacen 3 iteraciones para
una búsqueda.
Franco Guidi Polanco
49
Franco Guidi Polanco
10
18
7
5
3
En el peor de los
casos se hacen 7
iteraciones para
una búsqueda.
50