Problema 1: a) Condiciones necesarias y suficientes para encontrar

Problema 1:
a) Condiciones necesarias y suficientes para encontrar un mínimo y un máximo de una función
de varias variables [1].
Teorema 1 : Criterio de la primera derivada: Si U ⊂ R n es abierto, la función f : U ⊂ R n → R es



diferenciable y x 0 ∈ U es un extremo local, entonces ∇ f ( x 0 ) = 0 , esto es x 0 es un punto crítico de
f.
Definición: Supongamos que f : U ⊂ R n → R tienen derivadas parciales de segundo orden (



∂ 2 f / ∂ x i ∂ y j )( x 0 ), para i,j=1,.....,n en un punto x 0 ∈ U . El Hessiano de f en x 0 es la función
cuadrática definida por
 
1 n ∂ 2f 
Hf ( x 0 )(h ) = ∑
( x 0 )h i h j
2 i , j= 1 ∂ x i ∂ x j


Esta función se usa, por lo común, en puntos críticos x 0 ∈ U . En este caso, ∇ f ( x 0 ) = 0 , entonces la
formula de Taylor tiene la forma



 

f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + Hf ( x 0 )(h ) + R 2 (h , x 0 )
Teorema 2: Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos: si


f : U ⊂ R n → R es de clase C3, x 0 ∈ U es un punto crítico de f y el hessiano Hf ( x 0 )

es definido positivo, entonces x 0 es un mínimo relativo de f. De manera análoga, si


Hf ( x 0 ) es definido negativo, entonces x 0 es un máximo relativo.
Para funciones de dos variables f(x,y) es posible escribir el Hessiano como sigue:
 ∂ 2f
 2

1
∂ x
Hf ( x, y)(h ) = [ h 1 , h 2 ]  2
2
 ∂ f
 ∂ x∂ y

∂ 2f 

∂ y∂ x   h 1 
∂ 2 f   h 2 
∂ 2 y 
Lema:
Sea

h 
 a b
1

B = 
Hf ( x , y)(h ) = [ h 1 , h 2 ] B 1 
y
2
 b c
 h2 
Entonces H (h ) es definida positiva si y solo si a>0 y detB=ac-b 2>0. Es definida negativa si y solo si
a<0 y detB>0.
En casa de que el detB<0 , el punto crítico es punto silla y si detB=0, no se puede decir nada respecto a
ese punto con este método.
b) Determinar si los hubiera los mínimos y máximos de las siguientes funciones:
b.1) f ( x, y ) = y + x.sen( y )
∂f
= sen( y )
∂x
∂f
= 1 + cos( y )
∂y
puntos de inflexión p1=(-1,2n) y p2=(1,2n+1) con n entero.
Para esta función el detB<0, por lo tanto los puntos de inflexión son puntos silla.
b.2) f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ).e − ( x
2
+ y2 )
2
2
∂f
= 4 x (e − x − y )(1 − x 2 − y 2 )
∂x
2
2
∂f
= 4 y (e − x − y )(1 − x 2 − y 2 )
∂y
Éstas ecuaciones son simultáneamente cero cuando x=y=0 o cuando vinculo S:= x 2 + y 2 = 1 .
Para esta función el detB=0 para todo valor de (x,y), por lo tanto deducimos que tipo de punto de
inflexión analizando la figura 2 , de donde se observa que existe un mínimo local, (de hecho global)
en el centro (0,0) donde f(x,y)=0 , y existen puntos máximos en una curva que corresponde al S. La
forma de la función puede asociarse a un volcán.
Figura 2: Gráfico de la función f ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ).e − ( x
con x ∈ (-1.2 , 1.2) e, y ∈ (-π, π).
2
+ y2 )
,
c) Mediante el método de Multiplicadores de Lagrange para extremos condicionados, calculamos
los extremos de las siguientes funciones:
Teorema 3: Método de los Multiplicadores de Lagrange:

Sean f : U ⊂ R n → R y g : U ⊂ R n → R funciones C1 con valores reales dados. Sean x 0 ∈ U y


g ( x0 ) = c , y sea S el conjunto de nivel de g con valor c (este es el conjunto de puntos x ∈ U que

satisface g ( x ) = c ). Suponer que ∇ g ( x0 ) ≠ 0.

Si f |S, que se denota “f restringida a S”, tiene un máximo o un mínimo local en S, en x 0 , entonces
existe un número real λ tal que
∇ f ( x0 ) = λ ∇ g ( x 0 )
c-1) f ( x, y ) = x 2 − y 2 , restringido a un círculo de radio 1 con el centro en el origen.
Entonces las funciones son : f ( x, y ) = x 2 − y 2
g ( x, y ) = x 2 + y 2
∇ f ( x, y ) = ( 2 x, − 2 y )
∇ g ( x, y ) = ( 2 x, 2 y )
Notesé que ∇ g ( x ) ≠ 0 si x 2 + y 2 = 1 . Así de acuerdo con el teorema de multiplicadores de Lagrange,
hallamos un λ tal que :
( 2 x, − 2 y ) = λ ( 2 x , 2 y )
y
(x,y) ∈ S,
Estas condiciones producen tres ecuaciones :
i) 2 x = λ 2 x
ii) − 2 y = λ 2 y
iii) x 2 + y 2 = 1
Valor de lambda
λ= -1,
λ= -1,
λ= 1,
λ= 1,
, punto de inflexión
(0,1)
(0,-1)
(1,0)
(-1,0)
i.e, x 2 + y 2 = 1
=
Figura 3: Gráfico de f ( x, y ) = x 2 − y 2 , restringido a la superficie x 2 + y 2 = 1 .
Del gráfico vemos que el punto (1,0) y (-1,0) corresponden a un mínimo y los puntos (0,1) y (0,-1) a un
máximo.
c-2) f ( x, y, z ) = x + y + z , sujeto a las restricciones x 2 + y 2 = 2 y x + z = 1 .
Tenemos dos vinculos:
g 1 ( x, y , z ) = x 2 + y 2 − 2 = 0
y
g 2 ( x, y , z ) = x + z − 1 = 0
Así, que hay que encontrar x, y, z, λ1 y λ2 tales que:
∇ f ( x, y , z ) = λ 1 ∇ g 1 ( x , y , z ) + λ 2 ∇ g 2 ( x , y , z )
g 1 ( x, y , z ) = 0
y
g 2 ( x, y , z ) = 0
Calculando los gradientes e igualando componentes, obtenemos:
1) 1 = λ 1 2 x + λ 2 1
2) 1 = λ 1 2 y + λ 2 0
3) 1 = λ 1 0 + λ 2 1
4) x 2 + y 2 = 2
5) x + z = 1
De las ecuaciones sacamos las siguientes condiciones:
3) λ 2 = 1
2) 1 = λ 1 2 y , entonces λ 1 ≠ 0
1) λ 1 2 x = 0 entonces x=0
4) y = ± 2
5) z=1
Los puntos de inflexión son : (0,± 2 ,1)
Por inspección, (0, 2 ,1) da un máximo relativo y (0,− 2 ,1) es un mínimo relativo.
La condición x 2 + y 2 = 2 implica que x e y deben estar acotadas. La condición x + z = 1 implica que z
también está acotada. Se deduce que el conjunto de restricciones S es cerrado y acotado. Por lo tanto se
deduce que f tiene un máximo y un mínimo en S que se debe alcanzar en (0, 2 ,1) y (0,− 2 ,1) ,
respectivamente, (teorema del máximo y mínimo) [2].
Referencias:
[1] Marsden-Tromba. Calculo Vectorial. Ed. Addison Wesley Longman. 4°Ed. 1998. pag(191-198)
[2] Marsden-Tromba. Calculo Vectorial. Ed. Addison Wesley Longman. 4°Ed. 1998. pag202.