Presentación en PDF - Ponce - Universidad Interamericana de

RESIDENCIAL INTER CAMMC 2011
Universidad Interamericana de Puerto Rico
Recinto de Ponce
INTEGRANDO LA
MATEMÁTICA HACIENDO USO
DE LA
SECUENCIA DE FIBONACCI
© Recurso: Prof. Joaquín Padovani
La secuencia de Fibonacci
• Secuencia o sucesión de números
– es una lista de números en donde existe un primer término
y los demás términos siguen una regla.
1,3,5,7,9….
2, 6, 18, 54,..
1/2, 1, 3/2, …
.
Secuencia Aritmética
• Es una secuencia donde existe una
diferencia común.
• Ejemplo:
1, 4, 7, 10, 13, . . .
4 -1= 3; 7- 4 = 3; 10 – 7 = 3; 13 – 10 = 3
Al buscar la diferencia entre los términos se
determina que existe una diferencia común de 3
entre los miembros de la secuencia.
Secuencia geométrica
• Es aquella secuencia donde existe una razón
común para desarrollar cada uno de los
términos.
– Ejemplo:
4, 8, 16, 32…
8/4 = 2; 16/8 = 2; 32/16 = 2
• Se determina que existe una razón común de 2
entre los miembros de la secuencia.
SECUENCIAS
• Determinar si las secuencias presentadas son secuencias aritméticas o
secuencias geométricas.
a. 5, 9, 13, 17, 21,…
b.12, 17, 22, 27,…
c. 2, 8, 32, 128, …
d.1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …
e. 1, 5/2, 4, 11/2, 7, ..
Secuencias
 La secuencia (a) 5,9,13,17, 21
Es una secuencia aritmética ya que la misma tiene una
diferencia común entre los términos:
9-5 = 4, 13-9 = 4,…
 La secuencia (b) 12,17, 22, 27, …
17-12=5, 22-17 = 5, 27-22 =5
Esta secuencia es una aritmética porque tiene una
diferencia común.
Secuencias
• La secuencia (c). 2, 8, 32, 128, …
– Esta secuencia, al realizarse la prueba, no tiene una
diferencia común.
– Sí tiene una razón común:
– 8/2 = 4, 32/8 = 4, 128/2 = 4. La razón común es igual
a 4.
Secuencias
• 1/2, 3/2, 5/2, 7/2
– Esta es una secuencia aritmética .
– 3/2 – 1/2 =2/2 = 1
– 5/2 – 3/2 =2/2 = 1
– 7/2 – 5/2 = 2/2 =1
– Existe una diferencia común que es 1.
¿Qué secuencia es la que
se ilustra?
0,1,1,2,3,5,8,13, 21, 34, 55,…
¿Es una secuencia aritmética?
¿Es una secuencia geométrica?
¿Cuál es la regla?
Secuencia o
Sucesión de Fibonacci
• La secuencia que se ha ilustrado se
conoce como la secuencia o sucesión de
Fibonacci.
• 0,1,1,2,3,5,8,13,…
• La sucesión inicia con 0 y 1 y a partir de
ahí cada elemento es la suma de los dos
anteriores.
• A cada elemento se le llama Número de
Fibonacci.
Secuencia de Fibonacci
• Leonardo de Pisa, matemático italiano,
conocido como Leonardo Fibonacci, fue quien
describió esta secuencia en el siglo 13.
• La secuencia tiene muchas aplicaciones en la
naturaleza y
en la vida diaria, en las
matemáticas, ciencias de computadoras y
teoría de juegos. Aparece en muchas
configuraciones en las ciencias biológicas,
como por ejemplo, en el patrón que tienen las
ramas de los árboles, en la organización de las
hojas, en el cuerpo humano, etc.
Historia
• En la India se descubrió, antes de que
Fibonacci escribiera su trabajo, por
matemáticos indios. Estos habían
investigado los patrones rítmicos que se
formaban con silabas o notas de uno o
dos pulsos.
• El número de los ritmos (teniendo una
cantidad de n pulsos) eran producidos
en forma explícita por los números 1,2,3,
5, 8, 13,21,…
La secuencia de Fibonacci
• Fibonacci describió la sucesión como respuesta
a un problema que se le presentó sobre de
crianza de conejos.
• El problema se describe así:
– Un hombre tenía una pareja de conejos juntos en un
lugar cerrado. Deseaba saber cuántos conejos son
creados a partir de este par en un año, cuando la
naturaleza es parir un par de conejos en un solo mes.
En el segundo mes los nacidos también han de parir
un par de conejos.
• El problema sirve para saber cuántas parejas de
conejos habrá en 12 meses.
• El periodo de gestación de un conejo es un mes
por lo que se puede cruzar a la edad de un mes.
• Este problema dio luz a todo lo que está
relacionado con esta famosa sucesión que tiene
tantas aplicaciones y conexiones en la vida
diaria.
Definición formal
• Los números de Fibonacci son:
– ƒ0, ƒ1, ƒ2, ƒ3 ,…están definidos por las
ecuaciones
ƒ0 = 0
ƒ1 = 1
ƒn = ƒn -1 + ƒn-2 para n = 2,3,4,5,…
Esto produce los números:
ƒo ,= 1, ƒ1 = 1, ƒ2 = 1, ƒ3 = 2, ƒ4 = 3, ƒ5 = 5,…