ELECTROMAGNETISMO 1. INTRODUCCIÓN. Los fenómenos que

ELECTROMAGNETISMO
1. INTRODUCCIÓN.
Los fenómenos que hoy llamamos magnéticos fueron conocidos cientos de años antes de
nuestra era. En la antigua Grecia se conocieron ciertas propiedades de unas piedras, que
probablemente serían de magnetita, (Fe3O4), que corresponden a lo que hoy llamamos
imanes. Sin embargo hasta el siglo XIX no se relacionaron estos fenómenos con la
Electricidad. Los imanes naturales como la magnetita o los artificiales muestran un
comportamiento de atracción o repulsión entre sí que permite distinguir los extremos del
imán: a uno se le denomina polo norte (N) y al otro, polo sur (S). La interacción entre
imanes consiste en que polos del mismo nombre se repelen y los de nombre diferente se
atraen. Además los polos de un imán atraen materiales como el hierro. Esta interacción
se puede describir por medio de un campo vectorial al que denominamos densidad de
flujo magnético, B. Este campo tendría unas líneas de fuerza que saldrían del polo norte
y entrarían al polo sur. Naturalmente el flujo de B a través de una superficie cualquiera S
será:
y dimensionalmente:
2. ACCIÓN DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS ESTACIONARIOS SOBRE
CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIENTO.
Si en el seno de una densidad de flujo magnético B estacionaria (es decir, no
dependiente del tiempo) hay una carga eléctrica q moviéndose con una velocidad v, hay
una interacción que puede describirse matemáticamente por la expresión vectorial:
(9.1)
La fuerza, denominada fuerza de Lorentz, resulta pues proporcional a la carga, su
dirección es perpendicular simultáneamente a v y a B estando determinado su sentido
por la regla del sacacorchos o regla de la mano derecha. Se trata por lo tanto de una
fuerza centrípeta. La fuerza resulta nula tanto si la carga está en reposo como si la
velocidad tiene su dirección coincidente con la de B. De la (9.1) se deduce que el campo
magnético tiene dimensiones de fuerza/(intensidad x longitud), su unidad S.I. será: 1
NA-1m-1 y esta unidad se denomina tesla (T), o sea, 1 T=1 NA-1m-1. La unidad S.I. de
flujo magnético de denomina Weber (símbolo 1 Wb) y por lo tanto 1T= 1Wb/m2.
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 1
2.1 Trabajo sobre una carga móvil debido a una densidad de flujo magnético
estacionaria.
El trabajo realizado por una fuerza es
, pero tratándose de la
fuerza de Lorentz tal como la hemos definido en (9.1), como F y v son perpendiculares,
resultará W = 0, lo que quiere decir que los campos magnéticos estacionarios no pueden
modificar la energía cinética de la partícula cargada, aunque sí su dirección.
2.2 Movimiento de una carga en un B perpendicular a la velocidad inicial.
En este caso la F estará en el plano perpendicular a B y que contenga a v0 , y por lo tanto
la trayectoria estará en ese mismo plano. Además al ser la fuerza centrípeta el
movimiento será circular uniforme. El módulo de la fuerza centrípeta será según la (9.1):
F = q B v0 y por lo tanto la aceleración centrípeta será:
(9.2)
pero la aceleración centrípeta en un movimiento circular uniforme es v2/R , siendo R el
radio de la circunferencia. Por tanto:
(9.3)
El periodo, frecuencia y pulsación del movimiento serán:
(9.4)
Esta frecuencia ν se denomina frecuencia ciclotrón.
2.3 Caso general del movimiento de una carga en un campo magnético.
La velocidad v puede considerarse suma de dos componentes v= y v⊥ ; la primera
paralela al B y la segunda perpendicular a B: v = v= + v⊥ :
(9.5)
Aplicando el principio de superposición, podemos estudiar por separado el efecto del
campo magnético sobre cada una de las dos componentes. Sobre la v⊥ el efecto
corresponde a lo visto en el § 2.2, por lo tanto la proyección del movimiento sobre un
plano perpendicular a B será un movimiento circular uniforme de radio R igual a (9.3) y
de periodo igual a T (9.4). Sobre la el efecto será nulo, ya que v= x B = 0. La
composición de los 2 movimientos será un hélice de paso (v= x T) inscrita en un cilindro
de radio R.
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 2
2.4 Acción de una densidad de fujo magnético uniforme sobre un conductor.
Supongamos que una porción rectilínea de un conductor cilíndrico de longitud l y área se
la sección recta A, que es recorrido por una intensidad de corriente I y que se encuentra
en una región en la que existe una densidad de flujo magnético uniforme, B. Podemos
considerar que la intensidad es el resultado de un desplazamiento de los portadores de
corriente (electrones libres). Sobre cada uno de dichos electrones se producirá una fuerza
y el efecto total sobre la porción de conductor será la suma de todos los efectos
individuales. Podemos considerar que como vimos en el capítulo 7 los electrones se
desplazan con una velocidad media vn. Por tanto podemos considerar que sobre un
electrón la fuerza media será:
(9.6)
El número de electrones que se desplazan será: A l n, siendo n la densidad de electrones
libres del material que constituya el conductor y por lo tanto la fuerza total será:
(9.7)
recordando que I = J A = e n v n A y transformando l en un vector l de la misma
dirección y sentido que vn, se puede escribir:
(9.8)
Si tenemos un conductor cualquiera, sobre un elemento del mismo dl se producirá una
fuerza dF:
(9.9)
y la fuerza sobre una porción de conductor finita (entre a y b) será:
(9.10)
Si el conductor fuese una espira cerrada la fuerza total sería lógicamente cero, aunque
puede no ser cero el momento total de la fuerza, como veremos en ejemplos.
3. LEY DE BIOT Y SAVART.
Fue el físico danés Christian Oersted quien descubrió que el origen del campo magnético
está en las corrientes eléctricas o más generalmente en las cargas en movimiento. La
reproducción experimental de los hechos descubiertos de forma casual permitió
cuantificar el valor de la densidad de flujo magnético creada en un punto P situado a una
distancia R de un conductor rectilíneo y muy largo (es decir, longitud > > R) por la
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 3
corriente de intensidad I circulando por dicho conductor (fig.9.1). Suponiendo que
estamos en el vacío, el módulo de B será:
Fig. 9.1
Fig. 9.2
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 4
(9.11)
donde k vale, en el sistema internacional 10-7 TA-1 m y µ0 es la llamada permeabilidad
magnética del vacío. La dirección será perpendicular al conductor y al radio R y el
sentido vendrá dado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha.
Como vemos en (9.11), la densidad de flujo magnético B depende de la constante µ 0,
que en principio se puede considerar característica del material en el que estemos
considerando definido B (en este caso el vacío). En la mayor parte de los casos prácticos
el medio no será el vacío. Si el material puede considerarse homogéneo e isótropo, µ 0
deberá ser sustituida por otra constante µ de las mismas dimensiones, denominada
permeabilidad magnética del material. En este caso se denomina permeabilidad relativa
del medio a
. Como veremos más adelante, la mayor parte de los materiales
tienen una permeabilidad relativa casi igual a 1, aunque ligeramente mayor(
).
Estos materiales se denominan paramagnéticos. Unos pocos de gran interés cintífico y
tecnológico tienen en cambio valores de µ r muy grandes; son los llamados materiales
ferromagnéticos (hierro, niquel, cobalto, gadolinio, ferritas, .. etc). Otros pocos tienen
valores de y se denominan materiales diamagnéticos.
Interesa definir otra magnitud relacionada con B, pero no dependiente del medio
material, H , que denominamos intensidad de campo magnético, (a veces, simplemente
campo magnético):
Respecto al significado de la constante µ0, hay que destacar que aplicando el análisis
dimensional podemos comprobar que las dimensiones de
,
donde ε0 es la
constante dieléctrica del vacío que fue introducida en el capítulo 6, corresponden a las de
una velocidad. Pero las leyes se Maxwell del Electromagnetismo establecen que esta
magnitud debe ser concretamente el módulo de la velocidad de propagación de las ondas
electromagnéticas (entre ellas la luz) en el vacío:
.
3.1 Acción mutua entre conductores paralelos.
Supongamos dos conductores paralelos separados por una distancia a y muy largos
(longitudes > > a) por los que circulan sendas intensidades I1 e I2 tal como vemos en la
figura 9.4. Cada uno de ellos producirá una densidad de flujo magnético que a su vez
ocasionará sobre el otro conductor una fuerza:
(9.12)
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 5
Permeablidad µ r
Materiales Paramagnéticos
Aluminio
1.000021
Magnesio
1.000012
Paladio
1.00082
Titanio
1.00018
Permeablidad µ r
Materiales Diamagnéticos
Bismuto
0.99983
Oro
0.99996
Plata
0.99998
Cobre
0.99999
Permeablidad µ r
Materiales Ferromagnéticos
Niquel
250
Cobalto
600
Hierro (puro)
4000
Mumetal
100000
Tabla 9.1
Fig. 9.3
(9.13)
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 6
las direcciones y sentidos son los que se ven el la figura. Si las intensidades fueran en
sentidos opuestos, los resultados serían iguales pero las fuerzas serían repulsivas en lugar
de atractivas. El módulo de la fuerza entre los conductores por unidad de longitud será:
(9.14)
Fig. 9.4
3.2 Forma diferencial de la ley de Biot y Savart.
La ley de Biot y Savart puede escribirse en forma vectorial y diferencial, de manera que
pueda aplicarse (por integración) a conductores de cualquier forma y longitud (Fig. 9.5);
suponemos para ello que el campo magnético total B es debido a la contribución de
elementos de conductor dl considerados como un vector en la dirección y sentido de la
corriente. Entonces la ley se Biot y Savart se escribirá así:
(9.15)
y el campo magnético total será:
(9.16)
Esta expresión podemos aplicarla ahora al caso de un conductor recto y largo (longitud
tomada como infinita) y veríamos que la expresión del módulo del campo magnético que
obtenemos coincide con la (9.11), coincidiendo también dirección y sentido. El ángulo α
lo mediremos siempre desde dl a r.
Fig. 9.5
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 7
3.3 Aplicaciones de la ley de Biot y Savart a casos concretos.
3.3.1 Conductor recto de longitud finita (Fig. 9.6).
;
y teniendo en cuenta que
;
y finalmente nos queda:
(9.17)
siendo la dirección perpendicular al plano del dibujo y el sentido, hacia delante del
dibujo
3.3.2 Campo manético producido por un conductor circular en un punto del eje.
Aplicando la ley de Biot y Savart:
y teniendo en cuenta que las proyecciones de dB en las direcciones paralelas al plano del
conductor se anularán tendremos que:
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 8
,
y
(9.18)
o en función de x:
(9.19)
o en función de β :
(9.20)
3.3.3 B producido por un solenoide cilíndrico en un punto del eje.
Un solenoide es un arrollamiento helicoidal de hilo conductor. En la figura 9.8 vemos un
solenoide recto cilíndrico (a) y un solenoide recto prismático (b). Hay también
solenoides de estructura toroidal de sección cilíndrica o rectangular. Por razones de
sencillez matemática se supone que las vueltas del solenoide están muy apretadas, es
decir, que el paso de la hélice es muy pequeño y lo podemos considerar infinitesimal.
Los resultados obtenidos a partir de esta aproximación no serán exactos, pero nos dan
una idea aproximada del comportamiento de estos sistemas.
Aplicando el resultado anterior a una rodaja de solenoide de grosor dx, (Fig. 9.9):
siendo n el número de vueltas por unidad de longitud de solenoide. Tomamos P como
origen de las x, y por lo tanto -x = R cotg β , lo que implica que:
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 9
,
y sustituyendo en la anterior nos quedará:
(9.21)
siendo:
Casos particulares:
- P en el centro:
(9.22)
- P en el centro, solenoide largo:
(9.23)
- P en el centro del extremo del solenoide:
(9.24)
- Igual que en el caso anterior y solenoide largo:
(9.25)
4. LEY DE AMPERE.
Queremos calcular la circulación del vector B a lo largo de la circunferencia de
la figura 9.1:
(9.26)
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 10
Este resultado que hemos obtenido en un caso particular puede generalizarse a cualquier
disposición de conductor y curva, pero su demostración se sale de los límites de este
curso. Así pues, podemos afirmar que la circulación del vector B a lo largo de
cualquier curva cerrada es igual a intensidad que atraviesa una superficie limitada
por la citada curva por la permeabilidad :
(9.27)
Este enunciado se denomina ley de Ampere.
5. LEY DE FARADAY-LENZ.
Es bien conocido que si acercamos y alejamos alternativamente una espira conductora a
la fuente de un campo magnético, se produce en dicha espira una intensidad de corriente.
Si la espira permanece en reposo respecto al campo magnético la intensidad se hace
cero. Vamos a describir este hecho experimental a partir de la definición del flujo del
campo magnético. Como para cualquier campo vectorial, para B , el flujo magnético a
través de una superficie cualquiera será:
(9.28)
Así como en el caso del campo eléctrico su flujo a través de una superficie cerrada era
proporcional a la carga eléctrica encerrada por la citada superficie, el flujo magnético Φ
B a través de una superficie cerrada será siempre cero, puesto que no existen monopolos
magnéticos N ó S independientes.
Si a través de una superficie limitada por una línea cerrada, C, hay un flujo magnético
variable con el tiempo, a lo largo de esa línea se induce una diferencia de potencial,
llamada d.d.p. inducida, cuyo valor viene expresado así:
(9.29)
por lo tanto debe de haber un campo eléctrico inducido E en cada punto de dicha línea
. En el caso de que la línea cerrada esté recorrida por un conductor de
tal que ε
resistencia R, la intensidad inducida, i = ε /R, producirá una densidad de flujo
magnético, y por lo tanto un flujo magnético a través de la espira conductora que
"tratará" de contrarrestar la variación de flujo causante de la misma. Esto constituye la
llamada ley de Faraday-Lenz, que tiene importantes aplicaciones prácticas. Así por
ejemplo, toda la producción industrial de energía eléctrica o, más concretamente los
alternadores, están basados en esta ley.
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 11
5.1 Campos eléctricos creados por campos magnéticos variables.
La ley de Faraday que acabamos de enunciar no necesita de la presencia del conductor
para inducir un campo eléctrico, es decir, un flujo magnético variable atravesando la
porción superficie delimitada por una curva cerrada produce un campo eléctrico E tal
que se verifica:
(9.30)
La integral del segundo miembro es la circulación del vector E. Recordemos que en
electrostática la circulación de E vale cero (E es un campo vectorial conservativo), por
lo que concluimos que el campo eléctrico inducido no es conservativo. Por ejemplo si
tuviésemos una densidad de flujo magnético B uniforme en el espacio pero variable en
con el tiempo, perpendicular al plano del papel penetrando en él, el campo eléctrico
inducido en los puntos de una circunferencia contenida en dicho plano tendría el mismo
módulo E por simetría, su dirección sería tangente a la circunferencia en cada punto y su
sentido el determinado por la regla del sacacorchos (Fig. 9.10). Si aplicamos la (9.30)
tendremos que ε = 2π R E, o sea, E = ε /2π R.
5.2 Corrientes de Eddy.
Si tenemos un bloque de material conductor en presencia de un flujo magnético
variable en el interior del conductor se generan corrientes inducidas, que producirán por
lo tanto una disipación de energía calorífica por efecto Joule. Esta energía se toma
Fig.9.10
Fig. 9.11-a
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 12
Fig. 9.11-b
naturalmente de la causa que esté ocasionando la variación del flujo. Así por ejemplo si
tenemos una lámina conductora de forma de disco oscilando entre los polos de un imán
como vemos en la figura 9.11, en la lamina se producirá un flujo variable cuando el
disco entra o sale de la zona en la que existe el campo B (zona rectangular gris claro).
Por ello, aún suponiendo que no hubiera rozamientos de tipo mecánico en la oscilación,
se produciría un frenado de la misma en los momentos de entrada y salida del disco. El
frenado sería menor en (b) que en (a) ya que las corrientes de Eddy en (b) se ven
dificultadas por las rendijas y por lo tanto no habrá tanta disipación de calor.
6. AUTOINDUCCIÓN.
En cualquier espira conductora cualquier variación de la intensidad que circula a su
través pruducirá un flujo Φ B dependiente de la intensidad. Si la intensidad varía con el
tiempo Φ B variará y esta variación a su vez causará una d.d.p. vL inducida entre los
extremos del conductor que tenderá a oponerse a la variación de intensidad. Esta d.d.p.
autoinducida será proporcional a la rapidez con que varíe la intensidad:
(9.31)
La constante de proporcionalidad L se denomina autoinductancia. Sus dimensiones,
según la (9.31) serán [resistencia x tiempo] y su unidad SI sería 1 Ω s que recibe el
nombre especial de henrio de símbolo H (1 H=1 Ω s). El efecto inductivo descrito por
(9.31) significa un almacenamiento en el conductor de una energía electrocinética; para
calcularla supondremos que la intensidad va variando desde cero hasta el valor i. La
potencia instantánea será:
y la energía almacenada en un intervalo dt:
Por lo tanto la energía total almacenada cuando la intensidad alcanza el valor I será:
(9.32)
Este comportamiento de la inductancia tiene cierta similitud, que en teoría de circuitos
lineales se denomina dualidad, con el de una capacidad; de hecho todas las expresiones
coinciden con la siguiente correspondencia de variables:
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 13
Inductancia (1 H = 1 Ω s)
Capacidad (1 F = 1 Ω -1s)
v
i
i
v
1/R
R
L
C
La expresión (9.31) no considera la d.d.p. debida a la resistencia del conductor, es decir,
el efecto autoinductivo puro no se dará nunca ya que no es posible tener una espira en la
que no exista un efecto resistivo (descrito por la ley de Ohm), salvo el caso especial de
una espira superconductora. Una espira conductora real se modelaría de una forma
bastante aproximada por una inductancia en serie con una resistencia.
6.1 Carga y descarga de una inductancia.
El circuito podría ser como el de la figura 9.12, donde vemos el símbolo habitualmente
utilizado para representar la inductancia y apreciamos una resistencia que representaría
en general la del hilo conductor empleado para construir la inductancia más la resistencia
externa a la misma si la hubiere. Las leyes de Kirchoff
Fig. 9.12
de las mallas nos permiten escribir la ecuación del circuito de una sola malla.
Considerando la intensidad i(t) como variable básica, siendo t el intervalo de tiempo
transcurrido desde el instante (t=0 s) en que se cierra el interruptor, la ecuación sería:
(9.33)
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden y cuya solución es:
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 14
(9.34)
siendo L/R una constante del circuito que tiene dimensiones de t y que se llama
constante de tiempo. i0 es el valor de i para t=0 con el sentido que corresponda (si la
espira está inicialmente descargada, i0 = 0). i∞ es el valor de i para t→ ∞ , o sea, en este
caso i∞ =VA/R. Aunque i∞ =VA/R cuando t→ ∞ , en la práctica el valor se alcanzará
cuando t sea igual a unas cuantas veces L/R. Si nos interesa la expresión de vL, bastará
calcularla a partir de la (9.31). Sin embargo su expresión directa tiene la misma forma
que la (9.34):
(9.35)
En la Fig. 9.13 vemos la representación gráfica de la carga de una inductancia
inicialmente descargada.
7. INDUCTANCIA MUTUA.
Supongamos una bobina (1) (Fig. 9.14) de N1 vueltas por la que circula una intensidad I1
y una segunda bobina próxima a la primera de N2 vueltas recorrida por una intensidad I2.
Llamemos Φ 21 a la parte del flujo magnético producido por la bobina (1) que atraviesa
la bobina (2). Definimos la inductancia mutua de la bobina (2) con respecto a la bobina
(1) de la siguiente forma:
(9.36)
La f.e.m. inducida en la bobina (2) por la bobina (1) será:
(9.37)
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 15
Fig. 9.14
De la misma manera, la inductancia mutua de la bobina (1) con respecto a la bobina (2)
será:
(9.38)
y la f.e.m. inducida en la bobina (1) por la bobina (2) será:
(9.39)
Se puede demostrar que M12 = M21 = M, que se denomina inductancia mutua del par de
bobinas considerado. M se medirá en henrios como la autoinductancia.
7.1 Transformador.
Un transformador es un sistema de dos bobinas arrolladas sobre un núcleo
ferromagnético, (generalmente hierro dulce), de manera que casi todo el flujo que
produce una de las bobinas atraviesa también la otra. La (1) se denomina primario y la
(2) secundario (Fig. 9.15). En realidad el estudio detallado del sitema es bastante
complejo y no lo abordaremos. Un transformador ideal sería un modelo simplificado en
el que se supone que:
1- el flujo total atraviesa ambos arrollamientos
2- en el núcleo no se disipa energía no por corrientes de Eddy ni por histéresis.
3- la inductancia de cada bobina es muy grande (se considera ∞ ).
para que en el transformador real se cumpla con cierta aproximación la condición 2 el
núcleo se construye de hierro dulce y laminado en lugar de macizo. El rendimiento de
los transformadores reales puede estar comprendido entre el 90 y el 99 %. Si
consideramos un transformador ideal (rendimiento 100 %), Φ 21 = Φ 12 = Φ :
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 16
Fig. 9.15
(9.40)
Los transformadores tienen muchas aplicaciones como elevadores-reductores de
tensiones alternas. Así por ejemplo, la tensión alterna producida en una central, que en
Europa tiene una frecuencia de 50 Hz, (pulsación, ω =100 π s-1, periodo, T=20 ms),
debe elevarse hasta valores de 370 kV eficaces o incluso más con objeto de que la
intensidad en la línea de transmisión hasta los centros de consumo sea menor, (9.31), y
por lo tanto sean menores las perdidas en la línea por efecto Joule. Esta elevación se
realiza por medio de grandes transformadores con una relación N1 / N2 > 1
adecuadamente grande. Por el contrario, en los centros de consumo se debe rebajar la
tensión eficaz por motivos de seguridad de equipos y personas y por lo tanto habrá que
usar de nuevo transformadores con N1 / N2 < 1 adecuadamente pequeño. En el circuito
de la figura 9.14, I1 es la intensidad que circula por el primario e I2 la que pasa por el
secundario. R=V2/I2 y desde el primario se tiene una resistencia aparente R'=V1/I1.
Teniendo en cuenta la (9.40):
(9.41)
Como se estudia en Teoría de Circuitos Eléctricos, este cambio aparente de resistencia
(adaptación de impedancias) es muy útil para conseguir una transferencia óptima de
energía desde un sistema productor de energía a un sistema receptor de energía. Así
pues, otra aplicación de los transformadores es la adaptación de impedancias.
8. LEYES DE MAXWELL.
8.1 Campos estacionarios.
Si consideramos una región del espacio en la que hay un campo eléctrico E y una
densidad de flujo magnético B estacionarios, es decir, no dependientes del tiempo, entre
ellos se verifican las siguientes relaciones, según acabamos de ver:
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 17
;
para una superficie s cerrada (9.42)
;
para una superficie s cerrada
(9.43)
;
para una curva c cerrada
(9.44)
;
para una curva c cerrada
(9.45)
La (9.42) es la ley de Gauss para campos eléctricos, que vimos en el capítulo 6. La
(9.43) es la ley de Gauss para campos magnéticos, que expresa la inexistencia de
monopolos magnéticos. La (9.44) indica que el campo E estacionario es conservativo,
mientras que la (9.45) es la ley de Ampere para campos conservativos. Estas 4
ecuaciones, junto con la expresión de la fuerza de Lorentz,
, describen
completamente todo el electromagnetismo para campos estacionarios.
8.2 Caso general.
Si queremos generalizar las leyes de Maxwell a campos estacionarios o no, las (9.42) y
(8,43) quedararían igual, si bien la (9.42) puede escribirse de forma más general:
,
donde el segundo miembro es una integral extendida al volumen v encerrado por la
superficie s, y donde ρ es la densidad de carga en puntos de dicho volumen. La (9.44) se
generaliza dando lugar a la ley de Faraday-Lenz que hemos visto:
Esta ley nos dice que el campo eléctrico no es conservativo en general. La (9.45) se
ajusta a los datos experimentales en los que hay una intensidad de corriente I que fluye
de forma continua por un conductor. Sin embargo vamos a ver que es inconsistente si la
intendidad no fluye de forma continua. Maxwell ideó la forma de resolver la
inconsistencia añadiendo un témino proporcional a la variación del flujo del campo
eléctrico con el tiempo a través de la superficie s limitada por la curva c. La ecuación
(9.45) quedaría así:
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 18
Para entender la inconsistencia de la (9.45), vamos a suponer (Fig. 9.16) un condensador
que se está cargando. Por el terminal de la izquierda llega una intensidad I, que atraviesa
la superfice s limitada por la curva c. Por lo tanto, en este caso se cumpliría sin
problemas que
. Pero en cambio la superficie s', que también está limitada por
la misma curva c, no es atravesada por la intensidad y por lo tanto, según la (9.45), sería
, lo que resulta contradictorio con lo anterior. En cambio, si añadimos segundo
término, resultaría
, en donde el término
tiene dimensiones
de intensidad y valdría lo mismo que I. Este término fue denominado por Maxwell
"corriente de desplazamiento". Así pues, las ecuaciones de Maxwell en su forma
general quedan así:
Fig. 9.16
;
para una superficie s cerrada (9.46)
;
para una superficie s cerrada (9.47)
;
;
para una curva c cerrada
(9.48)
para una curva c cerrada (9.49)
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 19
9. PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA.
9.1 Momentos angulares y magnéticos en los átomos.
Según la Mecánica Clásica, cada electrón cortical de un átomo está sometido a una
fuerza central y describe una órbita aproximadamente circular alrededor del núcleo. Por
lo tanto tendrá un momento angular que sería:
(9.50)
siendo me la masa en reposo del electrón y v su velocidad lineal. El módulo de esta es
mucho menor que la velocidad de la luz en el vacío y por lo tanto no haría falta utilizar
la Mecánica Relativista. Como tenemos una carga eléctrica, e, circulando, se producirá
en N una densidad de flujo magnético, B, que es un vector que tiene la misma dirección
Fig. 9. 17
que J, pero sentido contrario:
siendo m un vector denominado momento dipolar magnético o simplemente momento
magnético de esta pequeña espira a la denominamos dipolo magnético:
m = I π r2 j ;
(9.51)
siendo I la intensidad de corriente eléctrica producida por la carga e orbitando con
velocidad v. Este planteamiento de la Física Clásica resulta también correcto para la
Mecánica Cuántica, pero no podemos esperar que todo lo que prediga la Fíca Clásica sea
igualmente válido: Así por ejemplo, según la Mecánica Cuántica, el propio electrón tiene
un momento angular y un momento magnético intrínsecos que tienen la misma
dirección. Es lo que se llama espín del electrón, que a veces interpretamos como debido
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 20
a un giro del electrón sobre si mismo, pero que realmente no tiene justificación en la
Física Clásica. Además también los protones de los núcleos parecen describir órbitas y
girar sobre si mismos (espín del protón). Y todavía es más sorprendente desde un punto
de vista clásico que los neutrones nucleares tengan también espín.
9.2 Comportamientos magnéticos de la materia.
Unos pocos materiales interaccionan fuertemente con los campos magnéticos. El más
representativo de este pequeño conjunto de materiales, denominados ferromagnéticos, es
el hierro; los otros son el níquel, el cobalto y el gadolinio y aleaciones especiales
denominadas genéricamente ferritas. En cambio una gran mayoría de materiales
interaccionan con campos magnéticos de forma similar, pero mucho más débilmente.
Los materiales de este grupo, mucho más numeroso, se denominan paramagnéticos. Así
pues, entre ferromagnetismo y paramagnetismo sólo hay una diferencia cuantitativa.
En los átomos de los materiales existen cargas eléctricas en movimiento que producen
momentos magnéticos. Puede ocurrir que todos los momentos magnéticos en cada átomo
se compensen dando como resultado átomos sin momento magnético. Estos materiales
se denominan diamagnéticos. En un material diamagnético, cuando no está sometido a
ningún campo magnético exterior, la densidad de flujo magnético interno, B, será cero,
mientras que si aplicamos un campo magnético exterior, el módulo de B en el interior
será ligeramente menor que el exterior.
Hay otros materiales cuyos átomos sí tienen momento magnético al no compensarse
entre si los momentos magnéticos orbitales de los electrones y sus momentos intrínsecos
o espines. En este caso los momentos magnéticos de los átomos tratarán de alinearse con
el campo magnético aplicado (exterior) y por lo tanto el campo magnético interno se
verá reforzado. Estos son los materiales paramagnéticos. Si tenemos un material
paramagnético, en ausencia de campo magnético exterior, el campo magnético interno
será cero debido a que la agitación térmica desordena los momentos magnéticos de los
átomos individuales. Si por el contrario, tenemos un campo magnético exterior, el campo
B interior será ligeramente mayor que el campo B en el exterior. En los materiales
paramagnéticos la interacción con el campo magnético exterior, que tiende a ordenar los
momentos magnéticos atómicos, se ve contrarrestada por la agitación térmica, que tiende
a desordenarlos. Por ello el paramagnetismo es más intenso normalmente a bajas
temperaturas (poca agitación). En cambio en los materiales diamagnéticos, la influencia
de la temperatura es muy pequeña.
En los materiales ferromagnéticos, como el hierro, los átomos no sólo tienen momentos
magnéticos no nulos (como en los paramagnéticos), sino que se acoplan entre si
alineándose en una dirección preferente sin que intervenga un campo magnético exterior.
Este comportamiento no se explica desde un punto de vista clásico, ya que al ser las
interacciones magnéticas relativamente débiles, el ordenamiento debería ser destruido
por la agitación térmica. En realidad ferromagnetismo, paramagnetismo y
diamagnetismo son comportamientos que sólo tienen explicación coherente en la
Mecánica Cuántica. En el vacío una intensidad de campo magnético H produce una
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 21
densidad de flujo magnético B tal que B = µ 0.H. Si el medio no es el vacío, la densidad
de flujo producida por el mismo H será diferente y podrá expresarse así:
B = µ 0.( H+M ) (9.52)
donde M es un campo vectorial de las mismas dimensiones que H y que se denomina
vector de magnetización. Si el material es paramagnético, M lo interpretamos como
una alineación de los momentos magnéticos, m, microscópicos (atómicos) que refuerzan
el efecto del campo magnético exterior H. Este reforzamiento lo podemos expresar
también definiendo una constante µ , denominada permeabilidad del material de que se
trate, tal que
B = µ .H (9.53)
donde µ tiene las mismas dimensiones que µ 0 y es µ > ≅ µ 0 cuando se trata de un
material paramagnético. Se denomina permeabilidad relativa del material a una
magnitud adimensional
. Para materiales paramagnéticos
. La
ecuación (9.52) también se suele escribir así:
(9.54)
; es decir, el vector magnetización es función
donde hemos expresado que
de la intensidad de campo magnético y de una magnitud adimensional χ m, denominada
susceptibilidad magnética del material.
La mayoría de los materiales paramagnéticos tienen un comportamiento lineal, o sea, µ ,
µ r, y χ m son constantes y
,
o bien:
(9.55)
Los materiales diamagnéticos tienen µ r<1, lo que significa que el material no refuerza el
flujo magnético respecto al que existiría si el medio fuera el vacío, sino que ocurre todo
lo contrario. En el caso de materiales ferromagnéticos se verifica que
, (µ r desde 50 a 106 para algunas aleaciones especiales llamadas
ferritas) , es decir, el material refuerza fuertemente el efecto del campo exterior H. Pero
además el comportamiento del material es fuertemente no lineal, es decir µ , µ r, y χ m
dependen del campo magnético exterior H y de la historia magnética del material,
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 22
9.2.1 Comportamiento de los materiales ferromagnéticos.
Como hemos dicho, si un material tiene un comportamiento lineal, al aplicarle un campo
magnético H, se producirá en su interior una densidad de flujo magnético B, tal que B
=µ .H siendo µ una constante. Esto representado gráficamente correspondería a la Fig.
9.18 (a): al aumentar el valor de H, aumenta linealmente el valor de B y la pendiente de
la recta es constante, µ = B/H. Si vamos variando cíclicamente el valor de H desde P1,
P2, P3, P4, P3, P2, P1, el proceso es reversible.
Fig. 9.18 (a)
Fig. 9.18 (b)
Los materiales ferromagnéticos refuerzan el efecto del campo magnético exterior y
además se comportan de una forma no lineal, que puede representarse de forma
cualitativa por la Fig. 9.18 (b). En cuanto el módulo de H sobrepasa un determinado
valor, la relación B/H depende de H (es decir µ , es variable) y además depende de la
"historia" del material. Así por ejemplo, si H va variando de forma cíclica, el proceso P1,
P2, P3, P4, P5, P6, P1, no es reversible y el ciclo se denomina ciclo de histéresis. Si
después del estado P1 anulamos H, vemos que el material conserva una densidad de flujo
magnético Br, que se denomina densidad de flujo magnético remanente. Es lo que
ocurre en el caso de los imanes permanentes. El magnetismo remanente, es decir, la
permanencia de un flujo magnético sin que haya un campo magnético aplicado, es lo que
explica las muchísimas aplicaciones de los diversos tipos de memorias magnéticas
usadas en informática (discos duros, disquetes, cintas magnéticas, ..)
Fundamentos Físicos de la Informática. Capítulo 9. Página 23