Capítulo 6 - Departamento de Ingeniería Electrónica

U
N
E
X
P
O
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
ANTONIO JOSE DE SUCRE
VICE RECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA
ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES CONTINUOS
EN EL ESPACIO DE ESTADO
Francisco De La Cruz
CAPITULO 6
DISEÑO DE SISTEMA USANDO REALIMENTACIÓN DE VARIABLES DE ESTADO
EL3133 - SISTEMAS DE CONTROL II - Sección 01
Eulogio T. Pérez Ramos
Marzo - Julio 98
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
6.0
2
Introducción
La realimentación de la salida de un sistema y de sus derivadas no siempre es la mejor
solución para corregir problemas de estabilidad o proporcionar al sistema ciertas características en
su funcionamiento. Ese tipo de realimentación conlleva, además de cierta dificultad en los
procedimientos, un aumento del orden del polinomio característico y por lo tanto de la complejidad
del sistema. Una mejor alternativa consiste en realimentar adecuadamente las variables de estado del
sistema ya que ellas contienen mayor y mejor información acerca de su funcionamiento y
comportamiento. Por otro lado, la realimentación del vector de estado puede igualar lo conseguido
realimentando y(t) y sus derivadas y mientras que lo no logrado con la realimentación de estado
posiblemente no se pueda hacer de otra manera general.
La realimentación de variables de estado se usa, principalmente y bajo ciertas condiciones,
para la ubicación de los autovalores de lazo cerrado del sistema en localizaciones específicas, pero
también se utiliza en la optimización de sistema para satisfacer índices de comportamiento de la
forma
∞
J = ∫ F ( x , u) dt
ο
En ninguno de dichos casos se presenta las razones de la escogencia de las especificaciones
(nuevas localizaciones de autovalores o índice de comportamiento) ya que su escogencia es un
tópico complejo y generalmente adecuado para cursos más avanzados.
Las secciones de este capítulo pueden ser descritas de la siguiente manera: la sección 6.1.
presenta una aplicación de la propiedad de controlabilidad de estado que consiste en la modificación
de los autovalores del sistema mediante la realimentación de variables de estado. En el caso de no
disponerse de un acceso directo a esas variables, deben ser simuladas por medio de un modelo del
sistema llamado observador de estado; en la sección 6.2. se estudian los observadores asintóticos
los cuales son del mismo orden que el sistema que representan y en la sección 6.4. se estudian los
observadores de orden reducido que, tal como lo indica su nombre, son de menor orden que el
sistema original. La sección 6.3. analiza la inclusión de los observadores dentro de un sistema y se
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CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
3
comprueba que la realimentación del vector simulado produce los mismos efectos que se obtendrían
con la realimentación del vector de estado original. Para finalizar, la sección 6.5. presenta una
aplicación más del método de estabilidad de Liapunov en el diseño de reguladores que utilizan
realimentación de estado para la optimización de sistemas.
Una vez concluido el capítulo, el estudiante deberá estar en capacidad de:
1.
Dada la representación matricial de un sistema controlable, diseñar un controlador que
permita colocar los autovalores del sistema en las localizaciones deseadas.
2.
Diseñar un observador de estado asintótico o de orden reducido dados la
representación de un sistema observable y los autovalores del observador.
3.
Utilizar las variables de estado de un observador para realimentarlas a través de un
controlador.
4.
Para un sistema de representación matricial conocida, determinar la entrada de control
óptimo que minimice un índice de comportamiento dado.
Las referencias para este capítulo son [1], [4], [5], [6], [7], [9], [10], [19] y [21].
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CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
6.1.
4
Diseño de Sistemas con Autovalores Específicos
Considérese el sistema escalar descrito por las ecuaciones
x& =Α x + b u
(6.1)
y = cΤ x
donde x es el vector de estado (nx1), u es la entrada escalar; y es la salida escalar; A es la matriz de
planta (nxn); b y cT son respectivamente vectores (nx1) y (1xn). Tal como se indicó en el capítulo 1,
la realimentación de variables de estado tiene por finalidad generar la señal de control u(t) mediante
una relación, llamada ley de control, de la forma
u( t ) = r ( t ) − k Τ x
(6.2)
donde r(t) es la señal de referencia y
k =[k 1
Τ
k2
L kn
]
(6.3)
es el vector de coeficientes de realimentación.
Es de hacer notar, que se está suponiendo que las variables de estado están directamente
disponibles para ser realimentadas. Cuando esto no se cumple, es necesario generar esas variables
para una correcta aplicación de los resultados obtenidos. Esta generación se tratará en la próxima
sección.
Luego de realimentar las variables de estado según la ley de control indicada, se tiene que la
representación de lazo cerrado del sistema será
(
)
x& = Α − b k Τ x + b r
y = cΤ x
Dado que inicialmente la ecuación característica del sistema (6-1) era
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(6-4)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
5
Ρ(λ) = λΙ − Α = λn +a n λn −1 + K + a 2 λ+ a 1 = 0
Después de la realimentación, la ecuación característica del sistema en lazo cerrado será
Ρc ( λ) = λΙ − Α + b k Τ = λn + αn λn −1 +K+α2 λ + α1 = 0
es decir, que la realimentación modifica la ecuación característica y, por supuesto, los autovalores del
sistema y esa modificación dependerá de los valores de los coeficientes ki elegidos.
Teorema 6-1
Si el sistema descrito por la ecuación (6-1) es controlable, entonces todos los autovalores del
sistema en lazo cerrado pueden ser asignados arbitrariamente usando realimentación de variables de
estado con la selección conveniente de kT .
Demostración
Si el sistema es controlable entonces existe una transformación de la forma x c = Ρ c x que
permite transformar la ecuación (6-1) a la FCC, es decir
1
0
L
0 
 0
0
 0

0
0
1
L
0


 
x& c =  L L
L
L L  x c + M  u


 
0
0
L
1 
 0
0
 − a1 − a2 − a3
1
L − an 
y =[c 1 c 2 c 3 L c n ] x c
(6-5)
o, en forma compacta
x& c = Α c x c +b c u
Τ
y = cc xc
(6-6)
Ya que la ecuación característica y los autovalores son invariantes bajo transformaciones
lineales, la ecuación característica de Ac será también
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CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
6
Ρ (λ) = λΙ − Α c = λn + a n λn −1 +K+ a 2 λ + a 1 = 0
La ley de control de la ecuación (6-2) se transforma a
Τ
−1
Τ
u = r − k Ρc x c = r − k c xc
(6-7)
donde
k Τc = k Τ Ρ −c 1
Usando el vector de realimentación
Τ
[
k c = k c1
k c2
L k cn
]
(6-8)
se obtiene la matriz de lazo cerrado
(Α
c
− b c k cΤ
)
 0
 0

= L

 0
− a1 − k c

1
1
0
L
0
− a 2 − k c2
0
1
L
0
− a 3 − k c31
L
0


L
0

L
L 

L
1

L − a n − k cn 
Luego, la ecuación característica de lazo cerrado será
Ρc (λ) = λΙ − Α c + b c k cΤ = λn + (a n + k cn )λn −1 + K + (a 2 + k c 2 )λ + (a 1 + k c 1 ) = 0
= λn + αn λn −1 +K+α2 λ + α1 = 0
donde se observa que los coeficientes α i pueden ser asignados arbitrariamente escogiendo k Τc
como
k c = [α1 − a1 α2 − a 2
T
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L αn − a n ]
(6-9)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
7
T
El vector k c calculado usando (6-9) corresponde a la representación FCC y el vector requerido
para la representación original viene dado por
k Τ = k Τc Ρ c
(6-10)
Aunque el teorema (6-1) establece como condición indispensable que el sistema sea
controlable, es posible asignar arbitrariamente algunos autovalores en sistemas no controlables
completamente. Esos autovalores puede ser determinados a partir de la representación en la forma
de Jordan: los autovalores asociados a bloque de Jordan controlables pueden ser modificados ya
que sobre los modos correspondientes hay influencia de la señal u(t) que se genera usando
realimentación de variables de estado.
Una de las principales aplicaciones de la asignación de autovalores es la “estabilización” que
consiste en la sustitución de autovalores con parte real no negativa (inestables) por autovalores
estables. Un sistema no controlable puede ser estabilizado si los modos incontrolables son estables y
por lo tanto no requieren ser modificados.
Ejemplo 6-1
Dado el sistema representado por las ecuaciones
0 0 0 
1
x& = 0 −1 0  x + 1 u
0 0 −4
1
y = [1 1 1] x
Transferir los autovalores a las localizaciones -2; -1+j; -1-j usando realimentación de variables
de estado. Dibujar el diagrama de bloques del sistema de lazo cerrado.
Ya que el sistema está representado en la forma normal, claramente se verifica que es
controlable (todos los elementos de bn son diferentes de cero). La ecuación característica del sistema
de lazo abierto es
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8
Ρ (λ) = λ(λ + 1)( λ + 4) = λ3 + 5 λ2 + 4λ = 0
se tiene entonces a 1 = 0; a 2 = 4; a 3 = 5 y la matriz Α c correspondiente a la matriz diagonal dada
es
0
0 1

Αc =  0 0
1 
 0 −4 −5
La ecuación característica deseada de lazo cerrado es
Ρc (λ) = (λ + 2 )(λ + 1 − j )(λ + 1 + j ) = λ3 + 4λ2 + 6λ + 4 = 0
Luego α1 = 4 ; α2 = 6 ; α3 = 4
Usando la ecuación (6-4) se tiene
k Τc = [α1 − a 1 α2 − a 2 α3 − a 3 ]
k Τc = [ 4 2 −1]
Dado que la matriz modal transforma Ac en la matriz diagonal, o sea
Λ = Μ −1 Αc Μ
entonces M puede ser vista también como la matriz de transformación Pc. Usando la matriz de
Vandermonde, ya que A está en FCC, se tiene
1
Μ = Ρ c = λ1
λ21
1
λ2
λ22
1  1 1 1 
λ3  =  0 −1 −4
λ23   0 1 16 
Finalmente
k Τ = k Τc Ρ c = [4 1 − 20]
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9
La señal de control a utilizar será
u = r − k x = r − 4 x1 − x 2 + 20 x3
T
El diagrama de bloques del sistema se muestra en la figura 6-1.
1
s
x1
4
r
+
+
−
1
s +1
u
−
x2
y
1
1
s +4
x3
20
Figura 6-1
Diagrama de bloques del ejemplo 6-1
Ejemplo 6-2
Considérese el sistema descrito por
0 1 
1
x& = 
x
+

1 u
2 −1

Este sistema tiene autovalores λ1 = 1 (inestable) y λ 2 = −2 (estable). Es posible transformar
la representación dada a la siguiente forma normal.
1 0 
1
q& = 
q+  u

0 −2 
0
El sistema no es controlable ya que el vector bn posee un elemento igual a cero. El modo
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CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
10
asociado a λ 2 = −2 no recibe influencia de la señal, pero el modo asociado al autovalor inestable si
es controlable y es posible modificarlo. Hágase λ1 = −1 manteniendo λ 2 = −2 . La nueva ecuación
característica, en función de estos autovalores será
Ρc (λ) = (λ + 2 )(λ + 1) = λ2 + 3λ + 2 = 0
Por otro lado
 0 1  1
Αk = Α − b k Τ = 
 −   [ k1
 2 −1 1
1− k 2 
 −k
Αk =  1

2 − k1 −1 − k 2 
k2 ]
y
λ + k1
 1 −2
( λΙ − Α k ) =  k
k2 − 1 
λ + 1 + k 2 
donde
Ρc (λ) = λΙ − Α k = λ2 + ( k 1 + k 2 + 1) λ + 2 k 1 + 2k 2 − 2 = 0
comparando con la ecuación característica deseada
k1 + k 2 + 1 = 3
´
2 k1 + 2 k2 − 2 = 2
ó
k1 + k2 = 2
2k 1 + 2 k 2 = 4
Una solución posible será k 1 = 1 ; k 2 = 1 ó
k Τ = [1 1]
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11
Si se intenta modificar ambos autovalores, por ejemplo haciendo λ1 = −1 λ 2 = −3 , la
ecuación característica deseada será
Ρc (λ) = ( λ + 1)( λ + 3) = λ2 + 4λ + 3 = 0
Comparando esta ecuación con λΙ − Α k = 0
k1 + k2 + 1 = 4
2k 1 + 2k 2 − 2 = 3
ó
k1 + k 2 = 3
2k 1 + 2 k 2 = 5
Este conjunto de ecuaciones es incompatible y no es posible modificar ambos autovalores
simultáneamente.
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6.2
12
Diseño de Observadores de estado asintóticos
La utilidad del resultado alcanzado en el diseño de sistemas usando realimentación de variables
de estado dependerá de la posibilidad de obtener esas variables para realimentarlas. En muchos
casos, no hay acceso directo a todas las variables de estado de un sistema y sólo pueden ser
medidas sus entradas y sus salidas. En tales casos será necesario encontrar o generar un “vector
sustituto” cuya realimentación proporcione los mismo efectos que se conseguirían con el vector de
estado real. Un subsistema que genera un vector de estado basado en la información recibida de las
entradas y salidas del sistema es el llamado observador de estado. Existen varios tipos de
observadores o estimadores de estado, como también se les conoce, que se irán estudiando
progresivamente.
En la definición 4-3 se establece que en un sistema observable, el vector de estado puede ser
construido de combinaciones lineales de la entrada, la salida y las derivadas de esas señales. Esto
puede ser hecho de la forma que se indica a continuación. Considerando un sistema escalar descrito
por:
x& = Α x + b u
y = cΤ x
(6 − 11a)
(6 - 11b)
Derivando la ecuación de salida se tiene
y& = c Τ x& = c Τ Αx + c Τ b u
o
Τ
(6-12)
Τ
y& − c b u = c Α x
Derivando nuevamente, y ordenando términos, se obtiene
Τ
Τ
Τ
2
&y& − c b u& − c A b u = c Α x
Repitiendo este procedimiento, se puede expresar, luego de (n-1) derivaciones, que
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(6-13)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
( n −1 )
13
( n− 2)
y − c Τ b u − K − c Τ Α ( n − 2 ) b u = c Τ Α n −1 x
(6-14)
Las ecuaciones (6-11b) hasta (6-14) pueden ser escritas en forma matricial, como
y

  cΤ 

  Τ 
y& − c Τ bu

  c Α 
Τ
Τ

&y& − c bu& − c Αbu
=  c Τ Α 2  x = V x


 
KKKKK   M 
(n −1 )KKK(nK
−2 )
 y − c Τ b u − K − c Τ Α n − 2 u   c Τ Α n −1 


(6-15)
la cual puede ser resuelta para x si y sólo si la matriz V es no singular, lo cual constituye simplemente
la condición de observabilidad. Resumiendo, la ecuación (6-15) indica que el vector de estado
puede ser expresado por combinaciones lineales de la entrada u, la salida y sus derivadas. En la
práctica, debido a la presencia de ruido, este procedimiento de diferenciación debe ser descartado
por implicar grandes errores en el cálculo de x. Sin embargo, es posible utilizar un procedimiento
ligeramente modificado para la generación del vector de estado sustituto por medio del observador
de estado.
Dado que se conoce la representación del sistema es decir, la matriz A y los vectores b y cT ,
es posible duplicar el sistema original tal como se muestra en la figura 6-2.
u
b
+
+
∫
x
cT
A
b
+
+
∫
Sistema
xe
cT
A
Observador
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y
ye
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
14
Figura 6-2
Observador de lazo abierto
Esta réplica del sistema constituye el observador de lazo abierto. Las ecuaciones que
describen el observador de lazo abierto son
x& e = Α x e + b u
ye = cΤ xe
Teóricamente el vector de estado del observador xe (vector de estado estimado u observado) será
igual al vector x del sistema original si el observador posee las mismas condiciones iniciales del
sistema y está manejado por la misma señal de control u. Las condiciones iniciales del sistema
pueden ser conocidas si el sistema original es observable y deberán ser calculadas y fijadas en el
observador de lazo abierto cada vez que se utilice, lo cual constituye un inconveniente. Por otro lado,
cualquier modificación en los parámetros de los sistemas o cualquier perturbación externa provocaría
una diferencia entre x y xe la cual se incrementaría con el tiempo. Por estas razones, el uso de un
observador de lazo abierto no es satisfactorio en la mayoría de los casos.
Cualquier diferencia entre x y xe podría ser corregida determinando el error e, entre ambos
vectores, donde e = x − x e y utilizarlo como término de corrección mediante realimentación, pero
recuérdese que no se tiene acceso al vector x. Una forma de obtener el error es a partir de las
salidas, las cuales si están disponibles, y es posible generar una señal de error como
y − ye = cΤ x − cΤ x e = cΤ e
Estos señalamientos llevan al observador de lazo cerrado mostrado en la figura 6-3.
En este observador la diferencia entre ambas salidas es multiplicada por un vector ke (nx1) de
elementos reales constantes y realimentada a la entrada de cada integrador del observador. Como se
analizará posteriormente, este error decae a cero exponencialmente de aquí que este observador se
conozca como observador asintótico.
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CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
u
b
∫
+
+
x
cT
15
y
A
+
ke
b
∫
+
+
xe
cT
ye
A
Figura 6-3
Observador de lazo cerrado
Las ecuaciones que describen el observador asintótico pueden obtenerse a partir de la figura
6-3 y son
x& e = Α x e + b u + k e ( y − y e )
ye = cΤ xe
(6-16)
Nótese que cuando el error se anula, es decir, cuando el sistema y el observador responden
exactamente igual, el término ( y − y e ) se anula y la ecuación (6-16) se reduce a la de un observador
de lazo abierto.
La ecuación de estado del observador asintótico también puede escribirse como
(
)
x& e = Α − k e c Τ x e + b u + k e y
(6-17)
Un diagrama de bloques del observador asintótico usando la ecuación (6-17) se muestra en la
figura 6-4.
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CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
u
b
x
∫
+
+
cT
16
y
A
ke
b
xe
∫
+
+
A
ke cT
Figura 6-4
Diagrama simplificado del observador de estado asintótico
Surge ahora una pregunta, ¿Es posible escoger ke de manera que pueda reducir la diferencia
entre x y xe rápidamente?. Para responderla, réstense las ecuaciones de estado del sistema y del
observador. El resultado es
( x& − x& e ) = ( Α − k e c Τ )( x − x e )
(6-18)
ó simplemente
(
)
e& = Α − k e c Τ e
(6-19)
Por ser esta última ecuación del tipo autónomo, el comportamiento del error está gobernado
por los autovalores de la matriz
(Α − k
e
cΤ
)
y si estos tienen parte real negativa (por ejemplo
menos a) entonces la diferencia x-xe tenderá a cero a una rata exponencial e-at, lo que indica que el
vector estimado xe tenderá a alcanzar el vector real x en forma asintótica de aquí el nombre de este
observador. El problema del diseño de un observador asintótico radica en escoger un vector ke tal
Versión 1.2 - Julio 98
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
que los autovalores de la matriz
(Α − k
e
17
)
c Τ tengan parte real negativa. Para ello se dispone del
siguiente teorema.
Teorema 6-2
Si el sistema escalar descrito por la ecuación (6-11) es observable, entonces es posible
diseñar un observador asintótico con autovalores arbitrariamente localizados mediante la escogencia
del vector Ke.
Demostración:
Si el sistema es observable, existe una transformación x o = Ρ ο x que permite obtener la
representación en la FCO equivalente a la ecuación (6-11) es decir
0
1

x& ο =  0

M
 0
y = [0
0
0
1
M
0
L
L
L
L
L
0
0
0
M
1
0
L
0
-a 1 
 b1 
b 
-a 2 
 2
-a 3  xο + b3  u

 
M 
M
bn 
-a n 
(6-20)
1] xο
o simplemente
x& ο = Α ο xο + bο u
(6-21)
Τ
y = cο
xο
Un observador asintótico que genera x ο e (estimado de xo) tendrá una ecuación de estado.
(
)
Τ
x& ο e = Αο −k o c o x oe + k o y +b o u
k o = Ρo k e
donde
y
Luego
Versión 1.2 - Julio 98
[
k ο = k o1
k o2
k on
]
Τ
(6-22)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
0
1

Τ
Α o − k o c o = 0
M

0
(
0
0
1
M
0
L
L
L
L
L
0 - (a1 + k o1 )
0 - (a2 + k o2 )
0 - (a3 + k o3 )

M

1 - (an + k on ) 
18
(6-24)
)
Ρo (λ) = λΙ − Α o − k o c Τo = 0
Po ( λ) = λn + (a n + k o n )λn −1 + L + (a 1 + k o 1 ) = 0
(6-25)
Si la ecuación característica del observador en función de los autovalores deseados es
Ρ o ( λ) = λn + αn λn −1 +L+α λ + α1 = 0
2
entonces
 α1 − a 1 
α − a 
2
ko =  2

M



αn − a n 
(6-26)
Se debe recalcar que el observador descrito por la ecuación (6-22) da un estimado del vector xo y
para obtener el estimado del vector original se debe realizar la transformación
x e = Ρ −o 1 x oe
(6-27)
Si el sistema original posee una representación diferente de la FCO será necesario transformarla a
esta forma, calcular ko y luego determinar ke usando
k e = Ρ −o 1 k o
Ejemplo 6-3
Considere el sistema cuyas ecuaciones matriciales son
1
0
0
x& = 
x +  u

 −1 1
1
y = [ 2 0] x
Versión 1.2 - Julio 98
(6-28)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
19
Diseñe un observador asintótico con autovalores -2, -2.
La ecuación característica del sistema dado es
Ρ (λ) = λ2 − λ + 1 = 0
; a 1 = 1, a 2 = − 1
Es necesario transformar la representación dada a la FCO para ello se calcula
1  c Τ   − 2 2

=
0  c Τ Α  2 0
a
Ρo =  2
1
La representación FCO correspondiente será la dual de la suministrada en FCC
0
xo = 
1
y = [0
−1
2
xo +   u

1
0
1] x o
La ecuación característica deseada del observador es
Ρο (λ) = ( λ + 2) 2 = λ2 + 4λ + 4 = 0 ; α1 = 4 , α 2 = 4
Luego, usando la ecuación (6-26)
 α − a 1  3
ko =  1
= 
α2 − a 2  5
El observador deseado puede ser implementado de dos maneras: la primera, usando la ecuación (622) en cuyo caso se generará un vector estimado de xo y será necesario transformarlo en xe. La
ecuación correspondiente a este caso será
0
x& oe = 
1
−4
3
 2
x oe +   y +   u

−4
5
 0
El diagrama de bloque de este observador se muestra en la figura 6-5
Versión 1.2 - Julio 98
(6-29)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
u
y
SISTEMA
5
3
2
+
20
∫
x01
+
∫
x02
−
P o1
x e1
xe 2
−4
Figura 6-5
Estructura del observador de ecuación (6-29)
La segunda alternativa consiste en “duplicar” el sistema. De esta manera, el observador estará regido
por la ecuación (6-17) donde
5 / 2
K e = Ρ −o 1 K o = 

 4 
Luego, se puede escribir
 −5
x& e = 
 −9
1
0
5 / 2
xe +   u + 

y
1
 1
 4 
El diagrama de bloques de esta segunda alternativa aparece en la figura 6-6
Versión 1.2 - Julio 98
(6-30)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
u
SISTEMA
5
4
+
∫
xe 2
21
y
2
+
∫
x e1
−5
+
x e1
xe 2
−9
Figura 6-6
Diagrama de bloques del observador de la ecuación (6-30)
Cuando se dice que el observador de estado constituye una réplica del sistema original esto no
debe ser tomado en el estricto sentido de las palabras. En la mayoría de los casos, un observador es
un modelo que puede ser construido mediante circuitería electrónica de manera que su
funcionamiento simule perfectamente hasta un sistema muy complejo que exista en la realidad con las
consiguientes reducción de tamaño y costo y donde las señales (variables de estado simuladas)
presentes en dicho modelo permitan controlar, a través de la realimentación correspondiente, las
variables reales del proceso.
Versión 1.2 - Julio 98
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
6.3.
22
Diseño de Sistemas usando Observadores de Estado
El observador de estado se diseña con la finalidad de obtener las variables de estado no
accesibles de un sistema y realimentarlas para modificar, estabilizar y optimizar el sistema. Por lo
tanto, una vez obtenido el vector estimado xe se debe realimentar al sistema a través de un vector de
Τ
coeficientes de realimentación k . El diagrama de bloques de esta combinación observadorcontrolador se presenta en la figura 6-7.
r
+
u
b
.
x
+
+
∫
A
x
cT
y
SISTEMA
+
ke
.
b
xe
+
+
∫
xe
cT
ye
A
T
k
OBSERVADOR+CONTROLADOR
Figura 6-7
Combinación observador + controlador para realimentación de variables de estado
Debido a que se está realimentando el vector de estado estimado xe se tiene que
u = r − kΤ xe
(6-31)
Es necesario determinar si esta ley de control proporciona al sistema los mismos efectos que
produce la realimentación del vector de estado real y si la inclusión del observador interfiere sobre el
Versión 1.2 - Julio 98
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
23
controlador o el sistema. Para esto, se obtienen, a partir de la figura 6-7, las ecuaciones del sistema
en lazo cerrado.
x& = Α x − b k Τ x e + b r
(
Τ
)
Τ
(6-32)
Τ
x& e = Α − k e c x e − b k x e + b r + k e c x
(6-33)
En forma matricial y usando un vector de estado único se puede escribir
 x&   Α
x  = k c Τ
& e   e
[
y = c
  x  b 
− bk Τ
+
r
Τ
Τ 
Α − k e c − bk   x e  b 
(6-34)
]
x
0  
x e 
Τ
Por otro lado, restando las ecuaciones (6-32) y (6-33) encontramos
(
)
Τ
x& − x& e = Α − k e c ( x − x e )
(6-35)
en donde no hay influencia de la entrada u dada por la ecuación (6-31). Usando (6-32) y (6-35) se
puede representar el sistema completo como
(
 x&   Α − bk Τ
 x − x  =
0
& & e  
[
y= c Τ
)
Τ
bk
Τ
Α− k e c
(
  x  b 

 +  r
  x − x e   0
)
(6-36)
]
 x 
0 

 x − xe 
Aplicando transformada de Laplace se encuentra que la función de transferencia del sistema en lazo
cerrado viene dada por
Υ ( s)
= G( s ) = c Τ
R (s )
o− c
[
]
 sΙ − Α + bk Τ
0 
0

G( s ) = c (sΙ − Α + bk
Τ
o− c
)
Τ −1
Τ

− bk
Τ
sI − Α + k e c 
−1
b
0
 
(6-37)
b
Esta es exactamente la función de transferencia que se obtendría con la realimentación del
vector de estado real, es decir, que la función de transferencia de lazo cerrado no depende de las
características del observador empleado.
Versión 1.2 - Julio 98
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
24
De la ecuación (6-36) se deduce que la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es
Ρο-c ( λ) = λΙ − Α + b k Τ . λΙ − Α + k e c Τ = 0
= Ρ c ( λ) . Ρο ( λ) = 0
(6-38)
Se puede decir que la ecuación característica del sistema completo es igual al producto de las
ecuaciones características del controlador y del observador. Esto indica que ambas ecuaciones son
independientes entre sí y que los diseños del controlador y el observador pueden realizarse
independientemente. Esta propiedad se conoce como la propiedad de separación del diseño del
controlador - observador de estado.
Ejemplo 6-4
Considérese el sistema con ecuaciones matriciales
0
x& = 
0
y = [1
1
0
x +  u

−1
 1
0] x
Usando realimentación de variables de estado, transfiera los autovalores del sistema a -2±j. Asuma
que las variables de estado no son accesibles, diseñe un observador asintótico con autovalores en 4. Dibuje el diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado.
El sistema está descrito en FCC, por lo tanto se tiene a 1 = 0
; a 2 = 1.
La ecuación característica deseada es
Ρc ( λ) = ( λ + 2 + j ) ( λ + 2 − j ) = λ2 + 4λ + 5 = 0
de donde α1 = 5 y α2 = 4 . Luego
k Τ = [α1 − a 1 α2 − a 2 ] =
[5
3]
Debido a que el vector x no es accesible, será necesario utilizar un vector estimado xe proporcionado
por un observador con ecuación característica.
Ρο (λ) =
Versión 1.2 - Julio 98
(λ + 4) 2 = λ2 + 8λ + 16 = 0
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
25
Por tanto
(Α − k c ) = 00
Τ
e
1   k e1 
−
[1 0]
− 1 k e2 

- k
=  e1
- k e2
1
- 1
por consiguiente
( λΙ − Α + k
e
)
λ + k e1
cΤ = 
 k e2
-1 
λ + 1
con
Ρο (λ) = λΙ − Α + k e c Τ = λ2 + (1 + k e1 ) λ + k e1 + k e2
Comparando las expresiones de Ρο (λ) se obtiene
k e1 + k e2 = 16
1 + k e1 = 8
 7
ke =  
 9
El diagrama de bloques se muestra es la figura 6-8
u +
r +
−
∫
−
x2
−
+
5
Versión 1.2 - Julio 98
3
x1
y
+
7
+
∫
−
ye
9
∫
xe2
+
∫
x e1
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
26
Figura 6-8
Sistema en lazo cerrado del ejemplo 6-4
Diseño de Observadores de Orden Reducido
6.4.
En algunas formas de representación matricial de un sistema, por ejemplo en FCC y FCO, la
salida está constituida solamente por una de las variables de estado del sistema. En tales casos no
será necesario estimar dicha variable, ya que se tendrá acceso directo a ella y se requerirá sólo un
observador que genere las variables restantes: para un sistema de orden n se necesita diseñar un
observador de orden (n-1). Este tipo de observador fue descrito por primera vez por D.G.
Luenberger en 1964 y se conoce como observador de Luenberger, observador de orden (n-1) o
simplemente observador de orden reducido.
Para deducir la estructura del observador de orden reducido, se asumirá que se tiene un sistema
observable descrito por las ecuaciones matriciales.
x& = Α x + b u
(6-39)
y = cΤ x
donde x es el vector de estado (nx1); u es la entrada escalar; y es la salida escalar, A es la matriz de
planta (nxn), b y cT son respectivamente vectores (nx1) y (1xn). Es necesario transformar esta
representación estándar a otra forma que tenga la particularidad de que la salida y, sea igual al último
elemento del vector x es decir
y = [0
0
L
0
1] x
una transformación que conduce a este tipo de ecuación de salida es
xο = Ρο x
(6-40)
que origina la representación FCO
x& ο = Αο x ο + b ο u
y = c Τo x ο
donde
Versión 1.2 - Julio 98
(6-41)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
27
λΙ − Αο =λn + a n λn −1 + K +a 2 λ + a 1 = 0
a 2
a
Ρο =  3
M

1
a3
a4
M
0
Αο = Ρο ΑΡ −o 1
1  c Τ 


0  c Τ Α 
M  M 


0  c Τ Α n −1 
L an
L 1
M
M
L 0
0
1

= 0

M
0
0
0
1
M
0
L
L
L
M
L
0 - a1 
0 - a 2 
0 - a3 

M
M 
1 - a n 
bο = Ρo b
c Τo = c Τ Ρ ο−1 = [0 0 L 0 1]
Es necesario hallar a partir de la ecuación (6-41) un observador con (n-1) variables que junto
con la salida y simulen el vector de estado original y además debe ser posible controlar el
comportamiento de dicho observador mediante la escogencia de su ecuación característica. Para
deducir la estructura de ese observador, se realiza una segunda transformación basada en la ecuación
característica de orden (n-1) que se desea. Supóngase que es
Ρ (λ) = λn −1 + αn −1 λn − 2 +L+α2 λ + α1 = 0
(6-42)
donde los coeficientes αi dependerán de los autovalores elegidos. Si se utiliza la transformación
x2 = Ρ 2 x ο
donde
Versión 1.2 - Julio 98
(6-43)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
28
1
0

Ρ2 = M

0
0
0
1
M
0
0
L
L
M
L
L
0
0
M
1
0
−α1 
−α2 
M 

−αn − 1 
1 
(6-44)
1
0

Ρ 2−1 =  M

0
0
0
1
M
0
0
L
L
M
L
L
0
0
M
1
0
−α1 
−α2 
M 

−αn −1 
1 
(6-45)
con
entonces la representación (6-41) se transforma en
x& 2 = Α 2 x 2 + b 2 u
(6-46)
y = c Τ2 x 2
donde
0
1

0
Α 2 = Ρ 2 Αο Ρ −2 1 = 
M
0

0
0
0
1
M
0
0
L
L
L
M
L
L
0
0
0
M
0
0
-α1
-α2
-α3
M
-αn-1
1
g1 
g 2 
g3 

M 
g n -1 

gn 
(6-47)
b 2. = P 2 b ο
c Τ2 = c Το Ρ −2 1 = [0 0 L 0 1]
Un observador asintótico para el sistema descrito por la ecuación (6-46) tendría una ecuación de
estado de la forma
(
)
x& 2 e = Α 2 x 2 e + b 2 u + k e + c Τ2 x 2 e − y
Versión 1.2 - Julio 98
(6-48)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
29
El vector x 2 e es el estimado de x 2 . Si x 2 n se divide de manera de separar el elemento xne = y del
resto del vector x re se puede escribir

 x& re   Α e
x  = 
 & ne  0 0

L 0 1
g 1   x re   b r 
M    +   u
g n   x ne   bn 
(6-49)
La submatriz cuadrada Ae de orden (n-1) y br se consiguen al dividir convenientemente A2 y b2.
El término final de la ecuación (6-48) desaparece ya que c Τ2 x 2 e = y . La variable x ne no se necesita
ya que xn = y , por lo tanto puede ser eliminada de la ecuación (6-41) lo mismo que la última fila de
A2 y el elemento bn quedando
x& re = Αe x re + gr y + br u
(6-50)
ó
0
1

0
x& re = 
M
0

0
− α1 
 g1 
 b1 



b 
g
− α2 
 2 
 2 
1 L 0 − α3 




 x re + 
y + 
u
M M M
M 
M
M








0 L 1 − αn − 2 





0 L 0 − αn −1 
 g n −1 
bn −1 
0 L 0
0 L 0
(6-51)
Eliminando la última variable x2 n de la ecuación (6-46) se tiene
x& r = Α e x r + g r y + b r u
(6-52)
Restando las ecuaciones (6-52) y 6-50) se obtiene
x& r − x& re = Αe ( xr − xre )
(6-53)
esta ecuación caracteriza el error y su comportamiento está determinado por la ecuación
característica de Αe que viene dada por la ecuación (6-42), lo cual implica que al estructurarse Αe
se estará escogiendo el comportamiento del observador. Finalmente el vector estimado de x 2 se
forma agrupando xre y la salida y o sea
Versión 1.2 - Julio 98
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
30
 x re 
x 2e =  
 y
(6-54)
Para ser utilizado en el sistema original de la ecuación (6-39) este vector estimado debe ser
transformado usando
x e = ( Ρ 2 Ρο ) x 2 e
−1
(6-55)
El vector estimado x e converge a x a la misma rata exponencial escogida para el error de la
ecuación (6-53).
El diagrama de bloques del sistema con un observador reducido se muestra en la figura 6-9. Se
asume que la representación del sistema está dada por la ecuación (6-39).
y
u
SISTEMA
gr
br
+
∫
xre
(P2 P0)−1
xe
Ae
Figura 6-9
Sistema con observador de orden reducido
Ejemplo 6-5
Diseñar un observador de primer orden para el sistema del ejemplo 6-3. El autovalor del
observador es λ = −2 .
Versión 1.2 - Julio 98
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
31
La ecuación característica deseada es
Ρ (λ) = λ + 2 = 0
Luego
1 − 2
Ρ2 = 

0 1 
1 2 
y Ρ −2 1 = 

0 1
Usando esta matriz se transforma la FCO del problema indicado en
− 2
x& 2 = 
 1
− 7
2 
x 2 +  u

2 
0 
El observador de primer orden está descrito por la ecuación
x& re = −2 x re − 7 y + 2u
El vector x e se construye usando la ecuación (6-55)
 0
xe = 
1 2
1
3
2   xre 
2   y 
El diagrama de bloques del observador se muestra en la figura 6-10
y
u
SISTEMA
xe1
−7
2
+
∫
xre
−2
Figura 6-10
Versión 1.2 - Julio 98
 0 1/ 2
 1/ 2 3/ 2


xe2
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
32
Observador de primer orden del ejemplo 6-5
La propiedad de separación también es válida para un observador de orden reducido, es decir,
que este diseño se puede combinar con el diseño de un controlador sin que exista influencia de un
resultado sobre otro. La realimentación del vector estimado x e producto de un observador de
orden (n-1) proporciona los mismos efectos buscados con la realimentación del vector de estado
original usando la ley de control u = r − k Τ x e .
6.5.
Diseño del Regulador Lineal Optimo
Un regulador es un sistema de control que mantiene el valor de su salida constante ante la
presencia de cierto tipo de perturbaciones. Un regulador puede ser descrito mediante una ecuación
de estado FE.
x& = Α x + Β u
(6-56)
con A de orden (nxn) y B de orden (nxr), x es el vector de estado (nx1) y la entrada u es un vector
(rx1).
Se asume generalmente que el regulador está en reposos x = 0 y debido a una perturbación su
estado puede variar x ≠ 0 . En tal caso, se debe generar una señal de control u(t) que conduzca el
sistema a su estado inicial de reposo. Esta señal de control se genera mediante realimentación
negativa de las variables de estado del regulador, esto es
u = −Κ x
(6-57)
K es una matriz (rxn) de coeficientes de realimentación. Combinando las dos ecuaciones anteriores.
x& = ( Α − Β Κ ) x
(6-58)
La velocidad de la respuesta con la que el regulador retorna al estado de reposo dependerá de los
autovalores de la matriz
Versión 1.2 - Julio 98
(Α − Β Κ ) ,
mientras más negativa sea su parte real, mayor será la
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
33
velocidad. Sin embargo, la selección de autovalores de magnitud elevada implica un gran consumo
de energía al aumentar el valor de K. Por esta razón, existe un compromiso entre la velocidad de
retorno al estado cero y el costo de la energía requerida. En el diseño del regulador óptimo se
plantea la solución a este problema mediante la escogencia de una matriz K que minimice el índice de
comportamiento.
∞
(
)
J = ∫ x Q x + u R u dt
o
Τ
Τ
(6-59)
donde la matriz Q (real simétrica positiva definida o semidefinida) representa el peso o importancia
de las desviaciones (error) del estado de reposo mientras que la matriz R (real simétrica positiva
definida) representa el costo de la energía empleada. La escogencia de estas matrices es un tópico
que escapa a los objetivos de este texto por lo cual no se presentará aquí la razón de la selección de
los índices utilizados.
Una manera de determinar K es procediendo tal como se hizo en el caso de optimización de
parámetro usando el segundo método de Liapunov (sección 5.4). Sin embargo, ese procedimiento es
complejo para sistemas de tercer orden en adelante (véase referencia [1], pág. 844). Una alternativa
diferente es la siguiente.
Usando la ecuación (6-57) el índice J se puede expresar como
J=∫
∞
o
[x Q x + ( x Κ ) R (Κ x)] dt
Τ
Τ
Τ
ó
(
∞
)
J = ∫ x Τ Q + Κ Τ R Κ x dt
o
Se asume que
(6-60)
( Α − Β Κ ) tiene autovalores con parte real negativa (estable), entonces, usando el
teorema de estabilidad de Liapunov.
−
Versión 1.2 - Julio 98
(
)
(
)
d Τ
x Ρ x = x Τ Q + ΚΤ R Κ x
dt
(6-61)
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
34
donde P (nxn) es real simétrica positiva definida. Desarrollando esta última ecuación se encuentra
que
(
)
− Q + Κ R Κ = ( Α − B Κ ) Ρ + Ρ( Α − B Κ )
Τ
Τ
(6-62)
Luego la ecuación (6-60) se transforma en
∞
J =∫ x
o
Τ
[(Α − ΒΚ ) Ρ + Ρ (Α − ΒΚ )] x dt
Τ
(6-63)
Este último es mínimo cuando
Κ = R −1 ΒΤ Ρ
(6-64)
Sustituyendo esta ecuación en la (6-63) se obtiene
Τ
−1
Τ
Α Ρ + ΡΑ − ΡΒ R Β Ρ + Q = 0
(6-65)
la cual se conoce como ecuación matricial de Ricatti.
Resumiendo, el diseño del regulador óptimo que minimiza el índice de comportamiento J dado
en la ecuación (6-59) se realiza de la manera siguiente:
1. Se resuelve la ecuación de Ricatti para determinar la matriz P.
2. Se forma la matriz K (matriz de ganancias de Ricatti) usando la ecuación (6-64).
3. Se obtiene la entrada de control óptimo u op dada por
u op = − K x
En el caso de no tener acceso directo al vector de estado x, éste se genera mediante uno de los
observadores estudiados en las secciones anteriores.
Ejemplo 6-6
Considere el sistema descrito por la ecuación
0
x& = 
0
Versión 1.2 - Julio 98
1
0
x+  u

0
1
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
35
Determine la entrada de control óptimo que minimice el índice de comportamiento.
J=∫
∞
o
(2 x
2
1
)
+ 3 x 22 + u 22 dt
A partir de J se obtiene que
 2 0
Q=
, R = 1
 0 3
(escalar)
La ecuación de Ricatti para el caso de entrada escalares
Τ
Τ
Α Ρ + Ρ Α−Ρ br -1 b Ρ + Q = 0
Luego
0 0  Ρ11
1 0 Ρ

  12
Ρ12   Ρ11
+
Ρ22   Ρ12
Ρ12  0 1   Ρ11
−
Ρ22  0 0  Ρ12
Ρ12  0
[1][0 1]  Ρ11



Ρ22  1
Ρ12
Ρ12  2 0
+
=0
Ρ22  0 3
de donde se obtienen las ecuaciones
Ρ122 − 2 = 0
Ρ11 − Ρ12 Ρ22 = 0
2Ρ12 − Ρ22 + 3 = 0
Resolviendo este conjunto de ecuaciones y tomando aquellos valores de Ρ11 , Ρ12 y Ρ22 que hagan a
P real simétrica positiva definida se tiene
6,21 1,41 
Ρ=

1, 41 4, 41
Por consiguiente
k T = r -1 bΤ Ρ = [1,41 4,41]
y
uop =
Versión 1.2 - Julio 98
−1,41x 1 − 4,41x 2
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
36
PROBLEMAS
P6-1: Las ecuaciones que describen un sistema en lazo abierto son:
0
x& = 0
1
y = [1
1
0
−2
0
0
0

1  x + 0 u
1
−3
0] x
Diseñe un controlador que permita ubicar los autovalores del sistema de lazo cerrado en las
localizaciones -2, -1 + j y -1-j.
P6-2: Diseñe un observador asintótico para el sistema del problema anterior con un autovalor triple
en -5. Dibuje el diagrama de bloques detallado del sistema de lazo cerrado incluyendo el
controlador y el observador diseñados.
P6-3: Se desea transferir los autovalores del siguiente sistema a las localizaciones -1, -2+j, -2-j
0
x& = 2
1
y = [1
1
0
0
0
−1
0

0  x + 0 u
1
1 
1] x
Diseñe un controlador que permita lograr lo indicado.
P6-4: Diseñe un observador de estado asintótico que simule las variables inaccesibles del sistema
P6-3. Los autovalores de este observador deben estar localizados en -3, -5+j, -5-j.
P6-5: Diseñe un observador de 2do. Orden para el sistema del problema P6-3 con autovalores -2,
-2.
P6-6: Se desea estabilizar el sistema descrito por la ecuación:
−1
x& =  0
 0
Versión 1.2 - Julio 98
0
−2
0
0
0

0  x + 1 u
1
2 
CAPITULO 6: Diseño de Sistemas usando Realimentación de Variables de Estado
37
Cambie el autovalor inestable λ = 2 a la localización λ = -3 utilizando realimentación de
variables de estado.
P6-7: Determine la ecuación característica y la función de transferencia del sistema de lazo cerrado
de los problemas P6-3 y P6-4.
P6-8: Considere la planta descrita por la ecuación
0
x& = 
0
1
 0
x+ u

−1
 1
Si u = − x1 − k x 2 , determine el valor de k > 0 que minimice el índice de comportamiento.
J=∫
∞
o
(x
2
1
)
+ 10 x22 + u 2 dt
P6-9: Dado el sistema
−2
x& = 
0
1
1
x+  u

1
0
¿Es posible hallar una entrada de control óptima u = [ K2
∞
(
)
J = ∫ x Τ x + u 2 dt ?
o
Versión 1.2 - Julio 98
K2 ] x que minimice el índice