Unidad No. II. Conceptos básicos y equivalencia de dinero en el

Asignatura: Matemática Financiera.
Asignatura
Carrera
Año Académico
Unidad No. II
:
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:
:
Profesor
:
Matemática Financiera.
Ingeniería en Sistemas.
II Año.
Conceptos básicos y la equivalencia del dinero en el
en el tiempo.
Mauricio Navarro Zeledón.
Unidad II: Conceptos básicos y equivalencia del dinero en el tiempo.
1. Conceptos básicos y representaciónón gráfica de los flujos de efectivo.
El rendimiento del dinero.
La Matemática Financiera y la Ingeniería Económica por ser estas conjuntos de métodos que
ayudan a realizar los análisis financieros, se ven involucradas en toda la actividad económica donde
se pretenda obtener una ganancia; particularmente en la medición del rendimiento del dinero
invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en juego, es decir; si se pierde o se gana dinero. Es
importante también tener en cuenta, las condiciones micro y macroeconómicas de los procesos
productivos. Debido a esto; muchas veces se hace necesario analizar algunos aspectos
relacionados con las empresas o entes ejecutores de las inversiones.
Flujos de caja.
Las personas y compañías tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero (costos) que
ocurren particularmente cada período de tiempo dado. Estos valores que constituyen ingresos y
pagos y que se dan periódicamente en el tiempo, se denominan flujos de caja. Para simplificar, se
supone que todos los flujos de caja ocurren al final de cada período de interés. Estos es lo que se
conoce como “convención fin de período” de lo contrario se debe especificar.
Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo si es un pago o
desembolso. En cualquier instante de tiempo el flujo de caja podría representarse como:
Flujo de caja neto = Ingresos – Egresos
Flujos de caja positivos (+)
Estos representan todas las entradas de dinero independientemente del origen de donde provengan.
Flujos de caja negativos (-)
Estos representan todas las salidas de dinero independientemente del concepto que los origine.
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En adelante, la simbología que utilizaremos para representar los flujos de dinero será (C$) para
córdobas y ($) para dólares. Para efectos de simplicidad en algunos gráficos de flujos de dinero no
pondremos el símbolo, si de manera implícita sabemos a qué unidad monetaria nos referimos.
Para ilustrar mejor los flujos de caja, supongamos que un ganadero recurre a un banco y le prestan
$ 50,000 para la inversión en su finca ganadera. En este caso el banco registra un flujo negativo y la
administración de la finca registra un flujo de dinero positivo.
La dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la solución del
problema. En este caso utilizaremos flecha hacia arriba para indicar un flujo positivo (ingreso) y
flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (desembolso)
2. Concepto de interés.
Interés.
El interés es la cantidad convenida que se paga por el uso del dinero en calidad de préstamo o
depósito. La evidencia del valor del dinero en el tiempo se llama interés, y es una medida de
incremento entre la suma de dinero prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada.
El uso del capital no es gratuito y el concepto de interés surge precisamente de esto, aunque el
Antiguo Testamento prohibía específicamente los préstamos con tasas de interés a los miembros de
una misma comunidad, los teólogos medievales trataron de separar los diferentes componentes del
interés, tales como: (a) el riesgo; (b) el costo de oportunidad, (c) la inflación y la conveniencia a fin
de perforar el sólido muro de la prohibición y permitir algunas filtraciones, para salvar las crecientes
actividades comerciales de las interpretaciones bíblicas ortodoxas. De lo contrario mucha gente
estaba dispuesta a enfrentar el “castigo divino” al poner en práctica un sistema mercantilista
generalizado. Para salvar la situación los teólogos desarrollaron sus teorías económicas apoyándose
al mismo tiempo en lo secular lo sagrado.
Estas teorías, con el desarrollo que ha alcanzado la sociedad en sus diversas manifestaciones, se
han transformado a tal punto que en la actualidad los bancos, las entidades financieras, las personas
no están dispuestas a facilitar ninguna cantidad de dinero, sin tener en cuenta cierto margen de
ganancia o utilidad y todo esto originado por el concepto de rentabilidad que se mide por el aumento
del valor cronológico del dinero.
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Interés acumulado o devengado.
Es la cantidad de dinero generado al final de cierto período de tiempo por efecto del préstamo o
depósito y puede ser calculado a Interés Simple o Compuesto, entre otros factores depende:
a.
b.
c.
d.
e.
La cantidad de dinero prestada o ahorrada.
Del plazo del préstamo o depósito.
De la tasa de interés pactada o establecida.
De la forma de capitalizar los intereses.
De la forma de pagar intereses: anticipados o vencidos.
3. Interés simple.
Es un método de cálculo financiero donde el capital invertido no sufre ninguna variación en el tiempo
que dura la transacción, es decir la tasa de interés se aplica solamente al principal inicial en base al
tiempo estipulado. El interés simple está dado por la siguiente fórmula:
I=Pin
Dónde:
I
P
i
n
= Interés acumulado o devengado.
= Principal (cantidad prestada o ahorrad)
= Tasa de interés del período (día, mes, trimestre, año, etc.)
= Plazo o número de períodos (días, mes trimestre, semestre, año, etc.)
Para el uso correcto de la fórmula es necesario que las variables relacionadas con el plazo (n) y la
tasa de interés (i) estén definidas en el mismo período de tiempo, por ejemplo.
n = 1 trimestre
n = 5 años
n = 10 meses
n = 6 meses
i = 4% trimestral
i = 18 anual
i = 2% mensual
i = 20% anual
:
:
:
:
4/100 = 0.04 trimestral.
18/100 = 0.18 anual.
2/100 = 0.02 mensual.
20/100 = 0.20 anual.
En el último caso (d) para usar la fórmula se debe convertir 6 meses a 0.5 años o bien 20% anual a
1.666667 mensual.
Si la tasa de interés (i) está definida en año y el plazo (n) en días, es aconsejable usar el factor
b/360; si (n) está dado en meses se usa n/12.
Para determinar el plazo en días, o sea entre fecha y fecha se utilizan todos los días efectivos entre
las fechas respectivas y se dividen entre 360 días correspondientes al año comercial para anualizar
el plazo.
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Interés simple comercial u ordinario.
Al interés calculado sobre la base del año comercial que tiene 360 días, y cada mes 30 días, se le
llama interés simple comercial u ordinario, es decir:
I = P i (n/360)
Lo anterior provoca que muchas veces, las fechas de pago de un préstamo no coincidan
exactamente con la fecha en la que se otorgó el préstamo. Así por ejemplo un préstamo que se
otorgó el 15 de enero del 2012 y a plazo de un año no necesariamente vence el 15 de enero del
2013, sino que puede vencer el día 10 de enero debido a que se trabaja con el año comercial de 360
días. Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan con créditos y
finanzas. Al interés calculado sobre la base anual de 360 días se conoce en la práctica comercial
cono interés bancario.
Interés simple exacto.
Al interés calculado sobre la base de 365 días se le llama interés exacto. Por otra parte, el tiempo
puede ser calculado de manera exacta y de manera aproximado, por consiguiente para determinar el
interés, las dos partes involucradas deben ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se
utilizará.
I = P i (n/365)
Ejemplo No. 1.
Calcular el interés que devenga un depósito de $ 25,000 en un banco a una tasa de interés simple
del 20% a plazo fijo de 10 meses.
Solución:
Datos: P = $ 25,000; n 0 10/12 = 0.8333333 año; i = 20% = 20/100 anual. Por la fórmula anterior se
obtiene:
I =P i n = 25,000 (0.20) (0.83333333) = $ 4,166.67
Ejemplo No. 2.
El Sr. Alberto Paniagua planea solicitar un préstamo de C$ 180,000 a 18 meses de plazo a una tasa
de interés simple del 30%. Calcular la cantidad que pagará en concepto de interés al final del plazo.
Datos: P = C$ 180,000; n = 18 meses; i = 0.30/12 = 0.025 mensual.
I = P i n = 180,000 (0.025) (18) = C$ 81,000; también el resultado es el mismo si: n = 18/12 = 1.5
años; i = 30% anual = 0.30 anual, o sea:
I = P i n = 180,000 (0.30) (1.5) = C$ 81,000.
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Ejemplo No. 3.
¿Qué cantidad de intereses devenga un pagaré cuyo valor nominal es de $ 50,000 a un plazo de
270 días a una tasa de interés del 0.95% mensual?
Datos: P = $ 50,000; n = 270/360 = 0.75 años; i = 0.0095 (12) = 0.114 anual, luego;
I = P i n = 50,000 (0.114) (0.75) = $ 4,275 también resulta lo mismo si:
n = 270/30 = 9 meses; i = 0.0095 mensual, o sea:
I = P i n = 50,000 (0.0095) (9) = $ 4,275.
Equivalencias entre sumas de dinero.
En el cálculo financiero, diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo
valor económico, esto quiere decir “el valor del dinero en el tiempo” utilizando conjuntamente una
tasa de interés, por ejemplo: si la tasa de interés es el 25% anual, C$ 100.00 de hoy son
equivalentes a C$ 100.00 + C$ 25.00 dentro de un año y viceversa.
Tasas de interés.
Como lo definimos anteriormente, la tasa de interés es la razón del interés devengado respecto al
capital inicial. En otras palabras es la cantidad porcentual que al multiplicarse por el capital inicial, da
como resultado el interés devengado.
La determinación de la tasa efectiva o verdadera de interés de un préstamo depende de la que se
haya convenido y el método con que el acreedor cargue el interés, si este se paga al vencimiento del
préstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de interés. Las tasas de interés bancarias presentan
tres resultados: interés compuesto ordinario, interés descontado e interés a plazo.
Las tasas de interés se dividen en dos categorías:
Tasa de interés activa. La tasa de interés activa es la cobrada por los bancos y las instituciones
financieras en la colocación de dinero, o sea, en el otorgamiento de préstamos a las personas
naturales y jurídicas para el financiamiento de las actividades económicas. Las tasas de interés
corriente y moratorias son tasas activas.
Tasa de interés pasiva. La tasa de interés pasiva es la pagada por los bancos y las instituciones
financieras a los ahorrantes, en la captación de dinero (ahorros de diversas formas). La tasa pasiva
constituye una tasa de interés de rendimiento baja para los ahorrantes, ya que el ahorro es una
inversión de bajo riesgo.
Por naturaleza, las tasas de interés activas son mayores que las pasivas, ya que parte de la
diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En el mercado financiero nicaragüense,
las tasas activas y pasivas están determinadas según la oferta y demanda de dinero, así como el
índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad política y social. Estas
tasas de interés están definidas para moneda nacional (córdobas) y para moneda extranjera (dólar)
de los Estados Unidos.
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Valor futuro de una suma de dinero.
El valor futuro F de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto
período de tiempo que incluye principal más los intereses. Este valor F se calcula en cualquier fecha
antes o en la fecha de vencimiento.
F
0
n
P
Si el tiempo n es medido en año, meses o días el valor presente (principal) de una cantidad de
dinero es denominado P, su valor después de cierto período de tiempo y a una tasa de interés dado i
está dado por:
F = P / Pin = P [1 + + i (n)]
Ejemplo No. 4.
El Sr. Santos, deposita en un banco $ 130,000 en certificados de depósito a término (CDT) a un
interés del 15% y 6 meses de plazo. Determinar:
Los intereses acumulados.
El valor futuro de los certificados.
Datos:
P = $ 130,000.
¿?
n = 6 meses.
i = 15%
I = ¿?
F = ¿?
F
0
=
6 meses
130,000
Solución:
I = Pin = 130,000 (0.15) (6/12) = $ 9,750.
F = P [1 + + i (n)] = 130,000 [1 + 0.15 (6/12)] = $ 139,750
Valor presente a actual de una suma de dinero.
El valor presente o principal P de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad al inicio de
cierto período de tiempo, no contiene intereses. Este valor P lo podemos calcular en cualquier fecha
después o en la fecha de inicio de la operación financiera.
F
0
n
P?
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De acuerdo a la fórmula F = P [1 + + i (n)], despejando P obtendremos el valor presente el que está
dado por:
P=
F .
[1 + + i (n)]
Ejemplo No. 5.
¿Cuánto recibió al momento de ser otorgado un préstamo industrial el Sr. Gonzalo Martínez, si al
final del plazo de 9 meses pagó de principal e intereses una cantidad de C$ 165,568.50 a través de
un interés del 24%?
Datos
F = C$ 165,568.50
n = 9 meses.
i = 24%
P = ¿?
Aplicando la fórmula, obtenemos la siguiente solución:
P=
165,568.50 . = 165,568.50 (0.847457) = C$ 140,312.29
[1 + + 0.24 (9/12)]
4. Interés compuesto y desarrollo de fórmulas.
Anteriormente se abordó problemas de interés simple, donde el capital permanecía invariable o
constante durante todo el tiempo que duraba la transacción y que los intereses se retiraban
periódicamente. Cuando se utiliza el método del Interés Compuesto, se observa que el capital va
aumentando en cada período; por cuanto el interés se va integrando al capital, para luego calcular
intereses sobre un nuevo monto en cada período. Por ello es muy corriente decir que el interés “los
intereses ganan intereses”, porque se capitalizan en cada período de liquidación de intereses.
Deducción de la fórmula:
Ejemplo No. 6.
Una persona deposita en un banco $ 2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco
paga un interés de 9% convertible trimestralmente. ¿Cuál será el valor del depósito al final del año?
Solución: Se trata hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0.09/4 = 2.25%
acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla siguiente:
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Período
Trimestral
0
1
2
3
4
Valor al inicio del
Período
P
$ 2.000.00
$ 2,045.00
$ 2,091.01
$ 2,138.06
2,045
0
1
2,091.0
2
Interés devengado
Valor final del período
I = Pin
2,000.00 (0.0225) = 45.00
2,045.00 (0.0225) = 46.01
2,091.01 (0.0225) = 47.01
2,038.06 (0.0225) = 48.11
F
$ 2,045.00
$ 2,091.01
$ 2,138.06
$ 2,186.17
2,138.06
3
2,186.17
4 trimestres.
2,000
Los nuevos montos o valores futuros de cada período, se muestran en el grafico anterior y se puede
observar que en cada período trimestral, el interés se suma al capital a este proceso se le llama
capitalización.
Equivalencia financiera entre una suma de dinero presente y una suma futura.
La fórmula general para la equivalencia entre una suma de dinero presente P y una suma futura F
denominada monto a interés compuesto se deduce a partir de los resultados del ejemplo anterior, la
cual se muestra en la tabla.
Período
Trimestral
0
1
2
3
4
N
Valor al inicio del
Período
P
P
P (1+i)
P (1+i)2
P (1+i)3
P (1+i)N
Interés devengado
Valor final del período
I = Pin
Pi
P (1+i)i
P (1+i)2i
P (1+i)3i
P (1+i)N-1i
F
F = P (1+i)
F = P (1+i)2
F = P (1+i)3
F = P (1+i)4
F = P (1+i)N
De lo anterior se generaliza la fórmula de valor futuro a interés compuesto para N períodos anuales
de liquidación de intereses de la siguiente manera:
F = P (1+1)N
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Dónde:
F
P
j
m
i
n
N
=
Valor Futuro o monto a interés compuesto de una deuda.
=
Valor Presente o principal de una deuda.
=
Tasa de interés nominal periódica.
=
Frecuencia de capitalización o liquidación de intereses, según el período de la tasa
nominal j.
=
Tasa de interés efectiva para períodos de capitalización menores que un año.
=
Plazo en años y total de capitalizaciones anuales de intereses.
=
Número total de capitalizaciones en el plazo de la operación financiera.
La forma también se puede escribir en sus formas equivalentes de la siguiente forma:
m.n
F = P 1 + j/m
F = P (1 + ie)n
Dónde:
I = j/m
N = m.n
Ie = (1+j/m)m – 1
Al resolver nuevamente el ejemplo por la fórmula, se obtiene el mismo resultado.
Datos:
P = $ 2,000.00
j = 0.09 tasa nominal anual.
m = 4 frecuencia de capitalizaciones.
i = j/m 0.0225 tasa efectiva trimestral.
n = 1 año de plazo de la operación.
N = m.n 4 períodos capitalizados.
F = P (1+1)N
F = 2,000 (1.0225)4 = $ 2,186.17
Se observa que el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la solución
anterior se recalca que el valor de 0.0225 es lo que gana un dólar en un trimestre y N = 4 x 1 es el
número de capitalizaciones durante el tiempo de la operación financiera; lo que significa que $ 2,000
colocados al 2.25% trimestral produce al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro $ 2,186.17.
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5. Interés nominal e interés efectivo.
Tasa nominal.
Tasa de interés pactada o establecida en toda operación financiera, generalmente es para períodos
anuales pero también puede definirse para períodos menores de un año. Esta tasa no toma en
cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses.
Tasa efectiva.
Tasa periódica de rentabilidad a interés compuesto, mide el porcentaje de ganancia de la inversión,
por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo.
a) 24% convertible mensualmente (CM). Es una tasa nominal j con frecuencia m = 12 de liquidar o
capitalizar intereses, y tasa efectiva i = j/m = 2% mensual.
b) 7% semestral. Es una tasa efectiva i por semestre.
c) 16% convertible trimestralmente (CT). Es una tasa nominal j con frecuencia m = 4 y tasa efectiva
i = j/m = 4% trimestral.
d) 18% efectiva. Es una tasa efectiva anual ie con frecuencia m = 1.
e) 12% semestral, convertible mensualmente (CM). Es una tasa nominal j de período semestral con
frecuencia m = 6 y tasa efectiva i = j/m = 2% mensual.
Notación para la frecuencia de la tasa nominal anual.







Convertible continuamente C.C.
Convertible diariamente
Convertible semanalmente
Convertible mensualmente
Convertible bimensualmente
Convertible trimestralmente C.T.
Convertible semestralmente C.S.
m
=
C.D. m
C.Sem. m
C.M. m
C.B. m
m
=
m
=
∞ (infinito)
=
365
=
52
=
12
=
6
4
2
Equivalencia financiera entre una suma de dinero futura y una suma presente.
El valor presente P o actual, es el valor del dinero el día de hoy o el valor del dinero en cualquier
fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a la pregunta: si se
desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿Cuánto se tendrá que invertir hoy,
conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión?
Otra forma de uso del valor presente, es por ejemplo, la determinación del valor actual de una deuda
pendiente, si se desea pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento.
De las formula anterior al despejar P, obtendremos el Valor Presente a interés compuesto de la
siguiente manera:
P = F (1+i)-N =
F .
(1+i)N
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Ejemplo No. 7.
Una empresa debe pagar dentro de 2 años, 5 meses y 18 días la cantidad de $ 100,000 a un interés
del 16% C.S. ¿Cuál es su valor presente?
Datos:
F = $ 100,000
J = 16% C.S.
m = 2 frecuencia de capitalización de intereses.
I = j/m = 0.16/2 = 0.08 tasa efectiva por semestre.
n = 2 + 5/12 + 18/360 = 2.466666667
N = m.n 2(2.466666667) = 4.9333333 de capitalizaciones semestrales.
P = 100,000 (1.08)- 4.9333333 = $ 68,408.41
Diferencias entre interés simple e interés compuesto.
Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos métodos:
a) La aplicación de los métodos difieren en respuesta al tipo de operación financiera efectuada: si
los intereses son pagaderos por período, actúa el interés simple. Si los intereses son integrados
al principal en cada período de liquidación de intereses, actúa el método de interés compuesto.
b) El crecimiento de una inversión específica se da de forma más acelerada si es colocada al
interés compuesto que el interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés.
Si observamos el ejemplo No. 1 resuelto en la tabla se puede apreciar que el monto del interés
compuesto de $ 2,000, colocados a una tasa del 2.25% trimestral, durante 1 año de plazo, resulta
ser $ 2,186.17. En cambio si se realiza el cálculo a interés simple se produce una ligera disminución
de $ 6.17 en el monto de la misma operación. Efectivamente este resultado se puede comprobar
mediante la siguiente fórmula:
F = P 1+i(n)
F = 2,000 (1+0.0225(4) = 2,000 (1.09) = $ 2,180.00
La diferencia entre el cálculo de interés compuesto y simple es debido a que los intereses
devengados en cada período no ganan intereses, ya que para efectos de cálculos los intereses no
se capitalizan.
Período
Trimestral
0
1
2
3
4
Valor al inicio del
Período
P
$ 2,000.00
$ 2,000.00
$ 2,000.00
$ 2,000.00
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Interés devengado
I = Pin
2,000.00 (0.0225) = 45.00
2,000.00 (0.0225) = 45.00
2,000.00 (0.0225) = 45.00
2,000.00 (0.0225) = 45.00
Valor final del
período
F
$ 2,045.00
$ 2.090.00
$ 2,135.00
$ 2,180.00
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El método de cálculo del interés compuesto, hace crecer la inversión o principal de forma
exponencial, en vista del proceso de capitalización de los intereses. El valor futuro a interés
compuesto crece en razón geométrica y su gráfico corresponde al de una función exponencial; en
cambio, el valor futuro a interés simple crece con progresión aritmética y su gráfico corresponde a
una función lineal.
F
Monto a interés compuesto
Monto a interés simple
P
0
1
2
3
4
n…..períodos.
Cálculo de la tasa de interés.
Para calcular la tasa de interés i par cualquier período, excepto anual; que también se define como
rentabilidad a interés compuesto, se despeja en la fórmula general, esto es:
P (1+i)N = entonces (1+i)N F/P
De donde:
I = (F/P)1/N -1
o bien, la tasa efectiva anual,
ie = (F/P)1/n -1
como I = j/m y N = m.n entonces la tasa nominal es:
j = m (F/P)1/m.n -1
Ejemplo No. 8.
Si una persona invierte $ 2,500 y dentro de 5 años le pagan intereses y principal por $ 3,700.61. (a)
¿Qué tasa de interés nominal C.S. ganó? (b) ¿Cuál es la tasa efectiva anual?
Datos:
P = $ 2,500
F = $ 3,700.61
n = 5 años.
m=2
j = ¿?
Ie = ¿?
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Cálculo de la tasa nominal j:
j = m (F/P)1/m.n -1
= 0.08 o sea j = 8% C.S.
Cálculo de la tasa efectiva anual ie
ie = (F/P)1/n -1
= 0.0816 o sea ie 8.16% efectiva anual.
Relación entre las tasas nominales, efectivas y equivalentes.
Al iniciar esta unidad se abordó un poco las tasas de interés nominales y efectivas sin profundizar en
su significado.
Como se estableció antes, la tasa nominal de interés, es la que se pacta o que se establece en las
operaciones financieras. Esta tasa establece la forma en que se liquidan o que se capitalizan los
intereses y no mide la rentabilidad. Por ejemplo 10% C.T. significa una tasa nominal anual con
liquidación de intereses trimestrales, o sea con frecuencia m = 4, y tasa efectiva de período trimestral
2.5%. Esto resulta que la tasa nominal, es igual a la tasa del período multiplicada por la frecuencia, o
sea; j = i(m)= 0.025 (4) = 0.10 o sea 10%.
Cuando la tasa nominal establece períodos de capitalización, una sola vez al año, entonces decimos
que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual ie. Si los intereses se capitalizan m – veces en
un período dado, entonces decimos que la tasa de interés es necesariamente nominal para ese
período, pues la tasas efectivas no se capitalizan, ya que miden rentabilidad.
Relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva.
Si conocemos la tasa nominal periódica j y su frecuencia m, entonces se puede determinar la tasa
efectiva i de forma: i = j/m o bien utilizar la fórmula:
ie = (1+j/m)m -1
Despejando la anterior fórmula se puede determinar la tasa nominal j, utilizando la frecuencia m y la
tasa efectiva anual ie, esto es:
j = m (1+ie)1/m -1
o bien.
i = (1+ie)1/m -1
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6. Serie uniforme de pagos y su relación con el presente y el futuro.
Anualidades.
En matemáticas financieras, la expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de
sumas fijas a intervalos iguales. La palabra anualidad se utiliza por costumbre desde sus orígenes.
Así es que se usa en las anualidades contingentes, en las que interviene la probabilidad anual de
vida de las personas. En finanzas, anualidad no significa pagos anuales sino a intervalos iguales.
Por consiguiente, se consideran anualidades los dividendos sobre acciones, los fondos de
amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos de las compañías de seguros, y en forma
más general, los sueldos y todo tipo de rentas. La expresión anualidad puede cambiarse por la de
rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y las costumbres
locales.
Definición: Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son diferentes
o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según sea el caso, los nombres de
anualidades variables o anualidades impropias.
Clasificación de las anualidades.
Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus formas de pago determinan
diferentes tipos de anualidades. A fin de llevar a cabo un estudio organizado, es necesario elaborar
una clasificación y dar su correspondiente definición.
Renta. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta.
Período de pago o período de renta. El tiempo fijado entre dos pagos sucesivos es el período de
pago o periodo de la renta.
Tiempo o plazo de una anualidad. El intervalo que transcurre entre el comienzo del primer período
de pago y el final del último es el tiempo o plazo de una anualidad.
Renta anual. La suma de los pagos hechos en un año corresponde a la renta anual.
Tasa de una anualidad. Es el tipo de interés fijado en la tasa de anualidad y puede ser nominal o
efectiva.
Según el tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: anualidades ciertas y anualidades
eventuales o contingentes. Anualidades ciertas son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se
conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades contingentes son aquellas en las que
el primer pago o el último, es decir, la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso
previsible, pero cuya fecha de amortización no puede fijarse.
Anualidades perpetuas o perpetuidades. Estas son una variación de las anualidades ciertas, en las
que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.
Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las anualidades
ordinarias o vencidas y las anualidades anticipadas. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago
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de la renta se hace al final del período de pago. Es anticipada, si el pago se efectúa al principio del
período de pago.
Anualidades inmediatas. Estas son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar o terminar el
primer período.
Anualidades diferidas. Estas son aquellas en las que se estipula que el primer pago debe efectuarse
después de transcurrido cierto número de períodos.
Valor de las anualidades.
El valor de la anualidad calculado a su terminación es el valor futuro de ésta. El valor de la anualidad
calculado al comienzo es su valor presente. Estos valores pueden, también calcularse en fechas
intermedias; en tal caso, se refieren a valor futuro de la parte vencida o valor presente de las
anualidades por vencer. Así por ejemplo, una renta de $ 2,000 pagaderos cada final de año durante
6 años, tendrá valor futuro F al finalizar los 6 años, y tendrá valor presente P, en su fecha inicial.
Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la parte vencida de la anualidad, de
la parte por vencer.
Valor futuro y valor presente de las anualidades simples ciertas ordinarias inmediatas.
Este tipo de anualidades es el más frecuente y, por esto, cuando se dice simplemente anualidad, se
supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria inmediata. La tasa de interés es, por lo
general, una tasa de interés nominal anual. En caso de que la tasa no sea nominal, se indicará la
tasa como tasa efectiva anual. Si la tasa dada es nominal, sin especificación de período de
capitalización, la tasa efectiva en el período de pago es el cociente entre la tasa nominal y el número
anual de pagos.
Símbolos utilizados para las anualidades.
A
i
j
m
j(m)
n
F
P
=
=
=
=
=
=
=
=
pago periódico de una anualidad o renta.
tasa efectiva por período de capitalización.
tasa nominal anual.
número de capitalizaciones en el año.
tasa nominal con m períodos de capitalizaciones en el año.
número de períodos de pagos.
monto de una anualidad o su valor futuro.
valor actual o presente de una anualidad.
Cálculo del valor futuro.
Los pagos de A efectuados al final de cada período ganan interés compuesto, hasta la fecha final.
Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha local, se tiene entonces:
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0
1
2
3
4
A
A
A
A
Cada pago efectuado al final del período capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes
períodos. El primer pago acumula durante (n-1) períodos, el segundo (n-2) períodos y, así
sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coincide con la fecha de
término.
Cálculo del valor presente.
El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos
que, en el tiempo de la anualidad, proporciona un valor futuro equivalente al de la anualidad.
Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha local la fecha final, se tiene:
1
2
3
0
A
A
A
Ejemplo No. 9.
Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la
condición de que paguen $ 9,000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignará en una cuenta
de ahorros que paga 8% nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente del
contrato de alquiler.
F = ¿?
P = ¿?
A = $ 9,000
m=4
j = 0.08
i = 0.02
n = 5 años.
N = 20
F = A (1+i)N -1
i
F = 9,000 (24.29736980) = $ 218,676.33
P = A 1 – (1+i) -N
i
P = 9,000 (16.35143334) = $ 147,162.90
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Ejemplo No. 10.
Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 5,000, pagadera semestralmente
durante 7 años, 6 meses al 8.6%, capitalizable semestralmente.
F = ¿?
P = ¿?
A = $ 5,000
m=2
j = 0.086
i = 0.043
n = 7.5 años.
N = 15
F = 5,000 (20.47586698) = $ 102,379.34.
P = 5,000 (10.88874114) = $ 54.443.71
Ejemplo No. 11.
Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 100 mensuales pagaderos durante 15
años, al 9% nominal convertible mensualmente.
F = 100 (378.40576899718667139571162594049) = $ 37,840.58
P = 100 (98.593408835057378316862959545854) = $ 9,859.34
Ejemplo No. 12.
Una persona deposita $ 2,000 al final de cada año, durante 15 años, en una cuenta de ahorros que
paga el 8% de interés. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago.
F = 2,000 (27.15211393) = $ 54,304.23
Ejemplo No. 13.
Una persona desea comprar una renta de $ 20,000 pagadera semestralmente, durante los próximos
10 años. Hallar el costo de la anualidad a la tasa del 6%.
P = 20,000 (14.87747486) = $ 297,549.50
Cálculo de la renta en una anualidad simple cierta ordinaria.
Es frecuente la necesidad de conocer el importe de los pagos periódicos, para lograr determinado
resultado, así, por ejemplo: ¿Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de
una propiedad, en cierto número de años? ¿Qué cantidad de dinero habrá que colocar
periódicamente, en un fondo de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo? ¿Con qué
cuotas periódicas puede cancelarse una mercancía, conocido su valor de contado y la tasa de
interés?
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Ejemplo No. 14.
Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8% con
capitalización semestral, para obtener en 5 años un capital de $ 20,000.
F = $ 20,000
A=
m=2
j = 0.08
i = 0.04
n = 5 años
N = 10
A=F
i .
(1+i)N – 1
A = 20,000 (0.083290944)
A $ 1,665.82
Ejemplo No. 15.
Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para cancelar el valor de $ 100,000 de una
propiedad comprada a 8 años de plazo con un interés del 9% capitalizable semestralmente.
A=P
i
.
1- (1+i)-N
A = 100,000 (0.089015369)
A $ 8,901.54.
7. Series con crecimiento aritmético.
Un gradiente aritmético es una serie de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad
constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad
aritmética cada período. La cantidad del aumento o de la disminución del gradiente. Por ejemplo un
ingeniero agroindustrial predice que el costo de mantenimiento de una tractor aumentará en $ 500
anuales hasta que él tractor sea desechado, hay una serie gradiente relacionada y la cantidad del
gradiente es $ 500.
Las fórmulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen cantidades iguales al final de
período de igual valor. En el caso de un gradiente, el flujo de efectivo de cada fin de período es
diferente, de manera que es preciso derivar nuevas fórmulas.
Valor Presente de una S.C.A.
El símbolo G para los gradientes se define como:
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G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un período al
siguiente; G puede ser positivo o negativo.
Para resolver esta serie de problemas se puede utilizar la siguiente fórmula:
P=A
(1+i)N-1 + G (1+i)N -1 - N
i (1+i)N
i
i
1
.
(1+i)N
Ejemplo No. 16.
Un agricultor adquirió un motor para la succión de agua; espera que el costo de mantenimiento sea
de $ 150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes aumente a razón de $ 50 anuales. Si la
tasa de interés es del 8% capitalizada cada año, ¿cuál es el valor presente de esta serie de pagos
durante un período de 6 años?
Datos de problema son P =?; i = 8%; primer pago A = $ 150; G = 50. El diagrama del flujo de
problema es el siguiente:
300
350
400
200
250
150
1
2
3
4
5
6
Aplicando la fórmula el resultado es: $ 1,219.60
Ejemplo No. 17.
Una comercializadora vende tractores de 30 HP bajo las siguientes condiciones: se hace un primer
pago de $ 900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos mensuales adicionales,
cada uno de los cuales disminuye en $ 50 al pago del mes anterior (el segundo mes se pagaran $
850, el tercer mes $ 800, etc.) Si el interés que carga la comercializadora es del 12% anual, ¿cuál es
el valor a pagar de contado por la compra del tractor?
En este caso existe un gradiente negativo porque los pagos van disminuyendo y por lo tanto se
utiliza la fórmula siguiente:
P=A
(1+i)N-1 - G (1+i)N -1 - N
1
N
N
i (1+i)
i
i
(1+i)
.
El resultado es= $ 6,432.00
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Ejemplo No. 18.
Una persona contrae la obligación de pagar $ 2,000 cada final de mes, durante un año, aumentando
sus pagos sucesivos en $ 100 cada mes, hallar: (a) a la tasa del 24%, el valor presente de sus
obligaciones; (b) si desea sustituir, su obligación por otra equivalente con la misma tasa, con pagos
mensuales iguales, ¿cuánto deberá de pagar mensualmente?
(a) P = $ 26,717.80.
(b) A = $ 2,526.40
8. Series con crecimiento geométrico.
En este caso se abordan las anualidades variables cuyos pagos periódicos varían formando una
progresión geométrica, o sea, que se caracterizan porque el cociente entre dos términos sucesivos
es constante. Estas anualidades reciben el nombre de gradiente geométrico.
Valor Presente de una S.C.G.
Para tal caso se utiliza la siguiente fórmula:
P = A gN (1+i)-N-1
g – (1+i)
Ejemplo No. 19.
Una deuda debe cancelarse en 5 años con cuotas de $ 10,000 cada final de año a una tasa de
interés del 6%. Estos pagos se incrementarán, después del primero, en un 10% anual cada uno.
Hallar el valor presente de la deuda.
Los datos del problema son:
A = 10,000.
g = 1.1
i = 0.06
N=5
El resultado es: $ 50,866.69
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