Unidad I - Números complejos 1.4. Forma polar y exponencial de un

Álgebra lineal
Unidad I
1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo
M.C. Ángel León
Unidad I - Números complejos
1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo
Hemos visto la representación rectangular de un número complejo y como se definen las operaciones elementales
para un número complejo en forma rectangular. Sin embargo, existen otras formas de representar al mismo
número complejo que facilitan las operaciones, éstas son la forma polar y la forma exponencial.
Cuando hablamos de la forma polar de un número complejo, nos referimos a un segmento de recta que está
ubicado en un plano rectangular. Este segmento de recta tiene dos características importantes, tiene un ángulo
medido desde el eje horizontal positivo hasta el segmento de recta y además, el segmento de recta tiene una
longitud, tal y como se muestra en la siguiente figura:
Im
La distancia del segmento de recta se calcula igual que
el modulo del número complejo expresado en forma
rectangular:
3
r  Re2  Im2
2
Mientras que el ángulo lo obtendremos como:
1
tan  
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Re
2.5
op Im
 Im 

   tan 1 

ady Re
 Re 
Figura 1. Número complejo en forma polar
De manera que un número complejo en su forma polar se expresa como:
Im
Z  r   r , 
3
El ángulo de un número complejo no es único. Si
medimos el ángulo en sentido contrario a las
manecillas del reloj se considera un ángulo positivo,
pero si medimos el ángulo en sentido de las manecillas
del reloj será un ángulo negativo, según lo muestra la
Figura 2.
2
1
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 2. Ángulo de un número complejo polar
Re
1 de 4
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Por lo tanto, podemos establecer la siguiente regla de conversión polar a rectangular y rectangular a polar
Relación Rectangular - Polar
Sea Z  a  bi un número complejo rectangular. A partir de Z , su expresión en forma polar Z  r
será:
r  a 2  b2
b
 
  tan 1  
a
Y de acuerdo a la Figura 2, podemos establecer una conversión polar a rectangular usando las funciones
trigonométricas:
Im
La parte real de número complejo rectangular la
obtendremos como:
3
Re  a   r  cos 
2
Y la parte imaginaria:
1
0
0.0
Im  bi   r  sen  i
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Re
Figura 3. Realción polar - rectangular
Relación Polar - Rectangular
Sea Z  r un número complejo expresado en forma polar. A partir de Z , su expresión en forma
rectangular Z  a  bi está dada por:
a  r cos 
b  rsen i
2 de 4
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Si expresamos al número complejo como un par ordenado:
Z  r  r cos  rsen i   r cos , rsen i   r  cos ,sen i 
A la última expresión se le conoce como forma trigonométrica de un número complejo. Algunos libros manejan
una forma abreviada como:
Z  rCiS
Hagamos una tabla donde se resuman todas las formas que hemos visto para expresar un número complejo:
Tabla I. Resumen de las formas de expresar un número complejo
Rectangular
Binómica
Z  a  bi
Polar
Z  r
Abreviada
rCiS
Binómica trigonométrica
Z  r cos  rsen i
Par ordenado
 a, b 
Z   r , 
Ejercicios: Dados los siguientes números complejos, expréselos en su forma polar y grafíquelos.
a) 3  4i
b) 4  4i
c) 2  3i
d) 52  3i
Forma exponencial de un número complejo
En la forma polar, el ángulo  se mide en grados sexagesimales. Existe otra forma de expresar un número
complejo que es la forma exponencial, donde el ángulo  se mide en radianes.
Recuerde que hay una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes   180 .
La forma exponencial de un número complejo es re i donde r representa el módulo del numero complejo y  el
ángulo en radianes.
Para ver de donde proviene esta expresión, recordemos que existe una serie infinita que representa a e x la cual es:
3 de 4
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ex  1  x 
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x 2 x3 x 4
xn
   ... 
2! 3! 4!
n!
Si realizamos la sustitución x   i la serie anterior se expresa como:
i
e
 i 
 1i 
2
2!
 i 

3
3!
 i 

4
4!
 i 
 ... 
n
n!
Y de acuerdo a las potencias de i :
e i  1   i 
 2  3i  4  5i
2!

3!

4!

5!
... 
 in
n!
Si agrupamos los términos semejantes:
 2 4
 

3 5
e i  1    ...        ...  i
2! 4!
3! 5!

 

 2 4

La parte real 1    ...  es la serie que aproxima a la función cos  mientras que la parte imaginaria
2! 4!


3
5


 
     ...  i es la serie que aproxima a la función sen . De esta manera, podemos simplificar la expresión
3! 5!


anterior:
e i  cos  sen i
Multiplicamos ambos lados por el módulo r :
re i  r cos  rsen i
Tenemos la relación entre la forma exponencial y la forma binómica trigonométrica de un número complejo.
Debemos de tener en cuenta que la forma exponencial maneja al ángulo  en radianes y la forma binómica
trigonométrica en grados sexagesimales.
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