Valor de Rescate

Valor de Rescate
Elementos Actuariales para su Determinación
Por:
Pedro Aguilar Beltrán
Octubre de 2008
El valor de rescate es un concepto que se refiere al monto que le otorgará la aseguradora al
asegurado o beneficiario, en caso de que la póliza sea cancelada. Normalmente es un
concepto aplicable en seguros de vida de largo plazo, sin embargo no existe impedimento
técnico para que el concepto se extienda a otros tipos de seguros de largo plazo,
especialmente a los seguros de accidentes y enfermedades. Este concepto es pocas veces
tratado en la literatura actuarial, lo que puede ser la causa de que en la práctica profesional
se le trate con pobreza de técnica. En este artículo se presentan elementos de técnica
actuarial para el cálculo del valor de rescate de pólizas de seguros de largo plazo.
En principio partiremos de aceptar que la prima que cobra una compañía de seguros, en un seguro
de largo plazo, es normalmente nivelada. Ello tiene una serie de consecuencias, entre de ellas está el
valor de rescate. Este concepto sólo es posible si existe prima de ahorro, o primas anticipadas, de lo
contrario el valor de rescate es cero.
En caso de que se trate de cualquier seguro a prima nivelada o prima única, se genera el concepto de
reserva matemática de primas. Definida esta teóricamente como la diferencia entre el valor esperado
de obligaciones futuras de la aseguradora y el valor esperado de obligaciones futuras del asegurado
por concepto de pago de primas.
1
t V x :n |
=
A1x + t:n − t | − PN 1x:n| a&&x + t:n − t|
Al mismo momento que se genera la reserva, se generan otros pasivos y activos contingentes para la
compañía aseguradora. El primero de ellos es el activo contingente que se produce por el adelanto
de comisiones a los agentes de seguros.
Suponga que se trata de un seguro temporal a n años con prima nivelada pagadera a n años. Sea
CE el costo de adquisición que la compañía cobrará como parte de la prima de tarifa, y sea CR t el
costo de adquisición que realmente ejercerá la compañía en el año t , entonces suponiendo que el
periodo de pago de primas es de n años y que el periodo en que se ejercen los costos de adquisición
es de m años, entonces el valor de la pérdida (activo contingente) que se tiene en el año t es de:
&&x +t:n −t| −
PC t = CE ∗ a
m −t −1
∑ v CR ∗ P
t
i
i =0
i
x +t
(1)
Por otra parte, se puede generar una pérdida (activo contingente) cuando los gastos de
administración en los primeros años son superiores a los nivelados, sea GE t el gasto de
administración nivelado que la compañía cobrará como parte de la prima de tarifa, y sea GRt el
gasto de administración que realmente ejercerá en el año t , entonces la pérdida que se genera en el
año t es:
&&x + t :n −t | −
PGt = GE ∗ a
n − t −1
∑ v GR ∗ P
t
(2)
x +t
i i
i =0
Tomando en cuenta lo anterior, el valor de rescate puede ser calculado como:
t
t
R x = t V 1x:n | − PC t − PGt
&&x +t:n−t| +
R x = t V 1x:n | − CE ∗ a
m −t −1
∑ v CR ∗ P
t
i
i
&&x +t:n −t| +
− GE ∗ a
x+t
i =0
n −t −1
∑ v GR ∗ P
t
i
i
x +t
i =0
La expresión anterior es correcta si se supone que la tasa de cancelación es cero, sin embargo, en
caso de quererse considerar el efecto de la cancelación se debe modificar el cálculo de los diversos
conceptos, introduciendo la tasa de decremento múltiple total, de manera que:
&&τx +t :n −t| −
PC t = CE ∗ a
m −t −1
∑ v CR ∗ Pτ
t
i
i
x +t
i =0
Donde i Pxτ+t es la probabilidad de que una póliza no salga por muerte o cancelación.
De la misma forma se debe calcular:
&&τx +t n−t| −
PGt = GE ∗ a
n −t −1
∑ v GR ∗ Pτ
t
i
i
x +t
i =0
En el caso de seguros de largo plazo a prima única, el valor de rescate es será equivalente a la parte
no devengada de la prima de riesgo más el valor estimado de los recargos por administración y
margen de utilidad futuros:
t
R x = t V 1x:n | +
n −t −1
∑ v GR ∗ Pτ
t
i
i =0
i
x+t
&&τx +t :n−t|
+U ∗a
Es así como mediante técnicas actuariales se puede determinar el valor justo que debe tener al valor
de rescate de una póliza, tanto para el asegurado como para la compañía de seguros. ♣
Valor de Rescate
Elementos Actuariales para su Determinación
Por:
Jorge Otilio Avendaño Estrada
[email protected]
Octubre de 2008
En un primer documento se presentaron fórmulas actuariales para el cálculo del valor de
rescate. Como continuación el Act. Jorge Avendaño Estrada, profesor de la Universidad
Nacional Autónoma de México, presenta otros procedimientos demostrando que son
equivalentes así como ejemplos numéricos que dan mayor claridad al tema y aportan valor.
A continuación se presentan los elementos de análisis elaborados por J. Avendaño, así como
las ilustraciones numéricas y gráficas.
El valor de rescate, también puede verse de la siguiente forma (ver la demostración en el
anexo):
Siguiendo el concepto de reserva matemática, si tuviera que constituirse una reserva que
considerara no solamente el riesgo, sino también los gastos, ésta tendría que definirse
prospectivamente como
R &G
= At − ät
tV
donde
At
valor presente actuarial, al momento t, de los costos de siniestralidad futura y flujos
de salida por gastos,
ät
valor presente actuarial, al momento t, de las primas de tarifa pendientes de pago.
Al momento t, la posición neta del asegurado es tVR&G, ésta cantidad es a la que tendría
derecho en caso de cancelación. Por supuesto, para ciertos planes, es de esperarse que tVR&G,
sea negativa en varios años póliza. En este caso, el valor de rescate tendría que ser nulo.
Ejemplo 1
Considérese un plan temporal a 20 años para un hombre de 40 años de edad, con suma
asegurada de $1,000. La prima es nivelada por los 20 años de cobertura y se aplican las
siguientes hipótesis para el cálculo de las primas de riesgo y de tarifa:
Hipótesis demográfica: Tabla de mortalidad CNSF 2005 H-SP (2000-2005).
Hipótesis financiera: Tasa del 5.5% efectivo anual.
Hipótesis de gastos:
Año póliza
1
2
3
4
5
6+
Adquisición
Administración
40%
15%
20%
10%
10%
5%
10%
1%
5%
1%
2%
1%
Resultados
Gasto de adquisición nivelado:
Gasto de administración nivelado:
Gasto total nivelado:
Prima de riesgo
9.11
Prima de tarifa
11.01
13.69%
3.62%
17.31%
35.0
Res erva m atem ática
30.0
Res cate
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-5.0
-10.0
30.0
Res erva m atem ática
Res erva gas tos
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
1
2
3
4
5
6
-5.0
Como puede verse en este ejemplo, sólo a partir del quinto año se podrían conceder valores
de rescate. La explicación del comportamiento de esta reserva (rescate) se puede explicar si
revisamos los flujos de ingresos (primas) y de egresos (costo de siniestralidad esperada
anual y gastos) en cada uno de los años póliza:
18.0
16.0
Prim a tarifa
14.0
Egres o total
12.0
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20
Como los egresos superan a los ingresos en los primeros años, es natural que la “reserva”
sea negativa. En los años intermedios, se observa que los ingresos son superiores a los
ingresos, efecto debido a que los gastos se reducen significativamente, pero no basta para
revertir el comportamiento negativo de la reserva en esos años. Finalmente, en los últimos
años, nuevamente los ingresos son superados por los egresos, lo que provoca que la reserva,
que pasó de negativa a positiva, comience a decrecer, en este caso, por los costos de
siniestralidad esperada, que son crecientes.
Ejemplo 2
Con las mismas hipótesis demográficas y financieras del ejemplo anterior, veamos qué pasa
ahora con un seguro dotal a 20 años con el siguiente esquema de gastos:
Año póliza
1
2
3
4
5
6+
Gasto de adquisición nivelado:
Gasto de administración nivelado:
Gasto total nivelado:
Prima de riesgo
32.41
Prima de tarifa
36.50
Adquisición
Administración
40%
15%
20%
10%
10%
5%
10%
1%
5%
1%
2%
1%
8.01%
3.20%
11.21%
1000.0
900.0
800.0
Res erva m atem ática
700.0
Res cate
600.0
500.0
400.0
300.0
200.0
100.0
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1000.0
Res erva m atem ática
900.0
Res erva gas tos
800.0
700.0
600.0
500.0
400.0
300.0
200.0
100.0
0.0
1
2
3
4
5
6
Prim a tarifa
40.0
Egres o total
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20
Anexo
El valor de rescate, tVR&G, puede expresarse también de la siguiente forma:
V R&G = tV R − PC t − PGt
t
donde, para el año póliza t, se define
R
tV
PCt
reserva matemática terminal,
pérdida por gastos de adquisición, definida como
π
∑ [CE − CR
n −t −1
t + j +1
j =0
CE
]v
j
j
p x +t
porcentaje de gasto de adquisición incluido en la prima de tarifa (gasto de
adquisición nivelado),
CRt+j+1 porcentaje de gasto de adquisición del año póliza t+j+1,
PGt
pérdida por gastos de administración, dada por
π
∑ [GE − GR
n −t −1
t + j +1
j =0
GE
]v
j
j
p x +t
porcentaje de gasto de administración incluido en la prima de tarifa (gasto de
administración nivelado),
GRt+j+1porcentaje de gasto de administración del año póliza t+j+1,
Demostración
V R&G = At − ät
t
n −t −1
⎫
⎫ ⎧ n−t −1
⎧ n−t −1
= ⎨SA ∑ v j +1 j p x+t q x+t + j + π ∑ GRt + j +1 + CRt + j +1 v j j p x +t ⎬ − ⎨π ∑ v j j p x +t ⎬
j =0
⎭
⎭ ⎩ j =0
⎩ j =0
[
n −t −1
= SA ∑ v j +1 j p x +t q x +t + j − π
j =0
]
n −t −1
∑v
j =0
j
j
p x +t − π
∑ [GE − GE + CE − CE − GR
n −t −1
j =0
n −t −1
n −t −1
j =0
j =0
= SA ∑ v j +1 j p x +t q x +t + j − π [1 − GE − CE ] ∑ v j j p x +t − PCt − PGt
= tV − PCt − PGt
R
t + j +1
]
− CRt + j +1 v j j p x +t
Para pólizas con plazo de pago de primas inferior al plazo de cobertura, la equivalencia
anterior deja de ser cierta. Esto es así, porque en el la primera expresión se deducen los
gastos sólo mientras siga existiendo pago de primas, por lo que, una vez que expira el plazo
de pago de primas, el valor de rescate coincide con la reserva matemática. En contraste, en
la segunda expresión, al constituirse la reserva de gastos hasta el término del plazo de
cobertura, la reserva matemática se ve disminuida por este concepto. Veamos el siguiente
ejemplo de un seguro dotal a 20 años, con plazo de pago de primas igual a 10 años:
A t -a t
Año póliza
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
t V-PC t -PG t
6.34
26.14
54.80
86.83
123.07
162.78
203.86
246.44
290.72
336.94
329.81
319.48
305.34
286.58
262.24
231.09
191.58
141.73
78.98
0.00
5.60
24.60
52.40
83.49
118.73
157.34
197.21
238.46
281.28
325.87
319.50
309.99
296.71
278.87
255.51
225.44
187.11
138.57
77.30
0.00
Diferencias
0.74
1.54
2.40
3.33
4.34
5.44
6.65
7.98
9.44
11.08
10.30
9.49
8.63
7.71
6.72
5.65
4.47
3.16
1.69
0.00
Las diferencias del año 11 en adelante corresponden a los valores de la reserva de gastos.
350.00
300.00
At-at
tV-PCt-PGt
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Aquí la pregunta que surge es, una vez que las obligaciones asegurado han concluido, ¿se
debe o no deducir de la reserva matemática la reserva de gastos para obtener su valor de
rescate? Desde mi punto de vista, no, puesto que, a la cancelación de la póliza, la
aseguradora ya no requiere constituir esta reserva. ♣