Constantes y Variables Booleanas Tabla de Verdad. Funciones











Constantes y Variables Booleanas
Tabla de Verdad.
Funciones lógicas (AND, OR, NOT)
Representación de las funciones lógicas con compuerta lógicas básicas (AND, OR, NOT)
Formas Canónicas y Standard (mini términos ,maxi términos)
Otras Compuertas lógicas (NAND,NOR, EXOR.NEXOR)
Análisis de circuitos combinatorios.
Álgebra de Boole
Método de Minimización con álgebra de Boole
Serie TTL y CMOS.
Introducción
El sistema numerico Binario utiliza solo dos digitos: 1 y 0, dos posibles condiciones, por lo que es
perfecto para representar relaciones logicas. Los cktos logicos digitales utilizan intervalos de
voltajes predefinidos para representar estos estados binarios. El proposito de estos temas es
describir la relacion entre la salida de un circuito logico(la decision) y sus entradas(las condiciones),
ademas utilizar la simplificacion de circuitos logicos combinatorios para las diferentes tecnicas de
analisis, sintesis y documentacion.
Constantes y Variables Booleanas
Una variable booleana es una cantidad que puede, en determinadas ocasiones, ser igual a 0 o a 1.
Las variables booleanas se emplean con frecuencia para representar niveles de voltaje en la
entradas y salidas de un circuito.
Ejemplo:
0
1
0.0 - 0.8 volts
2.0 – 2.4 volts.
El 0 y el 1 booleanos no representan números, sino que en su lugar representan el estado de una
variable o bien lo que se conoce como su “nivel lógico”.
Representación de una función de Booleana
Tabla de Verdad:
Una tabla de verdad es una herramienta para describir la forma en que la salida de un circuito logico
depende de los niveles logicos presentes en las entradas del circuito. Muestra la forma en que la
salida de un circuito lógico responde a las diversas combinaciones de niveles lógicos. Si existen n
variables, entonces existe 2n formas de asignarle valores.
Ejemplo:
a b
a+b
a b
a·b
0 0
0
0 0
0
0 1
1
0 1
0
1 0
1
1 0
0
1 1
1
1 1
1
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Compuerta AND (Multiplicación booleana)
La lampara encenderá solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno
de los de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lampara no se enciende.
Interruptores de
entrada
A
Abierto
Abierto
Cerrado
Cerrado
B
Abierto
Cerrado
Abierto
Cerrado
Luz de salida
Y
Apagado
Apagado
Apagado
Encendido
Figura 1: Circuito equivalente de una puerta AND
La salida es Verdadera si y solamente si todas las entradas son Verdaderas.
Compuerta OR(Suma booleana)
El esquema nos muestra la idea de la puerta OR, en el cual los interruptores han sido conectados en
paralelo. El encendido de la lampara se producirá si se cierra cualquiera de los dos interruptores o
ambos.
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Representación de la Compuerta OR
La salida es Verdadera si al menos una de las Entradas es Verdadera.
Compuerta NOT(Negación Booleana)
Su función es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir unos
a ceros y ceros a unos. Esta operación se indica con una barra sobre la variable o por
medio de un apóstrofe en el lado superior derecho de la variable. B=A'
Ejemplo de Aplicación
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Ejemplo: Determine la expresion de Salida (Expresion Logica).
Representación de una función Booleana
Formas Algebraicas
SOP (Suma de Productos): se construye al sumar (or) términos productos (and).
Ejm.:
f (a,b,c,d )=a⋅b⋅c +b⋅d+ a⋅c⋅d
POS (Producto de Sumas): se construye con el producto (and) de términos suma (or).
Ejm.:
f (a,b,c,d )=(a+ b+ c )⋅( a +d )
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Representación de una función de Conmutación
Formas Canónicas: Son formas SOP y POS con características especiales. Existe una única forma
canónica para cada función de conmutación.
Mintérmino: es un término producto (and) para una función de n variables, en donde cada una
aparece bien sea complementada o sin complementar.
Ejm: f (a,b,c )=a⋅b⋅c,a⋅b⋅c, a⋅b⋅c
Maxtérmino: es un término suma (or) para una función de n variables, en donde cada una aparece
bien sea complementada o sin complementar.
Ejm: f (a,b,c )=( a+b+c ),( a+b+ c )
Relación con la tabla de verdad y SOP :
Cada mintérmino esta asociado con la línea de la tabla, tal que:
Las variables que tienen 1 no están complementadas
Las variable que tienen 0 aparecen complementadas
f (a,b,c )=a⋅b⋅c +a⋅b⋅c+a⋅b⋅c
Relación con la tabla de verdad y POS:
Cada maxtérmino esta asociado con la línea de la tabla, tal que:
Las variables que tienen 0 no están complementadas
Las variable que tienen 1 aparecen complementadas
f (a,b,c )=( a+b+c )⋅( a+b +c )⋅(a+ b +c )
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Otras Compuertas lógicas (NAND,NOR, EXOR.NEXOR)
NOR
NAND
Ex: Encuentre la expresión de Salida del Ckto.
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
EXOR
EXNOR
Simbología Alternativa de las Compuertas Lógicas
Interpretación de Estados de un símbolo Digital
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Analisis de Cktos Combinatorios
A partir de una Tabla de Verdad.
Dependiendo de la representacion que usemos: Suma de Productos o Productos de Suma
obtendremos la expresion logica de Salida.
X1
X0
Y1
Y0
Z(Salida)
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
La Salida o expresion logica de la tabla de verdad usando SOP daria:
Z = X1⋅X0⋅Y1⋅Y0 + X1⋅X0⋅Y1⋅Y0 + X1⋅X0⋅Y1⋅Y0 + X1⋅X0⋅Y1⋅Y0
La Salida o expresión lógica de la tabla de verdad usando POS daria:
Z =( X1+ X0+Y1+Y0)⋅( X1+ X0 +Y1+Y0)⋅( X1+ X0 +Y1+ Y0)⋅( X1+ X0+ Y1+Y0 )
( X1+ X0 +Y1+Y0)⋅( X1+ X0 +Y1+Y0)⋅( X1+ X0+ Y1+Y0 )⋅( X1+ X0+Y1+Y0 )
( X1+ X0 +Y1+Y0)⋅( X1+ X0 +Y1+Y0)⋅( X1+ X0+ Y1+ Y0)⋅( X1+ X0+ Y1+Y0 )
1. Dibuje la tabla de verdad para cada una de las siguientes funciones:
_
__ _ _
_
1.F = A BC+ A BD+ A + B +CD
_ __
2.F = X Y + X Z + X Y Z
_
_ _
3.F =(X + Y)(X + Z)(X +Z)
_ _ _
_ __
4.F = A B(C+D)+ A BC+CD
_
_
5. F = ( X + Y + Z ) ( Y + Z )
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
A partir de una Expresion Booleana
y= AC + B C + A BC
Algebra de Boole
Teoremas de Boole
Son reglas booleanas que pueden ayudarnos a simplificar las expresiones logicas y los circuitos
logicos. Los teoremas booleanos se explican con la gráfica a continuación.
(9) x+y = y+x
(10) x·y = y·x
(11) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z
(12) x(yz) = (xy)z = xyz
(13) x(y + z) = xy + xz
(14) (w + x) (y + z) = wy + xy + wz + xz
(15) x + xy = x + y
x + x y=x + y
(16)
x + xy =x + y
(17)
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Simplifique las siguientes Expresiones:
1) y= A B D+ A B D
Factorice las variables comunes AB mediante el uso del teorema 13
y= A B ( D+ D)
Si utilizamos el teorema 8 el termino entre parentesis es equivalente a 1. Asi.
y= A B⋅1
Utilizando el teorema 2
2)
y= A B
z =( A+ B)(A+ B)
Expandimos la expresion multiplicando los terminos (teorema 13b)
z =A⋅A+ A⋅B+ B⋅A+ B⋅B
Aplicando teorema 3 y 4
z =0+ A⋅B+ B⋅A+ B=A⋅B+ B⋅A+ B
Si factorizamos la variable B tenemos que:
z =B( A+ 1+ A)
Aplicando teorema 2 y 6
z =B
3)
x= ACD+ A BCD
Factorizamos las variables comunes CD tenemos que:
x=CD ( A+ A B)
Utilizando el teorema 16
x=CD ( A+ B)= ACD+BCD
EX: Simplifique las siguientes expresiones
y= AC + ABC
x= A BC D+ A B C D
y= A D+ ABCD
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Teoremas de DeMorgan
Dos de los teoremas mas importantes del algebra booleana fueron aportados por un gran
matematico de apellido DeMorgan. Los teoremas son extremadamente utiles para simplificar
expresiones en las cuales se invierte un producto o las sumas de variables.
16) (x + y )=x⋅y
17) (x⋅y )= x+ y
Ex: 1) x=( A B+C )=( A B⋅C)
x=( A B⋅C)=( A+ B⋅C )
x=( A B⋅C )=( A+ B⋅C )
2)
z =( A+ C)⋅(B+ D)
z =( A+C)+(B+ D)
z =( A⋅C )+(B⋅D)
z =A⋅C + B⋅D
3)
x= AB⋅CD⋅EF
x= AB+CD + EF
w=(A+ BC )⋅( D+ EF )
w=(A+ BC )⋅( D+ EF )
w=( A+ BC )⋅( D+ EF )
x= AB+CD + EF
Realice los siguientes ejercicios :
z =A+ B⋅C
y w=( A+ BC )⋅( D+ EF )
Universalidad de las Compuertas NAND y NOR
NAND
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
NOR
Ex:
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Familia TTL y CMOS
Tecnología TTL: Lógica de Transistor a Transistor. Esta tecnología, hace uso de resistencias,
diodos y transistores bipolares para obtener funciones lógicas estándar.
Tecnología CMOS: Lógica MOS Complementaria. Esta tecnología, hace uso básicamente de
transistores de efecto de campo NMOS Y PMOS.
En la familia lógica MOS Complementaria, CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor),
el término complementario se refiere a la utilización de dos tipos de transistores en el circuito de
salida, en una configuración similar a la tótem-pole de la familia TTL. Se usan conjuntamente
MOSFET (MOS Field-Effect transistor, transistor de efecto campo MOS) de canal n (NMOS) y de
canal p (PMOS ) en el mismo circuito, para obtener varias ventajas sobre las familias P-MOS y
N-MOS. La tecnología CMOS es ahora la dominante debido a que es más rápida y consume aún
menos potencia que las otras familias MOS. Estas ventajas son opacadas un poco por la elevada
complejidad del proceso de fabricación del CI y una menor densidad de integración. De este modo,
los CMOS todavía no pueden competir con MOS en aplicaciones que requieren lo último en LSI.
Características de ambas familias
Fan Out (Cargabilidad de salida): Es el máximo número de cargas que pueden ser gobernadas en
la salida de la compuerta sin alterar su operación normal.
Fan In (Cargabilidad de entrada): Es el máximo número de entradas que puede tener una
compuerta.
Margen de ruido: Es el límite de tensión de ruido admisible a la entrada del elemento lógico, sin
registrar cambios en el estado de la salida. Existen dos márgenes de un ruido, uno para el estado
lógico uno y otro para el estado lógico cero.
Tiempo de programación medio (tpd): Es el tiempo de retardo promedio en la transición de una
señal de la entrada a la salida en los casos que esta pasa del estado 1 a 0 y viceversa.
Potencia disipada: Es la potencia consumida por la compuerta. La disipación de potencia en
función de la frecuencia de una compuerta TTL es constante dentro del rango de operación. En
cambio, la compuerta CMOS depende de al frecuencia
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Producto potencia dispada-tiempo de propagación: Es el producto de los dos tipos de
características mencionadas.
La velocidad de la compuerta es inversamente proporcional al retardo de propagación.
Niveles Logicos de Voltaje
TTL
CMOS
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega
Las diferencias más importantes entre ambas familias son:
a) En la fabricación de los circuitos integrados se usan transistores bipolares par el TTL y
transistores MOSFET para la tecnología CMOS
b) Los CMOS requieren de mucho menos espacio (área en el CI) debido a lo compacto de los
transistores MOSFET. Además debido a su alta densidad de integración, los CMOS están superando
a los CI bipolares en el área de integración a gran escala, en LSI - memorias grandes, CI de
calculadora, microprocesadores-, así como VLSI.
c)Los circuitos integrados CMOS es de menor consumo de potencia que los TTL.
d) Los CMOS son más lentos en cuanto a velocidad de operación que los TTL.
e) Los CMOS tienen una mayor inmunidad al ruido que los TTL.
f) Los CMOS presenta un mayor intervalo de voltaje y un factor de carga más elevado que los TTL.
En resumen podemos decir que:
TTL: diseñada para una alta velocidad.
CMOS: diseñada para un bajo consumo.
Unidad I: Fundamentos de los Circuitos Digitales Combinatorios.
Elaborado por: Ing. Carlos Ortega