Figura 13.1. Elemento viga sometido a carga

13. Propiedades del elemento sometido a flexión
En la Figura 13.1 se ilustra un elemento sometido a carga transversal, momentos y fuerzas
cortantes en los extremos.
S1
S2
Fz
w(x)
M1
xi
x
M1
xj
Figura 13.1. Elemento viga sometido a carga transversal
Los desplazamientos de los nodos, agrupados en el vector u(e), son w1(e), w2(e), w'1(e),
w'2(e), (o wi, wj, w'i, w'j en numeración global). Los dos últimos términos corresponden a
los giros en los extremos del elemento. Se define entonces
 w1( e )   wi 
 ( e )   w' 
w'   i 
(e)
u   (1e )     .
 w2   w j 
w' (2e )  w' j 
Se desea calcular las propiedades del elemento usando el teorema de la energía potencial
estacionaria.
13.1 Funciones de forma o de interpolación para el elemento sometido a flexión
Para hallar la energía potencial (e) del elemento en términos de los desplazamientos
nodales es necesario definir cómo varía la función w(x), para lo cual, en este caso, se
utiliza un polinomio cúbico
w(x) = C1(xj - x)3 + C2(x - xi)3 + C3(xj - x)2 + C4(x - xi)2,
cuya derivada es
121
w'(x) = -3C1(xj - x)2 + 3C2(x - xi)2 - 2C3(xj - x) + 2C4(x - xi),
Las constantes C1, C2, C3 y C4 se evalúan con las cuatro condiciones de borde
w(xi) = wi
w'(xi) = w'i
w(xj) = wj
w'(xj) = w'j
de donde se obtiene
1
(2wi  wi' L)
3
L
1
C 2   3 (2 w j  w 'j L)
L
1
C3  2 (3wi  wi' L)
L
1
C 4  2 (3w j  w 'j L)
L
con lo cual la función deflexión queda así
 2( x j  x) 3 3( x j  x) 2 
 ( x j  x) 3 ( x j  x) 2 
w( x)  wi 


  w'i 

L
L3
L2
L2




C1  
 2( x  xi ) 3 3( x  xi ) 2 
 ( x  xi ) 3 ( x  xi ) 2 
 w j 


w
'



i 
3
2
2
L
L
L
L




o, en forma vectorial
 wi 
 w' 
 i
(e)
( e )T
T
w( x)  N 1 N 2 N 3 N 4    N  u  u N  (13.2)
w
 j
w 'j 

(13.1)

Las funciones N1(x), N2(x), N3(x) y N4(x) definidas anteriormente son las funciones de
forma o interpolación, ilustradas en la Figura 13.2. Nótese que N1 tiene pendiente cero en
los extremos, valor 1 en el nodo i y valor cero en el otro nodo. N2 tiene pendiente 1 en el
nodo i, pendiente cero en el otro nodo y valor cero en ambos nodos. Características
análogas se tienen para N3 y N4.
122
Figura 13.2. Funciones de forma para el elemento a flexión
13.2 Energía potencial en términos de los desplazamientos nodales, matriz de rigidez
Para el problema en consideración, la energía potencial del elemento es

L  EI

 ( e)    ( w' ' ) 2  Fz wdx  w1 S1  w1' M 1'  w2 S 2  w2' M 2
0
2


se coloca el superíndice (e) para indicar que todas las cantidades se refieren al elemento.
Los términos encerrados en el segundo corchete se pueden escribir como
123
w
1
w1'
w2
 S1 


(e)  M 1 
( e )T
(e)
w2'
P ,

u
 S2 

M 2 


donde el vector P(e) contiene las fuerzas y momentos aplicados en los nodos.
El segundo término contenido en la integral es la contribucion al trabajo de las cargas
transvesales Fz y se transforma mediante la substitución definida por la ecuación (13.2)
Pd  u
( e )T

xj
xi
Fz [ N ]T dx
donde el vector Pd(e) contiene fuerzas y momento en los nodos equivalentes a las fuerzas
transversales sobre la viga. Estas son las llamadas fuerzas y momentos de empotramiento.
La primera parte de la integral se puede transformar si se deriva dos veces la ecuación
(13.2)
w(x) = N u(e),
para obtener
d 2 N  ( e )
(e) (e)
( e )T
( e )T
w' ' ( x) 
u  B u  u B
(13.3)
2
dx
donde la matriz B(e) contiene las segundas derivadas de las funciones de forma N1, N2,
N3 y N4. Por tanto
1
1 ( e )T
( e )T
(e)
(e)
( w' ' ) EI ( w' ' )dx  u  B ( EI )B dx u .

2L
2
L
Finalmente, la energía potencial del elemento en términos de u(e) se puede escribir como
1 ( e )T ( e ) ( e )
( e )T
(e)
 ( e )  u A u  u F
2
donde se identifican, la matriz rigidez del elemento
 K ( e)   A( e)    B( e) T ( EI )  B ( e) dx,
L
124
y el vector de fuerzas nodales F(e), el cual contiene las contribuciones de las fuerzas
aplicadas en los nodos más las fuerzas equivalentes a las cargas transversales. (En este
caso el concepto de fuerza se aplica a fuerzas y momentos, o sea que se considera un
momento como una fuerza generalizada).
13.3 Cálculo de las componentes de la matriz de rigidez del elemento
Para el caso de una sección constante del mismo material,
 K ( e)  EI   B ( e) T  B dx,
l
donde,
 d 2 N1 d 2 N 2 d 2 N 3 d 2 N 4 
 B   dx 2 dx 2 dx 2 dx 2 


(e)
(e)
Cada componente Kij de K se calcula mediante la ecuación
( e)
( e)
ij
K
 EI

L
0
2
d 2 Ni d N j
dx.
dx 2 dx 2
Por ejemplo,
2
( e)
11
K
 d 2 N1 
 EI  
 dx,
dx 2 
L
donde
12( xi  x) 6
d 2 N1

 2
2
dx
L3
L
con lo cual
K11( e ) 
12 EI
.
L2
Si se efectúa el procedimiento para todos los elementos se obtiene
 12 / L3
6 / L2  12 / L3 6 / L2 


6 / L2
4/ L
 6 / L2
2/ L 
(e)

K   EI 
 12 / L3  6 / L2 12 / L3  6 / L2 


2
2/ L
 6 / L2
4 / L 
 6 / L
(13.4)
125
13.4 Cálculo de las cargas nodales equivalentes a la carga transversal
A continuación se calcula el vector Pd(e) que contiene fuerzas concentradas en los nodos
equivalentes a las cargas distribuídas. Si se supone una carga uniforme tenemos
Fz(x) = q0
con lo cual
Pd(e)   q0 N  dx  q0  N  dx.
T
T
L
L
donde cada componente de Pd(e), Pdi se evalúa como
Pdi  q0  N i dx.
L
Por ejemplo
 2( x j  x) 3 3( x j  x) 2 
qL


dx 


3
2
xi
2
L
L


De manera análoga se calculan las otras componentes para completar
Pd 1  q0 
xj
(e)
Pd
.
 q0 L / 2 
 q L2 / 12 


 0
.
 q0 L / 2 
 q 0 L2 / 12
13.5 Ejercicios propuestos
1. Hallar el vector de cargas en los nodos equivalente a una carga distribuída que varía
linealmente a lo largo del elemento.
2. Hallar la matriz de rigidez del elemento si se supone que la inercia varía linealmente,
es decir, suponga que
I(s) = I1 l1(s) + I2 l2(s)
donde s es una coordenada local que varía entre 0 y la longitud del elemento (L) y
l1(s) = 1 – s/L, l2(s) = s/L.
Para facilitar el álgebra utilice la fórmula
1
a!b!
a
b
0 l1 (s)l2 (s)dl2  (a  b  1)! .
3. Obtenga la matriz de rigidez del elemento viga dada una rotación en el plano.
126
4. Obtenga la matriz de rigidez del elemento viga si se supone que está apoyada en una
cimentación elástica que produce una reacción proporcional a la deflexión. En otras
palabras, adicione la energía de deformación de la cimentación dada por la expresión
2
L kw
0 2 dx
donde k es la constante de rigidez de la cimentación.
5. Modifique el programa discutido en el capítulo 12 para solucionar problemas de vigas.
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