Haga clic aquí para ver el archivo

FISICA MODERNA
Introducción
Fı́sica Moderna se refiere a ciertos campos de la Fı́sica que se han desarrollado a
partir del año 1900. Abarca las teorı́as empleadas para explicar ciertos fenómenos
que no podı́an ser explicados mediante la Fı́sica Clásica (o sea las Leyes de la
Mecánica de Newton, las Leyes Electromagnéticas de Maxwell, la Termodinámica
y la Teorı́a Cinéticas de los Gases).
Esas nuevas teorı́as fueron:
La Mecánica Cuántica, necesaria para estudiar lo que ocurre a nivel microscópico, por ejemplo el átomo o el núcleo. Una de las diferencias esenciales es
que ciertas magnitudes fı́sicas como la energı́a o el impulso angular no varı́an en
forma contı́nua sino que toman valores discretos.
La Teorı́a de la Relatividad, modificó sustancialmente las ideas sobre tiempo y
espacio y se aplica cuando las velocidades en juego son cercanas a la velocidad de
la luz. Si bien fue muy resistida en sus comienzos, luego se pudieron comprobar
cada uno de sus principios y su campo de aplicabilidad es muy grande: se aplica
también a nivel microscópico para conocer la estructura de los átomos y núcleos,
la interacción entre partı́culas elementales,etc, pero también permite comprender
muchos fenómenos astrofı́sicos (gasto de energı́a de las estrellas) y explica la gravitación universal, reemplazando el concepto de fuerza invocado por Newton por el
concepto de campo.
1
TEORIA DE LA RELATIVIDAD
Transformación galileana en la Mecánica Clásica y en la Teorı́a
Electromagnética - El experimento de Michelson-Morley - Postulados
de Einstein - Transformaciones de Lorentz - Transformación de las
velocidades - Simultaneidad - Dila-tación del tiempo - Contracción de
las longitudes - - Mecánica relativista - Masa relativista - Equivalencia
de masa y energı́a - Verificaciones experimentales de la teorı́a.
La Relatividad es una teorı́a de la Fı́sica que se basa en una crı́tica lógica de las
mediciones del tiempo y del espacio que realiza el hombre. Consideramos que un
observador O tiene asociado un marco de referencia S en el cual mide los fenómenos
y otro observador O’ tiene asociado un marco de referencia S’ que se mueve respecto al anterior. La Teorı́a de la Relatividad se ocupa entonces de las relaciones
que hay entre las observaciones de un mismo fenómeno fı́sico hechas desde distintos
sistemas de referencia:
Albert Einstein enunció su teorı́a en dos partes:
En 1905 la Teorı́a Restringida o Especial de la Relatividad que se refiere
a marcos de referencia que se mueven con velocidad constante.
Entre 1912 y 1915 la Teorı́a General que se refiere a sistemas de referencia
acelerados y también explica la gravitación universal.
En nuestro curso nos ocuparemos solo de la Restringida.
Consideremos dos sistemas inerciales, S y S’como se muestra en la Fig. 1. S’
puede ser tomado como moviéndose respecto a S, en dirección +x y con una velocidad constante v. También podria considerarse S’ en reposo y S que se mueve en
la dirección −x con velocidad -v o bien ambos sistemas podrı́an estar moviéndose,
pero solamente la velocidad relativa v es significativa.
Los relojes en ambos sistemas están sincronizados de modo tal que:
t=t’=0 cuando O=O’
Dos observadores en S y S’ observan el mismo fenómeno fı́sico y registran las
posiciones (x, y, z) para S y (x0 , y 0 , z 0 ) para S’ en los instantes t y t’ respectivamente. Clásicamente, las transformadas para pasar de un sistema a otro se llaman
galileanas:
x0 = x − vt
2
Figure 1: Sistemas inerciales donde S’ se mueve con respecto a S con velocidad v
constante.
y0 = y
z0 = z
t0 = t
donde el tiempo es un ABSOLUTO.
Tomando derivadas temporales donde dt=dt’, nos queda:
Vx0 = Vx − v
Vy0 = Vy
Vz0 = Vz
de donde: V~ 0 = V~ − ~v
Podemos probar que las leyes de la Mecánica de Newton son válidas para ambos marcos de referencia S y S’.
La Segunda ley de Newton dice:
F~ = m~a
3
Fx = md2 x/dt2 = md2 x0 /dt02 = Fx0
Fy = md2 y/dt2 = md2 y 0 /dt02 = Fy0
Fz = md2 z/dt2 = md2 z 0 /dt02 = Fz0
Vemos que la masa del cuerpo es también un ABSOLUTO.
Ningún experimento mecánico es capaz de determinar la velocidad absoluta
de un observador y se trata de sistemas inerciales. Este principio general fue
reconocido mucho antes por Galileo: si se tiene un laboratorio completamente cerrado debajo de la cubierta de un barco, navegando con velocidad uniforme, ningún
experimento realizado en ese laboratorio podrı́a medir la velocidad del barco, ni
decir si el barco se mueve o está en reposo.
Un sistema de referencia es inercial cuando se piensa como un laboratorio en el
cual vale la Primera ley de Newton: un objeto en reposo permanecerá en reposo
y un objeto en movimiento permanecerá en movimiento en lı́nea recta y velocidad
constante, a menos que sobre el cuerpo actúe una fuerza no balanceada.
Los orı́genes de la Relatividad Especial están en los fenómenos electromagnéticos.
En 1864 James Clerk Maxwell completó las leyes que gobiernan los fenómenos
eléctricos y magnéticos (leyes de Maxwell) y mostró que la luz era una onda electromagnética. Una onda es una perturbación que viaja a través de un medio y cuál
era el medio a través del cual viajaba la luz? Los fı́sicos del siglo XIX pensaban
que las ondas de luz se movı́an en un medio llamado éter. La velocidad de las
ondas electromagnéticas a través del éter era c = 3x1010 cm/s
Según los antiguos griegos, además de los cuatro elementos: tierra, aire, fuego
y agua, el cielo estaba conformado por un quinto elemento, el éter. Esta reencarnación del éter solo fue propuesta con el propósito de transportar ondas de luz y
un objeto moviéndose en el éter no experimentarı́a resistencia mecánica porque era
considerado sin masa, suficientemente elástico como para soportar las vibraciones
del movimiento ondulatorio y sin interacción con la materia. Entonces la velocidad
de la tierra a través del éter no podia ser determinada.
En las experiencias donde intervenian las ondas electromagnéticas se necesitaba
de la existencia del éter y esto colocaba a los fenómenos electromagnéticos en una
situación distinta al resto de la Fı́sica. Vimos que las leyes de la Mecánica eran
invariantes a una transformación galileana pero no ocurrı́a lo mismo con las leyes
de Maxwell. Existı́a un sistema de referencia en el cual el éter estaba en reposo y
allı́ la velocidad de la luz era c. En cambio, en otros sistemas de referencia era de
4
esperar que la velocidad de la luz fuese distinta a c.
Sin embargo el concepto de la existencia del éter fue de fundamental importancia hacia fines del siglo XIX porque jugó un rol directo en el descubrimiento de la
relatividad de Einstein. Otra idea del mismo siglo era que las Leyes de Newton y
la relatividad de Galileo, en particular, deberı́an valer para la luz como para toda
sustancia en la naturaleza. La relatividad de Galileo hace una predicción concreta
acerca de la adición lineal de las velocidades y ası́ como vale para cualquier cuerpo,
también deberı́a valer para la luz viajando en el éter. Suponiendo que uno se está
moviendo con el éter y realizando un cuidadoso experimento, mide que la velocidad de una señal luminosa es c. Entonces supongamos que ahora nos movemos
respecto al éter a una velocidad v. Si medimos nuevamente la velocidad de la señal
luminosa, no deberı́a ser c sino c+v. Como la luz viaja muy rápido, si esta diferencia existe deberı́a ser inobservable, pero los cientı́ficos del siglo XIX pensaron
que habrı́a una forma de detectarla: Se sabia que la tierra viaja alrededor del sol
a 30 km/s ( 10−4 veces c). Suponiendo que la tierra no está en reposo respecto al
éter, un observador mirando una señal luminosa en diferentes momentos del año y
viajando en diferentes direcciones deberı́a medir velocidades con leves diferencias.
Por ejemplo, cuando la tierra viaja en el mismo sentido o en sentido contrario al
éter, una diferencia de una parte en 10000 deberı́a detectarse. Hacia 1880 el fı́sico
americano Albert Michelson y su colaborador Edward Morley trataron de medir
este efecto, siendo su principal motivación determinar el movimiento de la tierra
respecto al éter. Después de repetidos y cuidadosos experimentos bajo distintas
condiciones, publicaron en 1887 la conclusión de que no se detectaba ningun efecto
medible! era como si la velocidad de la luz no dependiera de la dirección en la que
se propagaba y que nada importaba la dirección de la tierra respecto al éter.
Este resultado negativo fue un golpe para los cientı́ficos de la centuria, ya que los
forzaba a extraer dos concludiones terribles: o bien la tierra se mueve junto al éter
o bien la relatividad de Galileo y por ende la fı́sica de Newton estaban equivocadas. Era inaceptable que la tierra estuviera en reposo respecto al éter, ya que la
tierra rota alrededor de su eje y se mueve alrededor del sol y el sol se mueve en el
espacio. Pero por otro lado, pensar que habia un error en la mecánica newtoniana
era prácticamente una herejı́a.
Una serie de experiencias echaron por tierra esta idea del éter y sentaron las
bases de la Teoria Especial de la Relatividad.
Experimento de MICHELSON y MORLEY (1887):
Utilizaron un interferómetro (ver diagrama), con el fin de determinar la velocidad de la luz respecto a la tierra, considerando al éter en reposo en el baricentro
5
del sistema solar.
v(luz/tierra) = v(luz/eter) - v(tierra/eter)
v(luz/tierra) = c - 30km/s
Un haz de luz monocromática parte de F e incide en una lámina semitransparente E colocada a 45◦ . El haz al incidir en la lámina, en parte se refleja en el
espejo E1 mientras que la otra parte atraviesa el vidrio y llega al segundo espejo
E2 . Después de reflejarse perpendicularmente en E1 y E2 los dos rayos vuelven
a E. Parte del primer rayo atraviesa E y llega hasta un observador representado
por el anteojo O; el segundo rayo penetra en el vidrio, se refleja parcialmente en
la cara semiplateada y otra parte llega a O. La luz que llega a O suma estas dos
contribuciones, después de recorrer los trayectos F EE1 EO y F EE2 EO, las cuales
interferirán constructivamente o no, según lleguen o no en fase. Es decir se crearán
franjas de interferencia, alternadamente brillantes y oscuras. Se regula la posición
del anteojo de manera que la franja central de interferencia quede en el cruce de los
hilos de un retı́culo en el anteojo. Esto nos asegura que los dos rayos han empleado
el mismo tiempo en efectuar su recorrido. Al examinar las franjas tenemos una
forma muy precisa de determinar si la duración en la propagación de EE1 es igual
a EE2 en el brazo perpendicular.
Ahora bien, si la velocidad de la luz no es la misma en las dos direcciones, los brazos
serán desiguales. Por ejemplo si la velocidad de la luz es mayor en la dirección EE1 ,
6
el brazo EE1 será más largo que el EE2 . Si damos un giro de 90◦ al aparato, de
manera que el brazo más corto tome el lugar del más largo, desaparecerá la igualdad de los tiempos y tendrı́a que verse la franja central que abandona el centro del
retı́culo y se desplaza arrastrando todo el sistema de franjas. Pero se produjo lo
inesperado, no se percibió ningún desplazamiento de las franjas.. Haciendo
girar lentamente el aparato los 360◦ es posible convencerse de que la velocidad de
la luz es exactamente la misma en todas las direcciones, que la luz posee
en todo momento una propagación isótropa con respecto al observador.
Según la Mecánica Clásica, si la tierra se mueve con una velocidad v en la
dirección EE2 , la luz llegarı́a al espejo E2 en un tiempo t = L2 /(c − v) y vuelve a
E en un tiempo t0 = L2 /(c + v). El trayecto total exige un tiempo:
T2 = t + t 0 =
L2
L2
2L2
1
+
=
c−v c+v
c 1 − (v/c)2
Manteniendo la misma hipótesis, en el trayecto al espejo E1 , cuando la luz llega,
por la velocidad de la tierra, el espejo se ha trasladado una cantidad vt y por la
composición de velocidades, tendrı́amos u2 = c2 − v 2 y la duración T1 del trayecto
hacia el espejo E1 , ida y vuelta, será:
2L1
T1 = p
(c2
−
v2)
=
2L1
1
p
c
1 − (v/c)2
Vemos que las expresiones de T1 y T2 son distintas. En el caso en que L1 = L2 ,
resulta T1 > T2 , pero en el experimento, la regulación de las franjas nos permite
obtener T1 = T2 , por lo tanto L2 debe ser mayor que L1 . Por consiguiente, intercambiando los brazos, la igualdad de los tiempos desaparecerı́a y deberı́a observarse
el desplazamiento de las franjas. Esto no fue confirmado por el experimento, lo
que indica que la velocidad de la luz es la misma a lo largo de cualquier brazo.
1.- Aberración anual de las estrellas:
Aberración es el desplazamiento aparente de la posición de las estrellas debido
al movimiento de la tierra alrededor del sol. Supongamos que la luz de una estrella
incide perpendicularmente sobre la superficie de la tierra (ver figura). Para que la
luz llegue al observador, el telescopio, que se mueve con la tierra, deberá inclinarse
un ángulo α.
α ∼ v/c ∼ 30/300000 ∼ 10−4 rad ∼ 21”
7
La posición aparente de la estrella a lo largo del año es una elipse sobre la esfera
celeste cuya abertura angular es del orden de α. Esto contradice la hipótesis de
que la velocidad de la luz depende del marco de referencia en que se propaga.
Del mismo modo si consideramos, como en la figura, un observador B en reposo que envı́a simultáneamente dos señales luminosas L y L0 que se propagan en
direcciones opuestas y otro observador A que se mueve hacia B con velocidad v.
Según el concepto clásico de composición de velocidades, L y A van al encuentro y
verá que el rayo L se acerca a una velocidad (c + v). En cambio L0 se aleja según
(c − v). Por consiguiente para A habrı́a una diferencia 2v entre los rayos L y L0 .
Pero esto no ocurre pues L y L0 se propagan a la misma velocidad c.
POSTULADOS DE EINSTEIN
Ante las cuestiones ası́ planteadas, podian ocurrir varias posibilidades:
1. Las transformaciones galileanas se aplicaban a la Mecánica Clásica pero no
al Electromagnetismo, ya que las leyes de Maxwell no eran invariantes ante
una transformación galileana.
8
2. Debı́an existir otras transformadas que pudieran aplicarse a todas las leyes
de la Fı́sica. Pero aceptar esto implicaba un paso muy audaz, modificar las
leyes de la Mecánica.
Einstein adopta esta última posibilidad y basa su Teorı́a Especial en dos postulados que cambian el concepto que se tenı́a del tiempo y del espacio.
• Postulado de Relatividad: Existe un conjunto infinito de sistemas de
referencia inerciales y equivalentes, es decir que se mueven uno respecto al
otro con velocidades constantes y con movimiento rectilı́neo y en los cuales
todas las leyes de la Fı́sica son invariantes.
• Constancia de la velocidad de la luz: El módulo de la velocidad de la
luz es independiente del movimiento de la fuente.
TRANSFORMADAS DE LORENTZ
Tenemos dos sistemas de referencia inerciales, S y S’ donde S’ se mueve respecto
a S a una velocidad uniforme v. Un mismo evento A tendrá coordenadas xyzt
para un observador O en S y coordenadas x0 y 0 z 0 t0 para un observador O’ en S’.
Buscaremos las relaciones entre estas coordenadas sobre la base de que se cumplan
los postulados de Einstein.
Cada coordenada primada la puedo expresar en función de las no primadas:
x0 = f (xyzt)
y 0 = f (xyzt)
z 0 = f (xyzt)
t0 = f (xyzt)
Para satisfacer el primer postulado estas relaciones deben ser lineales. Para
t=t’=0 los orı́genes coinciden (O ≡ O0 ). En t=0 parte de O en S una señal luminosa
que se propaga en todas direcciones a la velocidad c. El frente de onda esférico
para S será:
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0
Para S’
x02 + y 02 + z 02 = c2 t02
9
x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = 0
Las coordenadas primadas son funciones lineales de las sin primar:
x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = F (x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 )
F (0) = 0 en el origen O pero F debe ser lineal, o sea
x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = λ(v)(x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 )
(1)
λ depende del módulo de la velocidad porque un cambio de signo de v significa
cambiar el sentido de los ejes x y x0 . Por la condición de simetrı́a podemos también
poner:
x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = λ(v)(x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 )
(2)
De (1) y (2) resulta que λ = 1
Como los ejes de los sistemas deben permanecer paralelos, x0 no depende de y
ni de z; y 0 no depende de x ni de z ... etc.
x0 = a1 x + a2 ct
y 0 = b1 y + b2 ct
z 0 = c1 z + c2 ct
ct0 = d1 x + d2 ct
10
(3)
Visto desde S’ el origen O se mueve con velocidad −v en la dirección x y por
lo tanto si x = y = z = 0, debe ser:
x0 = −vt0
y0 = 0
z0 = 0
Imponiendo esta condición en (3) resultan las coordenadas primadas de O:
b2 = c2 = 0
x0 = a2 ct = −vt0
y0 = 0
z0 = 0
ct0 = d2 ct
de donde despejamos a2 :
−vt0 = a2 ct
t0 /t = d2
a2 = (−vt0 )/ct = (−v/c)d2
Reemplazamos (3) en la igualdad (1) y agrupamos términos en x2 , y 2 , z 2 , (ct)2
y xct:
(a21 − d21 )x2 − (d22 − a22 )c2 t2 + 2(a1 a2 − d1 d2 )xct + b21 y 2 + c21 z 2 = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2
Igualando términos:
a21 − d21 = 1 ⇒ a21 = 1 + d21
d22 − a22 = 1 ⇒ d22 + (v/c)2 d22 =1 ⇒ d2 = √ 1 2 = γ
1−(v/c)
p
2
a1 a2 = d1 d2 ⇒ 1 + d1 (−v/c)γ= d1 γ ⇒ d1 = − vc γ
a1 = γ
b1 = c1 = 1
En definitiva los coeficientes hallados son:
a1 = d2 = γ
a2 = d1 = − vc γ
b1 = c1 = 1
b2 = c2 = 0
Reemplazando en (3) nos quedan las transformadas de Lorentz:
x0 = γ(x − vt)
11
y0 = y
z0 = z
t0 = γ[t −
donde γ = √
1
1−(v/c)2
v
x]
c2
>1
El primer postulado de Einstein demanda simetrı́a en las ecuaciones. Si todos
los marcos de referencia son inerciales y equivalentes, al pasar de S a S’ se cambia
v por -v y nos quedan expresadas las no primadas en función de las primadas:
x = γ(x0 + vt0 )
y = y0
z = z0
t = γ[t0 +
v 0
x]
c2
• Si v/c ¿ 1 las transformadas de Lorents se reducen a las galileanas, es decir
estamos en el caso clásico.
• Si v/c = 1 o si v/c À 1 las ecuaciones carecen de sentido ya que en la
expresión de γ se anula el denominador o serı́a imginario. La teorı́a establece
entonces que la luz tiene velocidad máxima y ningún cuerpo puede igualarla.
TRANSFORMACION DE LAS VELOCIDADES
Además de las coordenadas se pueden transformar otras magnitudes fı́sicas,
como ser las velocidades.
Llamamos V~ = Vx î + Vy ĵ + Vz k̂ a la velocidad de un cuerpo en el sistema S.
y V~ 0 = Vx0 î+Vy0 ĵ+Vz0 k̂ es la velocidad de ese cuerpo en el sistema S’. Transformamos
las componentes en x,y,z usando las transformadas de Lorentz y derivándolas:
dx − vdt
dx0 = p
1 − (v/c)2
dt − v/c2 dx
p
dt =
1 − (v/c)2
0
dy 0 = dy
dz 0 = dz
Vx0 = dx0 /dt0 =
12
dx − vdt
dt − cv2 dx
p
1 − (v/c)2
dt − cv2 dx
p
dz 1 − (v/c)2
0
0
0
Vz = dz /dt =
dt − cv2 dx
Vy0
0
0
= dy /dt =
dy
Vx − v
Vx0 = q
x
1 − vV
c2
p
Vy 1 − (v/c)2
0
Vy =
x
1 − vV
c2
p
Vz 1 − (v/c)2
0
Vz =
x
1 − vV
c2
• Si v/c y V /c ¿ 1 estas ecuaciones se aproximan a la transformada galileana
de las velocidades :
Vx0 = Vx − v ; Vy0 = Vy y Vz0 = Vz
• Si v = c ⇒ Vx0 = −c ; Vy0 = 0 y Vz0 = 0
Un observador en S’ verá alejarse al sistema S a la velocidad de la luz en la
dirección x y también a la partı́cula, cualquiera sea la velocidad de ésta en
el sistema S.
SIMULTANEIDAD
Si dos eventos son simultáneos en un sistema de referencia, no lo
son en otro que se mueve respecto al primero, salvo que ambos eventos
ocurran en el mismo lugar.
Para comprobar esto consideremos los eventos A y B vistos desde S y S’. Llamamos:
∆x = xA − xB ; ∆y = yA − yB ; ∆z = zA − zB ; ∆t = tB − tA
Tenemos una barra con extremos A y B que está en reposo en el sistema S.
En un momento dado desde el punto medio se envı́a una señal luminosa hacia los
extremos. El arribo de la señal a los extremos A y B es simultánea para un observador O. Ahora consideremos otro sistema S’ que se mueve respecto al anterior
con velocidad uniforme v hacia la derecha. Si nos ubicamos junto al observador
O’ en S’, éste verá a la barra moverse hacia la izquierda con velocidad −v. En el
tiempo en que la señal luminosa parte del centro y llega al extremo B, éste se ha
corrido hacia la izquierda, por lo tanto el espacio que recorre el haz es mas corto
13
que el que recorre el otro haz que viaja hacia A. Como la velocidad de la luz es
la misma, el instante de llegada de los haces a los extremos A y B no es el mismo
para O’, por lo tanto no son simultáneos.
∆t = 0 para O, (son simultáneos)
∆t0 6= 0 para O’ (no son simultáneos)
La cuarta transformada de Lorentz dice:
∆t0 = γ(∆t −
v
∆x)
c2
v
∆x
c2
Como vemos en S’, ∆t0 serı́a cero si ∆x fuera cero, es decir si ambos eventos
ocurrieran en el mismo lugar.
∆t0 = −γ
CONTRACCION DE LAS LONGITUDES
Las longitudes medidas en la dirección del movimiento son menores
que las medidas cuando el objeto está en reposo.
Por las segunda y tercera transformación de Lorentz, las longitudes
medidas en la dirección perpendicular al movimiento no varı́an.
14
Volvamos al ejemplo anterior. Si O desea medir la longitud de la barra, debe
medir las posiciones de los extremos, xA y xB y lo puede hacer en forma simultánea
o en instantes diferentes porque el cuerpo está en reposo en S.
En cambio O’ debe medir los extremos de la barra en el mismo instante, ya que la
ve moverse a una velocidad −v. Cada uno de los observadores medirá su longitud
propia:
L = xB − xA
L0 = x0B − x0A
Si nos ubicamos junto a O’, ∆t0 = 0 para medir los extremos simultáneamente,
o sea:
v
∆t0 = γ(∆t − 2 ∆x) = 0
c
v
v
∆t = 2 ∆x = 2 L
c
c
∆x0 = L0 = γ(∆x − v∆t) = γ(L − v∆t)
Reemplazando ∆t:
L0 = γ(L − v
L0 = L
p
p
v
L) = L (1 − (v/c)2
2
c
(1 − (v/c)2 L0 < L
DILATACION DEL TIEMPO
Un observador en el sistema S’ que se mueve respecto a S con velocidad v,
envı́a una señal luminosa que se refleja en un espejo y regresa a él en un tiempo
∆t0 medido con un reloj R’, llamado tiempo propio del observador O’ ya que lo
mide en el mismo lugar (∆x0 = 0).
Consideremos ahora un observador en el sistema S quien ve que entre la partida y
el retorno de la señal, el espejo se ha desplazado una distancia ∆x = x2 − x1 = v∆t
y mide el tiempo transcurrido con dos relojes, R1 y R2 .
Según la transformada de Lorentz,
c∆t = γ(c∆t0 + v/c∆x0 )
∆t = γ∆t0
15
∆t = √
∆t0
1−(v/c)2
∆t > ∆t0
Esta expresión podemos también obtenerla considerando uno de los triángulos
rectángulos:
v∆t)2
c2 ∆t2
l +
=
4
4
2
∆t 2
(c − v 2 ) = l2
4
2l/c
∆t = p
1 − (v/c)2
2
Como 2l/c = 2l0 /c = ∆t0 ⇒ ∆t = √
∆t0
1−(v/c)2
El tiempo transcurrido en S donde O está en reposo es MAYOR
que el tiempo medido por el observador en S’ que se mueve respecto al
primero. El reloj en S’ marcha mucho más lento que los relojes en S.
16
SINCRONIZACION DE RELOJES:
En el ejemplo anterior, ∆t0 es medido en S’ con un solo reloj R, por lo tanto no
hay problema de sincronización. En cambio ∆t es medido por el observador en S
con dos relojes R1 y R2 separados una distancia ∆x, que están sincronizados, pero
no lo estarán para el observador en S’, quien afirmarı́a que mayor será la falta de
sincronización cuanto mayor es la separación de los relojes.
v
∆x)
c2
Si para S los eventos son simultáneos, ∆t = 0 pero para S’ habrá una falta de
sincronı́a que se puede expresar como:
∆t0 = γ(∆t −
v
∆x
c2
Depende de la separación de los relojes y además, no habrá acuerdo entre los
observadores, pues si cambio v por −v, los relojes adelantan o atrasan.
δt0 = −γ
VIDA MEDIA DE LOS MUONES:
La dilatación del tiempo puede comprobarse con las partı́culas que llegan a
la atmósfera terrestre con la radiación cósmica, a velocidades cercanas a la de la
luz. Los muones se crean en la alta atmósfera y son partı́culas inestables que se
desintegran en un término promedio de 0,000002 seg, alcanzando el nivel del mar
en grandes cantidades. Su velocidad caracterı́stica es de 0,998 de la velocidad de
la luz c. En su vida media de 2.2 10−6 seg puede recorrer una distancia y = vt =
600 m, cuando en realidad comienza a existir a alturas 10 veces superiores que este
valor.
m0 = 200me ; ∆t0 = 2.2 10−6 seg
si v/c = 0.998
∆x = 2.994 105 ∆t0 = 2.994 105 km/s × 2.2 10−6 ∼ 660m
Pero para un observador en la tierra:
∆t0
∆t = p
= 0.35 10−4 seg
1 − (v/c)2
∆x = 2.994 105 ∆t = 2.994 105 km/s × 0.35 10−4 seg ∼ 10km
17
La vida media del muón se extiende de acuerdo con la velocidad que imprime
en su trayectoria. Se trata de un hecho que ha sido experimentado en laboratorios.
En ellos, se han producido muones a distintas velocidades, con diferentes energı́as.
Se ha medido el tiempo del viaje que han realizado antes de decaer, lo que ha
permitido llegar a la conclusión que, efectivamente, mientras más rápido viajan,
más se alarga su tiempo de vida. Si los muones se han generado en reposo, su vida
media es de 2.2 10−6 segundos.
MECANICA RELATIVISTA
Impulso y energı́a relativistas - Variación de la masa con la velocidad
Veremos cómo hay que modificar las leyes de la Mecánica de modo que sean invariantes ante las transformadas de Lorentz. Cuando la velocidad es pequeña se
deben recuperar las expresiones de la Fı́sica Clásica:
d~p
F~ =
dt
p~ = m0 V~
donde la masa m0 es constante.
En Relatividad la masa de un cuerpo varia con la velocidad según:
m= p
m0
1 − (V /c)2
y el impulso relativista:
p~ = p
m0 V~
1 − (V /c)2
Analicemos ahora a expresión de la energı́a cinética. La diferencia de energı́a
cinética entre dos estados de una partı́cula es igual al trabajo realizado sobre ella:
Z 2
W =
F~ d~r = T2 − T1
Z
d~p
d~r =
dt
Z
1
Z 2
Z 2
d(mV~ ) ~
1
2 2
2
2
T2 −T1 =
V dt = mV ]1 −
mV~ dV~ = mV ]1 −
m d(V 2 )
dt
2
1
1
1
1
Z 2
³
´i2
2
p
d(V )
2 m0
2
2
2
2
2
p
T2 −T1 = mV2 −mV1 −
= mV2 −mV1 + m0 c 1 − (V /c)
2 1
1
1 − (V /c)2
|
{z
}
√
2
2
2
2
−2c
1−(V /c)
18
Si partimos del reposo: V1 = 0 y V2 = Vf inal = V
T1 = 0 y T2 = T
m0 c2
T =p
− m0 c2 = mc2 − m0 c2
2
1 − (V /c)
Obtenemos de esta expresión que la variación de energı́a debida al movimiento
aparece como una variación de la masa. Podemos definir entonces una energı́a
en reposo (m0 c2 ) y una energı́a total (mc2 ). La energı́a total de una partı́cula
libre será:
E = mc2 = T + m0 c2
Si la pertı́cula en cambio se mueve bajo un potencial V :
E = mc2 = T + V + m0 c2
Podemos mostrar que la expresión: T = mc2 − m0 c2 tiende al caso clásico
cuando V << c:
T = m0 c2 (1 +
1V2
1
+ ...) − m0 c2 ' m0 V 2
2
2c
2
Consideremos un choque inelástico entre dos partı́culas de masas en reposo
iguales m0 y que después del choque ambos cuerpos quedan unidos. En este tipo
de choques la energı́a cinética no se conserva y se transforma en calor Q y energı́a
de deformación W .
Antes del choque: Ei = 2m0 c2 + Ti
Después del choque: Ef = M0 c2 , donde M0 es la masa en reposo del cuerpo
resultante.
Por conservación de la energı́a debe ser: Ei = Ef
Pero: Ti = Q + W
19
M0 = 2m0 +
Ti
Q+W
= 2m0 +
=⇒ M0 > 2m0
2
c
c2
La masa del cuerpo resultante sufre un incremento igual a la energı́a calórica y
de deformación dividida por c2 . En este caso la energı́a cinética de las partı́culas
incidentes se transforma toda en energı́a en reposo del cuerpo resultante.
Cualquier modificación de la energı́a de un sistema fı́sico se refleja
en una modificación de la masa en reposo del sistema.
Esto se puede comprobar también en los procesos de desintegración de partı́culas,
por ejemplo el caso del mesón neutro K 0 que se desintegra en dos piones.
La energı́a en reposo del mesón K 0 es m0k c2 y se transforma en energı́a en reposo
de los piones más la energı́a cinética de los mismos:
m0k c2 = 2m0π c2 + Tπ =⇒ (m0k − 2m0π )c2 = Tπ
Energı́a expresada en función del impulso:
Hay una manera de expresar la energı́a (T + m0 c2 ) en función del impulso p y
la llamaremos Ep .
Ep = p
m0 c2
1 − (V /c)2
m0 V~
Ep
p~ = mV~ = p
= 2 V~
2
c
1 − (V /c)
2 4
mc −
m20 c4
=
m20 c4 (
1
m0 c4
V2
− 1) =
( 2 ) = m2 c2 V 2 = p2 c2
2
2
1 − (V /c)
1 − (V /c) c
m2 c4 = p2 c2 + m20 c4
Ep =
p
p2 c2 + m20 c4
20
Transformación de la energı́a e impulso:
La masa en reposo es un invariante ya que es la misma para distintos observadores en sistemas inerciales S y S 0
Ep2
Para el sistema S: p2x + p2y + p2z − 2 = −m20 c2
c 0
Ep2
0
0
0
Para el sistema S 0 : px2 + py2 + pz2 − 2 = −m20 c2
c
Resulta entonces que entre las variables primadas y no primadas existe una
relación similar a la que tenı́amos cuando derivamos las transformaciones de Lorentz
entre x, y, z, ct y x0 , y 0 , z 0 , ct0 ,
Haciendo la correspondencia x → px ; y → py , z → pz y ct → Ep /c, obtenemos que
la transformación del impulso y la energı́a viene dada por:
px − v/c2 Ep
p0x = p
1 − (v/c)2
p0y = py p0z = pz
Ep − vpx
Ep0 = p
1 − (v/c)2
21