GEOMETRÍA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

ÁLGEBRA LINEAL
GEOMETRÍA DE LAS
TRANSFORMACIONES LINEALES
1. Definición
2. Representación matricial
3. Geometría de las transformaciones lineales
4. Resumen
5. Otros operadores
6. Ejemplos
Profa.: M. I. Norma Patricia López Acosta
1. Definición
Si el dominio de una función f es Rn y el codominio es Rm
(m y n quizás iguales), entonces f se denomina
transformación de Rn a Rm, y se dice que f mapea
(aplica o transforma) Rn en Rm. Esto se denota
escribiendo f: Rn→Rm.
Ilustración:
w1 = f1 (x1 , x 2 ,K, x n )
w2 = f 2 (x1 , x 2 ,K, x n )
M
M
wm = f m (x1 , x 2 ,K, x n )
Si denotamos:
T ( x1 , x 2 ,K, x n ) = (w1 , w2 ,K, wm )
Entonces se puede escribir:
T : Rn → Rm
2. Representación matricial
Entonces, una transformación lineal T: Rn→Rm puede estar
definida por ecuaciones de la forma:
w1 = a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n
w2 = a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n
M
M
M
M
wm = a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n
En notación matricial:
 w1   a11
 w  a
 2  =  21
 M   M
  
 wm  a m1
a12
a 22
M
am2
L a1n   x1 
L a 2 n   x 2 
M  M 
 
L a mn   x n 
En notación más compacta:
W=AX
La matriz A se conoce como matriz asociada a la transformación
(es su representación matricial ).
Ejemplo 1. La transformación lineal T: R4→R3, definida
por las ecuaciones:
w1 = 2 x1 − 3 x 2 + x3 − 5 x 4
w2 = 4 x1 + x 2 − 2 x3 + x 4
w3 = 5 x1 − x 2 + 4 x3
Se puede expresar en forma matricial como:
 x1 
 w1  2 − 3 1 − 5  
 w  = 4 1 − 2 1   x 2 
 2 
x 
3
 w3  5 − 1 4 0   x 
 4
La imagen del vector (x1,x2,x3,x4) = (1,-3,0,2), se puede calcular con:
1
 w1  2 − 3 1 − 5   1
 w  = 4 1 − 2 1  − 3 = 3
 0   
 2 
 w3  5 − 1 4 0    8
2
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES REFLEXIÓN (en el plano)
y
Reflexión respecto al eje “y”
(-x,y)
(x,y)
x
w=T(x)
y
x
Reflexión respecto al eje “x”
(x,y)
x
x
w=T(x)
(x,-y)
y
 − 1 0
 0 1


1 0 
0 −1


Reflexión respecto al eje “y=x”
(y,x)
y=x
w=T(x)
x
(x,y)
x
0 1 
1 0


3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES REFLEXIÓN (en el espacio)
Reflexión respecto al plano “xy”
(x,y,z)
x
y
x
w
(x,y,0)
1 0 0 
0 1 0 


0 0 −1
Reflexión respecto al plano “xz”
(x,-y,z)
(x,y,z)
x
w
y
x
Reflexión respecto al plano “yz”
z
(-x,y,z)
w
x
x
1 0 0
0 − 1 0 


0 0 1
(x,y,z)
y
 − 1 0 0
 0 1 0


 0 0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES PROYECCIÓN ORTOGONAL (en el plano)
Proyección ortogonal sobre el eje “x”
y
(x,y)
x
(x,0)
w
x
Proyección ortogonal sobre el eje “y”
y
(0,y)
w
1 0
0 0 


(x,y)
x
x
0 0 
0 1 


3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES PROYECCIÓN ORTOGONAL (en el espacio)
Proyección ortogonal sobre el plano “xy”
(x,y,z)
x
y
x
w
(x,y,-z)
z
Proyección ortogonal sobre el plano “xz”
(x,0,z)
(x,y,z)
x
w
y
x
1 0 0
0 0 0 


0 0 1
Proyección ortogonal sobre el plano “yz”
z
(0,y,z)
w
x
x
1 0 0
0 1 0 


0 0 0
(x,y,z)
y
0 0 0 
0 1 0 


0 0 1
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADOR ROTACIÓN (en el plano)
Rotación a través de un ángulo “θ”
y
(w1 ,w2 )
w
θ
(x,y)
x
x
cos θ
 senθ

− senθ 
cos θ 
3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES CONTRACCIÓN Y DILATACIÓN (en el plano)
y
Contracción con factor k sobre R2
x
w
(x,y)
(kx,ky)
x
k 0 
0 k 


Dilatación con factor k sobre R2
y
w
x
(kx,ky)
(x,y)
x
k 0 
0 k 


3. Geometría de las transformaciones lineales
OPERADORES CONTRACCIÓN Y DILATACIÓN (en el espacio)
z
Contracción con factor k sobre R3
x
w
(x,y,z)
(kx,ky,kz)
y
k 0 0 
0 k 0


 0 0 k 
x
z
Dilatación con factor k sobre R3
w (kx,ky,kz)
x
(x,y,z)
y
x
k 0 0 
0 k 0


 0 0 k 
4. Resumen
Reflexiones
Transforman un vector (o un
punto) en su imagen simétrica.
Proyecciones
Transforman cada vector en su
proyección ortogonal.
Rotaciones
Giran un vector hasta describir
un ángulo fijo.
Contracciones
Comprimen cada vector por un
factor k.
Dilataciones
Estiran cada vector por un
factor k.
5. Otros operadores
Existen
otras
transformaciones
(u
operadores)
denominadas “cortes” cuyo efecto es distorsionar un
vector a lo largo de uno o ambos ejes.
También es posible definir una “composición de
transformaciones lineales”. Por ejemplo, se puede
describir el movimiento de un vector que primero gira en el
sentido horario, luego refleja el vector resultante respecto a
un plano y finalmente proyecta ortogonalmente el vector
sobre otro plano.
Ejemplo 2. Encontrar la matriz de transformación AT
correspondiente a la proyección de un vector en R3
sobre el plano xy.
Solución:
 x  x
   
T y =  y
 z  0
   
 0  0
 1 1  0  0
   
       
En particular, T  0  =  0 , T  1  =  1  y T  0  =  0 
1 0
 0  0  0  0
   
       
Ecuación
del plano
De donde:
Proyección
del vector
Comprobando:
1 0 0


AT =  0 1 0 
 0 0 0


 x   1 0 0  x   x 
  
   
AT  y  =  0 1 0  y  =  y 
 z   0 0 0  z   0 
  
   
Ejemplo 3. Escriba la representación matricial de 2x2
de la transformación lineal:
Reflexión respecto al eje “y”,
y dibuje la región obtenida al aplicar esa transformación
a la región sombreada dada.
Sol.
y
(2,3)
 − 1 0
 0 1


(-2,3)
(5,3)
(-5,3)
x
0
(2,-2)
y
(5,-2)
0
(-5,-2)
(-2,-2)
x