Progresiones 1. Sea una Progresión Aritmética, si

Progresiones
1. Sea {x n }n∈IN una Progresión Aritmética, si sabemos que:
(a) La suma del tercer y cuarto término es igual a 43 y que la diferencia entre el octavo y el quinto
término es igual a 9, determine el primer término.
(b) La suma del cuarto y sexto término es igual a 8 y que la suma del quinto y noveno término es
igual a 9, determine el término general.
(c) La diferencia d es el 40% de a1 . Exprese a 2 como porcentaje de la suma de los 10 primeros
términos.
(d) El primer término –2, el último término 29 y la suma es 155. ¿Cuál es la diferencia?
(e) El tercer término es igual al cuádruple del primer término y el sexto término es igual a 17.
Determine la progresión.
4
2
2. ¿Cuántos términos de la progresión Aritmética, cuyos primeros términos son − 6 ,−6 ,−6 , se
5
5
4
deben sumar para obtener − 55 ?
5
3. La suma de tres números en Progresión Aritmética es 39 y su producto es 2.184. Determine tales
números.
4. La suma de los p primeros términos de una Progresión Aritmética es q y la suma de los q términos
es p: Calcule la suma de los p + q términos.
5. Demostrar que la suma de un número impar de términos de una Progresión Aritmética es igual al
término central multiplicado por el número de términos.
6. Halle el trigésimo término de la Progresión Aritmética –7, -4, -1, 2,...
7. Halle el vigésimo término de la Progresión Aritmética 1.5, 3, 4.5,...
8. Halle el sexto y séptimo término de una Progresión Geométrica cuyo primer término es –2 y cuya
1
razón es r = − .
2
9. Halle el primer término de una Progresión Geométrica cuyos cuarto y quinto términos son –8 y 32
respectivamente.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara
-1-
Curso: Algebra I
10. Halle el primer término de una Progresión Geométrica cuyos quinto y sexto términos son 3 y –4
respectivamente.
11. Halle el noveno término de una Progresión Aritmética cuyo primer y tercer término son 181 y 150
respectivamente.
12. Halle el octavo término de una Progresión Geométrica si el segundo y el cuarto término son
20
y
9
80
respectivamente.
81
13. Halle una Progresión Aritmética cuyo primer término es 3 y la suma del segundo y tercer término
es 18.
14. Halle una Progresión Geométrica cuyo segundo término sea 4, y tal que
a 4 25
=
a6
4
15. Sea ( a n ) una progresión aritmética con d = 40 tal que S 20 = 650; halle a 1 y a 10 .
16. Suponga que a 1 =-17.5 y a n = 20 son el primero y el n-ésimo término respectivamente de una serie
aritmética para la cual S n = 63.75. Halle n y d.
17. Si {a n } es una progresión con r =
1
tal que S 5 = 4992 , encuentre el primer término a 1 .
5
18. Si los números x, y, z están en Progresión Geométrica, demuestre que x + xy + y 2 , y 2 + yz + z 2 y
z 2 + zx + x 2 están en Progresión Aritmética.
19. Sean tres números x, y, z que se encuentran en Progresión Aritmética tales que su suma es 24. Si
restamos uno al primer término y dos al segundo, los nuevos números quedan en Progresión
Geométrica. Determine los números x, y, z .
20. Una pareja decide ahorrar US$10 cada mes del primer año de matrimonio, US$25 cada mes del
segundo año de matrimonio, US$40 cada mes del tercer año del matrimonio, y así sucesivamente
aumentando US$15 la cantidad mensual cada año. Halle la cantidad que deberá ahorrar cada mes
del año décimo.
21. En el problema anterior encuentre una fórmula para la cantidad que la pareja deberá ahorrar cada
mes del año n-ésimo.
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara
-2-
Curso: Algebra I
22. Si se invierten US$2,000 a 8% de interés compuesto anual, halle la cantidad en la cuenta después
de 15 años.
23. Halle la cantidad que debe depositarse en una cuenta a 6% de interés compuesto anual para tener
US$20,000 al cabo de 15 años.
24. A qué tasa de interés anual se deberán depositar US$2,000 para tener US$10,000 en la cuenta 20
años después.
25. ¿Cuánto tiempo se demorará en triplicarse una inversión al 10% de interés compuesto anual?
26. Cierta población de bacterias aumenta geométricamente con un factor diario de 1.2. ¿De cuánto
será su población al cabo de una semana si inicialmente era de 100?
27. Se conoce que una pareja de ratones blancos tiene al mes siguiente después de madurar, dos crías
cada mes: un macho y una hembra. Además, se demoran en madurar un mes. Un laboratorio que
necesita ratones blancos para su investigación adquiere dos crías de ratones blancos, un macho y
una hembra a principios de año. ¿Con cuántos pares de ratones blancos deberá contar el mes 10 del
año? Halle una fórmula de recurrencia que dé el número de pares de ratones blancos que habrá en el
enésimo mes.
28. Al nacer su hija, una pareja deposita un capital de US10,000 que gana un interés de 14% compuesto
anual para regalarle el monto que habrá en la cuenta el día que se case. Si ella se casa a los 20 años
de edad, ¿de cuánto fue el monto del regalo por concepto de esa cuenta?
29. Una persona recibe una herencia. Después de satisfacer ciertas necesidades, ella quiere hacer un
depósito en una cuenta que le garantice que dentro de 30 años tendrá 2 millones de dólares. Si el
banco le da una tasa de interés de 12% compuesto anual, ¿cuál será el capital que deberá depositar
en la cuenta?
30. La media geométrica de dos números positivos a y b es el número m tal que a, m y b son términos
consecutivos de una Progresión Geométrica finita. Encuentre una fórmula para la media geométrica
de a y b.
31. Un turista le saca una foto a una pirámide y observa que en su base hay 50 bloques, en la fila
siguiente hay 49, en la siguiente 48, y así sucesivamente hasta que en la fila superior hay 8
bloques.¿ Cuántos bloques tendrá esa cara de la pirámide fotografiada?
32. Una pareja decide ahorrar US$10 cada mes de su primer año de matrimonio, US$25 cada mes de su
segundo año de matrimonio, y así sucesivamente aumentando US$15 la cantidad mensual cada año.
¿Cuánto habrá ahorrado al cumplir 20 años de casada?
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara
-3-
Curso: Algebra I
33. En una reunión de 200 personas cada una le dio un apretón de manos a todas las demás personas
exactamente una vez ¿Cuántos apretones de manos hubo?
34. Hay una antigua leyenda cerca de las series geométricas y los tableros de ajedrez. Cuando un rey d
e Persia aprendió a jugar el ajedrez quiso agradecerle al inventor del juego por ello y le prometió
concederle lo que le pidiera. Este señor llamado Sessa, quiso jugarle una broma, y con aire de
modestia le pidió un grano de trigo por el primer cuadro del tablero, 2 por el segundo, 4 por el
tercero, 8 por el cuarto y así sucesivamente. Explique en qué consiste la “broma” de Sessa.
35. Una persona ve dos anuncios de empleo para realizar el mismo trabajo durante todos los días de un
mes o 30 días. Uno de ellos dice que pagará US$10,000 por el mes de trabajo y el otro dice que
pagará diariamente 1c el primer día, 2c el segundo, 4c el tercero y así sucesivamente hasta el último
día del mes. ¿Cuál empleo le resulta más llamativo? ¿Por qué?
36. Un automóvil que se acelera en una razón constante recorre 3 metros el primer segundo, 8 metros el
segundo, 13 metros el tercer segundo, y así sucesivamente recorre 5 metros adicionales cada
segundo. Halle la distancia total que el automóvil ha recorrido después de 10 segundos.
37. Una epidemia crece tan rápido que cada día hay el doble de personas contaminadas que había el día
anterior. Si una población se contamina completamente en 19 días, si el primer día hay 2 personas
contaminadas. ¿Cuántos días se demorará si el primer día hay 4 personas contaminadas?
Profesor: Miguel Angel Muñoz Jara
-4-
Curso: Algebra I