µ µ µ g µ σ µ φ φ β σ µ β σ - Pàgina inicial de UPCommons

Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
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MÉTODOS DE NIVEL II.
En esta tesina se desarrolla el diseño probabilista de Nivel II. Sólo está
presente el llamado método de fiabilidad de primer orden (First Order Reliability
Method, FORM), donde la superficie de fallo se aproxima a un hiperplano
tangente a cierto punto. Un método más exacto es el método de fiabilidad de
segundo orden (SORM), que usa una aproximación cuadrática a la superficie
de fallo.
5.1
Funciones de fallo lineales.
Se supone que la solicitación S(x) y la resistencia R(x) para un modo de fallo
único son estadísticamente independientes y con las funciones de densidad
como se ilustra en la Figura 4.2.1. La función de fallo está dada por la ecuación
(4.1) y la probabilidad del fallo se expresa por la ecuación (4.9) o la ecuación
(4.10).
Como en muchos casos estas funciones no son conocidas, bajo ciertas
suposiciones pueden ser estimadas usando sólo los valores medios (medias) y
desviaciones estándar. Si S y R se asumen como variables normales
independientes con medias y desviaciones estándar conocidas, entonces la
función de fallo g = R − S sigue una distribución normal con media:
(5.1)
µg = µR − µS
Y desviación estándar:
σ g = (σ 2 + σ 2 )
R
(5.2)
S
La cantidad (g − µs ) / σ g es una variable normal unitaria, y por lo tanto:
⎛ 0 − µg
(
)
f
x
dx
=
φ
⎜⎜
g
∫
−∞
⎝ σg
0
Pf = prob(g ≤ 0) =
Donde:
β=
µg
σg
⎞
⎟⎟ = φ ( − β )
⎠
(5.3)
(5.4)
Es una medida de la probabilidad del fallo denominada como el índice de
fiabilidad de Cornell (1969). La Figura 5.1.1 ilustra el índice de fiabilidad β.
β es el inverso del coeficiente de variación, y es la distancia (desde el punto de
vista del número de las desviaciones estándar) entre el valor más probable de
la g ( en este caso la media) y la superficie de fallo, la g = 0.
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Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
Figura 5.1.1. Ilustración del índice de fiabilidad. CEM (2006).
Si R y S están normalmente distribuidas y correlacionadas entonces la
ecuación (5.3) sigue siendo válida, pero σ se da por:
σg =
(σ
2
R
+ σ S2 + 2 ρRSσ Rσ S
)
(5.5)
Donde ρRS es el coeficiente de correlación:
ρRS =
Cov (R, S )
σ Rσ S
=
E ⎡⎣( R − µR )( S − µS ) ⎤⎦
σ Rσ S
(5.6)
R y S no están correlacionadas si ρRS = 0 .
Además de la ilustración de β en la Figura 5.1.1, puede incluirse una
interpretación geométrica simple de β en el caso de una función g de fallo
normalizada g = R − S de las variables independientes R y S mediante una
transformación en un sistema de coordenadas normalizado de variables
R ' = (R − µR ) / σ R y S ' = (S − µS ) / σ S , como se muestra en la Figura 5.1.2.
Figura 5.1.2. Ilustración de β en un sistema de coordenadas normalizado. CEM (2006).
Con estas variables la superficie de fallo g = 0 es lineal y está dada por:
R ' σ R − S ' σ S + µR + µS = 0
(5.7)
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Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
Por consideraciones geométricas puede demostrarse que la distancia más
corta del origen a esta superficie de fallo lineal es igual que la usada en las
ecuaciones (5.1) y (5.2):
β=
5.2
µg
µ − µS
= R
σg
σ R2 + σ S2
(5.8)
Funciones de fallo no lineales.
( )
Si la función de fallo g = g X es no lineal , entonces los valores aproximados
para µg y σ g pueden obtenerse usando una función de fallo linealizada.
La linealización se ejecuta considerando sólo los términos lineales de un
desarrollo en serie de Taylor alrededor de cierto punto.
Cuando la linearización se ejecuta alrededor de las medias
( X1,..., X n ) = µ1,..., µn , el método se llama First Order Mean Value Approach y
entonces:
∂g
( X i − µi )
i =1 ∂X i
n
g g ( µ1,..., µn ) + ∑
(5.9)
Donde ∂g / ∂X i está evaluado en ( µ1,..., µn ) . Los valores aproximados de µg y
σ g son:
n
µg g ( µ1,..., µn )
(5.10)
∂g ∂g
Cov ⎡⎣ X i , X j ⎤⎦
j =1 ∂X i ∂X j
(5.11)
n
σ g2 ∑∑
i =1
Si las variables aleatorias X son no correlacionadas ( ρ X i X j = 0 ), entonces la
ecuación anterior se reduce a:
⎛ ∂g
⎞
σ ∑⎜
σ Xi ⎟
i =1 ⎝ ∂X i
⎠
2
g
n
2
(5.12)
Porque Cov [ X i , X i ] = σ X2 i y Cov ⎡⎣ X i , X j ⎤⎦ = 0 para todas las i y j tal que i ≠ j .
Cuando la linearización se ejecuta alrededor del punto de diseño, el método se
llama First Order Design point Approach. Pero el punto de diseño a priori es
desconocido.
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Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
Los valores de µg , σ g , y β, dependen del punto alrededor del cuál se ha
linealizado la ecuación. Además, el valor de β definido por la ecuación (5.4)
cambiará cuando sea usado en funciones no lineales equivalentes
Para superar estos problemas, se realiza una transformación de las variables
básicas X = ( X1, X 2 ,..., X n ) en un nuevo conjunto de variables normalizadas
Z = ( Z1, Z2 ,..., Zn ) . Para variables normales independientes (no correlacionadas)
la transformación es:
Zi =
X i − µ Xi
σX
(5.13)
i
En cuyo caso µZi = 0 y σ Zi = 1. Mediante esta transformación lineal la
superficie de fallo g = 0 en el sistema coordinado x se transforma en una
superficie de fallo en el sistema coordinado z que divide el espacio en una
región segura y una región de fallo como se ilustra en la Figura 5.2.1.
Figura 5.2.1. Definición del índice de fiabilidad de Hasofer & Lind (1974).
La Figura 5.2.1 introduce el índice de fiabilidad de Hasofer & Lind (1974), β HL ,
que está definido como la distancia del origen al punto más cercano, D, de la
superficie de fallo en el sistema coordinado de z. Este punto es llamado el
punto de diseño. Las coordenadas del punto de diseño en el sistema de
coordenadas original son los valores más probables de las variables X en fallo.
βHL puede formularse como:
⎛
n
⎞
β HL = min ⎜ ∑ zi2 ⎟
g ( z )= 0
⎝ i =1
⎠
1
2
(5.14)
La característica especial de β HL , en oposición a β , es que β HL está
relacionada con la superficie de fallo g ( z ) = 0 , la cual es invariable respecto a
la función de fallo porque funciones de fallo equivalentes se transforman en la
misma superficie de fallo.
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Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
Los dos índices de fiabilidad β y β HL coincidirán cuando la superficie de fallo
sea lineal y también en el caso de funciones de fallo no lineales desarrolladas
en serie de Taylor alrededor del punto de diseño.
Para obtener β HL y las coordenadas del punto de diseño cuando la superficie
de fallo es no lineal, se puede seguir el método iterativo que se describe a
continuación, y que plantea un problema de extremos condicionados para
encontrar la distancia del origen a punto de fallo.
Si θ denota la distancia desde el origen hasta cualquier punto de la superficie
de fallo descrita en coordenadas normalizadas, entonces el problema a
resolver es:
1
⎧
n
2
⎛
⎞
2
⎪⎪ θ =
⎜ ∑ zi ⎟
(5.15)
⎨
⎝ i =1 ⎠
⎪
⎪⎩g ( z1, z2 ,..., zn ) = 0
Para resolverlo se construye la función de Lagrange:
1
F = θ + K1g = ⎡⎣ z12 + z22 + ... + zn2 ⎤⎦ 2 + K1g ( z1, z2 ,..., zn )
(5.16)
Donde K1 es una constante desconocida (multiplicador de Lagrange).
El máximo o mínimo de θ se da cuando:
1
⎧ ∂F
∂g
2
2
2 −2
⎡
⎤
=
+
+
+
⋅ zi + K1
=0
z
z
z
...
⎪
1
2
n⎦
⎣
∂zi
⎨ ∂zi
⎪
g ( z1, z2 ,..., zn ) = 0
⎩
i = 1,2,..., n
(5.17)
Se asume que el extremo es único y que las coordenadas del punto de diseño
están dadas por:
( z , z ,..., z ) = ( β
d
1
d
2
d
n
α1, βHLα 2 ,..., β HLα n )
HL
(5.18)
Entonces:
1
⎡n
2 ⎤2
= ⎢ ∑ ( β HLα i ) ⎥
⎣ i =1
⎦
θmin = βHL
(5.19)
Y consecuentemente:
n
∑α
i =1
2
i
=1
(5.20)
La ecuación (5.17) se transforma en:
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Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
⎧ − 21
∂g
= 0 i = 1,2,..., n
⎪ βHL ⋅ ( βHLα i ) + K1
∂zi
⎨
⎪
g ( βHLα1, β HLα 2 ,..., β HLα n ) = 0
⎩
(5.21)
∂g
∂g
⎧
−
−
⎪
∂zi
∂zi
⎪
αi =
=
1
⎪
−
K
⎨
βHL2
⎪
K1
⎪
⎩⎪g ( β HLα1, β HLα 2 ,..., β HLα n ) = 0
(5.22)
ó
Insertando la ecuación (5.22) en la (5.20) da:
1
⎡ n ⎛ ∂g ⎞2 ⎤ 2
K = ⎢∑ ⎜
⎟ ⎥
⎢⎣ i =1 ⎝ ∂zi ⎠ ⎥⎦
(5.23)
Los valores α definidos por la ecuación (5.18) se denominan índices de
sensibilidad, ya que α i2 da una indicación de la importancia relativa sobre el
índice de fiabilidad β HL de la variable X i .
Si el valor de α i2 es pequeño, se puede considerar X i como variable
determinista.
En el caso de asumir X i como variable determinista el cambio relativo en el
índice de fiabilidad puede ser aproximado como:
β HL ( X i : det er min ista )
1
β HL ( X i : aleatoria )
1 − α i2
(5.24)
La ecuación (5.24) se usa para la evaluación de una posible simplificación de
una función de fallo reduciendo el número de variables aleatorias. En esta
tesina también se realiza un análisis para estudiar cuál ha de ser el valor
adoptado de las variables deterministas. Dicho análisis se incluye en los
capítulos 7,8 y 9.
La sensibilidad de β HL a la variación del valor de un parámetro determinista
puede expresarse como:
d βHL 1 ∂g
(5.25)
=
dbi
k ∂bi
Donde K está dado por la ecuación (5.23) y la derivada parcial está
considerada en el punto de diseño. La ecuación (5.25) habitualmente se usa
para considerar el cambio de una variable determinista en aleatoria.
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Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
5.3
Esquema directo (FDA) y aproximación de primer orden (FMA).
La solución al problema planteado en las secciones anteriores por el método de
Nivel II, se reduce a la obtención de βHL (distancia mínima del origen de
coordenadas a la superficie de fallo) y los índices de sensibilidad α i2 . La
secuencia de cálculo para resolverlo incluye:
1. La transformación de todas las variables que participan con un modelo
de probabilidad en variables gaussianas reducidas no correlacionadas.
2. La transformación de la ecuación de verificación a las nuevas
variables.
3. El cálculo de la distancia mínima del origen de coordenadas a la
superficie de fallo representada por la ecuación de verificación.
El resultado de la aplicación de ambos esquemas es:
1. El punto crítico de fallo, expresado en variables reducidas y variables
originales.
2. El índice de fiabilidad y la probabilidad de fallo o parada.
3. Los índices de sensibilidad de los factores.
Siempre que sea posible el cálculo de la distancia mínima se realizará
directamente aplicando técnicas numéricas de optimización. También se puede
recurrir a técnicas aproximadas, en particular a la aproximación de primer
orden que linealiza la función de fallo alrededor del punto crítico.
Cuando se ejecuta una linealización de la función de fallo alrededor de los
valores medios, el método se llama First Order Mean Value Approach (FMA).
En esta tesina este método también se denotará como aproximación de primer
orden.
Cuando el Nivel II se aplica directamente alrededor del punto de diseño, el
método se llama First Order Design Point Approach (FDA). Pero como el punto
de diseño a priori es desconocido es necesario aplicar un algoritmo de
optimización para obtenerlo. En esta tesina este método también se notará
como esquema directo.
En resumen, en esta tesina se aplican dos versiones del diseño probabilista de
Nivel II al rebase de estructuras marítimas, el esquema directo o FDA y la
aproximación de primer orden o FMA, cuyos esquemas de cálculo se exponen
a continuación.
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Diseño probabilista de Nivel II aplicado al rebase de estructuras marítimas
Esquema directo, FDA:
Se consideran todas las variables aleatorias como
correlacionadas. El esquema de cálculo es el siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
normales
no
Transformar las variables aleatorias en variables normalizadas.
Expresar la ecuación de verificación en variables normalizadas.
Estimar un punto crítico inicial.
Aplicar un algoritmo de optimización.
Calcular el índice de fiabilidad y los índices de sensibilidad.
El algoritmo de optimización implica la resolución del problema de extremos
condicionados que plantea la ecuación (5.21).
El método FDA es el que se recomienda y se desarrolla mediante algún
ejemplo en el CEM (2006).
Aproximación de primer orden, FMA:
El esquema iterativo que ejecuta los siguientes pasos:
1.
2.
3.
4.
Transformar las variables aleatorias en variables normalizadas.
Expresar la ecuación de verificación en variables normalizadas.
Estimar un punto crítico inicial (valores medios).
Hacer un desarrollo en serie de Taylor de la ecuación de verificación
alrededor del punto crítico inicial (valores medios), tomando sólo el
término lineal.
5. Calcular el índice de fiabilidad y los índices de sensibilidad.
El método FDA es el que se desarrolla mediante algún ejemplo en la ROM 0.0
(2001).
A priori, el desarrollo alrededor del punto de diseño (esquema directo) sería
preferible a la aproximación de primer orden debido a que el punto de diseño
es el punto de fallo más probable. Además, el desarrollo alrededor de los
valores medios (FMA) puede dar lugar a resultados erróneos, pero debido a la
simplicidad del método y que a priori el punto de diseño es desconocido, suele
ser usado para conseguir un primer orden de magnitud de la probabilidad de
fallo.
Estos esquemas de cálculo del Nivel II se desarrollan para su aplicación en el
rebase en el capítulo siguiente.
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