tests de vida acelerada

Tests de vida acelerada
FIABILIDAD (VI): TESTS DE VIDA ACELERADA
Autores: Ángel A. Juan Pérez ([email protected]), Rafael García Martín ([email protected]).
RELACIÓN CON OTROS MATH-BLOCS__________________________________
Este math-block forma parte de una serie de 8 documentos relacionados todos ellos con la Fiabilidad
de componentes desde un punto de vista estadístico:
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Conceptos Básicos (I).
Identificación y descripción gráfica de los datos (II).
Análisis paramétrico de los tiempos de fallo (III).
Análisis no paramétrico de los tiempos de fallo (IV).
Comparación no paramétrica de muestras (V).
Tests de vida acelerada (VI).
Modelos de regresión para observaciones censuradas (VII).
Análisis Probit (Éxito / fracaso) (VIII).
ESQUEMA DE CONTENIDOS___________________________________________
Modelos de vida
acelerada
Fiabilidad (VI): Tests de
vida acelerada
Ejemplo test de vida
acelerada (Minitab)
Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)
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Tests de vida acelerada
INTRODUCCIÓN_____________________________________________________
En ocasiones, realizar un experimento para determinar los tiempos de fallo de un determinado
dispositivo puede resultar excesivamente largo y costoso. En tales casos, es recomendable recurrir a
un test de vida acelerada, i.e.: un experimento en el que los dispositivos sean sometidos a
condiciones más extremas de lo normal, con lo que se conseguirá acelerar el proceso de desgaste y,
en consecuencia, se reducirá el tiempo de duración del estudio. Los resultados así obtenidos sobre
tiempos de fallos se podrán extrapolar al caso en que los dispositivos se encuentren funcionando en
condiciones normales.
Normalmente, lo que se hace es incrementar alguna de las llamadas variables aceleradoras
(temperatura a la cual trabaja el dispositivo, voltaje, presión, vibración, número de horas al día de uso,
etc.), para ver cómo afecta este incremento a los tiempos de fallo de una determinada proporción de
dispositivos.
Supóngase, p.e., que se desea conocer qué influencia tiene el valor de la variable aceleradora Z
sobre el instante en que habrán fallado el 20% de los dispositivos, i.e., sobre el percentil de orden 20
de T ó T20 . El objetivo será pues encontrar una relación matemática entre las variables Z y T20 , i.e.:
se buscará un modelo de regresión simple que permita explicar los valores de T20 a partir de los
valores de Z.
Para llevar a cabo de forma efectiva estos tests de vida acelerada, será conveniente recurrir a
software especializado. En este capítulo se hará uso del programa MINITAB a fin de ejemplificar con
casos prácticos los conceptos involucrados en este tipo de estudios.
MODELOS DE VIDA ACELERADA_______________________________________
Por defecto, MINITAB usará un modelo de regresión lineal simple a la hora de explicar la relación
existente entre la variable independiente Z y la variable dependiente Tp (percentil de orden p de T).
Sin embargo, es posible construir modelos no lineales sin más que transformar la variable
aceleradora. Así, por ejemplo, cuando Z representa la temperatura en grados centígrados a la cual
trabajan los dispositivos, es frecuente considerar transformaciones de Z como las siguientes:
X = Arr(Z) =
11604,83
1
; X = Inv(Z) =
; X = Ln Z ; X = Log10 Z
Z + 273,16
Z + 273,16
Además, según la distribución que sigan los tiempos de fallo T (exponencial, Weibull, etc.), puede
resultar conveniente (ver tabla) realizar alguna de las siguientes transformaciones del percentil Tp:
Yp = Tp
Yp = Ln Tp
Yp = Log10 Tp
De forma general, el percentil de orden p de la variable dependiente Y será:
Yp = a + b ⋅ X + σ ⋅ εp
donde:
•
•
•
a y b son el término independiente y el coeficiente de regresión
σ = parámetro de escala (escala = 1 / forma)
εp = percentil de orden p de la distribución de los residuos (ε), la cual vendrá
determinada por la distribución de T (ver tabla).
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Tests de vida acelerada
En la tabla siguiente se relaciona la distribución de los tiempos de fallo T con:
1) Las transformaciones idóneas para Tp , y
2) Las distribuciones que siguen los residuos ε
Yp
Ln Tp
Log10 Tp
Tp
Distrib. de tiempos de fallo (T)
Weibull
exponencial
log-normal base e
log-logística
log-normal base 10
normal
valores extremos
logística
Distrib. de ε
valores extremos (0,1)
normal (0,1)
logística (0,1)
normal (0,1)
valores extremos (0,1)
logística (0,1)
EJEMPLO DE TEST VIDA ACELERADA__________________________________
Supóngase que se desea investigar el proceso de deterioro que sufre la capa aislante de los motores
eléctricos. Dichos motores soportan habitualmente temperaturas de entre 80 y 100º C. Con el fin de
minimizar los costes del estudio (tanto de tiempo como de dinero), se llevará a cabo un test de vida
acelerada.
En primer lugar, para acelerar el proceso de desgaste, se registrarán los tiempos de deterioro de la
capa a temperaturas extremas de 110, 130, 150, y 170º C. Con estos datos, guardados en el archivo
Aislante.mtw , será posible estimar los tiempos de fallo para las temperaturas habituales de 80 a 100º
C:
Temp min y max habituales
Variable aceleradora
Temp = 110, 130, 150,
Instante de
fallo
F = fallo ; C = censura
Entrada de datos (input): En este caso, se usará una transformación de Arrhenius para la variable
aceleradora, i.e., se tomará X = Arr(Z), siendo Z la variable aceleradora que representa la
temperatura (Temp en este ejemplo). En base a un estudio anterior, se sabe también que los tiempos
de fallo son ajustables mediante una distribución Weibull:
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Tests de vida acelerada
Será necesario especificar la columna que contiene el indicador de censura (F = fallo, C = censura).
Es posible solicitar también, además de los gráficos por defecto, un gráfico de probabilidad para los
residuos. Con dicho gráfico se podrá comprobar visualmente si la distribución elegida para los
tiempos de fallo (la Weibull en este caso) es correcta:
Finalmente, también se pedirá a MINITAB que, a partir del modelo obtenido, realice las predicciones
sobre los tiempos de fallo del percentil 50 a las temperaturas de 80 y 100º C (incluidas en la columna
Diseño). Es decir, se obtendrán estimaciones del tiempo que tardarían en deteriorarse el 50% de las
capas aislantes para una temperatura de 80º C y para una temperatura de 100º C:
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Salida de datos (output): Los resultados se muestran a continuación:
Regression with Life Data: T versus Temp
Response Variable:
T
Censoring Information
Uncensored value
Right censored value
Censoring value: Censura = C
Count
66
14
Estimation Method: Maximum Likelihood
Distribution: Weibull
Transformation on accelerating variable:
Regression Table
Predictor
Intercept
Temp
Shape
Coef
-15,1874
0,83072
2,8246
Standard
Error
0,9862
0,03504
0,2570
Información
sobre
la
distribución elegida para T, y
sobre la transformación de la
variable aceleradora
Arrhenius
Z
P
-15,40 0,000
23,71 0,000
Valores estimados de a, b, y 1/σ
(shape=1/scale), así como los pvalores asociados al test con H0:
“el coeficiente es 0” (i.e., no tiene
razón de existir en el modelo)
95,0% Normal CI
Lower
Upper
-17,1203
-13,2546
0,76204
0,89940
2,3633
3,3760
¡Atención!: dependiendo de la
distribución elegida, el “output” nos dará
uno de los dos parámetros (Scale o
Shape)
Log-Likelihood = -564,693
ProbPlot for T
Anderson-Darling (adjusted) Goodness-of-Fit
At each accelerating level
Level
Fitted Model
110
22,30
130
0,6750
150
4,996
170
2,435
Predicciones (basadas en
modelo creado) para
tiempos de fallo del 50%
dispositivos
bajo
temperaturas indicadas.
Standardized Residuals = 0,7553
Table of Percentiles
Percent
50
50
Temp
80,0000
100,0000
Percentile
159584,5
36948,57
Standard
Error
27446,85
4216,511
el
los
de
las
95,0% Normal CI
Lower
Upper
113918,2
223557,0
29543,36
46209,94
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La tabla de regresión proporciona los coeficientes del modelo. Para una distribución de Weibull
(como la que se ha elegido), nuestro modelo sería:
Ln Tp = −15,1874 + 0,83072 ⋅ Arr (Temp ) +
1
⋅ εp
2,8246
donde ε sigue una distribución de valores extremos (0,1).
La tabla de percentiles muestra los percentiles de orden 50 para las temperaturas solicitadas de 80
y 100º C. El percentil 50 es un buen estimador para el tiempo de duración esperada de una capa de
aislamiento sometida a una determinada temperatura. A 80º C, la protección funcionaría alrededor de
159.584,5 horas (o 18,20 años); a 100º C, la misma protección no superaría las 36.948,57 horas (4,21
años).
A partir del gráfico siguiente es posible obtener información sobre la distribución de tiempos de fallo
para cada temperatura. En este caso, es posible estimar los percentiles de orden 10, 50, y 90.
Finalmente, con en el gráfico de probabilidad de los residuos es posible comprobar si la distribución
elegida se ajusta de forma correcta a las observaciones. En general, cuanto más cerca estén los
puntos de la recta
Relation Plot (Fitted Arrhenius) for T
central, tanto mejor
Weibull Distribution - ML Estimates - 95,0% CI
será la aproximación:
Censoring Column in Censura
10,0%
50,0%
90,0%
Time to Failure
100000
10000
1000
70
90
110
130
150
170
Temp
Probability Plot for SResids of T
Extreme value Distribution - ML Estimates - 95,0% CI
Censoring Column in Censura
99,9
99
95
90
80
70
60
50
40
30
Failure
Censor
AD*
66
14
0,7553
Percent
20
10
5
3
2
1
0,1
-8
-4
0
Standardized Residuals
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ENLACES___________________________________________________________
[W1]
En la dirección de weibull.com puede encontrarse un enlace a un libro electrónico dedicado
por completo a los test de vida acelerada
El contenido de este libro es el siguiente
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