1 Elige una sola de las dos opciones. Los

IES El Cabanyal València Física 2n batxillerat
07/05/2014
Examen global Física Moderna
Elige una sola de las dos opciones. Los problemas se puntuarán sobre 2 puntos y las
cuestiones sobre 1,5 puntos.
Constantes y datos para la resolución de la prueba.
NA = 6,02.1023 partículas/mol; qe = -1,6.10-19 C; 1 u = 1,66.10-27 kg = 931,5 MeV; c = 3.108 m/s.
constante de Planck h = 6,63.10-34 J.s Masas de los núcleos siguientes tritio, 31H = 3,01557 u;
deuterio 21d = 2,01474 u; helio = 4,002603 u; me = 0,000548 u = 9,1.10-31 kg. Masa del
neutrón 1n = 1,008665 u, masa del protón 1,007277 u.
OPCIÓN A
CUESTIONES
1. Calcula la longitud de onda y el momento lineal asociado a los electrones dotados de una
energía cinética de 10 MeV. Indica si se precisa aplicar ecuaciones relativistas.
2.- Explica brevemente por qué se producen las emisiones radiactivas. ¿En qué tipo de
núcleos se espera que emitan positrones?, razona la respuesta.
3. Explica el fenómeno de fisión nuclear e indica de dónde se obtiene la energía liberada.
¿Qué es una reacción en cadena?
4.- Deduce la partícula emitida en las desintegraciones siguientes
(a) 137 N →126C + ...
(b)
226
Ra→ 222
Rn
88
86
(c)
27
13
(
)
+ ... → X + α
Al α, β + X
PROBLEMAS
1.- En el efecto fotoeléctrico de una célula fotoeléctrica, el trabajo de extracción de
electrones del metal es 3,2 eV.
(a) ¿Cuál es la frecuencia mínima de la radiación necesaria para conseguir extraer
fotoelectrones del metal?
(b) ¿Qué energía cinética máxima adquirirán los electrones en el caso de que la luz
incidente tenga la mitad de longitud de onda que la umbral? Calcula el potencial de
frenado.
2.- (a) El radio 228 (Z= 88) es un emisor β− y tiene una vida media de 6,7 años.
(a) Determina la constante radiactiva y el período de semidesintegración. (1 pto)
(b) Calcula el porcentaje de núcleos que quedarán al cabo de 8 años. (0,5 ptos)
(c) ¿En cuánto tiempo se reducirá a un 5% una muestra de radio-228? (0,5 ptos)
1
OPCIÓN B
CUESTIONES
1.- La frecuencia umbral de cierto metal es 8.1014 Hz. Calcula cuál será el potencial de
frenado si se ilumina el metal con una radiación de longitud de onda de 25 nm.
2.- Las masas isotópicas del C-12 (Z = 6) y el oxigeno-16 (Z = 8) son, respectivamente,
12,00000 u y 15,9949 u. Deduce cuál de los dos isótopos es más estable. (Ver resto de datos
en la cabecera del examen).
3.- (a) Cuando un núcleo d’ 235
92 U captura un neutrón, se produce un isótopo del Ba de
número másico 141, un isótopo del Kr de número atómico 36 y tres neutrones. Calcula el
número atómico del isótopo del Ba y el número másico del isótopo del Kr.
(b) El carbono-14 (Z = 6) es un isótopo emisor β-, escribe la reacción de emisión y explica qué
núcleo dará después de la emisión β-.
4.- Explica el fenómeno de fusión nuclear e indica de dónde se obtiene la energía liberada.
Calcúlala en el proceso d(T,n)He. (Ver datos en la cabecera del examen).
PROBLEMAS
1.- Un haz de electrones se acelera en un campo eléctrico hasta 2 MeV.
(a) Calcula la velocidad de los electrones.
(b) Determina la longitud de onda asociada a los electrones. ¿Cómo se podría poner de
manifiesto que se comportarían como ondas?
2.- El radio-226 es un emisor alfa que se toma como referencia de actividad radioactiva. Así
un gramo de radio-226 tiene una actividad radiactiva de un Ci (curio) equivalente a 3,7.1010
desintegraciones por segundo.
(a) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que la actividad radiactiva disminuya el 87,5 %?
(b) Calcula la masa de radio que quedará después de cien años, partiendo de un g de radio
2
IES El Cabanyal València Física 2n batxillerat
07/05/2014
Examen global Física Moderna
Elige una sola de las dos opciones. Los problemas se puntuarán sobre 2 puntos y las
cuestiones sobre 1,5 puntos.
Constantes y datos para la resolución de la prueba.
NA = 6,02.1023 partículas/mol; qe = -1,6.10-19 C; 1 u = 1,66.10-27 kg = 931,5 MeV; c = 3.108 m/s.
constante de Planck h = 6,63.10-34 J.s Masas de los núcleos siguientes tritio, 31H = 3,01557 u;
deuterio 21d = 2,01474 u; helio = 4,002603 u; me = 0,000548 u = 9,1.10-31 kg. Masa del
neutrón 1n = 1,008665 u, masa del protón 1,007277 u.
RESPUESTAS
OPCIÓN A
CUESTIONES
C1.- Calcula la longitud de onda y el momento lineal asociado a los electrones dotados de
una energía cinética de 10 MeV. Indica si se precisa aplicar ecuaciones relativistas.
Respuesta
Si se aplica la ecuación de la Mecánica Clásica Ec = ½ mv2 a un electrón con energía cinética
de 10 MeV (= 1,6.10-12 J) se obtiene un valor para v = (2Ec/me)1/2> c, lo cual es erróneo
porque ninguna partícula supera la velocidad de la luz. Por consiguiente, es preciso aplicar
las ecuaciones de la Mecánica Relativista.
El momento lineal p= mv =
mo
v2
1− 2
c
.v
(1) podemos relacionarlo con la energía cinética
si se tiene en cuenta Ec = (m - mo).c2, (2) donde m =
⇒ E c = mo .c 2 .(
8
1
-13
− 1 ) (4) ⇒ 10.1,6.10
2
v
1− 2
c
mo
v2
1− 2
c
(3)
= 9,1.10-31.9.1016 .
.
-28
v = 2,995.10 m/s y la masa es m = 2,822.10 kg ⇒ p = 8,45.10
La longitud de onda es λ = h/p = 7,85.10-15 m
-20
(
1
v2
1−
9.10 16
− 1)
.
kg.m/s
C2.- Explica brevemente por qué se producen las emisiones radiactivas. ¿En qué tipo de
núcleos se espera que emitan positrones?, razona la respuesta.
Respuesta
Los protones del núcleo están sometidos a dos campos de fuerzas completamente diferentes:
la fuerza repulsiva electromagnética, que actúa a cualquier distancia y la “interacción
nuclear fuerte”, que es atractiva a distancias muy cortas (del orden de 2.10-15 m, siendo
prácticamente nula a distancias superiores a 5.10-15 m. El campo de fuerzas nucleares afecta
a protones y a neutrones, pero además de ser de “corto alcance” se trata de fuerzas
“saturadas” o sea se da entre parejas de nucleones adyacentes. Por ello los neutrones
contribuyen a estabilizar los núcleos (cuando hay muchos protones, todos ellos sufren la
repulsión electromagnética, mientras que solamente se atraen los nucleones contiguos entre
sí). Por esta razón, a medida que aumenta el número atómico aumenta el número de
neutrones para mantener el núcleo estable. Llega un momento (por encima de Z = 82) en que
3
todos los isótopos de los elementos son inestables. Los núcleos inestables se convierten en
más estables si emiten una parte de ellos, por ejemplo partículas α (2 protones y 2
neutrones) o si tienen un número de neutrones mayor que el correspondiente a los núcleos
estables, se estabilizan transformando el neutrón en un protón, un electrón y un antineutrino
electrónico (emisores beta β-). Muchos isótopos radiactivos artificiales contienen un número
de protones más elevado que el de los núcleos estables del mismo elemento, son emisores de
positrones (β+), convierten un protón en neutrón, positrón y neutrino electrónico,
convirtiéndose en un núcleo más estable. O sea, 11 p → 01 n + 10 β + + 00υ e
C3.- Explica el fenómeno de fisión nuclear e indica de dónde se obtiene la energía liberada.
¿Qué es una reacción en cadena?
Respuesta
Cuando un núcleo pesado captura un neutrón lento puede convertirse en un núcleo muy
inestable que se fisiona (“ruptura”) en dos núcleos más ligeros y cierto número de neutrones.
Los fragmentos “ligeros” son diversos, de manera que son diferentes los núcleos resultantes.
En todo caso, se conserva el índice másico y el número atómico. Por ejemplo el 235
92 U es
fisionable. La captura de un neutrón lento da lugar a su fisión
1
0
U + 01 n →
235
92
141
56
Ba +
92
36
Kr + 3
n ; la masa de los fragmentos y los neutrones es menor que la del neutrón y uranio-235, la
ley de conservación de la energía (masa_energía) exige que se conserve ⇒ los núcleos
resultantes tienen una elevada energía cinética, equivalente al defecto de masa producido (1
u de defecto de masa equivale a 931,5 MeV).
Si de los neutrones resultantes, más de uno (por ejemplo, dos de ellos) colisionan con otros
tantos núcleos fisionables, se repite la reacción, creciendo exponencialmente el número de
núcleos que se fisionan. Se llama reacción en cadena y se libera una enorme cantidad de
energía (en forma de energía cinética).
C4.- Deduce la partícula emitida en las desintegraciones siguientes
(a) 137 N →126C + ...
(b)
226
88
(c)
27
13
Ra → 222
86 Rn + α
(
)
Al α, β + X
X+α
Respuesta
En toda reacción nuclear se conserva el índice másico y el número atómico.
(a) 137 N →126 C +11 p.
(b)
226
88
4
218
4
Ra → 222
86 Rn +. 2 α ..→ 84 X + 2 α
27
(c) 13
Al + 24 α →1431X + 10β + 00 υ
PROBLEMAS
1.- En el efecto fotoeléctrico de una célula fotoeléctrica, el trabajo de extracción de
electrones del metal es 3,2 eV.
a) ¿Cuál es la frecuencia mínima de la radiación necesaria para conseguir extraer
fotoelectrones del metal?
b) ¿Qué energía cinética máxima adquirirán los electrones en el caso de que la luz
incidente tenga la mitad de longitud de onda que la umbral? Calcula el potencial de
frenado.
4
Respuesta
a) El trabajo de extración es la energía minima que ha de tener la radiación para arrancar los
electrones del cátodo en el efecto fotoeléctrico. O sea, Wextr = hνo, donde νo es la frecuencia
umbral (minima frecuencia necesaria para arrancar los fotoelectrones).
Wextr = hνo = 3,2.1,6.10-19 J ⇒ vo = 5,12.10-19/(6,63.10-34) = 7,72.1014 Hz.
b) Dado que la longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia (c = λ.ν), si
λ =λo/2, ν = 2νo = 1,54.1015 Hz .
De acuerdo con el modelo de Einstein para el efecto fotoeléctrico, la energía de la radiación
es igual a la energía necesaria para arrancar los fotoelectrones (trabajo de extracción) más
la energía cinética que adquieren éstos. Esto es:
Erad = Wext + Ecmax, o sea hν = hνo + Ecmax,
⇒ Ecmax = hν - hνo = h(ν − νo) = 6,63.10-34 .7,72.1014 = 5,12.10-19 J
(Nótese que, en este caso, la mitad de la energía de la onda se emplea en arrancar los
fotoelectrones y la otra mitad en dotarlos de energía cinética)
Ecmax = e.∆Vfrenado ⇒ ∆Vfrenado = 5,12.10-19/1,6.10-19 = 3,2 V
2.- El radio 228 (Z= 88) es un emisor β− y tiene una vida media de 6,7 años.
(a) Determina la constante radiactiva y el período de semidesintegración del isótopo. (1 pto)
(b) Calcula el porcentaje de núcleos que quedarán al cabo de 8 años. (0,5 ptos)
(c) ¿En cuánto tiempo se reducirá a un 5% una muestra de radio-228? (0,5 ptos)
Respuesta
(a) . La velocidad de desintegración es directamente proporcional al número de núcleos
presentes. Se pide la constante radiactiva que es la constante de proporcionalidad.
−
dN
= λN (1), donde N es el número de núcleos y λ la constante radiactiva. La vida
dt
media, τ, es la inversa de la constante radiactiva. λ = 1/ τ = 0,1493 años-1
El período de semidesintegración es el tiempo necesario para que el número de
núcleos presentes sea la mitad de los iniciales. Si se integra la ecuación de velocidad
se obtiene Ln
N /2
N
= −λt (2), aplicada al T1/2; Ln o
= −λT1 / 2
No
No
⇒ T1/2 = 0,693/λ = 0,693/0,1493 = 4,643 años.
(b) El porcentaje de núcleos que quedarán es (N/No).100; aplicando la ecuación (2) para
t = 8 años, se tiene Ln (N/No) = - 0,1493 . 8 = - 1,1944 ⇒ N/No = 0,30288 (el 30,29 %)
(c) Se pide el tiempo necesario para que N/No = 5/100 = 0,05. Por la ecuación (2)
Ln 0,05 = - 0,1493.t ⇒ t = 20,06 años.
Ln0 ,05 = −0 ,1493.t
6 ,37.10 14
Ln
= - 5,81.10-8 .t⇒ t= 2,59.107 s= 300 días
15
2 ,87.10
5
OPCIÓN B
CUESTIONES
1.- La frecuencia umbral de cierto metal es 8.1014 Hz. Calcula cuál será el potencial de
frenado si se ilumina el metal con una radiación de longitud de onda de 250 nm.
Respuesta
La longitud de onda de la radiación está relacionada con la frecuencia c = λ.ν
⇒ ν = (3.108)/(2,5.10-7) =1,2.1015 Hz
De acuerdo con el modelo de Einstein para el efecto fotoeléctrico, la energía de la radiación
es igual a la energía necesaria para arrancar los fotoelectrones (trabajo de extracción) más
la energía cinética que adquieren éstos. Esto es:
Erad = Wext + Ecmax, o sea hν = hνo + Ecmax, pero Ec max = e.∆Vfrenado
∆Vfrenado = (hν - hνo)/e = 6,63.10-34(12 - 8).1014/(1,6.10-19) = 1,66 V
2.- Las masas isotópicas del C-12 (Z = 6) y el oxigeno-16 (Z = 8) son, respectivamente,
12,00000 u y 15,9949 u. Deduce cuál de los dos isótopos es más estable. (Ver datos en la
cabecera del examen)
Respuesta
El isótopo más estable será el que tenga mayor energía de ligadura por nucleón, Elig/A. La
energía de ligadura es la equivalente al defecto de masa o diferencia entre la masa de los
componentes del núcleo (por separado) y los electrones con la masa isotópica. O sea, Elig =
∆m.c2. Para separar los componentes del núcleo (protones y neutrones) hace falta aportar
energía exterior; energía que no se traduce en energía cinética, sino que tendrán los
nucleones por separado (o sea, tendrán más masa).
El defecto de masa es ∆m = misotópica – [Z(m +11 p + + m −10 e − ) + (A – Z).m 01 n ]
En el 126C es ∆m = 12,00000 – [6 (1,007277 + 0,000548) + (12 - 6).1,008665] = - 0,098940 u
Su equivalente es Elig = 0,098940 .931,45 = 92,577 MeV ; Elig/nucleón = 92,577/12 = 7,6798
MeV/nucleón.
En el 168 O es ∆m = 15,9949 – [8 (1,007277 + 0,000548) + (16 - 8).1,008665] = - 0,13702 u
Su equivalente es Elig = 0,13702.931,45 = 127,63 MeV ; Elig/nucleón = 127,63/16 = 7,976
MeV/nucleón.
En consecuencia, es más estable el isótopo 168 O
3.- (a) Cuando un núcleo d’ 235
92 U captura un neutrón, se produce un isótopo del Ba de
número másico 141, un isótopo del Kr de número atómico 36 y tres neutrones. Calcula el
número atómico del isótopo del Ba y el número másico del isótopo del Kr.
(b) El carbono-14 (Z = 6) es un isótopo emisor β-, escribe la reacción de emisión y explica qué
núcleo dará después de la emisión β-.
Respuesta
(a) Al capturar un neutrón aumentará el número másico del núcleo en una unidad y se
hace inestables, produciendo la fisión (ruptura) en dos fragmentos de índice másico
menor y tres neutrones. Se conserva el índice másico y el número atómico.
235
1
141
A
1
92 U + 0 n → Z Ba + 36 Kr + 3 0 n
235 + 1= 141 +A + 3 ⇒ A = 92, conservación del índice másico
92 = Z + 36 ⇒ Z = 56 conservación del número atómico
6
(b) En la emisión b- un neutrón se desintegra en un protón, un electrón y un antineutrino
electrónico. Dado que se ha de cumplir la conservación del número másico y del
número atómico, la ecuación correspondiente es, 146C →147 N + −10β + υ e
4.- Explica el fenómeno de fusión nuclear e indica de dónde se obtiene la energía liberada.
Calcúlala en el proceso d(T,n)He. (Ver datos en la cabecera del examen).
Respuesta
Respuesta
Fusión nuclear es el proceso por el cual varios núcleos atómicos ligeros (de carga similar) se
unen (“fusionan”) y forman un núcleo más pesado, para lo cual los núcleos han de trener
suficiente energía como para aproximarse a distancias del orden de 3.10-15m..
Simultáneamente se libera o absorbe una cantidad enorme de energía, que permite a la
materia entrar en un estado de plasma fusión de dos núcleos de menor masa que el hierro-56
(este isótopo tiene la mayor energía de enlace por nucleón) libera energía en general. Por el
contrario, la fusión de núcleos más pesados que el hierro-56 absorbe energía.
En el caso más simple de fusión, en el hidrógeno, dos protones deben acercarse lo suficiente
(del orden de 2.10-15m) para que la interacción nuclear fuerte pueda superar su repulsión
eléctrica mutua y obtener la posterior liberación de energía. Se libera energía (en forma de
energía cinética) dado que los núcleos resultantes tienen menor masa que los núcleos que
colisionan (la equivalencia masa_energía viene dada por, ∆m.c2 = ∆E)
Como ejemplos de fusión nuclear entre núcleos ligeros cabe destacar,
2
1
H + 12 H ..→ 13 H +11H + 4 ,03MeV
2
1
H + 12 H ..→ 23 H 3 + 01n + 3 ,27 MeV
2
1
H + 13 H ..→ 24 He + 01n + 17 ,7 MeV
En la naturaleza ocurre fusión nuclear en las estrellas, incluido el Sol. En su interior las
temperaturas son cercanas a varios millones de grados. Por ello a las reacciones de fusión se
les denomina termonucleares.
El proceso d(T,n)He es el correspondiente al proceso descrito 12 H +13 H ..→ 24 He + 01n
∆m = m(42He) + m(10n) – [ m(31H) + m(21d)] = 4,002603 + 1,008665 – (3,01557 2,01474)
∆m = - 0,01942 u ⇒ ∆E = - 0,01942.931,45 = - 17,7 MeV = -17,7.1,6.10-13 = - 2,74.10-12 J.
El signo negativo indica que se trata de energía liberada.
PROBLEMAS
1.- Un haz de electrones se acelera en un campo eléctrico hasta 2 MeV.
(a) Calcula la velocidad de los electrones.
(b) Determina la longitud de onda asociada a los electrones. ¿Cómo se podría poner de
manifiesto que se comportarían como ondas?
Respuesta
(a) La energía de una partícula, según la mecánica relativista es, E = m.c2, donde m es la
masa de la partícula en movimiento (con velocidad relativa v respecto del observador
inercial) y c la velocidad de la luz en el vacío. La energía en reposo es, Eo = mo.c2,
donde mo es la masa de la partícula en reposo. La energía es la suma de la energía de
la partícula debida al movimiento (energía cinética) y la energía en reposo, es decir, E
= Eo + Ec. Por consiguiente,
7
Ec = E – Eo = (m – mo).c2, pero m = mo.γ, siendo el factor
γ =
1
v2
1− 2
c
, donde mo es la
masa en reposo del electrón, o sea, mo = 9,1.10-31 kg
Ec = mo(γ − 1).c2; por consiguiente, γ − 1 =
γ = 4,9 =
1
1−
v2
c2
;4 ,9 2 =
EC
2.1,6.10 −13
=
= 3,9
mo .c 2 9 ,1.10 −31.( 2.10 8 ) 2
1
v2
1
⇒
−
=
⇒ v = 0,979. c =2,94.108 m/s
1
v2
c 2 24 ,01
1− 2
c
(b) El momento lineal está relacionado con la longitud de onda asociada a una partícula
mediante, λ =
h
h
6 ,63.10 −34
=
=
= 5,06.10-13 m
mv γmo v 4 ,9.9 ,1.10 −31.2 ,94.10 8
Para poner de manifiesto su comportamiento como onda se haría pasar el haz de
electrones por un retículo cuyas distancias entre los “obstáculos” fuera del orden de
10-13 m o menor, lo cual implica que esta retículo sería de menor tamaño que los
retículos cristalinos o de los enlaces covalentes.
2.- El radio-226 es un emisor alfa que se toma como referencia de actividad radioactiva. Así
un gramo de radio-226 tiene una actividad radiactiva de un Ci (curio) equivalente a 3,7.1010
desintegraciones por segundo.
(a) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que la actividad radiactiva disminuya el 87,5 %?
(b) Calcula los átomos de radio que quedará después de cien años, partiendo de un g de
radio.
Respuesta
a) La vida media es la inversa de la constante radiactiva, τ = 1/λ;
= −λ
A = - λ.N =
m
.N A
226
λ = 1,39.10-11 s-1⇒ τ = 1/(1,39.10-11) = 7,2.1010 s;
A/Ao = N/No=m/mo = 0,0125; por la ley de desintegración,
Ln(N/No) = -λ.t ; ⇒ t = Ln(0,0125)/(-1,39.10-11) = 3,15.1011 s = 9990 años.
b) Si se calcula el número de núcleos iniciales, a partir de los mol de radio que tiene 1 g
de radio, se obtendrá N al cabo de 100 años.
No = (mo/226).NA= 2,66.1021 núcleos
Si t = 100.365,25.24.3600 = 3,16.109 s, Ln(N/No) = -λ.t ⇒
Ln(N/No) = -4,39.10-2 ⇒ N/No = 0,957, N = 2,46.1021 núcleos
8