Capítulo 1º

Capı́tulo 1
Preliminares
Vamos a ver en este primer capı́tulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que
serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre conjuntos, aplicaciones, numerabilidad y propiedades de los números reales.
1.1 Conjuntos
Supondremos conocidos algunos conceptos básicos sobre conjuntos: unión, intersección, diferencia, etc... No obstante intentaremos fijar algunas ideas recordando varios resultados interesantes.
Recordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de
números que son básicos.
• N será el conjunto de los números naturales o enteros positivos.
• Z será el conjunto de los números enteros.
• Q será el conjunto de los números racionales.
• R será el conjunto de los números reales.
• C será el conjunto de los números complejos.
Definición 1.1.1 (Familia de conjuntos). Una familia de conjuntos A será un conjunto cuyos
elementos son, a su vez conjuntos. Los representaremos con letras mayúsculas caligráficas y se
pueden expresar a través de un conjunto de ı́ndices I de la siguiente forma:
A = {Ai : i ∈ I}
1
2
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Definición 1.1.2 (Unión e intersección de una familia). Dada una familia de conjuntos A =
{Ai : i ∈ I} definimos:
Unión de la familia A como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de
los conjuntos de A y lo representaremos de las dos maneras siguientes:
[
A = {x : existe A ∈ A tal x ∈ A}
[
Ai = {x : existe i ∈ I tal x ∈ Ai }
i∈I
Intersección de la familia A como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a
todos los conjuntos de A y lo representaremos de las dos maneras siguientes:
\
A = {x : x ∈ A para todo A ∈ A}
\
Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ I}
i∈I
Proposición 1.1.3 (Propiedad distributiva). Sea {Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos y B un
conjunto. Entonces:
1. B
ST
T
S
( i∈I Ai ) = i∈I (B Ai )
2. B
T
S
TS
( i∈I Ai ) = i∈I (B Ai )
Demostración. ST
S
(1) ⊂ Si x ∈ B ( i∈I Ai ), supongamos que x ∈ B, entonces x ∈ B Ai , para todo i ∈ I,
T
S
T
por tanto x ∈ i∈I (B Ai ). Si ahora suponemos que x ∈
/ B, será x ∈ i∈I Ai , luego x ∈ Ai
S
para todo i ∈ I lo que implica que x ∈ B Ai para todo i ∈ I y por tanto está en la intersección
T
S
Ai ) de todos ellos.
i∈I (B
T
S
S
⊃ Sea x ∈ i∈I (B Ai ), entonces x ∈ B Ai para todo i ∈ I; si x ∈ B tenemos que
ST
T
x ∈ B ( i∈I Ai ) y si x ∈
/ B será x ∈ Ai para todo i ∈ I, por tanto x ∈ i∈I Ai lo que lleva a
ST
que x ∈ B ( i∈I Ai )
(2) Se realiza de forma análoga.
Definición 1.1.4 (Complementario). Dado A ⊂ E, definimos el complementario de A en X
como el conjunto X r A = {x ∈ X : x ∈
/ A} de los elementos de X que no son elementos de
A. Si el contexto está suficientemente claro designaremos al complementario de A en X como
Ac = X r A.
3
1.2. APLICACIONES
Está claro que (Ac )c = A
Proposición 1.1.5 (Leyes de Morgan). Sea {Ai : I ∈ I} una familia de subconjuntos Ai ⊂ X,
i ∈ I. Entonces
S
T
S
T
1. ( i∈i Ai )c = i∈i Aci o bien X r ( i∈i Ai ) = i∈i (X r Ai )
S
S
T
T
2. ( i∈i Ai )c = i∈i Aci o bien X r ( i∈i Ai ) = i∈i (X r Ai )
Demostración. Vamos a ver la demostración de la propiedad 1). La 2) se hará de forma análoga.
S
⊂ Si x ∈ ( i∈i Ai )c , entonces x ∈
/ Ai para todo i ∈ I, por tanto x ∈ Aci para todo i ∈ I, luego
T
c
x ∈ i∈i Ai .
T
S
S
⊃ Si x ∈ i∈i Aci , x ∈
/ Ai para todo i ∈ I, luego x ∈
/ i∈i Ai , por tanto x ∈ ( i∈i Ai )c .
Definición 1.1.6 (Diferencia de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B, definimos la diferencia
de A y B como el conjunto A r B = {x : x ∈ A y x ∈
/ B} de los elementos de A que no son
elementos de B.
Proposición 1.1.7. Sean A, B ⊂ X, entonces se verifican:
1. A r B = A
T
Bc
T
2. A r (A r B) = A B
T
3. A r (A B) = A r B
4. Para la diferencia de conjuntos se verifican las Leyes de Morgan.
!
!
[
\
\
[
(a)B r
Ai = (B r Ai ) (b)B r
Ai = (B r Ai )
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
1.2 Aplicaciones
Un concepto tan importante y básico como el de conjunto, y que también es conocido, es el de
aplicación entre conjuntos. Vamos a repasar algunas ideas y resultados sobre aplicaciones.
Definición 1.2.1 (Aplicación). Una aplicación entre los conjuntos X e Y es una correspondencia
entre ellos tal que, a cada punto de X le hace corresponder uno y sólo un punto de Y . La
representaremos de la siguiente manera
f
f : X −→ Y, o bien , X −→ Y
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CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Una aplicación, f : X −→ Y , está dada por un conjunto de pares ordenados, y puede entenderse
como un subconjunto del producto cartesiano X × Y , de la forma siguiente:
Γ(f ) = {(x, y) : x ∈ X, y = f (x) ∈ Y } ⊂ X × Y,
que se denomina la gráfica de f o el grafo de f . Este conjunto debe cumplir que para todo elemento
x ∈ X existe un único elemento y ∈ Y tal que (x, y) ∈ Γ(f ). Este y se llama la imagen de x por
f , y se representa por y = f (x).
Definición 1.2.2 (Imagen e imagen inversa). Si A ⊂ X, el conjunto imagen de A, es el subconjunto
f (A) = {y ∈ Y : existe x ∈ A, y = f (x)} ⊂ Y
formado por todas las imágenes f (x) tales que x ∈ A.
Si B ⊂ Y , la imagen inversa de B es el subconjunto
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ⊂ X
formado por aquellos elementos tales que su imagen pertenece a B.
Si y ∈ Y , se usará la notación f −1 (y) = f −1 ({y}), pero obsérvese que es un subconjunto de X
y no un punto.
Conviene tener en cuenta que el sı́mbolo f −1 (B) es simplemente una notación de un conjunto.
No hay que cometer el error de suponer que f −1 indica que la aplicación f tiene una aplicación
inversa.
Proposición 1.2.3. Sea f : X −→ Y una aplicación entre conjuntos y sean los subconjuntos
A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces
1. A ⊂ f −1 (f (A)),
2. f (f −1 (B)) ⊂ B.
Demostración. (1) Si x ∈ A, entonces y = f (x) ∈ f (A) ⊂ Y , luego x ∈ f −1 (f (A)).
(2) Si y ∈ f (f −1 )(B)), entonces f (x) = y para algún x ∈ f −1 (B), luego f (x) ∈ B, pero como
la imagen de cada x es única, f (x) = y ∈ B.
Ejemplo 1.2.4. Las inclusiones anteriores no son ,en general, igualdades.
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1.2. APLICACIONES
(1) Consideremos la parábola f : R −→ R, f (x) = x2 .
[ √
√
f (f −1 (([1, 2])) = [− 2, −1] [1, 2].
(2) Consideremos el seno de x, f : R −→ R, f (x) = sen x.
f (f −1 ([−2, 2])) = [−1, 1].
Las imágenes y las imágenes inversas respecto de la unión y de la intersección de familias de
conjuntos tienen las siguientes propiedades.
Proposición 1.2.5. Sean f : X −→ Y una aplicación entre conjuntos y las familias de subconjuntos {Ai ⊂ X : i ∈ I} y {Bj ⊂ Y : j ∈ J}. Entonces
S
S
1. f ( i∈I Ai ) = i∈I f (Ai ),
T
T
2. f ( i∈I Ai ) ⊂ i∈I f (Ai ),
S
S
3. f −1 ( j∈J Bj ) = j∈J f −1 (Bj ),
T
T
4. f −1 ( j∈J Bj ) = j∈J f −1 (Bj .
5. f (A r B) ⊃ f (A) r f (B)
Ejemplo 1.2.6. Este ejemplo muestra que las inclusiones (1) y (5) de la proposición anterior no
son, en general, igualdades.
Consideremos los conjuntos A = [1, 2] × [1, 2] y B = [1, 2] × [3, 4] de R2 y la proyección
π1 : R2 −→ R, definida como π1 (x, y) = x. Entonces tenemos que
π1 (A) ∩ π1 (B) = [1, 2] ∩ [1, 2] = [1, 2], pero π1 (A ∩ B) = π1 (∅) = ∅
Por otra parte
π1 (A r B) = π1 (A) = [1, 2], pero π1 (A) r π1 (B) = [1, 2] r [1, 2] = ∅
Hay relaciones entre las imágenes inversas de los complementarios y el complementario de las
imágenes inversas. Ası́ se tiene:
Proposición 1.2.7. Sea f : X −→ Y una aplicación entre conjuntos y sea B ⊂ Y . Entonces
f −1 (Y r B) = X r f −1 (B).
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CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Ejemplo 1.2.8. No se verifica ninguna relación entre las imágenes y los complementarios.
Si consideramos f : R −→ R, definida como f (x) sen x, tenemos que f ([0, π]c ) = [−1, 1] y, sin
S
embargo [f ([0, π])]c = [0, 1]c = (−∞, 0) (1, +∞)
Un tipo especial de aplicaciones que se utilizarán con frecuencia son las sucesiones. Una sucesión
en X es una aplicación φ : N −→ X. Es costumbre representar la sucesión como {xn }∞
n=1 donde
xn = φ(n).
Es conveniente distinguir una sucesión de su conjunto imagen. Una sucesión siempre tiene infinitos términos, pero su conjunto imagen no tiene por qué ser infinito. Por ejemplo, la sucesión
{1, 0, 1, 0, ...} tiene como conjunto imagen el {0, 1}.
La última definición de este apartado es la de subsucesión de una sucesión {xn }∞
n=1 . Dada una
aplicación estrictamente creciente α : N −→ N donde α(k) = nk , se define la subsucesión
asociada como la composición
φ ◦ α : N −→ X
es decir, es la sucesión {xnk }∞
n=1 .
1.3 Numerabilidad
En esta sección, y salvo que se diga lo contrario, X va a representar un conjunto no vacı́o.
Definición 1.3.1 (Conjunto finito). Diremos que X es un conjunto finito si existe un número
natural n 6= 0 y una aplicación biyectiva
φ : {1, 2, ..., n} −→ X
Definición 1.3.2 (Conjunto infinito numerable). Diremos que X es un conjunto infinito numerable si existe una aplicación biyectiva φ : N −→ X.
Definición 1.3.3 (Conjunto numerable). Diremos que X es un conjunto numerable si es, o bien
finito, o bien infinito numerable. Si X no es numerable, se dice que es infinito no numerable.
Proposición 1.3.4. Todo subconjunto A ⊂ N de los números naturales es numerable.
Demostración. Si A ⊂ N es finito el resultado es evidente.
Supongamos que A ⊂ N no es finito. Definimos entonces la aplicación φ : N −→ A de la
siguiente manera, φ(0) es el menor elemento de A; φ(1) será el menor elemento de A tal que
φ(1) 6= φ(0), ası́ sucesivamente φ(p) será el menor elemento de A tal que φ(p) 6= φ(0) 6= φ(1) 6=
· · · 6= φ(p − 1).
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1.3. NUMERABILIDAD
Si existe p tal que ya no podemos hacer lo anterior, es decir φ(p) ≤ φ(0) ≤ . . . φ(p − 1) es que
A ya no tiene más elementos y, por tanto es finito, con lo cual hemos acabado. En caso contrario
podremos continuar y para cada p ∈ N existe φ(p) ∈ A, φ(p) 6= φ(i) para i < p. Evidentemente
φ es biyectiva y φ(p) ≥ p.
En ocasiones, en lugar de buscar una aplicación biyectiva para comprobar la numerabilidad, conviene hacer uso de la siguiente caracterización, que resulta evidente después de la proposición
anterior.
Proposición 1.3.5. Un conjunto X es numerable si y sólo si existe una aplicación suprayectiva
φ : N −→ X.
Esta propiedad puede interpretarse ası́: un conjunto X es numerable si existe una sucesión tal que
su conjunto imagen es todo X.
A continuación estudiaremos algunas propiedades básicas de la numerabilidad y veremos algunos
de los ejemplos más importantes de conjuntos numerables.
Proposición 1.3.6. Si X es numerable y S es un subconjunto de X, entonces S es numerable.
Demostración. Por el hecho de ser X numerable, existe una aplicación suprayectiva φ : N −→ X.
Se define la aplicación ψ : X −→ S como la identidad sobre los elementos de S y que lleva
los que no pertenecen a S a un punto fijo de S. Evidentemente ψ es suprayectiva, por tanto la
composición, ψ ◦ φ : N −→ S es una aplicación suprayectiva y S es numerable.
Ejemplo 1.3.7. El conjunto N × N es numerable; y como consecuencia también lo es N× . n. . ×N.
Demostración. Podemos ”colocar”el conjunto N × N de la siguiente forma:
(0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3)
(1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3)
(2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3)
..
..
..
..
.
.
.
.
...
...
...
..
.
Si los recorremos en diagonal de arriba a abajo y de izquierda a derecha, como se indica en
el esquema anterior está claro que N × N se puede escribir como una sucesión de elementos. No
obstante, si queremos hacer explı́cita la aplicación suprayectiva, podemos escribirla de la siguiente
forma. φ : N −→ N × N, φ(n) = (k, m − k), donde m es el único número natural tal que
m(m + 1)
(m + 1)(m + 2)
m(m + 1)
<n+1≤
, yk =n−
2
2
2
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CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Proposición 1.3.8. Sea I un conjunto numerable de ı́ndices, y para cada i ∈ I, sea Si un conjunto
S
numerable. Entonces, S = i∈I Si es numerable.(La unión numerable de conjuntos numerables
es un conjunto numerable).
Demostración. Por el hecho de ser Si numerable, para cada i existe una aplicación suprayectiva
ψi : N −→ Si . Entonces, la aplicación:
ψ : I × N −→ S
dada por ψ(i, n) = ψi (n) también es suprayectiva.
Por el hecho de ser I numerable, existe otra aplicación suprayectiva θ : N −→ I. Sea φ : N −→
N × N la aplicación suprayectiva definida en el ejemplo anterior.
Entonces la composición
φ
(θ,Id)
ψ
N −→ N × N −→ I × N −→ S
es una aplicación suprayectiva, y por tanto S es numerable.
Ejemplo 1.3.9. El conjunto Z de los números enteros es numerable.
La numerabilidad también se conserva por productos finitos:
Proposición 1.3.10. Sea una colección de conjuntos numerables Si para i = 1, 2, ..., n. Entonces
S = S1 × S2 × ... × Sn es numerable.
Ejemplo 1.3.11. El conjunto de los números racionales, Q, es numerable.
Proposición 1.3.12. El intervalo [0, 1] ⊂ R no es numerable; en consecuencia R tampoco lo es.
Demostración. Supongamos que sı́ es numerable, es decir [0, 1] = {x1 , x2 , x3 , . . . } se trata de
una sucesión. Podemos expresar cada elemento del intervalo en forma decimal, con un número
infinito cifras decimales distintas de 0, de la siguiente forma:
x1 = 0, a11 a12 a13 . . . a1n . . .
x2 = 0, a21 a22 a23 . . . a2n . . .
......
xn = 0, an1 an2 an3 . . . ann . . .
......
9
1.3. NUMERABILIDAD
donde cada aij ∈ {0, 1, . . . 9}. Para que el número de cifras decimales sea distinto de 0 en todos,
si tenemos un número que tiene un número finito de decimales no nulos, tomamos su otra forma
de expresión:
1
= 0, 5 = 0, 4999999 . . .
2
Consideremos el número real del intervalo [0, 1], x = 0, b1 b2 b3 . . . bn . . . de la siguiente forma:
b1 6= a11 y b6 = 0; b2 6= a22 y b2 6= 0 y ası́ sucesivamente. Está claro que y 6= xi para todo i, por
tanto x ∈
/ [0, 1], lo cual es imposible.
Como consecuencia, todo conjunto que contiene al intervalo (0, 1) no es numerable. En particular,
R no es numerable.
Una propiedad importante de los números reales, relacionada con el orden, es la propiedad arquimediana. esta propiedad se puede formular de varias maneras, damos aquı́ dos de ellas:
Proposición 1.3.13 (Propiedad Arquimediana). Para cualquier número real positivo ε > 0
existe un número natural n ∈ N tal que
nε = ε + ... + ε > 1.
Proposición 1.3.14 (Propiedad Arquimediana). Para cualquier par de números reales tales que
x < y, se puede encontrar siempre un número racional q ∈ Q verificando x < q < y.