CAPÍTULO 8 RIESGO Y RENTABILIDAD La contribución de una acción al riesgo de una cartera completamente diversificada depende de su sensibilidad a las variaciones del mercado, lo cual se conoce como beta. Un título con beta = 1 tiene el riesgo medio del mercado. Un título con beta de 0.5 tiene un riesgo de mercado por debajo de la media. 8.1 HARRY MARKOWITZ Y EL NACIMIENTO DE LA TEORÍA DE CARTERAS. Harry Markowitz desde 1952 centró su atención en la teoría de las carteras y en la práctica de la diversificación para reducir la desviación estándar de los rendimientos (reducir el riesgo) eligiendo para ello acciones cuyas oscilaciones no sean paralelas. Es un hecho muy común que la distribución del rendimiento de una acción se parezca a una distribución normal, y ya que la distribución normal solo tiene dos parámetros (media y desviación estándar) nos interesa precisamente esas características del rendimiento de una acción, ya que con ello quedaría descrito su comportamiento aleatorio. ANÁLISIS DE PORTAFOLIOS ("INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES": RICHARD BRONSON. SCHAWM'S) Consideremos que contamos con un capital limitado F para invertir en n títulos diferentes, y consideremos también que el rendimiento de cada uno en un periodo k fue Rik (i = 1, 2, ..., n ; k = 1, 2, ..., p) . Se desea determinar la cantidad a invertir en cada título de manera que el rendimiento del portafolio sea mayor o igual a L y que se minimice el riesgo. xi ≥ 0 Llamemos xi a la cantidad que se invertirá en el título i-ésimo, desde luego i = 1, 2, ..., p . Sabemos que el riesgo del portafolio está dado por la desviación estándar la cual depende de la varianza del portafolio, y que la varianza es: n n ∑ σ i2 x i2 + ∑ i=1 en términos matriciales, n n n ∑ σ ij x i x j =∑∑ σ ij x i x j , i =1 i ≠ j j =1 [ ] i =1 j=1 C = σ ij es la matriz de varianzas y covarianzas, y si X es el vector de inversiones, la varianza del portafolio es: X T CX el problema a resolver entonces es: min X T CX x1 + x 2 + K + x n = F R1 x 1 + R 2 x 2 +R n x n ≥ L xi ≥ 0 en donde Ri = ∀ i = 1, 2, ..., n 1 p ∑ R ik p k =1 Este problema se puede expresar también en la forma max X T CX + D T X s.a AX ≤ B X ≥0 forma general de un problema de programación cuadrática en donde C es una matriz simétrica negativa semidefinida. Se tiene, a partir de las condiciones de Kuhn-Tucker que la solución óptima a este problema debe satisfacer la ecuación matricial Aˆ Y = Bˆ L (1) A Â = − 2C donde: si I1 03 01 − I2 02 ; AT B B = ; D A mxn ⇒ I1( m×n ) , I 2(n×n ) , O1(m×n ) , O 2( m×m ) , O 3(n×m ) X S Y= U V s: es un vector de variables de holgura de m dimensiones, y U y V son vectores de multiplicadores de Lagrange con n y m componentes respectivamente. Las condiciones de Kuhn-Tucker también requieren que la solución óptima del problema satisfaga alguna de las siguientes ecuaciones: U V ~ Donde Y = X S ~ T Y = 0 L ( 2) U T X + V T S = 0 o bien Y Además de que Y ≥ 0 MÉTODO DE FRANK Y W OLFE PARA RESOLVER LAS ECUACIONES (1) Y (2) Paso 0: Construir B̂ no negativa, ⇒ todos sus componentes ≥ 0 Paso 1: Determinar una solución básica factible para (1) e identificarla como Yc y P . Esta solución se puede obtener agregando variables artificiales y utilizando el método de dos fases para minimizar M veces la suma de las variables artificiales. Si no existiera una solución inicial sin variables artificiales, el problema cuadrático original no tiene solución. ~ T Y . Si θ = 0 entonces X ∗ = primeros n componentes de Y es la θ≡P C c solución al problema. Si θ ≠ 0 vaya al paso 3. Paso 2: Evaluar ~T Paso 3: Considere la nueva función objetivo max − P Y . Realizar una iteración del método simplex con las variables básicas actuales y las restricciones que la definieron. La nueva solución será la nueva Yc Paso 4: Evalúe ~ T Y si θ = 0 X ∗ = primeros n componentes de Y son la solución. Si θc ≡ Y c c c c θ ≠ 0 vaya al paso 5. Paso 5: Evalúe ~ T Y . Si P ~ T Y ≤ 1 θ , vaya al paso 6. P c C 2 Si no, vaya al paso 3 y realice otra iteración del simplex. Paso 6: Evalúe ~ T (P − Y ) P α≡ ~ ~ T c (P − Yc ) (P − Yc ) si Paso 7: Haga θ = θ c , P = Yc y vaya al paso 3. Paso 8: Calcule el vector P − α ( P − Yc ) y considérese como la P actualizada. Regrese al paso 2. INTRODUZCAMOS EL PRÉSTAMO Y EL ENDEUDAMIENTO. Supongamos que puede endeudarse o prestar dinero a la tasa libre de riesgo rf Rendimiento Esperado Línea de Mercado Frontera Eficiente S rf σ en % Obsérvese que si se tiene esa posibilidad, se puede conseguir siempre una mayor rentabilidad si se combina S con el préstamo o el endeudamiento además de que se tiene la posibilidad de extender las posibilidades de inversión mas allá de S. ¿Cuál S usar? la de mercado (IPC). 8.2 LA RELACION ENTRE RENTABILIDAD Y RIESGO. r − rf es la prima de riesgo asociada con el riesgo del activo, es la tasa de rendimiento adicional a rf que un inversionista requiere para invertir en dicho activo o proyecto. Habíamos dicho que βi = Si entonces para T-bills y para el mercado σ im , σ m2 β = 0 ⇒ r − rf = 0 β = 1 ⇒ rm − rf > 0 Línea del mercado de títulos rm r Portafolio de mercado rf T-bills ß Sin embargo la pregunta ahora es ¿cuál es la prima de riesgo esperada si β no es ni cero ni uno? A mediados de los años setenta tres economistas: William Sharpe, John Lintner y Jack Treynor propusieron el Modelo de Equilibrio de Activos Financieros CAPM (Capital Asset Pricing Model) como respuesta a esa pregunta. Este modelo propone que la prima de riesgo esperado varía en proporción directa con β , es decir, r − rf = β (rm − rf ) lo cual significa que toda inversión se debe situar sobre la línea del mercado de títulos. Este modelo resulta ser muy útil para estimar la rentabilidad esperada de una acción, así como determinar la tasa de descuento de una inversión, pues r = rf + β (rm − rf ) UNA PRUEBA DEL MODELO DE EQUILIBRIO DE ACTIVOS FINANCIEROS. Principios Básicos para la sección de portafolios. 1) Los inversionistas prefieren tener un rendimiento alto y desviación estándar baja. Los portafolios que ofrecen rendimiento esperado mas alto para una desviación estándar dada, se conocen como portafolios eficientes. 2) Para saber cual es el impacto marginal de una acción sobre el riesgo del portafolio no se debe utilizar el riesgo de la acción, sino su contribución al riesgo del portafolio, la cual depende de la sensibilidad de la acción a las variaciones en el valor del portafolio. 3) La beta es la sensibilidad de un portafolio a las variaciones en el valor del portafolio del mercado. Por lo tanto la beta mide la contribución marginal de una acción al riesgo del portafolio de mercado. 4) Si los inversionistas se pueden endeudar y pueden también prestar a la tasa libre de riesgo, deberían mantener siempre una combinación de la inversión libre de riesgo y de un portafolio de acciones ordinarias. La composición del portafolio dependerá no de la actitud ante el riesgo, del inversionista, sino de su percepción de las perspectivas de cada acción. Por lo tanto si todos los inversionistas tuvieran la misma información, todos tendrían como portafolio de acciones, el del mercado. Por tanto, si todo el mundo tuviera un portafolio de mercado y si la β mi de la contribución de cada título al riesgo del mercado, no debe sorprender que la prima de riesgo demandada por los inversionistas sea proporcional a la β. Por otro lado, siempre se cumple que si un portafolio es eficiente debe existir una relación lineal entre el rendimiento esperado de cada acción y su contribución marginal β al riesgo del portafolio. También es cierto siempre que si no existe una relación lineal entre el rendimiento esperado de la acción y su contribución marginal al riesgo del portafolio, entonces la cartera no es eficiente. El modelo de equilibrio de activos financieros (CAPM) se basa en la suposición de que el mercado es eficiente (todos los inversionistas tienen la misma información que los demás y las mismas oportunidades de inversión), y bajo estas circunstancias todos los inversionistas tendrían el mimo portafolio, esto es, todos invertirían en el portafolio de mercado. ¿QUÉ OCURRIRÍA CON UN TÍTULO QUE NO SIGUIERA LA LÍNEA DE MERCADO? Si una acción tiene un rendimiento por debajo o por encima de la línea de mercado, entonces el precio del título se modificará hasta lograr que su rendimiento esperado sea el que corresponde a su nivel de riesgo según el CAPM, es decir, a quedar sobre la línea de mercado. Acción B • Rendimiento Línea del mercado de títulos rm rf • Acción A 0.5 ß 1 1.5