UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS Toda la teoría que se utiliza en la resolución de los siguientes ejemplos, está basada en el Capítulo 8, del libro del Ing. Fernando Silva. Por lo tanto, se recomienda su lectura previa antes de seguir adelante con la comprensión de los ejemplos. Ejemplo A. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene un diámetro de 63mm y una longitud de 25m. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10-6 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. calcular la altura en A si la velocidad en la cañería es de 2 m/s c. dibujar la línea piezométrica A válvula exclusa zA=? válvula exclusa B 10m El.10 m H G C E D Eje de referencia F D=152mm L2=210 m L1=20m Datos: Sección de la cañería V := 2 m L3=20 m ε := 0.046mm D := 152mm zB := 0m zC := 0m zD := 0m zF := 0m zG := 10m zH := 10m L1 := 20m L2 := 210m L3 := 20m LB_G := L1 + L2 + L3 LB_G = 250 m A := s π⋅D 2 A = 0.0181 m 4 2 ν := 1.011⋅ 10 Caudal en la cañería 2 N − 6 m γ agua := 9810⋅ ⋅ 3 s m zE := 0m Q := V⋅ A Q = 0.0363 m 3 s a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Longitud total cañería Longitud promedio entre pérdidas localizadas Longitud de comparación LB_G = 250 m LB_G Lprom := n D⋅ 500 = 76 m Cantidad de pérdidas localizadas n := 4 Lprom = 62.5 m Conclusión: como Lprom es < que D*500 entonces sí tenemos en cuenta las pérdidas localizadas b) Cálculo de la altura en A: zA Ecuación de la energía entre A y F V 2 − V 2 pH − pA H A Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅ + ( uH − uA) + ( zH − zA) ⋅ g + ρ 2 Como en nuestro caso: VA = VH = 0 Dividiendo m. a m. por g, resulta: Por la ecuación de Darcy-Weisbach, podemos poner zA = zH + uH − uA g pA = pH = 0 uH − uA g [1] = ∆HA_H = ∆Hfricción + ∆Hlocaliz Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] Weje = Q = 0 2 4 LB_G V2 Vi = f⋅ ⋅ + Ki ⋅ D 2⋅ g 2g i =1 Actualizazión: 06/09/2011 ∑ [2] Pág. 1 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS 2 LB_G V Reemplazando [2] en [1], zA = zH + f⋅ ⋅ + resulta: D 2⋅ g 4 ∑ Ki ⋅ Vi 2 2g i =1 [3] Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 -----------------------> Evaluaremos ahora las entrada de depósito a caño Ke := 0.5 pérdidas localizadas salida de caño a depósito (datos sacados de la Ks := 1 tabla del Capítulo 8.8 Kv del libro del Ing. Silva) válvula esférica de paso total =3 ft_152mm Planteo ecuación de la energía en la instalación ft_152mm := 0.015 Kv := 3⋅ 0.015 2 ( ) ∆Hlocaliz := Ke + Ks + 2⋅ Kv ⋅ Datos: V,D, L, ν, ε V Kv = 0.05 2g Calculo las pérdidas por la ecuación de DarcyWeisbach 2 2⋅ m s = 0.32 m = ( 0.5 + 1 + 2⋅ 3⋅ 0.015) ⋅ ∆Hlocaliz 2⋅ g ε Calculo los datos = 0.0003 necesarios para D encontrar los factores de fricción Factor de fricción f por fórmula de Colebrook-White [4] h( f) := − Re := V⋅ D Re = 300692 ν Calculo el factor de fricción con el diagrama de Moody o la fórmula de Colebrook-White (si es agua, se puede utilizar Hazen y Williams) 2.51 ε + D⋅ 3.7 Re⋅ f 1 − 0.86⋅ ln f f := 0.01 f := root( h( f) , f) LB_G V2 ∆Hfricción := f⋅ ⋅ D 2g f = 0.0173 [5] ∆Hfricción = 5.81 m Reemplazando [4] y [5] zA := zH + ∆Hfricción + ∆Hlocaliz en [3], resulta: ∆Hlocaliz Se reemplaza el factor de fricción f en la ecuación de DarcyWeisbach zA = 16.13 m (∆Hfricción + ∆Hlocaliz) = 6.13 m = 5.58 % ∆Hfricción Como el factor de fricción es función de: f=F(ε/D;Re), calculo: ε/D y Re c) Trazado de la línea piezométrica Altura piezométrica en un punto genérico "i" Hi = zi + Para el punto A, resultará: HA = zA + Planteando ec. de la energía entre A y B zA + pA γ pi γ pA HA := zA + 0 γ 2 + VA 2g + uA g = zB + V 2 u A A HA + + = HB + g 2g Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] pB γ HA = 16.13 m 2 + VB 2g + uB g V 2 u B B 2g + g Actualizazión: 06/09/2011 Pág. 2 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS V 2 u A A HB = HA + + g 2g V 2 u B B − + g 2g VA := 0 VB := V 2 HB := HA − VB = 2 m uB − uA s g 2 VB 2 = ∆HA_B = Ke ⋅ VB 2g VB − Ke ⋅ HB = 15.83 m 2g 2g ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre B y C zB + pB γ 2 + VB + 2g uB g = zC + V 2 u B B HB + + = HC + g 2g pC γ + VC 2 uC + 2g g V 2 u C C 2g + g VB = VC L1 V2 HC = HB − ∆HB_C HC := HB − f⋅ ⋅ HC = 15.36 m D 2g ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre C y D zC + pC + γ VC 2 + 2g uC g = zD + V 2 u C C HC + + = HD + g 2g 2 pD γ + VD 2g uD g V 2 u D D 2g + g 2 VC = VD 2 V HD = HC − Kv⋅ + V HD := HC − Kv⋅ HD = 15.35 m 2g 2g ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre D y E zD + pD + γ VD 2 + 2g uD g = zE + V 2 u D D HD + + = HE + g 2g HE = HD − ∆HD_E pE γ 2 + VE + 2g uE g V 2 u E E 2g + g HE := HD − f⋅ VD = VE L2 V2 ⋅ D 2g HE = 10.47 m ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre E y F zE + pE γ 2 + VE 2g + uE g = zF + V 2 u E E HE + + = HF + g 2g pF γ + VF 2 + 2g uF g V 2 u F F 2g + g VE = VF 2 HF := HE − Kv⋅ V HF = 10.46 m 2g ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre F y G zF + pF γ + Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] VF 2 2g + uF g = zG + pG γ 2 + VG 2g + uG g Actualizazión: 06/09/2011 Pág. 3 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS V 2 u F F HF + + = HG + g 2g V 2 u G G 2g + g VF = VG L3 V2 HG := HF − f⋅ ⋅ D 2g HG = HF − ∆HF_G HG = 10 m ______________________________________________________________________________________________________________ Planteando ec. de la energía entre G y H zG + 2 pG VG + γ + 2g uG g = zH + V 2 u G G HG + + = HH + g 2g 2 VG HH := HG + 2g pH γ 2 + VH 2g uH + g V 2 u H H 2g + g VH := 0 -1 VG := V VG = 2 s ⋅ m 2 − Ks⋅ V HH = 10 m 2g Nota: escala vertical = 10 x escala horizontal A línea p iezom étr ica: Hi =zi+ γi/g H HH=10m HG=10m HF =10,46m HE=10,47m HD=15,35m HC=15,36m HB=15,83m HA=16,13m zA=16,13m 10m G B C E D Eje de referencia F D=152mm L2=210 m L1=20m L3=20 m Ejemplo B Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e =0,046 mm). El diámetro en todo el recorrido es de 51 mm. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10-6 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. la potencia de la bomba para lograr una velocidad a la salida de 2,5 m/s c. las alturas piezométricas en cada uno de los puntos indicados en la figura (1 a 7) d. trazar la línea piezométrica 1 7 6 30 V7=2,5 m/s 30 bomba nivel de referencia 3 2 50 Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] 4 5 80 Actualizazión: 06/09/2011 120 Pág. 4 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Datos: ε := 0.046mm z1 := 30m N γ := 9810⋅ m V := 2.5 Velocidad en la cañería (es la misma en toda la sección) V1 := 0 Longitudes parciales L2_3 := 50m z7 := 30m ν 20ºC := 1.011⋅ 10 L1_7 := ( 50 + 80 + 30 + 120) m 3 D := 51mm π⋅D Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS −6 m ⋅ 2 s L1_7 = 280 m m s V2 := V V3 := V V4 := V V5 := V V6 := V V7 := V L4_5 := 80m 2 Sección de la cañería A := Caudal en la cañería Q := V7 ⋅ A A = 0.002 m 4 Q = 0.0051 L5_6 := 30m L6_7 := 120m 2 m 3 s a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Todas las distancias entre accesorios supera esa longitud, por lo que no hace falta considerarlas D⋅ 500 = 25.5 m b) Cálculo de la potencia de la bomba Ecuación de la energía entre 1 y 7 V 2 − V 2 p7 − p1 7 1 Wbomba = ρ ⋅ Q⋅ + ( u7 − u1 ) + ( z7 − z1 ) ⋅ g + ρ 2 p7 = p1 = 0 V1 := 0 Dividiendo m. a m. por g, resulta: V 2 u − u 7 7 1 + ( z7 − z1 ) = ρ ⋅ Q⋅ + g 2g g V 2 7 Wbomba = γ ⋅ Q⋅ + ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 ) 2g Wbomba 2 L1_7 V7 Con la expreción de ∆h1_7 = f⋅ ⋅ Darcy-Weisbach, D 2g calculamos las pérdidas Re := Factor de fricción V7 ⋅ D Re = 126113 ν 20ºC h( f) := − 1 f ε + 2.51 D⋅ 3.7 Re⋅ f − 0.86⋅ ln f = 0.0218 ε D = 0.0009 f := 0.01 root( h( f) , f) = 0.0218 f := root( h( f) , f) f := 0.0218 2 L1_7 V7 ∆h1_7 := f⋅ ⋅ D 2g ∆h1_7 = 38.14 m V 2 7 Wbomba := γ ⋅ Q⋅ + ( ∆h1_7 ) + ( z7 − z1 ) 2g Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] Actualizazión: 06/09/2011 Wbomba = 1926.75 W Pág. 5 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS b) Cálculo de las alturas piezométricas de los puntos indicados: p1 := 0 H1 := planteando Ec. de la energía entre 1 y 2 z1 = 30 m p1 γ + z1 H1 = 30 m 2 2 p V2 p1 V1 2 0= + z2 + − + z1 + 2g 2⋅ g γ γ H2 := H1 − V2 − H1 + 0 H2 = 29.68 m siendo V2=V3, resulta 0 = H3 − H2 + ∆h2_3 => 2 p V2 u2 2 + z2 + + − 2⋅ g g γ H3 = H2 − ∆h2_3 2 L2_3 V3 H3 := H2 − f⋅ ⋅ D 2g H3 = H2 − 0.0218⋅ 2 p V4 u4 4 Wbomba = γ ⋅ Q⋅ + z4 + + 2⋅ g g γ ( Wbomba = γ ⋅ Q⋅ H4 − H3 H4 := H3 + 2g 2g 2 p V3 u3 3 0= + z3 + + 2⋅ g g γ siendo V3=V4 y despreciando las pérdidas, resulta: 2 2 planteando Ec. de la energía entre 2 y 3 planteando Ec. de la energía entre 3 y 4 0 = H2 + V2 siendo V2 = V3 L2_3 = 50 m 50⋅ m 2 ⋅ V H3 = 22.87 m 51⋅ mm 2⋅ g 2 p V3 u3 3 − + z3 + + 2⋅ g g γ ) Wbomba H4 = 61.33 m γ⋅Q planteando Ec. de la Energía entre 4 y 5 2 p V5 u5 5 0= + z5 + + 2⋅ g g γ siendo V4=V5 resulta: 0 = H5 − H4 + ∆h4_5 => 2 p V4 u4 4 − + z4 + + 2⋅ g g γ H5 = H4. − ∆h4_5 L4_5 := 80m 2 L4_5 V5 H5 := H4 − f⋅ ⋅ D 2g planteando Ec. de la Energía entre 5 y 6 2 p V6 6 0= + z6 + + u6 2⋅ g γ siendo V5=V6, resulta: 0 = H6 − H5 + ∆h5_6 => H5 = 50.43 m 2 p V5 5 − + z5 + + u5 2⋅ g γ H6 = H5. − ∆h5_6 L5_6 := 30m 2 L5_6 V6 H6 := H5 − f⋅ ⋅ D 2g planteando Ec. de la energía entre 6 y 7: H6 = 46.35 m 2 2 p p V7 V6 7 6 0= + z7 + + u7 − + z6 + + u6 2⋅ g 2⋅ g γ γ Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] Actualizazión: 06/09/2011 siendo V7 = V6 Pág. 6 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada siendo V6=V7, resulta Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS 0 = H7 − H6 + ∆h6_7 => H7 = H6. − ∆h6_7 L6_7 := 120m 2 L6_7 V7 H7 := H6 − f⋅ ⋅ D 2g H7 = 30 m Como no cambia el diámetro ni el material de la cañería, Re y ε/D se mantienen constante en todo el recorrido, por lo que la pendiente de la línea piezométrica, entre los tramos, es la misma. H4=61,44m H5=50.51m H6=46.41m 1 línea pie zomé H1=30m H2=29,68m 6 H3=22,85m 30 trica 7 H7=30m 30 bomba nivel de referencia 4 3 2 5 50 80 120 Ejemplo C. Desde un depósito fluye agua a 20ºC por una cañería de acero (e=0,046 mm). La cañería tiene un cambio de diámetro a mitad del recorrido según se muestra en la figura. Considerando la viscosidad cinemática del agua de 1.011 x 10-6 m²/s. Determinar: a. si debe considerar o no las pérdidas localizadas en los accesorios b. calcular la altura en A si la velocidad en el tramo 2 es de 2,5 m/s c. dibujar la línea piezométrica A zA=? B F C Datos: V2 := 2.5 m ε := 0.046mm s ν := 1.011⋅ 10 −6 m ⋅ D2=50mm L2=125 m D1 := 63mm 2 γ agua := 9810⋅ s D2 := 50mm N m zB := 0m zC := 0m zD := 0m zF := 10m L1 := 125m L2 := 125m LB_E := L1 + L2 LB_E = 250 m Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] 10m Eje de referencia E D D1=63mm L1=125 m El.10 m Actualizazión: 06/09/2011 3 zE := 0m Pág. 7 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Sección de la cañería A1 := Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS π ⋅ D1 2 A1 = 0.0031 m 4 Caudal en la cañería Q := V2 ⋅ A2 Por continuidad, planteo V1 V1 := Q = 0.0049 Q V1 = 1.57 A1 m 2 A2 := 3 π ⋅ D2 2 A2 = 0.002 m 4 2 s m s a) evaluamos si considerar o no las pérdidas localizadas Longitud total cañería L1 = 125 m Longitud total equivalente de la cañería L1 + L2_equiv = 521.97 m L2 = 125 m Cantidad de pérdidas localizadas n := 3 Longitud promedio entre pérdidas localizadas Lprom := Longitud de comparación D1 ⋅ 500 = 31.5 m L1 + L2_equiv n D1 L2_equiv := L2 ⋅ D2 5 L2_equiv = 396.97 m Lprom = 173.99 m Conclusión: como Lprom es > que D*500 entonces no tenemos en cuenta las pérdidas localizadas b) Cálculo de la altura en A: zA Ecuación de la energía entre A y F V 2 − V 2 pF − pA F A Q − Weje = ρ ⋅ Q⋅ + ( uF − uA) + ( zF − zA) ⋅ g + ρ 2 Como en nuestro caso: VF = VA = 0 Dividiendo m. a m. por g, resulta: Por la ecuación de Darcy-Weisbach, podemos poner Pero al tener dos tramos de cañerías de distinto diámetro, debemos poner: zA = zF + uF − uA g Weje = Q = 0 uF − uA g [1] 2 L V = ∆HA_F = f⋅ ⋅ D 2g n ∆HA_F = pA = pF = 0 ∑ i =1 [2] 2 2 L V 2 L1 V1 L2 V2 i i fi ⋅ Di ⋅ 2g = f1⋅ D1 ⋅ 2g + f2⋅ D2 ⋅ 2g 2 [3] 2 L1 V1 L2 V2 Reemplazando [3] en [2] y a zA = zF + f1 ⋅ ⋅ + f2 ⋅ ⋅ su vez en [1], resulta: D1 2g D2 2g Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] Actualizazión: 06/09/2011 Pág. 8 de 9 UTN - FRBA Hidráulica General y Aplicada Capítulo 8: Línea Piezométrica EJEMPLOS RESUELTOS Datos: V1,V2, D1, D2, L1, L2, ν, ε Estamos ante el primero de los tres casos típicos planteados en el Capítulo 8, punto 8.9 -----------------------> Calculo los datos necesarios para encontrar los factores de fricción ε D1 ε = 0.00073 Re1 := D2 V1 ⋅ D1 Re2 := ν Re1 = 98127 Factor de fricción f1 por fórmula de Colebrook-White ( ) h f1 := − 1 f1 V2 ⋅ D2 Planteo ecuación de la energía en la instalación ν Re2 = 123640 ε − 0.86⋅ ln D1 ⋅ 3.7 Re 1 ⋅ f1 Calculo las pérdidas por la ecuación de DarcyWeisbach 2.51 + (( ) ) f1 := 0.01 Factor de fricción f2 por fórmula de Colebrook-White = 0.00092 f1 := root h f1 , f1 f1 = 0.0217 Como el factor de fricción es función de: f=F(ε/D;Re), calculo: ε/D1, ε/D2 y Re1 y Re2 ε + 2.51 h( f2 ) := − − 0.86⋅ ln f2 D2⋅ 3.7 Re2⋅ f2 1 (( ) ) f2 := 0.01 f2 := root h f2 , f2 f2 = 0.0219 Calculo el factor de fricción con el diagrama de Moody o la fórmula de Colebrook-White (si es agua, se puede utilizar Hazen y Williams) 2 L1 V1 ∆H1 := f1 ⋅ ⋅ D1 2g ∆H1 = 5.44 m 2 L2 V2 ∆H2 := f2 ⋅ ⋅ D2 2g ∆H2 = 17.44 m 2 Reemplazando [3] en [2] y a su vez en [1], resulta: 2 L1 V1 L2 V2 zA := zF + f1 ⋅ ⋅ + f2 ⋅ ⋅ D1 2g D2 2g Con el factor de fricción f1 y f2, se resuelve el problema 2 m 2.5⋅ 125⋅ m V1 125⋅ m s zA = 10⋅ m + f1 ⋅ ⋅ + f2 ⋅ ⋅ = 32.87 m 2 63⋅ mm 2⋅ g 50⋅ mm 2⋅ g c) Trazado de la línea piezométrica El.33,11m H1=5,5m A 33,11m B ∆H2=17,6m F C D E D2=50mm D1=63mm L1=125 m Autor: Ing. Verónica Monzón [email protected] El.10 m 10m Eje de referencia L2=125 m Actualizazión: 06/09/2011 Pág. 9 de 9