el controlador pid - ELAI-UPM

Control de Procesos Industriales.
ELAI. UPM. 2011
9/19/2011
MODULO I. CONTROL REGULATORIO AVANZADO
Tema 1. Revisión del controlador PID y consideraciones industriales
EL CONTROLADOR PID
•
1.‐ Introducción
–
–
–
•
2.‐ Acciones correctoras del controlador PID
–
–
–
•
Limitación de la acción derivativa
El efecto Wind‐up y el anti Wind‐up
5.‐ Realización digital
–
–
–
•
Representaciones alternativas (ISA, Serie, Paralelo)
SetPoint weighting. PI‐D. I‐PD
4.‐ Modificaciones al PID
–
–
•
La acción proporcional
La acción integral o automatic reset.
La acción derivativa o pre‐act.
3.‐ Estructuras del PID
–
–
•
Control por realimentación. Razón de la realimentación. Controladores On‐Off
Evolución histórica del controlador PID
Expresión matemática del controlador
Filtro Anti‐aliasing
Discretización
Consideraciones sobre la cuantificacíón
6.‐ Notas Prácticas sobre el PID
2
Prof. Miguel Hernando.
1
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1.‐ Introducción
1.1
•
•
•
Control por realimentación
Sistema en cadena abierta: más preciso, estable, rápido, raramente oscilatorio…
Sistema en cadena cerrada: aparece el error,
error inestabilidades,
inestabilidades oscilaciones,
oscilaciones lento…
lento
¿Por qué realimentamos los sistemas?
El sistema corrige la acción de control en base a la observación de la variable que se
quiere controlar.
Hace frente a las perturbaciones tanto previsibles como imprevisibles.
3
1.‐ Introducción
1.2 Control On‐Off
•
•
•
•
•
•
Sistema de control realimentado más sencillo
sencillo.
No hay ajuste alguno de parámetros.
Funciona sólo entre dos estados de la variable de control:
si e>0 u = umáx.
si e<0 u = umín
Objetivo: permanecer cerca de la consigna.
Inconveniente: la variable de proceso puede oscilar; las conmutaciones de u pueden deteriorar los actuadores.
Modificaciones: incluir zonas muertas, histéresis (0.5 ± 2% del rango máximo)
Control de nivel de depósitos de agua
4
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2
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1.‐ Introducción
1.3 Evolución histórica del PID
Es el controlador por excelencia
Proviene de los controles proporcionales
Velocidad de los Molinos de viento ( Mead 1787)
Regulador centrífugo de la máquina de Watt (1788)
5
1.‐ Introducción
1.3 Evolución histórica del PID (2)
1788‐1900 Evolución mecánica, aparición de oscilaciones. Soluciones ad‐hoc
1920 Estudios teóricos sobre las p
posibles bondades del PID
1915‐1940 Nacimiento de las grandes compañias de control (Bristol, Fisher,
Honeywell…). La acción integral en forma de “automatic reset”.
1935 La acción derivativa en forma de “pre‐act”
1942 Ajuste heurístico de Ziegler y Nichols
1950 La aparición del AO permite la realización analógica del PID (antes neumáticos)
1960 Computador genera consignas para controladores analógicos
1970 DDC control digital directo. En seguida basados en microprocesoador.
1980 Implementación genérica de PID, con algoritmos más complejos cuya base es el
PID.
6
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3
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1.‐ Introducción
1.4 Expresión matemática del PID
Conocido como el Controlador Universal:
⎛
1
U (t ) = K ⎜⎜ E (t ) +
Ti
⎝
U (t ) = KE (t ) +
K
Ti
t
∫ E (τ )dτ + T
d
0
t
∫ E (τ )dτ + KT
0
d
dE (t ) ⎞
⎟
dt ⎟⎠
dE (t )
= P+I +D
dt
T T s 2 + Ti s + 1
U ( s)
1
= K (1 +
+ Td s ) = K i d
E ( s)
Ti s
Ti s
7
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.1 La acción Proporcional (1)
•
Genera una señal proporcional al error: •
u(t)=K.e(t)
Se ajusta mediante el parámetro
ganancia proporcional K.
•
La Acción proporcional comporta como un Control on‐off para errores grandes.
8
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4
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2.‐ Acciones correctoras del PID
2.1 La acción Proporcional (2)
Analisis estático:
⎫
y = x+n
KcK p
Kp
⎪
( y ref − n ) +
l = A( y ref − n ) + Bl
x = K p (u + l ) ⎬ ⇒ x =
1+ KcK p
1+ KcK p
⎪
u = K c ( y ref − y ) ⎭
l: perturbación de carga (de entrada)
n: perturbación en la medida (ruido)
KcKp: Ganancia de lazo
9
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.1 La acción Proporcional (3)
Si n=0:
x=
KcK p
1+ KcK p
y ref +
Kp
1+ KcK p
l = Ay ref + Bl
Interesa A=1 y B=0
Si n<>0 el ruido es tan importante como la referencia
Regla importante: la calidad de los sensores y el aislamiento de las señales de
medida es la mejor forma de hacer un buen sistema de control.
10
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5
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2.‐ Acciones correctoras del PID
2.1 La acción Proporcional (4)
Efectos Dinámicos:
1.4
1.2
K=1,2 y 5 de forma sucesiva.
1
Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)
4
0.64
0.5
0.34
0.16
0.76
3.5
3
3
0.8
s a lid a
2.5
0.86
2
2
1.5
0.94
0.985
Imag Axis
0.6
1
1
0.5
0
0.4
0.5
0.985
-1
1
0.94
1.5
-2
2
0.86
0.2
2.5
-3
3
0.76
0.64
-4
-4
0.5
-3
0.34
-2
0.16
-1
3.5
0
Real Axis
1
2
3
4
0
0
2
4
6
8
10
tiempo
12
14
16
18
20
11
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.1 La acción Proporcional (5)
•
La acción p
proporcional
p
tiene efectos sobre el régimen
g
transitorio y
permanente, normalmente aumentar K:
–
–
•
tiende a reducir el error en régimen permanente.
tiende a aumentar las oscilaciones en la variable de proceso.
Elevada ganancia hace el sistema insensible a variaciones de carga, pero por el
contrario, lo hace más sensible al ruido.
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2.‐ Acciones correctoras del PID
2.2 La acción Integral (1)
• Genera una señal que es proporcional a la integral del error.
• Debe ir combinada con la acción proporcional, D b i
bi d
l
ió
i
l
1
de la forma:
u (t ) = K ⋅ (e(t ) +
G ( s ) = K (1 +
•
•
∫ e(t )dt )
1
K ⎛ T s +1⎞
) = ⎜⎜ i
⎟
Ti s
Ti ⎝ s ⎠
Se ajusta mediante el parámetro Ti tiempo integral.
La acción integral actuará mientras exista error:
si e>0, variable de control u crece.
si e<0, variable de control u decrece.
–
–
•
Ti
Tiene efecto sobre el régimen permanente. Su objetivo: anular el error.
13
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.2 La acción Integral (2)
El automatic reset.
U ( s) = K
1
1−
1
Ti s
e(s) = K
⎛
1 + Ti s
1
1 ⎞
⎟⎟e(s)
e(s) = K
e(s) = K ⎜⎜1 +
1 + Ti s − 1
Ti s
⎝ Ti s ⎠
1 + Ti s
La variable real es
U real (t ) = U (t ) + U o
Cuando existe I:
U real (t ) = U p (t ) + U o + U integral (t ) = U p (t ) + U o (t )
La acción integral asume con el tiempo la La
acción integral asume con el tiempo la
componente de continua marcada por el regulador.
0
dB
1
/Ti
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2.‐ Acciones correctoras del PID
Bode Diagram
0
M a g n itu d e ( d B )
-10
-20
-30
-40
0
Phas e (deg)
2.2 La acción Integral (3)
• Filtro paso bajo con Ti=10
((0.1 rad/sec)
/ )
• Ti: tiempo integral, una medida de la ventana de tiempo utilizada para calcular el valor medio.
• Ti debe ser lento respecto de la dinámica del sistema
-45
-90
-3
10
-2
10
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
15
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.2 La acción Integral (4)
• Se fija en el pasado para decidir que hacer.
• Incremento notable de la inercia del sistema
• Hace al sistema preciso, pero debe ser suave o el sistema se hace oscilatorio
G (s) =
1
s +1
Ti= 3, 1, 0.5 y 0.2
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2.‐ Acciones correctoras del PID
2.3 La acción Derivativa (1)
• Genera una señal proporcional a la derivada del error
• Debe ir combinada con la acción proporcional, de la forma:
⎛
de(t ) ⎞
u (t ) = K ⋅ ⎜⎜ e(t ) + Td
⎟
dt ⎠
⎝
Gc ( s ) =
•
•
u (s)
= K c (1 + Td s )
e( s )
Se ajusta mediante el parámetro Td tiempo derivativo.
Tiene efecto sobre el régimen transitorio mejorando la estabilidad
Tiene efecto sobre el régimen transitorio, mejorando la estabilidad.
17
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.3 La acción Derivativa (2)
• Combinada con la acción proporcional se ve su aspecto de previsión (pre‐act)
e(t)
señal de error
e(t)
ê(t+dt)
t
•
t+dt
D
Desarrollo en serie de Taylor:
ll
i d T l
f ( x) = f (a ) + f ' (a )( x − a ) +
eˆ(t + Δt ) ≅ e(t ) +
[n
f ' ' (a )
(x − a )2 + .... + f (a) (x − a )n
2!
n!
d (e(t ))
Δt
dt
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2.‐ Acciones correctoras del PID
2.3 La acción Derivativa (3)
• Al hacer el sistema más estable es posible hacerlo más rápido
• La única acción con carácter anticipativo
La única acción con carácter anticipativo
• Td representa cuanto proyectamos hacia el futuro la tendencia actual.
• Inconvenientes de la acción D:
–
–
Amplifica el ruido de la señal.
Satura los actuadores ante cambios bruscos de consigna 19
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.‐ Acciones correctoras del PID
2.4 Combinación PID
• El máximo beneficio se obtiene combinando las tres acciones de control =
algoritmo PID.
• En el plano s aporta 2 ceros y un polo en 0:
⎞ K + ( KTi ) s + ( KTiTd ) s 2
⎛
1
G ( s ) = K ⎜⎜1 +
+ sTd ⎟⎟ =
sTi
⎠
⎝ sTi
P: Actúa con el presente. Da consistencia al controlador. Siempre presente
I: Actúa con el pasado.
pasado Da precisión.
precisión Incrementa la inercia.
inercia Muy común
D: Actúa con la previsión. Incrementa la estabilidad. Introduce fricción. No
suele ser necesaria.
Todos ellos parten de la base que mas acción de control empuja el sistema con más fuerza.
20
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3.‐ Estructuras del PID
3.1 Representaciones alternativas
• Estándar, no‐interactiva, ISA
⎛ 1 + Ti s + Ti Td s 2
⎞
⎛
1
Gc ( s ) = K ⎜⎜1 +
+ sTd ⎟⎟ = K ⎜⎜
sTi
⎠
⎝ sTi
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
21
3.‐ Estructuras del PID
3.1 Representaciones alternativas (2)
• Serie, interactiva. La más común y comercial.
• P,
P PI o PD,
PD esta estructura es igual a la del PID estándar
(
)
K ' + K ' (T ' i + Td ) s + ( K 'Ti Td ) s 2
1 ⎞
⎛
'
G ' ( s ) = K ' ⎜1 + ' ⎟ 1 + sTd =
'
sT i ⎠
sTi
⎝
P
'
'
'
+ +
+ +
I
D
Si Ti>4Td existe una equivalencia entre ISA y serie:
T 'i + Td
,
T 'i
'
K = K'
'
Ti = T 'i + Td ,
'
Td =
'
Ti Td
'
T 'i + Td
22
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3.‐ Estructuras del PID
3.1 Representaciones alternativas (3)
• Paralelo o Ideal. La más teórica y polivalente.
G' 'c (s) = K +
Ki
+ Kd s
s
23
3.‐ Estructuras del PID
3.1 Representaciones alternativas (4)
• La formulación estándar es la más estudiada. Admite ceros complejos útiles para
la cancelación de polos oscilatorios. Parámetros con significado físico aplicable.
• La formulación serie es de realización mecánica sencilla. Los ceros se situan en
1/Ti y en 1/Td por lo que es cómodo en frecuencia. Es la más común con
diferencia.
• La formulación paralela es la más general y flexible pero los parámetros pierden
su significado físico. (Admitiría incluso acciones D o I sueltas)
24
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3.‐ Estructuras del PID
3.2 Control PI‐D
• Evitar el fenómeno de la patada en el punto de consigna,
• Se puede utilizar la acción D sólo en la realimentación,
realimentación evitando derivar la
referencia.
1
R(s)
D(s)
+
E(s)
1/Tis
+
+
+
Kp
+
+
-
Y(s)
Gp(s)
+
Tds
+
B(s)
N(s)
+
⎛
⎛
⎞
1 ⎞
1
⎟⎟ R ( s ) − K p ⎜⎜1 +
+ Td s ⎟⎟ B ( s )
U ( s ) = K p ⎜⎜1 +
T
s
T
s
i ⎠
i
⎝
⎝
⎠
K pG p (s)
Y (s) ⎛
1 ⎞
⎟
= ⎜1 +
R ( s ) ⎜⎝ Ti s ⎟⎠ ⎛
⎞
1
+ Td s ⎟⎟ K p G p ( s )
1 + ⎜⎜1 +
⎝ Ti s
⎠
25
3.‐ Estructuras del PID
3.2 Control I‐PD
• Cambios de consigna no importante seguirlos rápido.
• Se centra en hacer efecto ante las perturbaciones de carga.
carga
D(s)
R(s)
E(s)
+
+
1/Tis
+
+
1
Kp
+
-
Y(s)
Gp(s)
+
Tds
+
B(s)
N(s)
+
U (s) = K p
⎛
⎞
1
1
R ( s ) − K p ⎜⎜1 +
+ Td s ⎟⎟ B ( s )
Ti s
T
s
i
⎝
⎠
Ante D(s) es igual
Y ( s)
=
D ( s)
Y ( s)
1
=
R ( s ) Ti s
K pG p ( s)
⎛
⎞
1
1 + ⎜⎜1 +
+ Td s ⎟⎟ K p G p ( s )
⎝ Ti s
⎠
K p G p ( s)
⎛
⎞
1
+ Td s ⎟⎟ K p G p ( s )
1 + ⎜⎜1 +
⎝ Ti s
⎠
26
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13
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3.‐ Estructuras del PID
3.3 Ponderación de la referencia(1)
• Set‐Point weighting.
• Las dos estructuras anteriores son especializaciones de este concepto
•
Concepto de ponderación:
•
Reformulación de PID:
u (t ) = K ⋅ (e p (t ) +
de
1
e(t ) dt + Td d )
Ti ∫
dt
e p = b ⋅ y sp − y
ed = c ⋅ y sp − y
e = y sp − y
27
3.‐ Estructuras del PID
3.3 Ponderación de la referencia(2)
Separa la variable de proceso de la de consigna para formar distintas señales de
error
Para diferentes valores de b y c el controlador responde distinto ante cambios
de consigna que ante perturbaciones
28
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14
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3.‐ Estructuras del PID
3.3 Ponderación de la referencia(3)
•
•
•
•
•
•
El parámetro b limita la sobreoscilación debida a cambios de la consigna
(SP) pero el sistema reacciona mas lentamente.
El parámetro c evita que se produzcan elevados transitorios debido a
cambios de la consigna (SP) .
Con b = c = 1 se tiene el PID estándar.
Con b = c = 0 se tiene el controlador I‐PD.
Con b =1 y c = 0 se tiene el controlador PI‐D.
Lo habitual c = 0 y 0 < b < 1. c puede ser distinto de cero particularmente
en el control en cascada
PID
G1(s)
PID
G2(s)
29
3.‐ Estructuras del PID
3.3 Ponderación de la referencia(4)
30
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15
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3.‐ Estructuras del PID
3.3 Ponderación de la referencia(5)
Acción Proporcional (2‐0)
Acción Integral (2‐0)
Acción Derivativa (2‐0)
31
4.‐ Modificaciones al PID
4.1 Limitación de la acción derivativa(1)
Por la naturaleza del ruido este suele ser de alta frecuencia:
n = a ⋅ sen(ωt )
La acción derivativa amplifica en base a la frecuencia:
⎛ dn(t ) ⎞
u n = KTd ⎜
⎟ = aKTd ω ⋅ cos(ωt )
⎝ dt ⎠
La acción derivativa amplifica el ruido.
Por ello se limita con la inclusión de un filtro paso bajo:
En alta frecuencia, D amplifica N (D(jw) con w=inf)
32
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16
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4.‐ Modificaciones al PID
4.1 Limitación de la acción derivativa(2)
En baja frecuencia se comporta igual, pero a partir de N/Td deja de amplificar (lo
cual ocurre para una amplificación de N). (Ej: Td=10 y N=10)
Bode Diagram
Bode Diagram
40
20
10
Magnitude (dB)
M agnitude (dB)
35
30
25
0
-10
20
-20
15
91
-30
90
Phas e (deg)
Phas e (deg)
90.5
90
89.5
89
45
0
0
1
10
10
-2
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec)
33
4.‐ Modificaciones al PID
4.2 El efecto de windup ( 1)
• Las FDT funcionan bajo consideraciones lineales.
• Hay algunos elementos no lineales habituales que hay que considerar
• Zona muerta, y en particular las saturaciones:
Velocidad limitada de un motor
Apertura máxima de una válvula
Capacidad máxima de un depósito
•
El control por compensación del error se basa en que si se pide más, el sistema se
esfuerza por dar más. Cuando no esto no se cumple, desaparece la realimentación
PID
G(s)
PID
max
G(s)
34
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17
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4.‐ Modificaciones al PID
4.2 El efecto de windup ( 2)
• Esto es especialmente crítico cuando hay acción integral.
• El integrador acumula y pide más, y sin embargo no se le hace caso. Por tanto
seguirá pidiendo más.
‐Funcionamiento relé (máximos y mínimos).
‐Oscilación de frecuencia variable
‐Dientes de sierra
35
4.‐ Modificaciones al PID
4.2 El efecto de windup ( 3)
•
S puede
Se
d producir
d i si:
i
–
–
–
•
cambios bruscos y grandes de SP o grandes perturbaciones.
Hay acción integral
Se satura el actuador
Soluciones:
–
–
–
Dispositivos limitadores en el SP (filtrado).
Implementar estructura de “seguimiento y retrocálculo” (back‐calculation & tracking)
Implementar una integración condicional (posibilidad de bloqueo)
36
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4.‐ Modificaciones al PID
4.2 El anti‐windup ( 4)
• Back‐calculation & Tracking:
• Obtener es no siempre es posible, pero es fácil de simular
• bajos Tt eliminan la acción I rápidamente.
– Td < Tt < Ti
– sugerencia Tt = (Ti Td )1/2
– Tt no excesivamente bajo
salida
lid
ref
37
4.‐ Modificaciones al PID
4.2 El anti‐windup ( 4)
38
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19
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4.‐ Modificaciones al PID
4.2 El anti‐windup ( 5)
39
4.‐ Modificaciones al PID
4.2 El anti‐windup ( 6)
antiwindup1.mdl
40
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5.‐ Realización Digital
La realización digital conlleva tres efectos importantes:
1.‐ Efecto del muestreo
2.‐ Discretización
3.‐ Cuantificación
Computador
Convertidor
Digital-Analógico
Regulador R( z )
Bloqueador B (s )
G (s )
Y (s )
H (s)
T
Convertidor
Analógico-Digital
41
5.‐ Realización Digital
5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (1).
•
Proceso de un controlador digital:
Proceso de un controlador digital:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
•
•
Esperar a la interrupción de reloj (tiempo real)
Lectura de la señal analógica (CAD)
Cálculo de la acción de control
Escritura de la señal analógica (CDA)
Actualización de las variables del controlador
Volver a 1.
Durante todo un ciclo la señal muestreada se considera invariante.
Efecto del muestreo: aparición de alias.
42
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21
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5.‐ Realización Digital
5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (2).
.
Step Response
From: U(1)
1.8
1.6
1.4
To: Y(1)
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Time (sec.)
43
5.‐ Realización Digital
5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (3).
.
44
Prof. Miguel Hernando.
22
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5.‐ Realización Digital
5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (3).
•
El efecto de aliasing: aparición de una falsa señal de baja frecuencia El
efecto de aliasing: aparición de una falsa señal de baja frecuencia
como consecuencia del submuestreo. •
Producidas por señales que superen la frecuencia de Niquist (TªShanon).
Wn=0.5Ws
Solución: filtro analógico antes de muestrear.
•
–
Se suele usar uno de 2º Orden (Butterworth) con ancho de banda al menos de 1/8 de la
frecuencia de muestreo.
45
5.‐ Realización Digital
5.2 Discretización (1).
•
¿Cómo se realiza con un algoritmo un cálculo del tipo PID?.
¿Cómo se realiza con un algoritmo un cálculo del tipo PID?. –
Existen distintas transformaciones. La mas utilizada es la de Tustin o bilineal, la cual se basa
en aproximar la integración por:
t
x (t )
x(t )
T
2T
3T
kT
1
s
∫ x(t )dt
0
{x k } T (1 + z −1 ) {wk }
2 (1 − z −1 )
t
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Prof. Miguel Hernando.
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Control de Procesos Industriales.
ELAI. UPM. 2011
9/19/2011
5.‐ Realización Digital
5.2 Discretización (2).
47
5.‐ Realización Digital
5.3 Cuantificación (1).
–
–
Un ordenador tiene una precisión finita.
Codificación de números reales:
•
•
Coma fija:
Coma flotante
–
–
32 bits
64 bits
–
Una precisión excesiva puede provocar que el cálculo acumulativo salga mal:
–
U ejemplo
Un
j
l particular
ti l buscado
b
d a conciencia:
i i
–
Habitualmente quien es problemático es el término integral. Se puede arreglar ajustando su muestreo
con un periodo mayor, para que el valor que se incrementa sea significativo.
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Prof. Miguel Hernando.
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Control de Procesos Industriales.
ELAI. UPM. 2011
9/19/2011
6.‐ Notas Prácticas sobre el PID
Notas prácticas de uso del PID
•
Empleo del PID:
seguimiento fiable de los cambios de SP.
insensibilidad al ruido.
Buen comportamiento ante cambios de carga, perturbaciones.
•
El PID funciona, en la mayoría de los casos, aceptablemente.
•
En muchas implementaciones la acción D se desconecta.
•
¿ Cuándo
á d emplear
l
configuración
f
ó PI ?
En sistemas principalmente de 1er orden (control de nivel)
En sistemas de orden superior siempre acción I para asegurar correcto funcionamiento en régimen
permanente.
49
6.‐ Notas Prácticas sobre el PID
Notas prácticas de uso del PID
•
¿Cuándo emplear configuración PID ?
En sistemas principalmente de 2º orden (control de temperatura).
En sistemas donde haya que incrementar la velocidad de respuesta y en sistemas de orden superior,
mediante la adición de la acción D.
•
¿ Cuándo no usar PID ?
En sistemas de orden 3 o superior (control más sofisticado, el PID no basta, pero puede usarse).
En sistemas con elevados tiempo muertos (predictor Smith).
En sistemas con mas de un modo oscilatorio más de un polo complejo con parte real muy pequeña
(adición de ceros complejos).
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Prof. Miguel Hernando.
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