Estructuras algebraicas abstractas. Grupo, anillo y cuerpo. 1

Á LGEBRA L INEAL : A PLICACIONES F ÍSICAS - 2011
T RABAJO P R ÁCTICO 1
Estructuras algebraicas abstractas. Grupo, anillo y cuerpo.
1. Determine si forman grupo (en caso de ser ası́, determine si el grupo es abeliano):
a) El conjunto de números enteros divisibles por uno dado, con la suma usual entre enteros.
b) El conjunto de todos los números complejos de módulo 1 con respecto al producto usual entre
complejos (U (1)).
c) El conjunto {1, i, −1, −i} con respecto a la multiplicación usual entre números complejos.
d) El conjunto de las tres raı́ces cúbicas de la unidad, con la multiplicación usual entre complejos.
e) El conjunto de todas las matrices complejas de m × n, con la suma usual de matrices.
f) El conjunto de las matrices complejas unitarias de n × n de determinante igual a 1 con el producto
usual de matrices (SU (n)).
g) El conjunto de las aplicaciones biyectivas de un conjunto de tres elementos {a, b, c} en sı́ mismo,
con la composición de funciones (S3 ).
h) El conjunto de matrices de la forma
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
con el producto usual de matrices, y 0 ≤ θ < 2π (SO(2)).
2. Describa las operaciones de simetrı́a que dejan invariante la molécula de agua (H2 O) y verifique que
forman un grupo abeliano.
√
3. a) Mostrar que el conjunto de números de la forma a + b 3, con a, b ∈ Q forma un anillo con la suma
y el producto usuales.
b) Estudiar si satisface los requisitos de cuerpo.
4. Sea F = {0, 1} un conjunto de dos elementos cualesquiera. Si se definen la suma y la multiplicación
por las tablas
+ 0
0 0
1 1
1
1
0
×
0
1
0
0
0
1
0
1
verifique que F forma un cuerpo con estas operaciones.
5. a) Mostrar que puede establecerse un isomorfismo entre el grupo del inciso d) y las rotaciones
alrededor del origen que dejan invariante un triángulo equilátero:
a0
a1
a2
: rotación en 0
2π
: rotación en
3
4π
: rotación en
3
b) Encuentre un grupo de tres matrices isomorfo a los dos anteriores. Todo grupo isomorfo al grupo
de las rotaciones que dejan invariante un polı́gono regular de n lados se llama grupo cı́clico de orden
n (Cn ).