Guía Juegos Repetidos

MICROECONOMÍA II (UBA)
Profesor Martín Rossi
Ayudante Martín Alfaro
GUÍA 4
Juegos Repetidos y Oligopolio
1. Suponga que en un mercado oligopólico donde coexisten n …rmas. Las empresas compiten como en el modelo de Cournot: eligen cantidades simultáneamente y el precio se
determinado tal que iguala la oferta y la demanda.PLa demanda inversa que enfrenta el
mercado viene dada por p (Q) = A bQ con Q i qi A su vez, los costos marginales
son idénticos para todas las empresas e iguales a un parámetro c y no existen costos
…jos.
(a) Determina la función de mejor respuesta de cada empresa y muestre que las candq BR (q )
tidades son sustitutos estratégicos, es decir, que i dqj 2 < 0:Vea que esto implica
que si la …rma (i) conjetura que (j) lleva una unidad más, la mejor respuesta de
la …rma (i) es reducir las cantidades.
(b) Determine la cantidad que cada empresa llevaría al mercado
(c) Determine los precios y bene…cios bene…cios que cada empresa obtendría
(d) Cómo afecta un incremento en la cantidad de las empresas que se encuentran en
el mercado sobre los precios y los bene…cios
(e) Suponga ahora que las …rmas deben pagar un costo hundido F en caso de ingresar
al mercado. Determine el número de empresas que permanecerían en el mercado
en el largo plazo.
2. Suponga un mercado donde existen dos …rmas y ambas compiten por cantidades.
Asuma que los costos marginales de cada una son respectivamente c1 y c2 y no existen costos …jos. Sea la demanda inversa p (q1 + q2 ) = a bq1 bq2 :
(a) Determine las cantidades que cada una llevaría al mercado
(b) Determine los bene…cios de cada uno
(c) ¿Cómo afecta a las cantidades y bene…cios de la empresa un incremento del costo
marginal de su competidora?
(d) ¿Cuál es la condición que se debe dar sobre los parámetros para que la …rma (1)
lleve más cantidades al mercado?
(e) Si una …rma no ingresa al mercado detenta bene…cios nulos. Suponga ahora que
existe una etapa previa donde las …rmas deben decidir si ingresan o no al mercado.
¿Cuál es el valor del costo marginal de la empresa (1) para que decida no ingresar
al mercado?
(f) Asuma que c1 > c2 pero que c1 <
a+c2
2
1
1. Determine la cantidad q2 que podría llevar la empresa (2) y haría que la …rma
(1) no quisiera ingresar al mercado.
2. ¿Podría utilizar la empresa (2) esas cantidades para disuadir la entrada?
3. Suponga un mercado de productos homogéneos donde las …rmas compiten à la Bertrand,
es decir, utilizan los precios como variable de elección, los mismos son elegidos simultáneamente por las empresas y la cantidad a producir es tal que iguala la demanda.
Los costos marginales de las empreas son nulos y no existen costos …jos. La demanda
se comporta de tal manera que acaba comprándole a aquella empresa que posee el
menor precio.8De este modo, la demanda que enfrenta la empresa i-ésima es tal que:
< D (p1 ) si p1 < p2
1
D (p) si p1 = p2
Di (p1 ; p2 ) =
: 2
0
si p1 > p2
(a) De aquí en más, asuma que existe una barrera a la entrada (exógena) tal que
solamente existen dos empresas en el mercado. Determine el equilibrio de Nash
del juego
(b) Ahora asuma que c1 > c2 : En este caso, la empresa (2) sabe que puede eliminar
a la (1)
1. Vea que p1 = p2 = c1 no es un equilibrio
2. La situación que parecería más plausible es p1 = c1 y p2 = c1 " con " ! 0.
Estrictamente hablando, ¿puede este par de precios constituir un equilibrio
de Nash?
4. Ahora asuma que, continúan existiendo dos empresas en el mercado pero que los productos no son homogéneos. Así, la empresa i-ésima enfrenta la demanda qi (pi ; pj ) =
a bpi + pj con > 0, b > 0 y b > =2:
dpBR (p )
(a) Vea que los precios son complementos estratégicos, es decir, idpj j > 0:Esto
implica que si la …rma (i) conjetura que (j) aumentará su precio, la mejor respuesta
de la …rma (1) es también aumentar el precio.
(b) Muestre que en este caso la paradoja de Bertrand deja de existir.
5. Este ejercicio sirve para ilustrar algunos aspectos que di…cultan la colusión entre empresas. Para la exposición, trabajaremos con un juego repetidos in…nitamente donde
n empresas compiten por precios. Asimismo, los costos marginales de todas las …rmas
son nulos y no existen costos …jos. Supongamos que las empresas han acordado establecer un precio monopólico y repartirse el mercado de manera equitativa. Además,
han adoptado estrategias del disparador so pena de volver al equilibrio de Nash del
juego de Bertrand.
(a) Obtenga el factor de descuento mínimo tal que sostiene el resultado cooperativo
(b) Muestre que el factor de descuento mínimo que sustenta el resultado cooperativo
crece monótonamente con el número de empresas
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(c) Ahora asuma que existe di…cultad en la detección de los desvíos. En particular,
suponga que el precio establecido por cada empresa es inferido tras dos periodos,
de tal manera que la penalidad recien puede realizarse tras haber transcurrido
estos. Muestre que en este caso, el factor de descuento mínimo que sustenta el
resultado cooperativo es mayor respecto al encontrado en el inciso a)
6. Asuma un juego al estilo de Cournot en un mercado de productos homogéneos con
dos empresas. La demanda inversa que enfrentan viene dada por p (Q) = 130 Q
con Q q1 + q2 : La estructura de costos de cada empresa es igual y está dada por
Ci (qi ) = 10qi :
(a) Determine la función de mejor respuesta
(b) Determine las cantidades en equilibrio
(c) Determine las cantidades que llevaría un monopolista
(d) Asuma ahora que en el país en el que se desarrolla la competencia, la colusión
es legal. De este modo, existe la posibilidad de …rmar un contrato legal, el cual
asumiremos ejecutable (enforceable), es decir, que es creíble que se haga cumplir.
El contrato es tal que ambas partes se comprometen a llevar (cada una) la mitad
de lo que llevaría un monopolista. En caso de no respetar el contrato, la parte
que haya roto el acuerdo deberá pagar un monto T:
1. Determine el monto T tal que redunda en que las partes respeten el contrato
2. Ahora asuma que en el país que se …rma el contrato no siempre el mismo
se ejecuta. En particular, asuma que la probabilidad de que una empresa
engañe y le apliquen la penalidad es 0; 9: ¿A cuánto debe ascender ahora el
monto T ?
7. Retomemos el ejercicio 6 y asumamos que la posibilidad de establecer un contrato
legal no es posible. Sin embargo, vamos a asumir que el juego se repite in…nitamente.
Como consecuencia, podría existir la posibilidad de una colusión tácita. Cada una
de las empresas adopta una estrategia del disparador donde acuerdan llevar cada uno
la mitad de lo que llevaría un monopolista y se castiga eternamente cualquier desvío
(incluyendo el del propio jugador) con las cantidades de Cournot.
(a) Asuma que las …rmas descuentan el futuro. ¿Cuál es el factor de descuento mínimo
que tiene que prevalecer como para que las partes respeten el acuerdo de manera
voluntaria?
(b) Ahora asuma que no existe factor de descuento pero existe una probabilidad p de
que el juego acabe. ¿Cuál es el p mínimo que tiene que prevalecer como para que
las partes respeten el contrato?
(c) Hemos sido arbitrarios en el valor de bene…cio en el que pueden acordar las partes.
Asuma que la estrategia del disparador es tal que una parte lleva 27 unidades y
la otra 33 so pena de terminar en las cantidades de Cournot. ¿Pueden sostenerse
las estrategias del disparador en equilibrio?
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(d) Asuma que los pagos no se descuentan (es decir, ! 1): Si ambas partes acuerdan llevar en total al mercado las cantidades monopólicas, ¿cuál es el rango de
cantidades en el que pueden establecer un acuerdo?
(e) Muestre que repetir el equilibrio de Nash estático en cada periodo es un equilibrio
de Nash del juego repetido in…nitamente.
8. Continuemos utilizando el ejercicio 6. En el ejercicio anterior se exploró la posibilidad
de acordar distintos bene…cios manteniendo el castigo de desviarse en las cantidades de
Cournot. Esto acotaba los posibles valores sobre los que podían coludir. Consideremos
ahora la posibilidad de que el castigo en una estrategia del disparador no involucre que
ambos produzcan las cantidades de Cournot. En particular, consideremos un castigo
minimax : lo peor que una …rma puede hacerle a la otra dado que la …rma que está
siendo castigada responde con su mejor respueta a la acción del castigador. Es decir, la
…rma (1) elegiría un castigo para la …rma (2) tal que resolvería el siguiente problema:
min max 2 (q1 ; q2 ) : Esto signi…ca, que la empresa (2) elegiría su mejor respuesta en
q1
q2
un contexto donde la …rma (1) quiere minimizarle sus bene…cios.
(a) Halle las cantidades y bene…cios de castigo que cada …rma podría imponer a la
otra.
(b) Llamemos "Bene…cios individualmente racionales" a aquel conjunto de bene…cios
de las empresas que mayores al que obtienen en caso de aplicarse el castigo minmax : Una de las versiones del Folk Theorem establece que si ! 1 entonces
cualquier bene…cio (factible) que sea mayor al bene…cio individualmente racional
es parte de un Equilibrio de Nash. Véalo para este ejercicio.
(c) Ahora suponga que acuerdan repartirse los bene…cios monopólicos en igual cuantía. Encuentre el factor de descuento tal que hace que aplicar las estrategias del
disparador son un equilibrio de Nash.
(d) Vea en el inciso anterior que, aun cuando la colusión es parte de un equilibrio de
Nash, no constituye un equilibrio perfecto en subjuegos
9. Partiendo de la intuición vista en el ejercicio de anterior de que un mayor castigo
hace más factible la colusión (entendido esto por el requerimientos de un menor factor de descuento para que se dé el equilibrio colusivo), intentemos utilizar un enfoque
que permita un castigo más severo al de jugar las cantidades de Cournot pero que
simultáneamente constituya un equilibrio perfecto en subjuegos. El enfoque que desarrollaremos se conoce con el nombre de Stick and Carrot. El problema en el anterior
ejercicio radicaba en que, en caso de desviarse alguna de las empresas, la mejor respuesta al castigo impuesto era ofrecer otras cantidades que las acordadas. Por ello,
bajo Stick and Carrot, la idea para lograr perfección en subjuegos es continuar castigando desvíos del acuerdo colusivo pero, si bien imponer castigos que no conforman un
equilibrio de Nash, ahora también sancionar los desvíos del castigo acordado. Se puede
demostrar que, dado un factor de descuento, este enfoque soporta el mayor grado de
colusión. Asuma que la estrategia que adoptará cada empresa consiste en:
En t jugar las cantidades colusivas si en t
colusivas
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1 ambas …rmas jugaron las cantidades
Si en t 1 alguna …rma se desvió de las cantidades colusivas, jugar las cantidades
de castigo en t
Si ambas …rmas jugaron las cantidades de castigo en t
colusivas en t
1; jugar las cantidades
Si alguna de las …rmas se desvío del castigo acordado en t 1; jugar las cantidades
de castigo en t
De este modo, las empresas castigan únicamente un periodo y se encuentran dispuestas a coludir nuevamente si el castigo fue respetado. Asumamos que las cantidades
colusivas se corresponden con que cada empresa produzca 30 unidades y que = 0; 4:
Asuma que las cantidades de castigo son para cada empresa qi = 54:
(a) Determine los bene…cios que obtendrían cada una de las empresas si respeta el
castigo
(b) Determine cuál es la mejor respuesta de la empresa si su competidor lleva esas
cantidades. A partir de ello, calcule los bene…cios que obtendría si defrauda en el
castigo
(c) Muestre que respetar el castigo para luego obtener inde…nidamente las ganancias
de coludir es mayor que la tentación de defraudar en el castigo hasta la eternidad.
Note que, al darse esto, si coludir es un equilibrio de Nash se muestra que las
empresas respetarán el castigo en caso de querer desviarse y, por tanto, fuera de
la trayectoria de equilibrio, las estrategias a seguir serían creíbles
(d) Calcule los bene…cios que se obtendrían bajo colusión.
(e) Calcule la mejor respuesta en términos de cantidades y bene…cios si la empresa
se desvía del acuerdo colusivo pero el competidor respeta llevar las cantidades
colusivas al mercado
(f) Ahora muestre que coludir es un equilibrio de Nash. Para ello, muestre que jugar
las cantidades de colusión para siempre dan un mayor bene…cio que desviarse.
Note que en caso de desviarse, a sabiendas de que el castigo se va a respetar
por lo hallado en el inciso (3), reporta unos bene…cios alternados de defraudar
en colusión y respetar el castigo. En otros términos, en los periodos pares no se
respeta el acuerdo colusivo y en los impares ambas partes respetan el castigo y
juegan las cantidades de castigo.
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