Introducción - Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
INTRODUCCIÓN
x(t)
población x(t)
población x(t)
Supongamos que deseamos estudiar la evolución de una cierta población de seres vivos (virus,
bacterias, peces, conejos, zorros, humanos, etc.). Para ello consideramos que el número de
individuos de la población es una función que sólo depende del tiempo, y que designamos por x(t).
Acordamos que el inicio del estudio se realiza cuando t=0, luego el número de individuos de la
población al comienzo del estudio será una cantidad conocida, digamos x(0)= x0. Mediante gráficos
en el plano (x,t) podemos expresar el comportamiento de la población en el tiempo. En efecto,
veamos algunos ejemplos sencillos:
a)
b)
x0
t
tiempo (t)
tiempo
(t)
Población constante
x(k)=k
Población con crecimiento lineal
x(t)=at+x0, a>0, x0= población inicial
c)
d)
x(t)
x(t)
x0
x0
t
t
Población con decrecimiento lineal
x(t)=-at+x0, a>0, x0= población inicial
e)
Población con crecimiento exponencial
x(t)=x0ekt, k>0, x0 =población inicial
(x(t)=x0akt, k>0, a>1)
f)
x(t)
x(t)
M
x0
t
t
Pobl. Con decrecimiento exponencial
x(t)=x0e-kt, k>0, x0= población inicial
(x(t)=x0a-kt, k>0, a>1)
Pobl. Con crecimiento asintótico
Mx 0
x(t) =
, x0 < M
x 0 + (M − x 0 )e−kMt
x0= población inicial, M = asíntota
Prof. Dr. Raúl F Jiménez
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x0
h)
M
x(t)
x(t)
g)
M
*
x0
P.I.
t
t
Pobl. con decrecimiento asintótico
Mx 0
x(t) =
, x0 > M
x0 + (M − x 0 )e−kMt
i)
Pobl. con crecimiento asintótico y P.I.
Mx 0
x(t) =
, x0 < M
x 0 + (M − x 0 )e−kMt
x0 =población inicial, M = asíntota
j)
x(t)
x(t)
x0
x0
t
Pobl. con “distribución normal”
x( t ) = te −kt + x 0
t
Pobl. con comportamiento periódico
x(t)= sen(at)+x0 a, b>0
Comentarios sobre estos gráficos: Es muy raro, por no decir imposible, que una población de seres
vivos se comporten de forma lineal, ya sea constante, creciente o decreciente. Sin embargo
revisaremos las propiedades más importante de las rectas, ya que son de uso común en Biología y
otras ciencias afines, sobre todo cuando se trata de ajustar rectas a una “nube de puntos” (conjunto
de datos reales). El gráfico d) corresponde a una de las funciones más importantes en Biología: ekt
llamada función exponencial, y estudiaremos sus propiedades que son muy interesantes. Aparece,
por ejemplo, en los primeros estados del crecimiento bacteriano, donde la constante k está asociada
al tipo de bacteria. La función inversa de esta función exponencial también es importante, se denota
por ln(t), y se llama función logarítmica. El caso e) corresponde también a una función exponencial,
pero con exponente negativo y modela, por ejemplo, el decaimiento radioactivo, y la constante k está
asociada al tipo de sustancia radioactiva. En el caso f) también aparece la función exponencial, pero
ahora en una expresión más compleja; este caso modela, por ejemplo, el comportamiento de una
población que siempre crece, pero que no puede sobrepasar un valor máximo M. El caso g) es muy
similar, pero ahora la población decrece a un valor mínimo M. El caso h) es muy común para describir
una gran cantidad de fenómenos biológicos, además de posible poblaciones de seres vivos, por
ejemplo, en cinética enzimática y control de enfermedades contagiosas. La abreviación P.I. significa
punto de inflexión; punto que separa el gráfico en dos partes con comportamientos muy diferentes
(cóncava y convexa). Observe que en el control de este tipo de enfermedades, los esfuerzos de las
autoridades de salud pública, se concentran en hallar este P.I. El caso i), también aparece mucho en
la dinámica de poblaciones y también en la fármaco-cinética. En este último caso, este tipo de curvas
representan la concentración de una dosis droga, en algún órgano. Finalmente, afirmamos que
existen en Biología una gran cantidad de fenómenos periódicos (actividad del corazón, respiración,
ciclos circadianos, menstruación, etc.), cuyas representaciones gráficas son del tipo sinusoidal (las
funciones trigonométricas senos o cosenos). Como población de seres vivos, este caso puede
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representa la población de conejos, donde los zorros (depredadores de los conejos) estarán
representados por la misma curva, cambiando el seno por el coseno.
De lo anterior deducimos que debemos conocer algo sobre funciones y sus gráficos, que son objetos
matemáticos, si es que deseamos conocer este tipo de fenómenos.
Pero hay más: los fenómenos que cambian en el tiempo son observables, y en muchos casos es
posible estimar la rapidez (velocidad) a la cual estos cambios se producen. Este concepto físico de
rapidez está ligado a otro concepto matemático fundamental: el de derivada. A veces es posible
conocer la derivada de una función biológica x(t) y desconocer la función misma. Es decir, si la
derivada es una función f(t) entonces tenemos la siguiente expresión para describir este hecho:
dx( t )
= f (t)
dt
donde el símbolo de la izquierda es la “derivada de x(t)” , f es la función conocida y x es la función
desconocida. Esta expresión se llama ecuación diferencial y constituye uno de los más fructíferos
modelos matemáticos. Más adelante veremos que si calculamos la derivada en un punto, entonces
tenemos información del comportamiento del gráfico de la función en la cercanía de ese punto, y esa
información puede ser relevante en el estudio del fenómeno real.
Si queremos conocer cual es la expresión exacta de x, entonces debemos resolver esta ecuación.
Para ello debemos integrar la ecuación, apareciendo otro concepto matemático fundamental: la
integral.
Para poder definir estos conceptos matemáticos necesitamos de otro concepto matemático: el de
límite (que es bastante complicado.... pero que nosotros podemos entenderlo usando nuestra
intuición). Para definir este límite es necesario expresar matemáticamente el concepto de “cercanía”,
es decir, debemos ser capaces de expresar usando símbolos matemáticos el hecho de un elemento
está más cerca de un elemento fijo, que un tercer elemento. Esto se logra usando el concepto de
distancia, que en matemática se expresa como valor absoluto o norma. Sin embargo, evitaremos
cada vez que sea posible el formalismo matemático, para dedicarnos a comprender el concepto y la
utilidad que éste presta a la Biología en general.
Prof. Dr. Raúl F Jiménez