limites continuidad
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Repartido N° 3
Limites de Funciones
3° E.M.T Matematica A La Blanqueada
Ejercicio nº 1.Calcula:
2
a) lim3 x
x 2
b) lim 1 2 x
x 8
c) lim sen x
x
2
Evaluación:
Fecha:
Solución:
a) lim 3 x 52 25
2
x 2
b) lim 1 2 x 1 16 1 4 5
x 8
c ) lim sen x sen
x
2
2
1
Ejercicio nº 2.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y
por la derecha de x 0:
2x 1
lim 2
x 0 x 2 x
Solución:
2x 1
lim
x 2x
2
x 0
lim
x 0
2x 1
x x 2
Calculamos los límites laterales:
lim
x 0
2x 1
x 2x
2
lim
x 0
2x 1
x 2 2x
Ejercicio nº 3.Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
lim
x 1
x 2 4x 5
x 3 3x 2 3x 1
1
Solución:
lim
x 1 x 3
x 2 4x 5
3x 3x 1
2
lim
x 1
x 1x 5 lim x 5
x 1 x 12
x 13
1
Ejercicio nº 4.Calculael límitecuando x y cuando x dela siguientefunción
y representa la información que obtengas:
f x
1 2x 2 4 x
3
Solución:
1 2x 2 4 x
x
3
lim
1 2x 2 4 x
x
3
lim
Ejercicio nº 5.Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
3x
5 3x
3x
b) lim
x 5 3 x
a) lim
x
Solución:
3x
3
1
x 5 3 x
3
a) lim
1
2
b) lim
x
3x
1
5 3x
1
Ejercicio nº 6.Esta es la gráficade la función f x :
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene
una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x 0.
Ejercicio nº 7.Calcula a para que la función fx sea continua en x 1:
x + 3
f x 2
2x a
si
x 1
si
x 1
Solución:
lim f x lim x 3 2
lim f x lim 2x 2 a 2 a
x 1
x 1
f 1 2
x 1
x 1
3
Para que sea continua en x 1, lim f x lim f x f 1. Por tanto, 2 a 2 a 0
x 1
x 1
Ejercicio nº 8.Dada la función:
f x
1
x 2x 1
2
halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.
Solución:
x 2 2x 1 0
x 1
Solo tiene una asíntota vertical: x 1
Posición de la curva respecto a la asíntota:
1
x 2x 1
2
lim
x 1
1
x 1
2
1
x 12
lim
x 1
1
x 12
1
Ejercicio nº 9.Halla las ramas infinitas, cuando x y x de la siguientefunción y representa
los resultados obtenidos:
f x
x3 x2
2x
3
2
Solución:
x3 x2
lim
2 x
x
2
3
x3 x2
lim
2 x
x 3
2
4
Ejercicio nº 10.Dada la función:
x3 1
x 3
halla sus ramas infinitas,cuando x y cuando x , y representalosresultados
obtenidos.
f x
Solución:
lim
x3 1
x3
lim
x3 1
x3
x
x
Ejercicio nº 11.Halla las ramas infinitas,cuando x y cuando x , de la siguientefunción y
representa los resultados que obtengas:
f x
2x 2 1
x2 1
Solución:
lim
x
lim
2x 2 1
x2 1
2x 2 1
x2 1
x
2
2
2
5
Con calculadora podemos comprobar que:
Dando valores muy grandes y positivos
asíntota y 2.
Dando valores muy grandes y negativos
x , la curva va por debajo de la
x , la curva va por debajo de la
asíntota y 2.
Ejercicio nº 12.a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?
f x
3x 2 2
x 2
b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a
ella.
Solución:
a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función
tiene una asíntota oblicua.
3x 2 2
10
3x 6
x2
x2
Asíntota oblicua: y 3x 6
Cuando x ,
10
0 La curva está por encima de la asíntota.
x2
Cuando x ,
10
0 La curva está por debajo de la asíntota.
x2
• Representación:
2
y=3x6
6
Ejercicio nº 13.Estudia la continuidad de la función:
6
1
x 2
f x 2
x x
2
si x 1
si 1 x 2
si x 2
Solución:
1
no está definido en x 2, valor que pertenece a la
x2
semirrecta x < 1. Luego f x es discontinua en x 2.
El primer tramo de función y
En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas continuas
en todo .
Estudiamos la continuidad de los puntos de ruptura:
• x 1:
f 1 1 1 2
1
1
lim f x lim
1
x 1 x 2
x 1
1 2
lim f x lim x 2 x 1 1 2
x 1
x 1
2
No existe lim f x , luego la función es discontinua en x 1.
x 1
Se produce un salto en x 1.
• x 2:
lim f x lim x 2 x 2 lim f x f 2 2
x 2
x 2
x 2
lim f x lim 2 2
x 2
x 2
f 2 2
La función f x es continua en x 2.
Luego fx es continua en todo excepto en x 2 y x 1.
Ejercicio nº 14Calcula estos límites:
a) lím 3 x 2 x 9 1
x
ex
x x 1
b) lím
Solución:
9
a) lím 3 x 2 x 9 1 lím x 2
x
x
ex
ex
0
lím
0
x x 1
x x 1
b) lím
7
Ejercicio nº 15.Halla los límites:
a) lím 5 x 2 2 x 3 x
x
x 2 3x 1
b) lím
x
x 6 2x
Solución:
5 x 2 2 x 3 x 5 x 2 2 x 3 x
a) lím 5 x 2 x 3 x lím
x
x
2
5 x 2x 3 x
2
lím
5 x 2 2x 9 x 2
x
b) lím
x 2 3x 1
x
x 6 2x
lím
5 x 2 2x 3 x
x 2 3x 1
x
x 6 2x
lím
x
4 x 2 2x
5 x 2 2x 3 x
0
Ejercicio nº 16.Calcula los siguientes límites:
2x 1
a) lím
x 3 x 2
x2
2x 2
b) lím
x 3 2 x
x 1
Solución:
2x 1
a) lím
x 3 x 2
x2
2x 2
b) lím
x 3 2x
x 1
2x 1
lím
x 3 x 2
x2
2 x 2
lím
1 · x 1
e x 32 x
2
3
0
2 x 2 3 2 x
lím
· x 1
3 2 x
e x
lím
5 x 5
5
e x 32 x e 2
Ejercicio nº 17.Halla el valor del siguiente límite:
2 x 2 x 10
lím 3
x 2 x 3 x 2 4
Solución:
2x 5 x 2 lím 2x 5 9
2x 2 x 10
lím
2
x 2 x 3 3 x 2 4
x 2
x 2 x 1 x 2
(0)
x 1 x 2
lím
Hallamos los límites laterales:
lím
x 2
2x 5
x 1 x 2
;
lím
x 2
2x 5
x 1 x 2
Ejercicio nº 18.Calcula el límite:
8
3x
2 x 4 x 1
lím 2
x 1
x x 6
Solución:
3x
2x 4
2 x 4 x 2 x 6 3 x
·
lím
x 1
x 2 x 6
3x
lím
1 ·
2
x 1
2x 4 x 1
x 1
lím 2
e x 1 x x 6
e
x 1
x x 6
e
lím
x 1
3 x ( x 2) ( x 1)
( x 2 x 6) ( x 1)
e
lím
x 1
3 x ( x 2)
x 2 x 6
3
e
lím
( x 2 3 x 2 ) ( 3 x )
x 1 ( x 2 x 6 ) ( x 1)
1
e6 e2
Ejercicio nº 19.Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua,
indica el tipo de discontinuidad que presenta:
f x
3x 2 2x 8
x 2 3 x 10
Solución:
f x
3x 2 2x 8 3x 4 x 2
x 2 3x 10 x 5 x 2
Dominio {5, 2}
f (x) es continua en {5, 2}.
Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:
lím f x lím
x 5
x 5
3 x 4 11
. Hallamoslos límiteslaterales:
x 5
(0 )
lím f x ;
x 5
lím f x
x 5
Discontinuidad de salto infinito en x 5.
límf x lím
x 2
x 2
3 x 4 10
x 5
7
Discontinuidad evitable en x 2.
Ejercicio nº 20.Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
3x a
f x 2 x 2 bx a
3x 1
si
si
si
x 1
1 x 2
x 2
9
Solución:
Dominio
Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
lím f x lím 3 x a 3 a
lím f x lím 2 x 2 bx a 2 b a
x 1
x 1
f 1 2 b a
x 1
x 1
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:
3 a 2 b a 2a b 1
En x 2:
lím f x lím 2x 2 bx a 8 2b a
x 2
lím f x lím 3 x 1 7
x 2
x 2
f 2 7
x 2
Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:
8 2b a 7 a 2b 1
Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:
2a b 1 b 1 2a
a 2b 1 a 21 2a 1 a 2 4a 1 3a 3 a 1 ;
b 1
Ejercicio nº2 1.Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim 2
x 2 x x 1
b) lim 6 3 x
x 1
c) lim log x
x 1
Solución:
Evaluación:
x 3
1
1
a) lim 2
x 2 x x 1
4 2 1 7
b) lim 6 3 x 6 3 9 3
Fecha:
x 1
c) lim log x log 1 0
x 1
Ejercicio nº 22.Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y
10
por la derecha de x 2:
lim
x 2
x 1
x 22
Solución:
lim
x 2
x 1
x 2
2
lim
x 2
x 1
x 2
2
lim
x 2
x 1
x 2 2
2
Ejercicio nº 23.Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
x2 4
x 2 2 x 4
lim
Solución:
x 2x 2 lim x 2 4 2
x2 4
lim
x 2 2 x 4
x 2
x 2
2x 2
2
2
lim
2
2
Ejercicio nº2 4.Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
2
a) lim 4 x
x
b) lim 4 x
2
x
Solución:
a) lim 4 x
2
x
b) lim 4 x
2
x
11
Ejercicio nº25.Hallael límitecuando x y cuando x de la siguientefunción,
y representa los resultados que obtengas:
f x
x 2
1 x 3
Solución:
lim
x2
x
1 x
3
0
lim
x
x2
1 x 3
0
Ejercicio nº26.A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso
de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
Solución:
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en
ese punto (una asíntota vertical).
Ejercicio nº2 7.Estudia la continuidad de la función:
x 1
f x 3
2
x 15
si
x4
si
x4
Solución:
Si x 4, la función es continua.
Si x 4:
12
x 1
1
3
lim f x lim x 2 15 1 También es continua en x 4 porque lim f x f 4 .
x 4
x 4
x 4
f 4 1
lim f x lim
x 4
x 4
Ejercicio nº2 8.Averigua las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
f x
x 3
x x 2
2
Solución:
x2 x 2 0
x
x 1
1 1 8
2
x 2
Las asíntotas verticales son x 1 y x 2.
• Posición de la curva respecto a las asíntotas:
x3
x x2
2
lim
x 1
lim
x 2
x3
x 1x 2
x 3
x x 2
x 3
2
x2 x 2
1
x 3
x x 2
x 3
lim
x 2 x 2 x 2
lim
x 1
2
2
Ejercicio nº 29.Halla las ramas infinitas, cuando x y cuando x , de la función:
f x
x 3 x
2
Representa gráficamente los resultados obtenidos.
Solución:
x3 x
x
2
x3 x
lim
x
2
lim
13
Ejercicio nº 30.Halla las ramas infinitas, cuando x y cuando x , de la siguientefunción y
representa los resultados que obtengas:
f x
x 4 2x
x2 1
Solución:
lim
x
lim
x
x 4 2x
x2 1
x 4 2x
x2 1
Ejercicio nº 31.Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y
cuando x :
f x
1 3x
2x
Solución:
1 3 x 3
3
2x
1
1 3x
lim
3
x 2 x
lim
x
3
Ejercicio nº 32.Estudia y representa el comportamiento de la siguiente función cuando x y
cuando x . Si tiene alguna asíntota, representa la posición de la curva respecto a
14
ella:
f x
x3
x2 1
Solución:
x3
x
x 2
x 1
x 1
Asíntota oblicua: y x
2
Cuando x ,
x
0
x2 1
Cuando x ,
x
0 La curva está por encima de la asíntota.
x2 1
La curva está por debajo de la asíntota.
• Representación:
1
y=x
1
Ejercicio nº 33.Halla la asíntota horizontal de dada una de las funciones siguientes:
a y 1 3x
b y 3x 1
c y 0,7x 2
d y 0,5x 1
Solución:
lim 1 3 1;
a) lim 1 3 x ; no tiene asíntota horizontal hacia .
x
x
x
y 1 es asíntota horizontal hacia .
b) lim 3 x 1 ; no tiene asíntota horizontal hacia .
x
lim 3 x 1 0; y 0 es asíntota horizontal hacia .
x
c) lim 0,7 x 2 2;
x
lim 0,7 x 2 ;
x
d) lim 0,5 x 1 0;
x
lim 0,5 x 1 ;
x
y 2 es asíntota horizontal hacia .
no tiene asíntota horizontal hacia .
y 0 es asíntota horizontal hacia .
no tiene asíntota horizontal hacia .
15
Ejercicio nº 34.Calcula los siguientes límites:
3x
a) lím x 3 log x
b) lím 2
x
x x 1
Solución:
a) lím x 3 log x
x
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
3x
3x
0
lím 2
0
2
x x 1
x x 1
b) lím
Ejercicio nº 35.Calcula los límites:
a) lím 3 x 2 1 2 x
x
3
b) lím
x
2x 5 1
x4 2
Solución:
3 x 2 1 2 x 3 x 2 1 2 x
2
2
lím 3 x 1 4 x
2
a) lím 3 x 1 2 x lím
x
x
x
3 x 2 1 2x
3 x 2 1 2x
lím
x
3
b) lím
x
2x 5 1
lím
x
x4 2
3
x2 1
3 x 2 1 2x
2x 5 1
x4 2
0
Ejercicio nº 36.Halla:
5x 2
a) lím
x 4 5 x
2x
3
4x 2
b) lím
x 3 x 5
x 2 1
Solución:
2x
5 x 2
2x
3
lím
1 ·
5x 2 3
4 5 x
a) lím
e x
x 4 5 x
4x 2
b) lím
x 3 x 5
x 2 1
5 x 2 4 5 x 2 x
lím
· 3
4 5 x
e x
4x 2
lím
x 3 x 5
x 2 1
4
3
lím
12 x
12
e x 1215 x e 15 e
4
5
Ejercicio nº 37.Calcula el límite:
16
3x 2 x 2
x 1 x 3 x 2 x 1
lím
Solución:
x 1 3x 2 lím 3x 2 5
3x 2 x 2
lím
3
2
2
x 1 x x x 1
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 (0)
lím
Hallamos los límites laterales:
lím
x 1
3x 2
x 1 x 1
;
lím
x 1
3x 2
x 1 x 1
Ejercicio nº 38.Halla el límite:
3
x 2 3x 1 x
lím
x 0
5x 1
Solución:
x 2 3 x 1 3
1 ·
5 x 1
x
3
lím
x 2 3x 1 x
x 0
e
lím
x 0
5x 1
lím
e x 0
3 x 8
5 x 1
e
x 2 3 x 15 x 1 3
·
lím
5 x 1
x
x 0
lím
e x 0
x 2 8 x 3
·
5 x 1 x
3 x x 8
lím
e x 0 x 5 x 1
e 24
Ejercicio nº39.Estudia la continuidad de la función:
ex
f x 3 x 2 1
4 ln x
si
si
x 0
0 x 1
si
x 1
Solución:
Dominio
Si x 0 y x 1 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 0:
lím f x lím e x 1
2
lím f x lím 3 x 1 1 f x es continua en x 0.
x 0
x 0
f 0 1
x 0
x 0
En x 1:
17
lím f x lím 3 x 2 1 4
x 1
lím f x lím 4 ln x 1 f x es continua en x 1 .
x 1
x 1
f 1 4
x 1
Por tanto, f (x) es continua en .
Ejercicio nº 40.Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:
2x a
f x 2
x 3a 5
x 1
x 1
si
si
Solución:
Si x 1 la función es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
lím f x lím x 2 3a 5 6 3a
x 1
x 1
f 1 2 a
lím f x lím 2 x a 2 a
x 1
x 1
Para que f (x) sea continua en x 1, ha de ser:
2 a 6 3a 4a 4 a 1
Ejercicio nº 41.-
Calcula el límitede la función f x
x4 x
en x 1 y en x 3.
3
2
Solución:
x4 x 1 1 1
lim
x 1
2
3
2 6
3
x4 x
3
51
lim
27
x 3
3
2
2
2
Ejercicio nº 42.-
Fecha:
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la
derecha de x 3:
1
lim 2
x 3 x 9
Solución:
18
lim
1
x 3
x 9
2
lim
x 3
1
x 3 x 3
Calculamos los límites laterales:
lim
x 3
1
x 9
2
lim
x 3
1
x 9
2
3
Ejercicio nº 43.Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
2 x 2 12 x 18
x 3
x2 x 6
lim
Solución:
lim
x 3
2x 2 12x 18
x2 x 6
2x 3
2x 3
lim
0
x 3 x 3 x 2
x 3 x 2
lim
2
3
Ejercicio nº 44.Hallael límitecuando x de las siguientesfuncionesy representagráficamente
la información que obtengas:
x x3
1
2
2
3x 2 2x 3
b) f x
5
a) f x
Solución:
x x3
a) lim
1
x 2
2
19
b) lim
x
3 x 2 2x 3
5
Ejercicio nº 45.Halla los siguientes límites y representa los resultados obtenidos:
a) lim
x
1
1 x 3
3 x3
x
x2
b) lim
Solución:
a) lim
x
b) lim
x
1
0
1 x 3
3 x3
x2
Ejercicio nº 46.La siguientegráficacorresponde a la función f x :
20
Y
8
6
4
2
8 6 4 2
2
2
4
6
8
X
4
6
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua,
indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Solución:
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
lim f x lim f x .
x 1
x 1
En x 2 sí es continua.
Ejercicio nº4 7.Estudia la continuidad de la función:
2 x 2 1 si
f x x 2
si
2
x 0
x 0
Solución:
Si x 0, la función es continua.
lim f x lim 2x 2 1 1
x 0
x 0
x 2
lim f x lim
1 Es continua en x 0 porque lim f x f 0.
x 0
x 0
x 0
2
f 0 1
Ejercicio nº 48.Halla las asíntotas verticales de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:
f x
2x 1
x2 1
Solución:
x2 1 0
x 1 ;
x 1.
Las asíntotas verticales son x 1 y x 1.
21
• Posición de la curva respecto a ellas:
2x 1
lim
x 1
lim
x 1
x 1x 1
2x 1
x 1
2
1
2x 1
lim
x 1
lim
x 1
x2 1
2x 1
x2 1
1
Ejercicio nº49.Halla las ramas infinitas, cuando x , de las siguientesfuncionesy representala
información que obtengas:
a) f x x 2
4
b) f x x x 2
Solución:
a) lim x 2
4
x
b ) lim x x 2
x
Ejercicio nº 50.Halla las ramas infinitas, cuando x y cuando x , de la función:
f x
2x 3 x
1 x
Representa la información obtenida.
Solución:
22
2x 3 x
x 1 x
2x 3 x
lim
x 1 x
lim
Ejercicio nº 51.Estudiael comportamiento de la siguientefunción,cuando x y cuando x , y
representa las ramas que obtengas:
f x
x 1
2x 2 2
Solución:
lim
x
lim
x
x 1
2x 2 2
x 1
2x 2 2
0
0
Asíntota horizontal y=0
Ejercicio nº 52.La siguiente función tiene una asíntota oblicua. Hállala y sitúa la curva respecto a ella:
f x
x 2 2x
x 1
Solución:
x 2 2x
1
x 1
x 1
x 1
Asíntota oblicua: y x 1
Cuando x ,
1
0 La curva está por debajo de la asíntota.
x 1
Cuando x ,
1
0 La curva está por encima de la asíntota.
x 1
• Representación:
23
1 y=x+1
1
Ejercicio nº 53.Calcula los siguientes límites.
2x 1
a) lim
5x
x
x2 3
x
b) lim
x
9x 2 1
2x
c) lim
x
d) lim
x
2 x
x2 5
2x 1
2x 3
Solución:
2x 1
lim
x 5 x
a)
b)
2 x
lim
c)
lim
2x 1 x
lim
x 5 x
x 2 3
x
2
5
lim
3x 3
9x 2 1
9x 2
lim
lim
2x
2
x 2 x
x 2 x
lim
x
0
2 x
2
x x
x 5
2
lim
x
x
d)
x2 3
x
2x 1
2x
lim
lim 1 1 1
2 x 3 x 2 x x
Ejercicio nº 54.Calcula:
a) lím e x x 2 1
x
x 4 3x
x log x 2
b) lím
Solución:
a) lím e x x 2 1
x
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una
potencia.
x 4 3x
x 4 3x
lím
2
x log x
x log x 2
b) lím
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
24
Ejercicio nº 55.Calcula los siguientes límites:
3x 2
a) lím
b) lím x 2 3 x 2 x
x
x
2
5x 3x 1
Solución:
a) lím
3x 2
x
5x 3x 1
2
3
5
3 5
5
x 2 3 x 2 x x 2 3 x 2 x
b) lím x 2 3 x 2 x lím x 2 3 x 2 x lím
x
x
x
2
x 3 x 2x
lím
x 2 3x 4x 2
x
x 2 3x 2x
lím
x
3x 2 3x
x 2 3 x 2x
Ejercicio nº 56.Calcula:
1
a) lím 2
x
x
2 x 3
3x 2
b) lím
x 2 3 x 2
x 1
2
Solución:
1
a) lím 2
x
x
2 x 3
3x 2
b) lím
x 2 3 x 2
1
lím 2
x
x
x 1
2
e
2 x 3
2 0
3x2
x 1
lím
1 ·
2
x 2 3 x 2
e
3 x 2 2 3 x 2
lím
2
23 x
x
x 1
·
2
lím
2 x 2
e x 4 6 x e 0 1
2
Ejercicio nº57.Halla el límite:
x 1
2x
lím 2
x 3 x 9
x 3
Solución:
x 1
2 x x 1 x 3
2x x 2 4 x 3
2x
lím 2
lím
lím
x 3 x 9
x 3
x 3 x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
x 2 2x 3 18
x 3 x 3 x 3
(0)
lím
Hallamos los límites laterales:
lím
x 3
x 2 2x 3
;
x 3 x 3
lím
x 3
x 2 2x 3
x 3 x 3
Ejercicio nº 58.-
25
Calcula:
2x
2 x 2 x 1 x 3
lím
x 3
4x 4
Solución:
2 x 2 x 1 2 x
1 ·
x 3
4 x 4
2x
lím
2 x 2 x 1 x 3
x 3
lím
e
x 3
4
x
4
e
2 x 2 x 1 4 x 4 2 x
·
lím
x 3
4 x 4
x 3
2 x 1 x 3 2 x
2 x 1 2 x
42
e
lím
x 3
2 x 2 5 x 3 2 x
·
4 x 4
x 3
21
lím
lím
e x 3 4 x 4 x 3 e x 3 4 x 4 e 16 e 8
Ejercicio nº 59.Dada la función f x
3 x 3 15 x 2 x 5
, estudia su continuida d. Indica el tipo de
x 2 3 x 10
discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.
Solución:
f x
3 x 3 15 x 2 x 5 x 5 3 x 2 1
x 5 x 2
x 2 3 x 10
Dominio {5, 2}
f (x) es continua en {5, 2}.
Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x 5 y en x 2:
3 x 2 1 76 76
x 5 x 2
7
7
lím f x lím
x 5
Discontinuidad evitable en x 5.
lím f x lím
x 2
x 2
3 x 2 1 13
. Hallamos los límites laterales :
x 2
(0 )
lím f x ;
x 2
lím f x
x 2
Discontinuidad de salto infinito en x 2.
Ejercicio nº60.Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:
ax 2 2 x
f x 4 x 2 ax b
3x b
si
si
x 1
1 x 2
si
x 2
Solución:
26
Si x 1 y x 2 f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.
En x 1:
lím f x lím 4 x 2 ax b 4 a b
x 1
x 1
f 1 4 a b
lím f x lím ax 2 2 x a 2
x 1
x 1
Para que f (x) sea continua x 1, ha de ser:
a 2 4 a b b 6
En x 2:
lím f x lím 4 x 2 ax 6 10 2a
x 2
lím f x lím 3 x 6 0
x 2
x 2
f 2 0
x 2
Para que f (x) sea continua en x 2, ha de ser:
10 2a 0 2a 10 a 5
Por tanto, f (x) será continua si a 5 y b 6.
27