tema 1. electricidad y magnetismo

TEMA 1. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
1 1 Campo electrostático
1.1.
1.2. Conductores y dieléctricos
1 3 Ci
1.3.
Circuitos
it d
de corriente
i t continua
ti
1.4. Campo magnético y generación de tensiones alternas
1.5. Circuitos de corriente alterna
1.6. Campo electromagnético y ondas
1.1. Campo electrostático
Campo originado por cargas eléctricas en reposo.
 Carga eléctrica
Propiedad básica de la materia. La carga eléctrica de un cuerpo u objeto es
la suma de las cargas de cada uno de sus constituyentes mínimos:
moléculas, átomos y partículas elementales. Existen cargas positivas y
negativas.
En ell estado
E
t d normall d
de llos cuerpos materiales,
t i l
llas cargas eléctricas
lé t i
mínimas
í i
están compensadas, por lo que dichos cuerpos se comportan eléctricamente
como neutros.
Hace falta una acción externa para que un objeto material se electrice. La
electrización de un cuerpo se consigue extrayendo del mismo las cargas de
un signo y dejando en él las de signo contrario
contrario. En tal caso
caso, el cuerpo
adquiere una carga eléctrica neta no nula.
La interacción eléctrica es la existencia de fuerzas eléctricas entre cargas.
cargas Si
esas cargas están en reposo, se denomina interacción electrostática.
Experiencia
Fricción entre materiales  transferencia de carga entre ellos  aparición
de fuerzas
Bola de corcho suspendida por un hilo no metálico a la que se acerca
acerca,
sin tocar, una varilla de vidrio o de ámbar previamente frotadas
Hilo no metálico
Hilo no metálico
_
+
Corcho
Varilla de ámbar
Corcho
Varilla de vidrio
a)
b)
Hilo no metálico
Corcho
c)
_
Varilla de vidrio
+
Varilla de ámbar
Si tocamos dos bolas de corcho con las barras de vidrio y/o ámbar
+
+
_
_
b)
a)
_
+
c)
Conclusión
Hay d
H
dos titipos o estados
t d de
d electrización,
l ti
ió que B
Benjamín
j í F
Franklin
kli (1706
(1706-1790)
1790)
llamó positiva (+, vidrio) y negativa (-, ámbar). Y hay dos tipos de interacción
eléctrica, y dos tipos carga eléctrica (+ y -).
 Cuantización de la carga
Átomo: Núcleo (protones y neutrones) + electrones
Protones: +e
Electrones: -e
e=1.6x10-19 C  Unidad fundamental de carga eléctrica.
Unidad S.I.: culombio (C)
Todas
T
d las
l cargas observables
b
bl se presentan
t en cantidades
tid d enteras
t
d
de lla unidad
id d
fundamental e. Q=±Ne. La carga está cuantizada.
Normalmente N es muy grande y la carga parece ser continua.
 Conservación de la carga
La carga no se crea ni se destruye
destruye, sólo se transfiere
transfiere. La suma algebraica
de todas las cargas en cualquier sistema cerrado es constante.
Inicialmente los átomos son neutros: el número de protones y electrones es
igual. Al frotar lo cuerpos, se liberan electrones de los átomos, que se
transfieren entre ellos.
Si un cuerpo cede electrones a otro se queda con un defecto de carga
negativa, o lo que es lo mismo, cargado positivamente, y viceversa.
 Ley de Coulomb
z
Ley empírica que proporciona la fuerza de
interacción entre dos cargas puntuales, en
reposo y en el vacío.
q1

r12

r1
La fuerza que ejerce la carga q1 sobre q2 está
dada por
q2

r2

F12 
1 q1q2
rˆ12
x
2
40 r12


 

 
r12
r12  r2  r1 , r12  r12  r2  r1 , rˆ12 
r12
 0  8.854 10 12 N -1  m -2  C 2 ,
permitividad
pe
dad d
dieléctrica
e éc ca de
del vacío
ac o
1
 8.99  109 N  m 2  C  2
40
Esta fuerza tiene las siguientes propiedades:
· Es repulsiva si q1 y q2 son del mismo signo (positiva).
· Es
E atractiva
i sii q1 y q2 son de
d signo
i
opuesto ((negativa).
i )
· Satisface el principio de acción y reacción.
· Satisface el principio de superposición: si hay más de dos cargas presentes, la
fuerza sobre cada una de ellas será la suma vectorial de las fuerzas que ejercen
todas las demás sobre ella individualmente.
y
 Campo eléctrico
El hecho de que una carga eléctrica ejerza una fuerza sobre otra se puede
interpretar considerando que una carga crea un campo eléctrico E en todo
el espacio, y es este campo el que ejerce una fuerza sobre otras cargas.
El campo eléctrico en un punto del espacio se define como la fuerza F
ejercida por unidad de carga sobre una carga de prueba positiva q0

colocada en ese punto
 F
E
q0
El campo eléctrico en el S.I. se expresa en N/C.
La dirección y el sentido en un punto son los de la fuerza en ese punto.
Esto nos permite poder calcular el campo eléctrico E creado por una carga
puntual q en un punto P a unadistancia rP como
 F
q

E
rˆ
2 P
q0 40 rP
donde r̂ˆP es un vector unitario que apunta desde el punto de la carga
fuente al punto de observación P. El campo eléctrico es entonces un
vector radial desde la posición de q hacia fuera si q es positiva, y hacia q
si es negativa. La fuerza que experimentaría
una carga q’ por acción de


este campo sería simplemente F  q ' E
En el caso de tener n cargas puntuales qi situadas en puntos ri (distribución
di
discreta
de
d cargas),
) por ell principio
i i i d
de superposición
i ió d
de lla ffuerza d
de C
Coulomb,
l b
el campo eléctrico total será la suma vectorial de los campos creados por cada
una individualmente
 n
qi
E
rˆ
2 iP
i 1 4 0 riP
donde riP es un vector unitario que apunta desde el punto de la carga fuente i al
punto de observación del campo P.
P
 Líneas de campo
El campo eléctrico
lé t i puede
d representarse
t
dib
dibujando
j d lílíneas que iindiquen
di
su
dirección. En un determinado punto el campo E es tangente a las líneas de
campo eléctrico. El espaciado de las líneas da idea de la intensidad del campo
eléctrico Ejemplos:
eléctrico.
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
 Potencial eléctrico
La fuerza electrostática que experimenta
 unacarga de prueba q0 en
presencia de un campo eléctrico E es F  q0 E .
Si debido a esa fuerza, q0 se desplaza recorriendo un trayecto infinitesimal
dl en esa región, el trabajo hecho por el campo será
 
 
dW  Fdl  q0 Edl
que por conservación de la energía se traducirá en una disminución de la
energía potencial electrostática de q0 en el campo dU  dW  q0 Edl
La energía potencial por unidad de carga, U/q0, es lo que se denomina
potencial eléctrico o electrostático o simplemente potencial. Se suele
representar
t por V=
V U/
U/q0. Es
E una magnitud
it d escalar.
l
La diferencia de potencial entre dos puntos vendrá dada por
B  
U
V  VB  VA 
   Edl
q0
A
que es el trabajo por unidad de carga realizado por un agente externo para
mover una carga de prueba positiva del punto A al punto B sin cambio en su
energía cinética.
Se suele elegir el origen de potenciales en el infinito, lo cual nos permite
definir el potencial eléctrico en un punto cualquiera como el trabajo por
unidad de carga necesario para llevar una carga de prueba positiva desde
el infinito hasta ese punto:
B  
VB    Edl

En el S.I. la unidad de potencial es el voltio (V): V=julio/culombio=J/C.
Para una carga puntual q situada en el origen de coordenadas tendríamos

E
P  
q0 q
q
q
ˆ
r
V
E
d
l
U
q
V







0

40 r 2
40 r
40 r

Líneas de fuerza y superficies
equipotenciales de una carga
puntual positiva
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
1.2. Conductores y dieléctricos
Conductores son aquellos materiales que contienen cargas eléctricas que
pueden moverse libremente en su interior. Se dice que tienen cargas libres.
Ejemplo:
j p metales,, en los que
q las cargas
g libres son los electrones de valencia ((los más
externos, los poco ligados al núcleo de los átomos).
Dieléctricos son aquellos materiales que no tienen cargas libres susceptibles
de moverse. Se dice que sus cargas están ligadas. Son muy malos
conductores de la electricidad (aislantes).
Ejemplo: vidrio, corcho, madera.
Propiedades de un conductor ideal en equilibrio:
· El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es cero.
· La
L carga neta
t de
d un conductor
d t en equilibrio
ilib i electrostático
l t táti sólo
ól puede
d estar
t en su
superficie.
· El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie.
· Un conductor en equilibrio electrostático es un volumen y una superficie
equipotenciales.
· Dos conductores separados entre sí estarán, en general, a distinto potencial. La
diferencia de potencial dependerá de la carga de cada uno, de sus formas y de la
distancia entre ellos.
 Capacidad y condensadores
Se denomina capacidad C al cociente entre la carga Q y el potencial V de
un conductor aislado. C=Q/V. Mide la capacidad de almacenar carga para
una determinada diferencia de potencial. Como el potencial siempre es
proporcional a la carga, esta relación no depende de Q o de V, sino sólo del
tamaño y forma del conductor.
La unidad en el S
S.I.
I es el faradio (F): F
F=culombio/voltio=C/V
culombio/voltio C/V.
Un condensador es un sistema de dos conductores aislados entre sí, que
tienen cargas iguales y de signo contrario (±Q)
(±Q). Son dispositivos capaces de
almacenar carga eléctrica y energía eléctrica. La carga eléctrica se deposita
en las placas (conductores) y la energía eléctrica se almacena en la región
entre placas (dieléctrico, que puede ser el vacío).
Ejemplo: condensador de placas plano-paralelas. Formado por dos grandes placas
conductoras paralelas. Suelen ser láminas metálicas muy finas, separadas y aisladas
una de otra por una lámina delgada de plástico.
plástico Su capacidad es C  A / d
Conductores, armadura o placas
Símbolo de un condensador
Hilos de conexión
En principio, las dos placas del condensador son neutras, y se cargarán si las
conectamos a través de un “dispositivo”
dispositivo (batería o pila) que mueva cargas de
una placa a la otra. Este movimiento de cargas tiene lugar hasta que la
diferencia de potencial entre las placas sea igual a la diferencia de potencial V
entre los terminales de la batería
batería.
Figura extraída de Física para la Ci i l T
Ciencia y la Tecnología, l í
Tipler/Mosca, Ed. Reverté
La cantidad de carga eléctrica Q que se acumula en las placas depende del
valor de V y de la capacidad C del condensador. Q=CV.
La energía electrostática almacenada en un condensador cargado es
1 Q2 1
1
U
 QV  CV 2
2 C 2
2
Si q es la carga transferida de una placa a otra y se desea transferir un dq adicional desde el conductor negativo a
potencial 0 hasta el positivo a potencial V, el incremento de energía potencial del condensador será
q
dU  Vdq  dq
C
Q

q
1 Q2
U   dU   dq 
C
2 C
0
 Asociación de condensadores
En su forma más sencilla,
sencilla los condensadores se pueden conectar:
- En serie
C1
C1
- En paralelo
C2

1
1
1


Ceq C1 C2

Ceq  C1  C2
C2
Conexión serie
n
1
1

Ceq i 1 Ci
Conexión paralelo
n
n condensadores
Ceq   Ci
i 1
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Diferentes tipos
p de condensadores
 Corriente eléctrica en conductores
En un conductor sus cargas libres pueden moverse y dar lugar a corriente
corriente.
La corriente eléctrica se define como el flujo de cargas eléctricas que, por
unidad de tiempo, atraviesan un área transversal.
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
I
Q
t
Las partículas que contribuyen a la corriente pueden tener carga positiva o
negativa. Por convenio, el sentido de la corriente es el del flujo de las cargas
positivas En un conductor metálico la corriente es debida al flujo de electrones
positivas.
y, por tanto, el sentido de la corriente es el opuesto al del movimiento de los
electrones.
La unidad de corriente en el S
S.I.
I es el amperio (A): A=culombio/segundo=C/s.
A=culombio/segundo=C/s
Cable de sección A, con n partículas libres portadoras de carga q por
unidad de volumen (densidad), desplazándose a una velocidad vd
(velocidad de arrastre o deriva)
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Q  qnAvd t  I 
Q
 qnAvd
t
La corriente por unidad de área (densidad de corriente) será


I
(A/m2)
J   qnvd
ó
J  qnvd
A
g
o distinto sentido según
g la carga
g de
Tanto J como vd son vectores ((de igual
las partículas). vd es la velocidad media de todas las partículas, nula en
equilibrio (E=0) y distinta de cero fuera de equilibrio (E≠0), puesto que el
campo ejerce una fuerza F=qE sobre las partículas cargadas.
vd depende de la intensidad de E, y en principio se puede pensar que son
proporcionales.
 Resistencia y ley de Ohm
Si sobre un conductor de longitud L (y área transversal A) aplicamos una
diferencia de potencial V,
V aparecerá un campo eléctrico E
E=V/L
V/L, que dará
lugar a un desplazamiento neto de las partículas cargadas y por lo tanto a
una corriente I.
Figura extraída de Física para la Figura
extraída de Física para la
Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Se define la resistencia del conductor como R
R=V
V/I
La unidad de resistencia en el S.I. es el ohmio (): =voltio/amperio=V/A
En muchos materiales (la mayoría de los metales), la resistencia no depende ni
de V ni de I. Se denominan materiales óhmicos
óhmicos, donde se cumple que
V=IR con R constante, que es la denominada ley de Ohm
La resistencia de un trozo de material es proporcional a su longitud e
inversamente proporcional a su área transversal
R
L 1 L

A A
siendo  la constante de proporcionalidad, denominada resistividad. Su
inversa  se conoce como conductividad.
A partir de las relaciones anteriores la ley de Ohm también podría ponerse


como
J  E
La potencia suministrada a un trozo de conductor (disipada en forma de
calor, efecto Joule) por el que circula una corriente será
V2
P  IV  I R 
R
2
(vatios)
Las resistencias comerciales (típicamente de carbono) sólo se fabrican de
ciertos valores,
valores indicados por bandas que siguen un código de colores
Resistencia
Hilos de conexión
cone ión
Símbolo para representar
una resistencia en un circuito
Figuras extraídas de www.fegasinel.com
 Asociación de resistencias
En serie
Por ellas circulará la misma corriente
V  IR1  IR2  I ( R1  R2 )  IReq
Para n resistencias
n
Req   Ri
i 1
En paralelo
Entre ellas existe la misma diferencia de potencial
I  I1  I 2 
1 1
1
V V

 V     V
R1 R2
Req
 R1 R1 
Para n resistencias
n
1
1

Req i 1 Ri
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
1.3. Circuitos de corriente continua
Circuitos que trabajan con señales constantes en el tiempo
 Fuentes de tensión y de corriente
Para mantener una corriente en un conductor se necesita mantener el campo
eléctrico. Esto se consigue con un generador o fuente de fuerza
electromotriz o fuente de tensión,, el cual es un dispositivo
p
que
q convierte
otras formas de energía (química, mecánica) en energía eléctrica: realiza un
trabajo sobre la carga que pasa a su través, elevando su energía potencial.
El trabajo realizado por la fuente
fuente, por unidad de carga
carga, se llama fuerza
electromotriz (fem o tensión) de la fuente. Se suele representar por  o V , y
se mide en voltios. Dentro de la fuente, las cargas positivas se mueven
desde un punto de menor potencial eléctrico a otro de mayor potencial (al
revés los electrones).
Una fuente de tensión (o fem) ideal es
aquella que mantiene una diferencia de
potencial constante  entre sus terminales
independientemente de la corriente I que
circule
i l a su través.
é
A
VA>VB
+
_
B
VA-VB = V =
Si conectamos con unos conductores ideales una fuente ideal a una
resistencia R,
R circulará una corriente I de valor I=/R,
/R y la potencia
suministrada por la fuente será P=I=VI.
A
A
I
V =
V =
+
_
B
R
I
+
_
R
r
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
p /
,
B
F t d
Fuente
de ttensión
ió ideal
id l
Fuente de tensión real
Una fuente de fem real es aquella en la que la diferencia de potencial entre
sus terminales depende del flujo de carga (corriente) que pase por la fuente.
Dentro de la fuente hay, para las cargas, un aumento de energía potencial
menor que la correspondiente a  , tanto menor cuanto mayor sea la
corriente.
i t Esta
E t disminución
di i
ió puede
d representarse
t
por una pequeña
ñ
resistencia r en serie con la fuente ideal, cumpliéndose que
VA  VB    Ir
y la
l corriente
i t será
á
I

Rr
Una fuente de corriente ideal es aquella que siempre da la misma
corriente, independientemente de la tensión entre sus terminales.
A
A
r
I
I
B
B
Ideal
Real
Una fuente de corriente real tiene una resistencia interna r,, de modo que
q
la corriente que suministra depende de la diferencia de potencial entre sus
terminales. Se representa por una fuente de corriente ideal en paralelo con
su resistencia interna. La fuente de corriente ideal es una real con r =∞.
 Resolución de circuitos
VA
VA  VB  IR
Ley de Ohm
I
VB
R
La ley de Ohm y las reglas de asociación de resistencias no son suficientes
para resolver un circuito arbitrario.
c
R
R
R/2
a
R/4
e
b
R/2
R
d
R
N d o nodo
Nudo
d es la
l unión
ió d
de 3 ó más
á conductores
d t
((a, b
b, c, d y e).
)
Malla es cualquier camino cerrado en un circuito (acba, cbec, aceda, etc.).
Rama es cualquier trayecto entre dos nudos (ac,
(ac ab,
ab eb
eb, etc
etc.).
)
 Leyes de Kirchhoff
Ley de Nudos: La suma de las corrientes que entran a un nudo es igual a la
suma de las corrientes que salen de él. Consecuencia del principio de
conservación de la carga.
I1  I 2  I 3
Ley de Mallas: La suma algebraica de las diferencias de potencial entre
extremos de los componentes de una malla es cero
cero. Consecuencia del
principio de conservación de la energía.
 IR1  IR2   2  Ir2  IR3  1  Ir1  0
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Pasos para aplicar la ley de mallas con las corrientes de cada rama:
a) Se dibujan (se ponen las flechas) las corrientes en cada rama (como se
desee).
b) S
Se ponen llos signos
i
, de
d mayor y menor potencial
t
i l eléctrico
lé t i en llas
resistencias según el sentido de I.
-
I

-
+
+
+
R
-IR
recorrido
recorrido
-
+IR
c) Se elige un sentido de recorrido de la malla empezando en un punto
cualquiera y se van poniendo los sumandos de las diferencias de
potencial con los signos correspondientes
correspondientes. Se iguala la suma algebraica
a cero.
Para resolver un circuito se plantean las ecuaciones de las diferentes
mallas y se soluciona el sistema resultante.
 Teoremas adicionales
Teorema o principio de superposición lineal
En un circuito de componentes lineales conteniendo varios generadores (fuentes), la
corriente en cada rama se puede calcular como la suma algebraica de las corrientes
producidas independientemente por cada generador cuando el resto de los
generadores se sustituye por sus resistencias internas.
I  I1  I 2
R
I
1
r1
2
r2

R
1
r1
I1
R
r2
+
r1
I2
2
r2
T
Teorema
o circuito
i it equivalente
i l t d
de Thè
Thèvenin
i
Cualquier circuito lineal activo (con fuentes), con terminales de salida A y B, puede
sustituirse por un solo generador de voltaje ideal en serie con una resistencia, tales
que:
1.- La fem de la fuente equivalente es igual a la diferencia de potencial entre los
terminales A y B en circuito abierto.
2.- El valor de la resistencia es igual a la resistencia equivalente del circuito entre los
puntos A y B sustituyendo cada generador por su resistencia interna.
Teorema o circuito equivalente de Norton
Cualquier circuito lineal activo, con terminales de salida A y B, se puede sustituir por
una fuente de corriente ideal en paralelo con una resistencia, de forma que:
1.- El valor de la corriente del generador equivalente es igual a la intensidad de
1
corriente que circula entre A y B en cortocircuito.
2.- El valor de la resistencia es igual a la resistencia equivalente del circuito entre los
puntos A y B sustituyendo
p
y
cada g
generador p
por su resistencia interna ((coincide con la
resistencia del circuito de Thèvenin).
Teorema de Millman
El potencial en un punto B de un circuito lineal activo respecto al potencial en un punto
A que tomamos como referencia se puede expresar como
VB  VA
 R

R
i
i
1
i
1
i
i
donde i representa cada una de las ramas que van de A a B, siendo i la fem equivalente
de la rama i y Ri la resistencia equivalente en la rama i.
1.4. Campo magnético y generación de tensiones alternas
El campo magnético es el transmisor de la interacción magnética. Es
producido por corrientes eléctricas (cargas en movimiento) y sólo actúa sobre
corrientes o cargas en movimiento.
Experimentalmente se demuestra que una carga q que posee velocidad v en
presencia de un campo magnéticoB experimenta
una fuerza magnética
 
perpendicular a ambos dada por F  qv  B
Figuras extraídas de Física para la Figuras
extraídas de Física para la
Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
La unidad del S.I. para el campo magnético es el tesla (T).
Una carga de un culombio que se mueve con una velocidad de un metro por
segundo
g
p
perpendicular
p
a un campo
p magnético
g
de un tesla experimenta
p
una
fuerza de un newton.
N
N
1T  1
1
C  m/s
Am
El tesla es una unidad muy grande. En su lugar se suele utilizar el gauss (G)
1 G  10 -4 T
La fuerza que experimenta una partícula cargada en presencia de un campo
eléctrico y un campo magnético viene dada por la expresión de la fuerza de

  
Lorentz
F  q EvB


 Ley de Faraday
Un campo
p magnético
g
variable en el tiempo
p crea en un conductor una fuerza
electromotriz y una corriente eléctrica. Se llaman fem inducida y corriente
inducida, y el proceso se denomina inducción electromagnética.
Ejemplo: imán acercándose o alejándose de una espira conductora  varía el número
de líneas de campo que atraviesan el área encerrada por la espira y por tanto varía el
flujo magnético a través del circuito. La corriente inducida cambia de sentido según se
acerque o aleje el imán.
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Imán acercándose a una espira
Esta experiencia explica que si el flujo magnético  M que atraviesa un
circuito varía en el tiempo, se induce una fem  , cuyo valor es:
 
d M

con  M   B  dA
dt
S
la cual se conoce como ley de Faraday.
El signo menos indica que la fem y la corriente inducidas tienden a oponerse
a la variación que las produce (ley de Lenz).
La unidad del flujo magnético en el S.I. es el weber (Wb): Wb=T. m2
Si suponemos por sencillez un campo magnético B uniforme, el cual forma un
ángulo  con la normal a la espira (de área A),
A) tendremos que
 M  BA cos     
d M
d
  BA cos 
dt
dt
que nos indica que se induce una fem cuando varía B, A, , o una
combinación de ellas.
 Autoinducción
El flujo magnético que atraviesa un circuito puede ser
debido al campo magnético producido por su propia
corriente.
I (t )  B(t )   M (t )
Al cerrar el interruptor S, la corriente varía en el tiempo
hasta que se alcanza su valor final (la corriente en un
circuito no cambia de forma instantánea desde cero a
un valor finito o al revés). Es decir, se induce una fem
en el circuito que se opone al aumento de la corriente.
Cuando se abre el interruptor S ocurre algo similar. A
esta
t fem
f
se la
l denomina
d
i autoinducida,
t i d id y all ffenómeno
ó
se le llama autoinducción.
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Si consideramos una espira o una bobina por la que circula una corriente I,
esta corriente produce un campo magnético B que es siempre proporcional a I.
g el flujo
j magnético
g
a través de la espira
p será también p
proporcional
p
a I.
Luego
 M  I   M  LI
La constante de proporcionalidad L se denomina autoinducción de la espira o
b bi
bobina,
yd
depende
d d
de su geometría
tí yd
dell medio.
di
La unidad de inductancia en el S.I. es el henrio (H): H=Wb/A=T.m2/A
l
La autoinducción de un solenoide de N espiras muy juntas
y longitud l es:
N2A
L  0
l
A
I
I
donde A es el área de las espiras y 0 la permeabilidad magnética del medio.
L
Símbolo utilizado para representar una bobina ideal de autoinducción L.
L
La autoinducción real, además del valor de la autoinducción, tiene una
resistencia en serie r, asociada al hilo con el que se fabrica.
 Asociación de autoinducciones
Serie
L1
L2
L1
Paralelo
L2

Leq  L1  L2

1
1
1
 
Leq L1 L2
 Generación de una fem sinusoidal
En su versión
E
ió simplificada,
i lifi d un generador
d d
de corriente
i t alterna
lt
está
tá fformado
d por una espira
i
(o una bobina de espiras) que gira en un campo magnético uniforme producido por un
imán. Al variar el flujo que atraviesa la espira se induce una fem que varía
sinusoidalmente en el tiempo, obteniéndose una corriente también sinusoidal con t
cuando se cierra el circuito con una resistencia, una autoinducción, un condensador o
una combinación de ellas.
Los extremos de la espira van unidos a unos anillos que rotan con ella. Los contactos a
estos anillos se llevan a cabo con escobillas de grafito. La espira rota con velocidad
angular  constante. Este movimiento se puede producir por un salto de agua, una
turbina de vapor, un motor de combustión, etc.
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Si n es la normal al plano de la espira (o bobina) y  el ángulo que forman n y B, el
j q
que atraviesa la espira
p será
flujo
 M  AB cos 
y al girar la espira se cumplirá que   0  t , siendo  el ángulo inicial en t=0.
En una bobina de N espiras el flujo podrá ponerse como  M  NAB cos(0  t )
y según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en la bobina será
d M
 NAB sen(0  t )
dt
que se puede poner como (t )   max sen(0  t )

siendo max la amplitud de  ó valor máximo ó valor de pico. A (+t) se le llama fase
del movimiento armónico y  indica el origen de fases. Dependiendo del origen de
tiempos (t) puede tener la forma sen ó cos.
tiempos,
cos (t) es el valor instantáneo de la tensión
tensión.
+

~
_
símbolo de un generador
ideal de tensión alterna
T
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Se denomina periodo al intervalo de tiempo entre dos valores iguales
consecutivos de la tensión y se representa por T.
Se denomina frecuencia f al número de veces que se repite la señal en 1 s.
Sus unidades son hertzios (Hz): Hz=ciclos/segundo.
La frecuencia de la red eléctrica en Europa es de 50 Hz
Hz.
Frecuencia angular =2f es la velocidad angular. Se mide en
radianes/segundo.
radianes/segundo
Longitud de onda es el periodo espacial de la señal =cT = c/f ,
siendo c=3.108 m/s la velocidad de la luz en el vacío
vacío.
Además de la generación de una tensión alterna monofásica (la que se ha
presentado) también se tiene la trifásica (industrial)
presentado),
(industrial).
1.5. Circuitos de corriente alterna
Circuitos que trabajan con señales que varían periódicamente (típicamente
sinusoidalmente) en el tiempo.
Las definiciones de fuentes de corriente y tensión (ideales y reales) dadas
para los circuitos de corriente continua son igualmente válidas para
corriente alterna.
Lo teoremas de superposición lineal, Thevenin, Norton y Millman son
igualmente válidos
 Generador conectado a una resistencia
, I
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
0
VR (t )  (t )   max cos(t )
I (t ) 
, I

t
2
(t )  max
cos(t )  I max cos(t )

R
R
todas las magnitudes están en fase
La potencia instantánea suministrada por el generador (que será la que se
disipe en la resistencia) podrá ponerse como
2
2
P (t )  (t ) I (t )   max I max cos 2 t  I max
R cos 2 t  I max
R
1
1  cos 2t 
2
Consta de un término constante y otro variable en el tiempo de frecuencia
doble de la del generador. Siempre es positiva o cero.
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
l í
l /
d
é
El valor medio de la potencia instantánea en un periodo (potencia que se
convierte en trabajo útil en la resistencia) es
T
2
2
1
1  I max
R  I max
R  max I max
P (t )   P (t )dt  
T  

2
2
T 0
T 2

 Valores eficaces
El valor medio de una tensión o una corriente sinusoidal es cero. Por ello se
definen los valores eficaces de estas magnitudes y de la potencia. Mientras
en el osciloscopio se observan los valores instantáneos, en los voltímetros y
amperímetros de alterna se miden valores eficaces.
En general, si g(t) es el valor instantáneo de una señal, su valor eficaz es
1 T 2

g ef    g (t )dt 
T 0

12

g 2 (t )
Para señales armónicas (sinusoidales) en el tiempo, tendremos
(t )   max cos(t ) 
 ef   max
2  0.707 max
I (t )  I max cos(t ) 
I ef  I max
2  0.707 I max
Pef  I ef2 R   ef I ef
igual expresión que para corriente continua
 Generador conectado a una autoinducción (bobina)
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Ti l /M
Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Ed R
té
Suponemos que la bobina es ideal, r =0 , por lo que en continua equivale a un
cortocircuito. Cuando se le aplica una señal alterna , I variará en el tiempo, y
en la bobina se producirá una fem inducida (fuerza contraelectromotriz) que
se opone a la
l variación
i ió d
de I.
 ind  
d M
dI
 L
dt
dt
Es una tensión que proporcionará una corriente de sentido contrario a I. Si
consideramos la tensión entre extremos de la bobina en el sentido de I
dI
d
dt
Por la ley de mallas se cumple que   VL  0 , luego se ha de cumplir que
VL   ind  L
  VL  L
dI
dt
Si la fuente del circuito es una tensión cosenoidal (t )   max cos(t )
t
t
1
1


t
I   dt    max cos t dt  max sent 0  max sent 
L0
L0
L
L

 max
cost   2   I max cost   2 
L
A la vista de estos resultados,, podemos
p
decir que
q la corriente y la diferencia de
potencial entre extremos de L no están en fase. La corriente se retrasa /2
con respecto a VL(t) ó (t).
La relación entre los valores máximos de la tensión aplicada y la corriente es
I max 
 max
L
L tiene dimensiones de impedancia (), y a
X L  L
se la conoce como impedancia de la bobina (reactancia inductiva). XL
depende de la frecuencia: aumenta con  y es nula (cortocircuito) para una
señal continua (=0).
La relación entre los valores eficaces de la tensión aplicada y la corriente que
circula por el circuito es
 ef
 ef

I ef 
L X L
La potencia instantánea cedida a la bobina por el generador será
P(t )  (t ) I (t )   max I max cos(t ) cos(t   2) 
 max I max
cos(2t   2)  cos  2
2
 max I max
sen 2t
2
Varía con frecuencia 2 y su valor medio P(t ) en un periodo es cero (es
negativa la mitad del tiempo y positiva la otra mitad). Esto es consecuencia
de que la bobina es ideal: en media la bobina no disipa ninguna energía (la
f
fuente
nii entrega nii recibe
ib energía
í d
de lla b
bobina
bi id
ideal).
l)
P(t ) 
P
t
0

2
 Generador conectado a un condensador
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Ti l /M
Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Ed R
té
En continua un condensador no deja pasar la corriente
corriente, actúa como un circuito
abierto (sólo pasa corriente en transitorios de carga o descarga). Cuando se le
aplica una señal alterna , el condensador se carga y se descarga
periódicamente La oposición que presenta a la corriente procede de la
periódicamente.
oposición entre las cargas de las placas al cargarse.
Por la ley de mallas se cumple que   VC  0 , luego se ha de cumplir que
t
  VC  Q C
con Q   I (t )dt  C  VC C
0
Si la fuente del circuito es una tensión cosenoidal (t )   max cos(t )
I
dQ
dV
 C C   max Csent   max C cos(t   2)  I max cos(t   2)
dt
dt
Vemos que la fase de I se adelanta en /2 a la fase de VC(t) ó (t).
La relación entre valores máximos es I max   max C 
 max
1 C
1/C tiene dimensiones de impedancia (), y a
X C  1 / C
se la conoce como impedancia del condensador (reactancia capacitiva).
XC depende
p
de la frecuencia: disminuye
y al aumentar  y se hace infinito
(circuito abierto) para una señal continua (=0).
p
y la corriente q
que
La relación entre los valores eficaces de la tensión aplicada
circula por el circuito es
 ef
I ef   ef C 
XC
La potencia instantánea cedida al condensador por el generador será
 max I max
cos(2t   2)  cos( 2) 
2
2
 max I max
I max
XC

sen 2t  
sen 2t
2
2
P(t )  (t ) I (t )   max I max cos(t ) cos(t   2) 
P(t )  
 max I max
sen 2t
2
Varía con frecuencia 2 y su valor medio P(t ) en un periodo es cero (es
negativa la mitad del tiempo y positiva la otra mitad). Podemos decir que un
condensador ideal no consume potencia; la que recibe, la devuelve (al igual
que la autoinducción ideal).
P
t
0

2
 Generador conectado a un circuito RLC serie
Como la corriente I que circula por todos los
elementos del circuito es la misma
t
dI 1
dI Q
  IR  L   IR  L   Idt
dt C
dt C 0
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Para calcular I(t) deberíamos resolver la anterior ecuación integro-diferencial.
Si suponemos que (t )   max cos(t ), en el estado permanente la corriente será
del tipo I  I max cos(t  ) , donde debemos determinar Imax y  para que
satisfagan la ecuación anterior. Sustituyendo la solución propuesta
 max cos t  I max R cos(t  )  LI max sen (t  ) 
I max
sen (t  )
C
Desarrollando
D
ll d cos((t  ) y sen (t  ) , e iigualando
l d llos té
términos
i
que multiplican
lti li
a cos(t ) y sen (t )
I max



cos



sen


sen
I
R
LI
max
max
 max
C

0  I Rsen  LI cos   I max cos 
max
max

C
1
L 
C
De la segunda ecuación: tan  
R
1 

R2   L 
C 

2
L 

1
C
 X L  XC
R
Triángulo de impedancias
Y teniendo en cuenta la primera ecuación
I max 
 max
1 

R   L 


C


2
2
Impedancia del circuito
Valor eficaz de la corriente
Admitancia del circuito
Reactancia del circuito
1 

Z  R   L 


C


2
2
I eff   eff Z
Y  Z 1
X  X L  X C  L  1 / C
La fase  de la corriente (fase de  - fase de I ) cumple que   2      2 .
Cuando     2 , en el circuito sólo hay condensador. Y cuando    2 , en el
circuito sólo hay autoinducción.
Si  el circuito es inductivo
inductivo. Si  el circuito es capacitivo
capacitivo. Y si 
 el circuito
es resistivo.
La potencia instantánea suministrada por la fuente es
P(t )  I   max I max cos(t ) cos(t  ) 
__ Potencia instantánea
Potencia en circu
uito serie RLC
0,4
+
+
+
0,3
..... Término P(2wt)
0,2
Término en cos 
0,1
0,0
0
-0,1
 max I max
cos(2t  )  cos() 
2
1
-
2
3
4
-
5
6
7
8
wt=1000 t rad/s
9
10
11
12
13
El primer término (sumando) de esta potencia
es de frecuencia doble de la del generador y
dependiente del tiempo.
tiempo El segundo sumando
es constante en el tiempo.
-
-0,2
-0,3
T
 I
1
La potencia media en un periodo es P (t )   P (t )dt  max max cos    ef I ef cos 
T 0
2
Se denomina potencia activa, se mide en vatios y es positiva o cero. Se puede poner como
Pa   ef I ef
R
R
 I ef2 Z  I ef2 R
Z
Z
interpretándose como la potencia que se cede a la R (trabajo útil).
Se denomina factor de p
potencia a cos 
. Siempre
p es p
positivo. Si cos 
 no hayy p
potencia
activa y si cos  la potencia activa es máxima.
 Circuitos de corriente alterna mediante impedancia compleja
Hasta ahora hemos representado las señales alternas mediante sus valores
instantáneos, que constan de amplitud, frecuencia y fase, lo cual hace difícil su
estudio. Mediante la notación fasorial para corrientes y tensiones, y el concepto de
impedancia compleja de los elementos del circuito,
circuito el estudio del régimen
permanente senoidal se simplifica mucho.
z  x  jy 
j  1
 z  r  x2  y2

z  re j 
y
arctan



x
j, Imaginario
y
z
r

Real
x
El valor instantáneo de una señal alterna es (t )   0 cos t , o bien (t )   0sent
Si escribimos  (t )   0 e jt   0 cos t  j 0sent , ó
 (t )   0 e jt e j   0 e j ( t  )   0 cos(t  )  j 0sen(t  )
podemos decir que los valores instantáneos
á
de una señal real son los valores de
la parte real o los de la parte imaginaria de su representación compleja.
g y derivar señales en el tiempo.
p
Esta notación hace más fácil integrar
Integración de señales complejas
I (t )  I 0 e
j ( t   )
t
  I dt
d 
0
I
1
j
I 0 e j ( t   )   I 0 e j ( t   )  0 e j ( t     2 )
j


En la operación de integración la amplitud se divide por  y la señal resultante se
retrasa en /2 (fase -/2).
/2) En un circuito esto es lo que ocurrirá cuando se tenga un
condensador (VC se retrasa en /2 respecto a IC).
Derivación de señales complejas
I (t )  I 0 e j ( t ) 
dI
 jI 0 e j ( t )  I 0 e j ( t   2)
dt
En la operación de derivación la amplitud se multiplica por  y la señal resultante se
adelanta en /2. En un circuito esto es lo que ocurrirá cuando se tenga una
autoinducción (VL se adelanta en /2 respecto a IL).
 Circuito RLC serie estudiado con notación compleja

t
 (t )  VR  VL  VC  I R  L
 I R  jLI 
dI 1
  I dt 
dt C 0


1
1 
  I Z
I  I  R  jL 
jC
j C 

Se define la impedancia compleja del circuito RLC serie como
1 

Z  R  j  L 
  R  j  X L  X C   R  jX
C 

Z  Z R  Z L  ZC ,
Z R  R, Z L  jX L  jL, Z C   jX C 
1
jC
con parte real e imaginaria. Su módulo y fase serán
Z  Z e j Z
2

1



Z  R 2   L 


C




1
L 

C  Fase de   Fase de I
 Z  arctan
R


Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
 Resonancia
Si suponemos que la amplitud max de la señal del generador es constante y
que se puede variar su frecuencia, la amplitud de la corriente Imax variará con
la frecuencia. Hay un valor de la frecuencia =0 para la que se cumple que
XL=XC, =0 y Z=R es mínima
mínima, de modo que  e I están en fase y la amplitud
de la corriente es máxima, =max/R.
1
1
X L  X C  0 
 f0 
LC
2 LC
frecuencia de resonancia del circuito
Imáx
2,0
1,8
1,6
0.707xImáx
I (amperios)
1,4
1,2
1,0
R= 5 
C= 1 F
L= 1 mH
0= 31620 rad/s
1= 29220 rad/s
2= 34220 rad/s
Q= 6.3
0,8
VL
VR
I
VC
0,6
VL  VC
0,4
0,2
1 0 2
0,0
0
4
1x10
4
2x10
4
3x10
4
4x10
4
5x10
4
6x10
 (radianes/s)
Ejemplo de curva de resonancia de un circuito RLC serie
Diagrama de fasores en resonancia
1.6. Campo electromagnético y ondas
Las ecuaciones de Maxwell relacionan los vectores campo eléctrico y magnético, E
y B, con sus fuentes, que son las cargas eléctricas y las corrientes. Estas
ecuaciones resumen las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo.
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
Ley de Gauss
Ley de Faraday
Ley de Gauss del magnetismo
Ley de Ampere (+corriente de desplazamiento)
Estas ecuaciones pueden combinarse para originar una ecuación de ondas que
deben satisfacer los vectores campo eléctrico y magnético. Estas ondas
electromagnéticas están originadas por cargas eléctricas aceleradas como, por
ejemplo,
j
l llas cargas eléctricas
lé t i
alternantes
lt
t presentes
t en una antena.
t
F
Fueron
producidas por primera vez por Hertz en 1887. La velocidad de las ondas
electromagnéticas en el vacío es
c
1
 3 108 m/s
 0 0
0 permeabilidad magnética del vacío
0 permitividad dieléctrica del vacío
 Ecuación de ondas
 2 y ( x, t ) 1  2 y ( x, t )
 2
v
t 2
x 2
solución general
v  velocidad de la onda
y ( x, t )  f1 ( x  vt )  f 2 ( x  vt )
que se puede expresar como superposición de funciones de onda armónicas de la forma
y ( x, t )  y0 sen(kx  t )
e
y ( x, t )  y0 sen(kx  t )
Ondas planas: de valor uniforme en todos los puntos de cualquier plano
perpendicular a la dirección de propagación
con k 
2
el número de onda ( longitud de onda)

  2f la frecuencia angular
v  f
velocidad de la onda
 Ondas electromagnéticas
Considerando el vacío, en ausencia de cargas
g y corrientes, y q
que E y B son funciones
del tiempo y de una sola coordenada espacial x, las ecuaciones de Maxwell implican
que tanto E como B obedecen a ecuaciones de onda, en particular:
Se trata de ondas planas, puesto E y B son uniformes en todos los puntos de cualquier
plano perpendicular al eje x.
Ambos campos están en fase, son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la
dirección de propagación. Las ondas electromagnéticas son, por lo tanto, ondas
transversales.
l
En cada punto del espacio y en cada instante de tiempo los módulos de E y B están
relacionados por la expresión E=cB, con c la velocidad de las ondas en el vacío.
La dirección de propagación de una onda electromagnética es la dirección del producto
vectorial ExB
Figuras extraídas de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté
 El espectro electromagnético
Figura extraída de Física para la Ciencia y la Tecnología, Tipler/Mosca, Ed. Reverté