Estimación Puntual

Estimación Puntual
Contexto: Estudiamos la caracteristica X de una población. Supo
nemos que X se modeliza por un modelo de Probabilidad conocido
Respecto al parámetro
X  P ( x )
X  f ( x )
 
Parámetro desconocido
Espacio Paramétrico
Objetivo: Dar la mejor estimación del parámetro que pertenezca al
Espacio paramétrico
Ejemplos Intuitivos: Para la distribución de Bernoulli aproximar el
Parámetro p por la media. Similarmente para la Normal
Definición: Sea ( X 1 , X 2 ,...., X n ) una muestra aleatoria
de una caracteristicaX de una población con función
de masa P ( x ) (caso discreto), o con función de densidad
f ( x )(caso continuo) donde    es desconocido. Un estimador
puntual de  , es una función T que a cada muestra
( x1 , x2 ,..., xn ) le hace corresponder una estimación T ( x1 , x2 ,..., xn )
de 
( x1 , x2 ,......, xn )
T ( x1 , x2 ,......, xn )
aproximación de 
Nota 1: Podemos estimar tambien una función del parámetro
g ( )
Nota 2: ¿Qué es T(X_1,X_2,…X_n)?
Un Estadistico, es decir una variable aleatoria diseñada para
aproximar el parámetro
Nota 3: ¿Siguiente Objetivo? Decidir que estimadores puntuales
Son razonables?
Metodos
Definición Sea X1 ,...., X n una muestra aleatoria
de una población X con una función de masa P ,
o función de densidad f donde  =(1, 2 ,....., k ). El
  

estimador por el metodo de los momentos  =( 1 , 2 ,....., k )
se obtiene al resolver
1 n
1 n 2
1 n
2
k
E[X]=  X i , E[X ]=  X i ....., E[X ]=  X i k
n i 1
n i 1
n i 1
Funciona bien con la normal y la Bernoulli
Problema: La solución no pertenece al espacio paramétrico
Método de Maxima verosimilitud
Definición Sea X1 ,...., X n una muestra aleatoria
de una población X con una función de masa P ,
o función de densidad f donde  =(1, 2 ,....., k ). La
función de maxima verorimilitud asociada a la muestra
(x1, x2 ,...., xn ) se define como:
L[ ]=L( , x1, x2 ,...., xn )  P ( x1 )P ( x2 ).....P ( xn )
en el caso discreto y como
L[ ]=L( , x1, x2 ,...., xn )  f ( x1 ) f ( x2 )..... f ( xn )
Método de Maxima verosimilitud
Definición Sea X1 ,...., X n una muestra aleatoria
de una población X con una función de masa P ,
o función de densidad f donde  =(1 , 2 ,....., k ).
El estimador de máxima verosimilitud
  

 =( 1 , 2 ,....., k )   es el que maximiza la función
de máxima verosimilitud
Observaciones
• La función de maxima verosimilitud expresa la
probabilidad de que hubiera ocurrido la
muestra en función del parámetro.
• Siempre pertenece al espacio paramétrico

Si  es el estimador de máxima verosimilitud

de  , g ( ) es el estimador de g( )
¿Cómo se calcula?
Se trabaja con ln(L( ))
Condición necesaria
dLn( L( ))
0
d i
Se resuelve el sistema de k ecuaciones
Sesgo y Error Cuadrático medio
El error cuadrático medio de un estimador T
para estimar  se define como
E[(T   ) ]
2
P: ¿Qué quiere decir que el error cuadrático medio
es cero?
Analizando el Error Cuadrático Medio
E[(T   )2 ]  E[(T  E[T ]) 2]  E[( E[T ]   ) 2 ]
=E[(T-E[T]) 2 ]  ( E[T ]   ) 2
V[T]
Sesgo de T, S(T)
Definición: Un estimador T es insesgado (centrado) para estimar Θ cuando verifica
E [T ]  
Ejemplos: La media muestral y la cuasivarianza muestral
Una regla de Probabilidad Util
(La ley de la probabilidad total)
X 1, X 2
Variables aleatorias
n
X 2   Bi
i 1
n
P ( X 1  A)   P ( X 1  A | X 2  Bi ) P ( X 2  Bi )
i 1
Caso concreto y práctico
X 1  B(1, p), X 2  B(1, q)
P( X 1  1)  P( X 1  1| X 2  1) P( X 2  1)  P( X 1  1| X 2  0) P( X 2  0)