Conjuntos: Se llama conjunto a toda reunión de personas o

Matemática 1 año
Capítulo I
Conjuntos. Elementos. Pertenencia.
Conjunto finito. Conjunto infinito. Conjunto unitario. Conjunto vacío.
Formas de definir un conjunto, conjunto definidos por formulas. Formas de
representar un conjunto. Relaciones entre conjuntos. El lenguaje coloquial.
Relación de inclusión.
Operaciones con conjuntos: unión intersección y diferencia.
Problemas de conteo. Diagramas de Carroll.
Capítulo II
Operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación y división,
Propiedades.
Múltiplo y divisor de un número
Uso del paréntesis combinando operaciones.
Supresión de paréntesis, corchetes y llaves.
Lenguaje coloquial y simbólico.
Ecuaciones, problemas que se plantean mediante ecuaciones.
Capítulo III
Números enteros.
Representación y orden de números enteros : números opuestos, valor absoluto.
Operaciones con números enteros: suma, resta, producto, cociente, Potenciación,
radicación. Cálculos combinados en Z.
Propiedades de la radicación y potenciación, ejercicios combinados
Cuadrado de un binomio
Capítulo IV
 Números Racionales:
 Concepto de número racional: operaciones en Q, suma, resta,
multiplicación, división, potenciación, radicación. Ejercicios
combinados.
 Producto y cociente de potencias de igual base, potencia de potencia.
 Ecuaciones en Q, Problemas que se plantean mediante ecuaciones.
Capítulo V
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
53
 Geometría:
 Signos y símbolos.
 Conjunto de puntos: punto, recta y plano. Definición de semirrecta
y segmento. Segmentos consecutivos. Suma de segmentos.
 Ángulos, medidas de un ángulo convexos, llanos, cóncavos,
consecutivos.
 Clasificación de los ángulos. Opuestos por el vértice.
Triángulos : definición. Elementos de un triángulo. Clasificación de los
triángulos según sus lados y sus ángulos.
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54
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56
Capítulo I
CONTENIDOS
 Conjuntos. Elementos. Pertenencia.
 Conjunto finito. Conjunto infinito. Conjunto unitario. Conjugo
vacío.
 Formas de definir un conjunto, conjunto definidos por formulas.
Formas de representar un conjunto. Relaciones entre conjuntos. El
lenguaje coloquial. Relación de inclusión .
 Operaciones con conjuntos: unión intersección y diferencia.
 Problemas de conteo. Diagramas de Carroll.
CONJUNTO
ELEMENTO
PERTENENCIA
NOTACION
Se llama conjunto a toda reunión de personas o agrupación de cosas,
objetos, animales, etc. Así el equipo de fútbol de Boca está formado por el
conjunto de sus jugadores. Se encuentra también en el diario “el conjunto
musical los Redondos” o un “conjunto de políticos viajó al exterior ”. Si se
habla de conjunto matemático responde al mismo concepto.
Ejemplo :
 Conjunto de números pares.
 Conjunto de figuras geométricas.
 Conjunto de números dígitos.
Cada jugador de Boca es un elemento del conjunto Equipo de Boca.
Si Schiavi juega para Boca decimos que Schiavi es un elemento del conjunto
Boca y que Schiavi pertenece al conjunto.
Entonces entre cualquier elemento y el conjunto al que
pertenece se establece una relación llamada de pertenencia.
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57
Notación
CONJUNTO
Denominación:
Letra imprenta
mayúscula
Símbolo:
Representación
gráfica:
Diagrama de Venn
ELEMENTO
Denominación:
Letra imprenta
minúscula
Representación
gráfica:
PERTENENCIA
pertenece
no pertenece
Ejemplo: Conjunto “Los Beatles” Lo llamamos conjunto A
Elementos: Ringo Starr.
a
A
John Lennon
b
A
Paul Mac Cartney
c
A
George Harrison
d
A
A = a, b, c, d
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58
CLASIFICACIÓN
DE
CONJUNTOS
CONJUNTO
INFINITO: tiene un
número infinito de
elementos
FINITO: tiene un
número finito de
elementos.
Conjunto vacío: no
tiene elementos
ó
{}
Conjunto unitario:
tiene un sólo
elemento
Ejemplo de conjunto vacío:
(se llama fi ,es una letra griega, y se
parece a un cero tachado)
A es el conjunto formado por todos los chanchos que vuelan.
B es el conjunto formado por los triángulos de cuatro lados.
C es el conjunto formado por los meses del año que comienzan con G.
Ejemplo de conjunto unitario:
C es el conjunto formado por el número que resulta de sumar 3+6
D es el conjunto formado por el número que representa mi edad .
E es el conjunto formado por los días de la semana que comienzan con L
Conjunto Universal: U es el conjunto al que pertenecen todos los
elementos de su especie. ( Se representa gráficamente mediante un
rectángulo)
Ejemplo si A = { a, b, c, d} su conjunto universal será U ={ las letras del
abecedario}
Cuando el conjunto es finito, se pueden enumerar todos sus elementos: (se
llama definirlo por extensión)
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59
Ejemplo:
1) A conjunto de las vocales. Entonces
A = { a, e, i, o, u }
A
ó
gráficamente
a
e
i
2) B conjunto de los dígitos. Entonces
B = {0, 1;2;.3;4;5;6;7;8;9}
ó
1
gráficamente
o
u
5 8
9
4 7 6
2
3
8 9
6
3 sus
Cuando el conjunto es infinito no se pueden enumerar todos
7
elementos, entonces para definirlo se recurre a alguna propiedad
que
caracterice
a
los
mismos:
“números
pares”,
“números
impares”,“colores”, “frutas” etc. ( se llama definirlo por
comprensión)
Para hacerlo más formal, no se dice A = { números pares}, como se
sabe que A esta formado por todos los pares, a cada uno de los
elementos de A se lo llama x, pero por pertenecer a A “x ”debe ser un
numero par, entonces (empezamos con la notación matemática, la que
se llama también lenguaje simbólico, ...a no asustarse)
A = {x / x es número par} Leyendo en voz alta: El conjunto A
esta formado por todos los elementos a los que llamamos x tal que (/)
x es un número par.
Seguimos con notación matemática. Coraje!!!!
10
8 >
6 <
9 =
11
15 se lee 10 es menor ó igual a 15
5 se lee 8 es mayor que 5
3 se lee 6 es menor que 3
9 se lee 9 es igual a 9
8 se lee 11 es mayor ó igual que 8
Los números que se utilizan para contar la cantidad de elementos de un
conjunto, se llaman números naturales.
Por convención designamos con la letra N al conjunto de dichos
números:
N = {0; 1; 2; 3; 4;............}
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60
B
1
a)Escriban los siguientes conjuntos por extensión:
A es el conjunto formado por los meses del año que tienen 30 días.
A={....................................................................................................................
.......}
B es el conjunto formado por los días de la semana.
B={....................................................................................................................
.......}
C es el conjunto formado por las vocales de la palabra ciudadano.
C={.............................................}
b) Coloquen según corresponda
o
sábado
A
lunes
B
o
C
junio
A
martes
B
e
C
c) Proporcionen dos ejemplos de conjuntos vacíos recordando que se notan
con
o {}.
...........................................................................................................................
.........
...........................................................................................................................
.........
d) Proporcionen dos ejemplos de conjuntos unitarios.
...........................................................................................................................
.........
...........................................................................................................................
.........
e) Coloquen según corresponda < = >
3
3-1
6
6-5
12
21
9+2
7
5-3
14
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61
3-1
12+3
f) Proporcionen dos conjuntos finitos y dos conjuntos infinitos.
...........................................................................................................................
.........
...........................................................................................................................
.........
...........................................................................................................................
.........
...........................................................................................................................
.........
g) Escriban los siguientes conjuntos por comprensión.
F = { rojo, amarillo, azul}
..............................................................................................................................
.........
H = { cucarachas, hormigas, moscas, avispas,..........mosquitos}
..............................................................................................................................
.........
h) Escriban los siguientes conjuntos por extensión: x
N
En general si a x b
Es un intervalo numérico, a y b son los extremos de dicho
intervalo; si a x esto implica que a está incluído en el intervalo, y si x
b quiere decir que b está también incluído en dicho intervalo.
En resumen:
1) Si
2) Si
3) Si
4) Si
a
a
a
a
x
x
x
x
Ejemplos
b
b
b
b
a está excluído del intervalo y b incluído
a está incluído en el intervalo y b excluído
los dos extremos están excluídos (tanto a como b)
los dos extremos están incluídos (tanto a como b)
A = { x/x
N
2
x
8}
A = { 3; 4; 5; 6; 7; 8 }
B = { x/x
N
1
x
definido por comprensión
definido por extensión
7}
B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6}
C = { x/x
N
4
x
9}
C = { 4; 5; 6; 7; 8; 9 }
A = {x / x es número par y 3 < x < 12}
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62
......................................................................................................................……
…..
B = { x / x es impar y
12 < x < 21}
..............................................................................................................................
......
C = { 14
x
23}
..............................................................................................................................
......
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63
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
64
INCLUSION
En diversas oportunidades, se trabaja con una parte de un conjunto, por
ejemplo si tomamos como conjunto universal “ el de todos los vinos”,
cuando decimos “prefiero el vino tinto para acompañar el asado”, solo
hablamos de una parte del conjunto U, en ese caso el conjunto de los vinos
tintos está incluído en el conjunto de todos los vinos.( en otras palabras el
conjunto de los tintos es parte del conjunto de todos los vinos).
Gráficamente: U ={ x/x son vinos} V ={ x/x vino tinto}
U
V
Simbólicamente:
V
U Se lee V esta incluído en U, o bien U incluye a V
La relación de inclusión es una relación que se establece entre conjuntos.
Otro ejemplo:
A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 }
A
B = { 1; 3; 5; 7; 9 }
4
Pueden ver que B es parte de A entonces
B
Importante: El conjunto
B
1
9
3
A:
5
2
7
8
está incluido en cualquier conjunto
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65
6
A
Si consideramos los elementos 2; 3 y 5 podemos decir que:
5
B; 2
3
B.
A; 2
B;
La pertenencia es una relación entre un elemento y un
conjunto.
OPERACIONES
ENTRE
CONJUNTOS
UNIÓN
–
INTERSECCIÓN -
DIFERENCIA
Entre los conjuntos podemos realizar ciertas “operaciones”, las más
importantes son: unión, intersección y diferencia.
UNION

Dados dos conjuntos
A y B llamaremos unión de dichos conjuntos a otro conjunto C
formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Supongamos que A es el conjunto de todos los empleados de la oficina
de Personal que hablan ingles y B es el conjunto de los empleados de la
misma oficina que saben informática.
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66
A
B
Inés
Martín
Martín
Inés
A = { Inés, Martín, Esteban, Jose, Ana}
Sara,Juan, Isabel}
B = { Inés, Martín,
Si tenemos en cuenta la definición de Unión, A  B = C
C = { Inés, Martín. Esteban , José. Ana. Sara. Isabel ,Juan}, como
vemos Inés y Martín que hablan inglés y también saben computación no se
repiten
Se define unión en forma simbólica :
A  B = C = { x/x A x B} y se lee: Si se tienen dos conjuntos y se
realiza la unión de ambos, el resultado es otro conjunto formado por
todos los elementos x tal que x pertenece al primer conjunto “o” x
pertenece al segundo conjunto.
Si se observa que tanto Inés como Martín, pertenecen a ambos conjuntos,
pueden efectuar un gráfico mas preciso
Martín
A
B
Inés
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67
INTERSECCION

Cuando se dice que nos encontraremos en la intersección de Callao y
Corrientes, todos saben que se está hablando de la Esquina de Callao y
Corrientes, es decir donde se cruzan las dos calles, esa esquina pertenece
tanto a la calle Corrientes como a la calle Callao. Al referirnos a conjuntos
adoptamos el mismo criterio, entonces :
“Dados dos A y B llamaremos intersección de dichos conjuntos a otro
conjunto C formado por todos los elementos que pertenecen a A “y” a B.
Se define intersección en forma simbólica
A  B = C = { x/x A x B} y se lee: Si se tienen dos conjuntos y
se realiza la intersección de ambos, el resultado es otro conjunto
formado por todos los elementos x tal que x pertenece al primer
conjunto “y” x pertenece al segundo conjunto.
Algunas uniones e intersecciones especiales:
U 
= U Justificando: Si se tiene un conjunto universal, por
ejemplo el de todas las frutas y le agregamos un conjunto vacío ( es decir
ningún elemento), se obtiene el conjunto de todas las frutas.
U 
= Justificando: Si se tiene un conjunto universal, por
ejemplo el de todas las frutas y buscamos elementos en común con un
conjunto vacío ( es decir ningún elemento), no se encontrarán elementos
que pertenezcan simultáneamente a ambos conjuntos por lo que el
resultado es conjunto vacío.
Cuando la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, es decir no
tienen elementos en común se dice que los conjuntos son disjuntos o
disyuntos.
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68
Ejemplo:
Dados A = { 1; 3; 5; 7; 9 } y B = { 1; 7; 9; 11; 13 } hallen A
B por extensión y mediante Diagramas de Venn.
A
3
5
B
A
1
7
9
11
A
B
5
3
13
B
1 11
7
9
13
A
A
B = { 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13 }
A
B = { 1; 7; 9 }
B; A
B
DIFERENCIA
A - B
Se sabe que realizar una diferencia ( o también como lo llamamos
comúnmente realizar una resta) es sacar algo a otra cosa determinada.
A
A-B
B
B
Se llama diferencia entre A y B, al conjunto formado por todos los
elementos de A que no pertenecen a B. (es decir por todos los elementos
que pertenecen al primer conjunto y no al segundo) Al conjunto A se le
quitan todos los elementos del conjunto B.
En lenguaje simbólico: A - B = { x / x A x B }
Ejemplo:
Dados A = { 1; 3; 5; 7; 9 } y B = { 1; 7; 9; 11; 13 }
hallar A B ; A B ; A – B por extensión y mediante Diagramas de
A
B
Venn.
3
5
1 11
79
13
A–B
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69
A – B = { 3; 5 } son los elementos que
pertenecen a A y no pertenecen a B
¿ A – B será lo mismo que B – A? Volvamos al
ejemplo anterior
A
B
3 1 11
5 7 9 13
A–B
B
A – B son los
elementos que
pertenecen a A
y no a B.
A – B = { 3; 5 }
A–B
A
13 1 5
11 7 9 3
B–A
B – A son los
elementos que
pertenecen a B
y no a A.
B – A = { 11; 13 }
B–A
Conclusión: La diferencia entre dos conjuntos no es conmutativa
A–B
B–A.
COMPLEMENTO
AC A
Se llama complemento de un conjunto A a otro conjunto formado por
todos los elementos que le faltan al conjunto A para llegar al universal
U.
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70
Ejemplo:
U = vocales
a ,e }
A = { i, o, u } entonces complemeto de A = Ac = A = {
Gráficamente:
a
e
U
A
i o
u
Para realizar la actividad N° 2 , primero trabajamos juntos
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71
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72
2
1)
Dados los siguientes conjuntos
A = {1; 3; 5; 7; 9}
y
B = {3; 7; 9; 11; 15}
Se pide (En forma gráfica y por extensión)
A
B
A
B
…………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….
Dado el siguiente diagrama, sobrea en cada caso la situación indicada
a) M
P
b) M
P
U
c) U - M
P
d) U - M
P
M
P
Dado el siguiente diagrama, sombrea en cada caso la situación indicada
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73
a) M
P
U
b) ) M
P
M
c) U - M
P
d) U - M
P
P
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74
PROBLEMAS
DE
CONTEO
Vamos a resolver problemas ayudándonos con conjuntos y también con
diagramas de Carroll
El Diagrama de Carroll es una tabla o cuadro de doble entrada que se
emplea para resolver problemas de conteo.
Ejemplo 1
Se realiza una encuesta entre 62 empleados y se obtiene como dato que
26 de ellos han registrado inasistencias por asuntos particulares, 14
por enfermedad y 6 por ambas cosas.
Si se representa la situación planteada gráficamente mediante diagramas de
Venn, se obtiene:
Ap
20
E
6
8
28
Justificación:
6 por registrar inasistencias en ambos conceptos, se
ubican en la intersección de los dos conjuntos.
Si 26 han registrado inasistencias por asuntos
particulares, al tener ya en dicho conjunto a 6 personas para llegar a las 26
solo faltan 20, por lo que se coloca 20 en AP.
De igual manera procedemos con las inasistencias por
enfermedad, colocando 8 personas, pues 8 + 6 = 14.
Si se suman todos los elementos 20+14= 34, como los encuestados
son 62, se puede inferir que entre esas personas se encuentra algunas
que no registraron inasistencias que son 62-34=28, por lo que se
completa el conjunto U con 28 personas.
Ese mismo problema podría resolverse mediante el Diagrama de
Carroll.
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75
Inasistencias por
enfermedad
No por enfermedad
TOTAL
Inasistencia por
No por
asuntos particulares particulares
6
8
20
26
asuntos TOTAL
14
28
36
48
62
TRABAJAMOS
JUNTOS
Para realizar la actividad N°3, realizaremos juntos dos problemas
analizando bien cada paso a seguir.
Problema 1:
En un club hay 250 socios que no practican ningún deporte, los que
practican solamente tenis 100 y los que practican solamente voley son 120.
En total hay 600 socios y sólo dos deportes que practicar.
1.
¿ Cuántos socios practican por lo menos un deporte?
2.
¿ Cuántos socios practican voley?
3.
¿Cuántos socios practican a lo sumo dos deportes?
Primero realizamos el diagrama de Venn.
V
T
120
130
100
250
Justificación:
Si hay 250 que no practican ningún deporte
entonces 600-250 =
son los que practican deportes.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
76
Si 100 solo tenis entonces, no van en la intersección de los dos
deporte
al igual que los 120 que practican sólo voley.
como indica la primera cuenta , hay 350 personas que practican
algún deporte, entonces
350 – (120 + 100) = 130, que son los que practican los dos
deportes.
Por lo menos
: Si le decimos a alguien “ debes
traer por lo menos 10 pesos para
la fiesta”, le estamos indicando que
como mínimo debe traer 10 pesos.
Luego si lo desea puede traer más de 10 pesos.
En nuestro ejemplo : por lo menos un deporte , son aquellas personas
que como mínimo practican un deporte, entonces nos sirven las que
practican 1 o más de 1.
Si le decimos a alguien “ debes traer a lo sumo 10 pesos para la
fiesta”, le estamos indicando que como máximo debe traer 10 pesos.
Luego si lo desea puede traer menos de 10 pesos.
En nuestro ejemplo : a lo sumo un deporte , son aquellas personas que
como máximo practican un deporte, entonces nos sirven las que
practican 1 o menos de 1, es decir los que no practican nada.
Teniendo en cuenta lo visto respondemos las preguntas:
1.
(Por lo menos 1 es decir 1 ó más) 350
2.
250
3.
(A lo sumo 2 es decir como máximo dos) 600
Problema 2
.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
77
cadetes
socios
vitalicios
TOTAL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Menor de 15
años
19
47
98
Entre 15 y 30 Mayor de 30
años
años
68
103
105
208
TOTAL
180
321
650
¿ Cuántas personas son vitalicios?
¿ Cuántas son menores de 15 o socios?
¿ Cuántas son mayores de 30 o cadetes?
¿ Cuántas son mayores de 30 y cadetes?
¿ Cuántas de los mayores de 30 años son socios o cadetes?
¿Cuántos de los que están entre 15 y 30 son socios?
¿ Cuántos del total son vitalicios o mayores de 30?
¿ Cuántos del total están entre 15 y 30 y son cadetes?
¿ Cuántos de los cadetes están entre 15 y 30?
¿ Cuántos de los vitalicios son mayores de 30?
¿ Cuántos del total están entre 15 y 30 o son cadetes?
¿ Cuántos del total están entre 15 y 30 y son vitalicios?
Primero completamos el cuadro:,
Justificación:
Si deben contestar cuantos son vitalicios, se busca en el cuadro
Vitalicios-Total.
“socios o menores de 15”, Si le decimos a una persona que debe
traer una sidra o una cerveza para la fiesta, con que traiga una de las dos
cumpliría con lo pedido, es decir que con una de las dos cosas alcanza.
En el caso de nuestro ejemplo “socios o menores de 15”, nos están
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
78
preguntando por todos los que sean socios o sean menores, entonces 32
socios + 98
menores = 419 .OJO. debemos tener en cuenta que 47 los estamos
sumando dos veces por lo tanto el resultado total sera. 419-47=372
“socios y menores de 15”, ”, Si le decimos a una persona
que debe traer una sidra y una cerveza para la fiesta, debe traer las dos
cosas para cumplir con lo pedido En el caso de nuestro ejemplo “socios
y menores de 15”, nos están preguntando por todos los que sean socios
y sean menores, las dos cosas simultáneamente, por lo tanto el resultado
total será.47
¿cuantos de los que están entre 15 y 30 son socios?, buscamos
entre los de 15 y 30 la cantidad de socios entonces el resultado será :
171
Teniendo en cuenta lo visto respondemos las preguntas:
1) 149
9) 68
2) 372
10) 12
3) 295
11) 98 + 180 - 19
4) 93
5) 93+103
6) 171
7) 149+20 8-12
8) 68
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
79
TRABAJAMOS
JUNTOS
En la oficina de personal y de recursos humanos se realiza una encuesta
para saber que cursos de capacitación quiere hacer cada empleado, la
propuesta planteada consta de tres cursos A, B y C , los resultados
obtenidos en la misma son :
cursos
A
empleados 134
B
C
218
150
A y B B y C C y A A y B Ninguna
yC
De las
tres
32
29
41
3
97
Calcula
a)El número de personas encuestadas
b) El número de personas que solo consumen la marca A.
c) El número de personas que consumen al menos dos marcas.
d)El número de personas que no consumen las marcas A o B.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
80
3
Se entrevista a un cierto número de personas para investigar sobre
el servicio de video cable que utilizan; obteniéndose los siguientes
resultados:
M: Multicanal
T : Telecentro
C.V: Cable Visión
160 contrataron M.
120 contrataron C.V.
150 contrataron T.
30 contrataron los tres
190 contrataron ninguno
40 contrataron M. y C.V.
70 contrataron C.V. y T.
50 contrataron M. y T.
¿Cuántas personas fueron encuestadas?
a) 520
b) 490
c) 384
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81
d) 470
e) 530
Problema 3
A
2,3,5,7,9
B
0,1,2,3,4,5
C
7,8,9,0
D
4,5,6
Graficar. Realizar cada una de las operaciones y expresarlas por extensión.
1) A B
2) C
D
3) B C
4) B D
5) A B C
6) A
7) A
8) B
9) A
D
B C
C
C
B
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
82
 Operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación y
división, Propiedades.
 Múltiplo y divisor de un número
 Uso del paréntesis combinando operaciones.
 Supresión de paréntesis, corchetes y llaves.
 Lenguaje coloquial y simbólico.
 Ecuaciones, problemas que se plantean mediante ecuaciones.
 Inecuaciones, resolución de problemas.
OPERACIONES
ADICION-SUSTRACCION
MULTIPLICACION
DIVISIÓN
ADICIÓN
Supongamos que a, b y c son números naturales, entonces se verifica que:
a+b=c
+
a y b son los sumandos o términos y c es la suma
9
Sumando
3
Sumando
12
Suma
Propiedades de la adición
ASOCIATIVA
(a+b) + c = a + (b+c)
(3+5) + 2 = 3 + (5+2)
CONMUTATIVA
a+b=b+a
5+2=2+5
PROPIEDAD ASOCIATIVA
Si se reemplazan dos o más sumandos por una suma efectuada la suma total
no varía.
PROPIEDAD CONMUTATIVA
Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía.
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83
José va al supermercado , lleva en la billetera 3 billetes de $100 y 4 billetes
de $10 tenemos un total de:
3. $100 + 4 . $10 = $ 300 + $40 = $340 ( asociamos)
O bien podemos sumar sin agrupar
$ 100 + $ 100 +$ 100 + $ 10 + $ 10 + $ 10 +$ 10 = $340
Tambien obtendremos el mismo resultado si sumamos primero los billetes
de $ 10 y luego los billetes de $ 100. (conmutamos)
SUSTRACCIÓN
Restar de un número a un número b, es encontrar un número c tal que
sumado a b de por resultado el primer número.
En símbolos:
a-b=c
entonces
a=c+b
Ejemplo numérico:
9-
9
minuendo
2
sustraendo
7
resta o diferencia
Ambos son términos de una sustracción el número 5 es la resta o diferencia.
Propiedades de la sustracción:
La sustracción no es conmutativa.
¿Por qué?
Por que si se cambia el orden del minuendo y sustraendo, el resultado varía.
Pensemos en José que llevó al supermercado $340, si hace una compra de $
180, puede pagarla y aún le queda vuelto.¿cuánto?
$ 340 - $ 180 = $160
Si la propuesta fuera distinta, tiene $ 180 y gasta $ 340, el resultado de la
cuenta sería distinto y no podría hacer la compra dado que no le alcanzaría el
dinero.
$ 340 - $ 180
$ 180 -$ 340
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MULTIPLICACIÓN
La multiplicación es una “suma abreviada”; Cuando sumamos los billetes
de $ 100 de José, en lugar de sumar $ 100 + $ 100 +$ 100, hicimos 3. $
100 (dado que tenía 3 billetes)
.
Indicamos la suma de n términos iguales a de esta forma:
a + a + a +............ + a
n términos
Definimos la multiplicación de a por n (n
N)
a + a +..........+ a = a . n
número de términos
a.n=b
a y n se llaman factores y b es el producto
Propiedades de la multiplicación
ASOCIATIVA
a. (b . c ) = ( a. b ) . c
2. (5 . 7 ) = ( 2 . 5 ) . 7
CONMUTATIVA
a.b= b . a
8.5 = 5 .8
Propiedad Asociativa:
Si se reemplazan dos o más factores en una multiplicación por su producto,
el resultado final no varía.
ejemplo: 2 . (3 . 5) = (2. 3) . 5
2 (15 ) = 6 . 5
30
= 30
Propiedad Conmutativa:
Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía. Podemos
deducir lo siguiente:
2 . 3 = 3 . 2
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85
DIVISIÓN
Expresar que el producto de dos números naturales distintos de cero, a y n
es igual a otro número natural b, es equivalente a afirmar que a está
contenido n veces en b, o que n está contenido a veces en b.
b : n = a entonces b = a . n (n
o)
b es el dividendo, n es el divisor, a es el cociente exacto.
Como n puede no estar contenido un número exacto de veces en b es decir
si hacemos la división el resto no es cero se cumple
Primero lo vemos con un ejemplo numérico y luego en forma simbólica.
15
14
división
2
7
entonces 15 = 7 . 2
1
b
r
resto
0
a
b=n.a+r
dividendo
cociente
r es el resto de la división y tiene que ser necesariamente menor que el
divisor.
Propiedades de la división
NO ES CONMUTATIVA
NO ES ASOCIATIVA
a:b b:a
(a : b) : c
a : (b : c)
2 : 4
(8 : 4) : 2
8 : (4 : 2)
½
1
4
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86
TRABAJAMOS
JUNTOS
Sigamos con José, que compró 3 tortas de frutilla, 2 kilos de frutillas, 6
botellas de vino blanco y 6 de vino tinto y 2 kilos de carne
4 c/u
1 el
kilo
pesos
4 c/u
3 el
5 c/u
kilo
4c/u
4 el
3 el kilo
kilo
¿Cuánto gastó?.
3.
+2
+6
+ 6
+3
=
3.5 + 2.3
+ 6.4
+ 6.4
+ 3.3 = 78
¿Cuánto le dieron de vuelto si pagó con $ 100 ?
100 – 78 = 22
¿Cuántas botellas de vino blanco puede comprar con $ 10? ¿ cuánto
dinero le sobra?
$ 10 dividido 4 : comprará dos botellas y le sobrarán $ 2
Inventen dos compras de $ 130, en la que no le den vuelto.
10 tortas de $ 10 $ 100
5 kg pescado
$ 20
6 botellas de $ 4 $ 24
2 kilos de
frutillas
$ 6
8 kg carne
10 kg pescado
$ 24
$ 40
TOTAL
2 kg frutilla
$ 6
10 botellas
TOTAL
$ 40
$ 130
$ 130
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87
Si gastó la mitad del dinero que tenia ¿Cuánto le queda?
$ 340 : 2 = $ 170
MAS PROPIEDADES
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta.
La multiplicación es distributiva respecto de la adición y de la sustracción.
En general si a, b, c y n son números naturales cualesquiera.
( a + b - c ) . n = a . n + b . n - c . n a derecha
n(a+b-c)
= n . a + n . b - n . c a izquierda
Ejemplo numérico:
( 8 + 4 - 1 ) . 4 = 8 . 4 + 4 . 4 - 1 . 4 = 32 + 16 - 4 = .....
4 . ( 8 + 4 - 1 ) = 4 . 8 + 4 . 4 - 4 . 1 = 32 + 16 - 4 = .....
El siguiente cálculo puede resolverse de dos formas diferentes:
RESOLVER
Aplicando propiedad
distributiva
(8+4-1).4=
8.4+4.4-1.4=
32+ 16 - 4 = 44
Sin aplicar propiedad
distributiva
(8+4-1).4=
11 . 4 = 44
4.(8+4-1)=
4.8+4.4-4.1=
32 + 16 - 4 = 24
La división no es distributiva respecto de la suma y de la resta, pues solo
puede realizarse a derecha.
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88
TRABAJAMOS
JUNTOS
Resolver de dos formas distintas si es posible:
(2 + 4 + 1) . 3 =
( 7 ) . 3 = 21
2. 3 + 4 . 3 + 1 . 3 = 21
(18 - 16 + 4) : 2 =
18: 2 - 16 : 2 + 4 : 2 = 3
(6):2=3
(300 - 20 - 15) : 5 =
300 : 5 - 20 : 5 - 15 : 5 = 53
(265) : 5 = 53
MÚLTIPLOS Y
DIVISORES
Si el cociente entre 2 números naturales a y b es exacto, a es múltiplo de b
y b es divisor de a.
Es decir
18 dividido 3 = 6 , entonces 18 es múltiplo de 3, pues lo
podemos obtener multiplicando a 3 por otro número natural que en este
caso es 6. Además 3 es divisor de 18 pués al realizar la división el resto es
0.
Criterios de divisibilidad
Divisible por 2
Termina en 0,2,4,6,8
128
Divisible por 3
La suma de sus cifras es múltiplo 345
de 3
Divisible por 4
Sus dos últimas cifras forman un 124
número divisible por 4
Divisible por 5
Termina en 0 ó 5
135
Divisible por 6
Es divisible por 2 y por 3 a la vez
228
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90
4
1) Averigua :
¿ cuándo un número es divisible por 10?
¿ y por 8 ?
¿ y por 11?
¿ y por 7?
2) Observen los siguientes números y sin hacer la división completen la
tabla:
42
8
36
16
Números divisibles
por 2
17
15
27
80
Números divisibles
por 3
61
24
51
21
Números divisibles
por 2 y 3
2)Escriban los primeros siete números impares que son divisibles por 5.
3) Escriban un número impar entre 80 y 100 que se divisible por 3 y no por
5.
4) Señale un camino para ir de A a B, pasando por todos los cuadrados
cuyo cociente sea 12,
A
114 : 12
540 : 45
720 : 8
1.213 :12
120 : 60
1.258 : 12
819 : 9
492 : 7
1.008 : 84 151 : 32
124 : 3
432 : 36
1.669:16
49 : 7
725 : 91
276 : 23
B
1) Resolver los siguientes cálculos de dos formas distintas:
a) ( 30 – 4 – 17 + 51) . 3 =
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91
……………………………………………………………………….
.............................................................................................................
b) ( -3 + 11 + 10 –5 ). 7 =
.........................................................................................................…
……………………………………………………………………….
2) Los chicos van al buffet de la
Hamburguesa $ 1
escuela después de jugar el partido
Papas $ 2
de football, compran 5 pizzas,
12 panchos ,8 papas fritas, 16 bebidas. Pancho $ 1
Pizza $ 3
¿ cuánto gastan?
Bebida $ 2
¿ cuanto le dan de vuelto si
pagan con un billete de $ 100?
...........................…………………………………………………….
………………………………………………………………………
...............................………………………………………………….
………………………………………………………………………
3) Para navidad fuimos a comprar los regalos para toda la familia con $ 500.
Gastamos la mitad del dinero en una campera de cuero para Raúl porque además era
su cumpleaños, un par de zapatos para la abuela que costaron $ 36. También
compramos 5 pantalones de $ 36 cada uno. ¿cuánto dinero nos sobró?
.......................………………………………………………………..
.......................………………………………………………………..
........................…………………………………………………….…
…………………………………………………………………….…
4) Han ingresado a la repartición 137 personas, se las quiere repartir en tres oficinas
distintas, y si queda alguno irá temporariamente a mesa de entradas. ¿ Cuántas
personas irán a cada oficina?. ¿ Queda alguno para ser enviado a mesa de entradas?
..........................………………………………………………………
........................………………………………………………………..
.......................………………………………………………………...
………………………………………………………………………..
5) Completen el siguiente cuadro, sin hacer cuentas y justificando la respuesta
Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 10
544
2.475
310
65.550
666
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PARÉNTESIS,
CORCHETES O
LLAVES.
Retomemos la compra que efectuó José en el Supermercado.
¿Cuánto gastó?. Gastó $ 78
3.
+2
+6
3.5 +
2.3
+ 6.4
+ 6
+
+3
6.4
=
+ 3.3
¿Cuánto le dieron de vuelto si pagó con $ 100
= 78
?
Podemos expresar el cálculo para responder, de dos formas distintas.
1 ) $ 100 - $ 15 - $ 6 - $24 - $ 24 – $ 9 = 22
Se restan todos los gastos al
dinero con el que se paga.
2) $ 100 – ( $ 15 + $ 6 + $ 24 + $ 24 + $ 9 ) = 22
del luego se restan del dinero con el que se paga.
Se suman los gastos
Como podemos observar los dos cálculos son equivalentes pues tienen el
mismo resultado, entonces si observamos podemos concluir:
“ para suprimir ( ) , { } ó
precedidos por un signo – (menos)
debe cambiarse los signos de los números que se encuentran en su
interior, y para suprimir ( ) , { } ó
precedidos por un signo +
(más), se efectúa la supresión sin cambiar ningún signo.”
Ejemplo:
- (3 + 7 ) + { 8 + 10} – 8 –( -6-1) =
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93
1°) sacamos los paréntesis precedidos por – , cambiando los signos de los
números de su interior. El número 3 es positivo igual que el 7 , mientras
que el 6 y el 1 son negativos. Entonces;
- 3 – 7 + { 8 + 10 } – 8 + 6 +1 =
2°) sacamos las {} precedidas por un +, dejando todo como se encuentra:
3 – 7 + 8 + 10 – 8 + 6 +1 =
3°) se suman los positivos , se suman los negativos y se restan a los
primeros:
3 + 10 +6 +1 +8 – ( 7 + 8) =
28 – ( 15) =
4°) suprimimos el paréntesis y como se halla precedido por un signo – se
cambia el signo del número 15.
28 – 15 = 13
¿Cómo debe efectuarse la supresión si en el cálculo hay varios
paréntesis?
Ejemplo:
( 3 - (-5 - 6 + ( 8 - 10)))=
En este caso también sigue vigente la regla anterior. Surge otra inquietud, ya
sabemos como sacarlos, lo que no tenemos en claro es cual sacar primero.
Regla: los ( ) , { } ó
se suprimen de adentro hacia afuera.
1°) escribimos todo igual, hasta llegar + ( 8 – 10), que es el paréntesis mas
pequeño o bien el que está dentro de los otros. Como esta precedido por un
signo + se suprime sin variar nada.
( 3 - ( -5 - 6 + 8 - 10)) =
2°) nuevamente escribimos todo igual, hasta llegar - ( 5 + 6 + 8 – 10 ), que es
ahora el paréntesis mas pequeño o bien el que esta dentro del otro. Como esta
precedido por un signo - se suprime cambiando los signos:
( 3 + 5 + 6 - 8 + 10) =
3°) suprimimos el último y como no tiene ningún signo eso asegura que esta
precedido por un signo +, no cambiamos nada.
3 + 5 + 6 - 8 + 10 = 16
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94
JUNTANDO LAS DOS
SITUACIONES:
Ejemplo:
( -2 + 8) – ( - ( 4 + 5)) +10 =
2
1
3
1°) Los paréntesis 1 y 2 pueden sacarse simultáneamente,
podríamos decir que tienen la misma categoría, el primero esta
precedido por un + , por lo que se suprimirá sin variar nada y el 2
esta precedido por un - , entonces al suprimirlo se modificarán los
signos de los números que están en su interior.
-2 + 8 – ( -4 –5 ) + 10 =
2°) Faltaría suprimir los paréntesis 3, como están precedidos por un
signo - se cambian los signos:
-2 + 8 + 4 +5 + 10 = 25
TRABAJAMOS
JUNTOS
1) 2 - (- 3 - 6 - 8 + 4) - (5 - 1 + 3) + 14 =
2 + 3 + 6 + 8 - 4 - 5 + 1 - 3 + 14 =
34 – 12 = 22
2) m - (- 2m + n + p) + (m + 4n + 5p) =
m + 2m - n - p + m + 4n + 5p =
4 m + 3 n +4p queda expresado de esta manera pues no se puede agrupar
letras distintas, se suman todas las p, todas las n y todas las m.
3) 7 + ( -5 + 8 ) – ( 2 + 5 ) + 4 =
7–5+8–2+5+4 =
7 + 8 + 4 – 5 – 5 –2 =
19 – 12 = 7
JERARQUÍA DE LAS
OPERACIONES
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95
En las operaciones combinadas se deben tener en cuenta algunas reglas.
Las operaciones que se encuentran entre ( ) , { } ó
se resuelven
primero.
Si no hay paréntesis los signos + ó – separan términos y se resuelven
primero las operaciones que hay dentro de cada término, siempre de
izquierda a derecha.
Por último se resuelven las sumas y restas, que se deben realizar
también de izquierda a derecha.
Ejemplo: Sugerencia : separar en términos
3 . 7 – ( 4 +10) + 10 : 2 . 5 + 7.5 =
1° t
2° t
3° t
4° t
1° se resuelve la operación que se encuentra entre paréntesis
3 . 7 – ( 14) + 10 : 2 . 5 + 7.5 =
2° se suprime el paréntesis como está precedido por un signo – se cambia el
signo.
3 . 7 – 14 +10 : 2 . 5 + 7.5 =
3° Se resuelve cada término.
21 – 14 + 25 +35 =
4° Se suman los positivos y se resta el negativo.
81 – 14 = 67
OTRO EJEMPLO.
45 : 5 – 7 + 8 + ( 4 . 3 : 6) =12
9 - 7 + 8 + ( 12 : 6 ) =12
9 - 7 + 8 + (2) =12
9 - 7 + 8 + 2 = 12
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96
5
1) Resolver suprimiendo paréntesis:
a) 2 + (- 3 + 6 - 8 + 15) - (2 + 3 - 1) + 24 =
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………
b) 2 - (- 3 - 6 - 8 + 4) - (5 - 1 + 3) + 14 =
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………
c) - 2 -(- 8 + 7 - 5 + 4) - (6 - 7 - 8) - 1 =
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………
d) a + (b + c - f + g) - (- b - c + f + g) =
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………
f) t - ( - 2t + 6a - 4t) - (- 2t + 6 - 4a) =
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………
Calcular aplicando el orden de prioridad en las operaciones.
Separar en términos.
a) 28 - 2 . 5 + 4 =
b) 100 - 2 . 20 + 3 . 5 =
c) ( 8 + 20 ) . 4 - 3 . 4 =
d) 200 + 100 . 4 - ( 2 + 8 ) . 5 =
e)
400 - 2 ( 6 + 8 ) + 200 . 3 =
f)
40 - 10 . 2 + ( 8 - 2 ) . 5 =
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97
4) Realicen las siguientes operaciones.
a) 9 . ( 64 – 20 ) +
39
25
16
.………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
b)
400
+ ( 7-30:5) + 12.6 =
10
.………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
c) 720 -
54
+ ( 34 - 8 ) – ( 13 –10 ) =
6
.………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….
5) Coloquen los paréntesis adecuadamente para que el resultado sea correcto.
a) 2 + 3 - 6 = 30
b) 15 . 2 + 3 .7 = 345
c) 12 . 7 + 8 = 180
d) 4. 3 – 5. 32 + 14 : 2 = 8
6) Indiquen que número sumado a 11 da :
a) 41
b) 63
c) 87
d) 23
………………………………………………………………………..
Problema 1)
Si Pedro tiene 23 años y Aníbal 16, ¿cuántos años tendrá Aníbal
cuando Pedro tenga 58?
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………
Problema 2)
Pedro y Aníbal ganan por mes $ 340 y $ 217 respectivamente,¿cuánto gana su padre por
año , si gana $ 235 mas que los dos hijos juntos?
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………
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98
Trabajamos juntos.
Un padre reparte 72 pesos entre sus tres hijos, Andrés, Tito y Betina.
De manera tal que a Tito le corresponde $ 1 más que a Andrés y a Betina $1
más que a Tito. ¿cuánto le corresponde a cada uno?
Se sabe que $ Andrés + $ Tito + $ Betina = $ 72 *
Pero $ Tito = $ Andrés + $ 1
Y $ Betina = $ Tito + $ 1 entonces $ Betina = $ Andrés + $1
Si reemplazamos en *
$ Andrés +$ Andrés + $ 1 + $ Tito + $1 + = $ 72
pero Tito = $ Andres + $ 1
Reemplazamos nuevamente
$ Andrés +$ Andrés + $ 1 +$ Andrés + $ 1 + $ 1 = $72
3 $ Andrés = $ 72 - $ 3
3 $ Andrés = $ 69 entonces si tres sueldos de Andrés equivalen a $ 69
$ Andrés = $ 69 : 3 = $ 23 ( es el sueldo de Andrés)
¿ cuanto le corresponde a los otros dos hijos?
…………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
Por supuesto que para resolver el problema, escribiremos los cálculos
planteados en forma simbólica.
Andrés = x
Tito = x + 1
Betina = x + 1 +1
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
99
Entonces
x + x + 1 + x + 1 +1 = 72
3x = 72 - 3
Problema 2:
Para una fiesta infantil en un supermercado mayorista se compraron 120
cajas de galletitas, cada caja contenía dos docenas de paquetes y cada
paquete dos decenas de galletitas. Si al evento concurrieron 430 chicos ¿
cuantas galletitas le correspondió a cada uno? ¡cuantas sobraron?
Si la mitad eran de chocolate y el resto repartidas en partes iguales entre
frutilla y dulce de leche, ¿ cuántas había de cada gusto?
..............................................................................................................
.........................……………………………………………………….……
…………………………………………………………………..…………
……………………………………………………………..
Problema 3 :
Para llenar un tanque de 130 litros, se abrió una canilla que arroja 15 litros
por hora:
a)¿ Cuántos minutos tardará en llenarse?.
b) Si arroja agua durante 3 horas y media ¿ cuántos litros le faltan para
completar el tanque?
..............................................................................................................
.........................……………………………………………………….……
…………………………………………………………………..…………
……………………………………………………………..
Problema 4 :
Para la oficina de personal se compraron 123 cuadernos a $ 3 c/u, 25
resmas a $ 14 c/u , 10 cajas de gomas y 10 cajas de biromes a $ 2 cada una.
Si por pagar en efectivo se redujo el monto en $ 22 ¿ cuanto dinero se
pagó?
..............................................................................................................
.........................……………………………………………………….……
…………………………………………………………………..…………
……………………………………………………………..
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100
Ecuaciones
1) 3x + 2 a –7xy => esta expresión se denomina expresión algebraica
pues esta formada por números y letras.
2) 3 + 2 => es una expresión numérica.
A partir de dos expresiones numéricas que representan el mismo número surge
la “igualdad numérica”
3+2=6-1
3) una igualdad donde figuren dos expresiones algebraicas o una expresión
algebraica y una numérica origina lo que se llama “ecuación”.
Ejemplos:
2x+3y=5x+2
2x –3zs=5
3 z3 = 16
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN :
Resolver una ecuación es hallar su solución.
La solución (o las soluciones) de una ecuación es el valor (o los valores) que
ha de tomar la incógnita para transformar la ecuación en una igualdad
numérica.
Ejemplo 1)
2x+4y=5x+2
si x = 2
e
y= 2
2.2 + 4.2 = 5.2 + 2
12 = 12
entonces x = 2
e
y= 2
son solución de esta ecuación.
Como podemos ver, se podría encontrar otras valores que al reemplazar sus
valores en la ecuación verifiquen la igualdad.
Ejemplo 2)
3x + 5 = 8
si x = 1
3.1 + 5 = 8 x= 1 es solución de la ecuación, cualquier otro
número que se reemplace no verifica la igualdad, si x = 8
3.8 + 5 = 8
24 + 5 = 8
LENGUAJE COLOQUIAL Y
LENGUAJE SIMBÓLICO
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101
Cuando para resolver un problema se necesita plantear una ecuación, se
debe pasar del lenguaje coloquial al simbólico.
Ejemplo ¿cuál es el doble de la suma entre 8 y 3 ?
Como lo que se busca es el número que cumpla con esa condición, le
asignamos una letra , en general “x” y se la llama incógnita.
Entonces , el doble del número será 2x, y finalmente la ecuación que
representa el problema planteado será:
2x=8+3
Otros ejemplos:
El doble de un número
El triple o triplo de un número
La mitad de un número
Un número par
Un número impar
El consecutivo de un número
El anterior de un número
El producto de un número y su
consecutivo
La suma de tres número
consecutivos
La décima parte de un número
La cuarta parte de un número
2x
3x
x:2
2x (todo número multiplicado
por 2 sera par)
2x + 1 (si a un par se le suma
1 será impar)
x+1
x -1
x. (x + 1)
x + (x +1) + (x + 2)
x : 10
X:4
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
102
TRABAJAMOS
JUNTOS
Unir con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente.
La mitad de la edad que tendré en 5 años
3x – x:2
El triple del consecutivo de un número.
(x+5):2
El doble de un número dividido su consecutivo.
3 ( x+1)
El triple de un numero menos la mitad de ese
2 x : (x + 1)
numero.
RESOLVER ECUACIONES.
En toda ecuación se conocen algunos datos y se desconocen otros, que se
representan mediante letras y se llaman incógnitas. Como una ecuación es una
igualdad se puede pensar como una balanza en equilibrio, para conservar este
equilibrio se sabe q ue lo que se agregue o quite de un platillo debe agregarse o
quitarse del otro.
Entonces, como el objetivo es hallar el valor de la incógnita , efectuamos
operaciones en ambos platillos, aplicando lo que se conoce como propiedad
uniforme.
Propiedad Uniforme:
1)
Si a ambos miembros de una igualdad se le suma o resta un mismo
número, la igualdad no varía.
2)
Si a ambos miembros de una igualdad la multiplicamos o dividimos por
un mismo número (distinto de cero) la igualdad no varía.
2x+3
17
2x
14
x
2x+3-3
2x
2
17-3
14
2
7
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
103
Para acortar la resolución en lugar de aplicar la propiedad uniforme se hace lo
que se conoce como “pasaje de términos”
Ejemplo 1
Resolvemos haciendo
pasaje de términos
multiplica
2.x=4
x=4:2
x=2
o Aplicando propiedad
uniforme
2x = 4
2x 4
Pasa
=
2
dividiendo 2
x 4
=
2
x=2
Ejemplo 2
Resolvemos: a) haciendo pasaje de términos, b) aplicando propiedad uniforme
divide
x:2=8
x : 2 = 8
x=8.2
(x : 2) . 2 = 8 . 2
multiplica
x = 16
x . 2 = 16
x = 16
TRABAJAMOS
JUNTOS
Ejemplo 3:
2x–1=9
2x=9+1
separo en términos
pasa el 1 con la operación inversa a
2 x = 10
x = 10 : 2
x=5
efectúo la suma (9 + 1 = 10)
paso el 2 que está multiplicando; dividiendo
efectúo la cuenta (10 : 2 = 5) es el resultado
3x – 6 = 9
3x =9+6
3 x = 15
x = 15 : 3
x=5
pasa sumando
se efectuó la suma (9+6=15)
el 3 que estaba multiplicando pasa dividiendo
la – o
sea +
ejemplo 4:
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
104
ejemplo 5: 2 x – 1 = x + 8
En el ejemplo observamos que tenemos x en ambos miembros de la igualdad.
Cuando ocurre esto, se agrupan las x en un miembro (de un solo lado) para
poder calcular su valor.
¿Cómo se opera con la x?
(2 x – 1 x = x) “Si se tienen dos x y se le resta una x, entonces queda una
x”
Observar:
(otros ejemplos de agrupamiento de las x)
2x–x =x
3x–2x=x
2x+x=3x
4x-2x=2x
4x – 3 x = x
Seguimos con el ejemplo:
2x–1=x+8
2 x – x = 8 + 1 pasa el 1 sumando y la x restando
x=9
otro ejemplo:
pasamos las 2x restando
6x - 8 = 2x + 16
resolvemos de ambos lados
6x - 2x = 16 + 8
6x - 2x = 4x y 16 + 8 = 24
4x = 24
el cuatro pasa dividiendo
x = 24 : 4
x = 6
Nota: “cuando tenemos x en ambos miembros de una ecuación (es decir de
un lado del igual y del otro lado), debemos agrupar las x en un mismo
miembro (ya sea a la derecha o a la izquierda del igual), a los números que no
tienen x en el otro”
ejemplo:
4x - 2 = 2x + 18
4 x - 2x = 18 + 2
Ya agrupamos las x con las x , y los números con los números.
Ahora sumamos o restamos respectivamente:
4x - 2x = 2x / 18 + 2 = 20
2x = 20
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
105
x = 20 : 2
x = 10
Ejemplo 6: Manuel está en un delibery haciendo entregas a domicilio
viernes, sábados y domingos; trabaja 12 horas cada día y le pagan por hora
$x. Durante el fin de semana gastó $30 en un libro , el lunes contaba con
$690. ¿Cuánto cobra por hora de trabajo?.
1 día ————— 12 hs.
3 días ————— 12 x 3 = 36 horas
cantidad de horas que trabaja durante el fin de semana.
La ecuación buscada sería:
36 x – 30 = 690
Si la resolvemos:
36 x = 690 + 30
36 x = 720
x = 720 : 36
x = $20
Juan gana $20 por hora
Problema 2
En una editorial cada libro de una colección cuesta $6. La editorial por el
envío de una cierta cantidad de libros cobra un recargo de $15 en concepto
de flete.
Si una librería realiza un pedido y gasta por todo concepto (incluído el
flete) $375
¿Qué cantidad de libros solicitó?.
6 x + 15 = 375
6 x = 375 – 15
6 x = 360
x = 60
Respuesta: 60 libros.
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106
Hallar la solución de las siguientes ecuaciones.
a) 2 ( x –4 ) = 5 ( x - 4 ) aplicamos la propiedad distributiva.
2 x – 2.4 = 5.x - 5.4
2 x – 8 = 5 x – 20 agrupamos las x con las x y los números con
20 – 8 = 5 x – 2 x
12 = 3 x
12 : 3 = x
4=x
Verificamos, reemplazamos x = 4
2( 4 – 4 ) = 5 ( 4 – 4 )
2.0 = 5.0
0=0
b)
x 5
+ 6 = 10 separar en términos
2
x 5
= 10 - 6
2
x 5
= 4 para seguir despejando la incógnita x , observamos lo que
2
quedo escrito y para seguir pasando
b) y se va la segunda!!!!
2x 6
=4
3
2x-6 = 3.4
2x-6 = 12
2x= 12 + 6
2x = 18
x = 18 : 2
c)
x = 9
2x 6
=x+4
3
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
107
2x – 6 = 3 ( x - 4) propiedad distributiva. Como 3 divide a todo el primer
miembro cuando pasa al otro miembro multiplica a todo .el miembro
2x – 6 = 3 x - 3.4
2x - 6 = 3 x – 12 juntamos las x con las x y los números con los números.
12 – 6 = 3x –2x
6
= x
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108
Pr
obl
em
a
1)
En el platillo de una balanza hay una caja, y en el otro, media caja y una
pesa de 1 kg. la balanza está en equilibrio. Escriban la ecuación que les
permita calcular el peso de la caja entera. (Sugerencia hacer el gráfico)
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………
6
Problema 2)
Resolver cada ecuación:
a)
2x 5
3
b) 2x – 8 =
x 10
2x 4
2
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………
c) 2 ( x + 7 ) = x + 15
d) 4 ( x – 1) = 3 ( x + 2)
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………
e)
2x
3
14
resolvemos juntos
f)
5x
2
10
2x = 14 . 3 (como 3 está dividiendo
pasa multiplicando)
x=
42
2
(como 2 está multiplicando
pasa dividiendo)
En este caso se podía dividir primero y multiplicar después.
Problema 3)
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
109
La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo numero es el
doble del primero; el tercero, el doble del segundo y el cuarto, el
doble del tercero.¿cuáles son los números?
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
Problema 4)
La suma de dos números es 32 y uno de ellos es siete veces mayor
que el otro. Hallen los dos números.
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
Problema 5)
Los días de vacaciones que le corresponden a Juan son el doble
de las que le corresponden a María más cinco días ¿cuántos días le
corresponden a cada uno?
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
110
 Números enteros:
 Representación y orden de números enteros : números opuestos, valor
absoluto.
 Operaciones con números enteros: suma, resta, producto, cociente,
Potenciación, radicación. Cálculos combinados en Z.
 Propiedades de la radicación y potenciación, ejercicios combinados
 Cuadrado de un binomio.
NÚMEROS
ENTEROS
¿Cómo surge la necesidad de definir otro conjunto numérico , además del
conjunto de los naturales (N) con el que ya hemos trabajado?
Cuando hablamos de arriba o abajo, antes o después etc. estamos
estableciendo puntos de referencia.
Muchas veces en situaciones de la vida cotidiana establecemos esos puntos
aunque no lo hagamos concientemente. Por ejemplo ... “El cerro Gris tiene
235 m de altura”, ..... “ en Puerto Madryn la sensación térmica es de 5
grados bajo 0 ,......si subimos a un ascensor y deseamos ir al segundo
subsuelo apretamos el botón -2
200 m
35°C
150 m
0m
Nivel del mar
3
100 m
2
50 m
1
22°C
-50 m
0
PB
-1
-100 m
Subsuelos
-5°C
-150 m
-2
En el primer caso el punto de referencia es el nivel del mar al que llamamos
0 metros, a partir de dicho punto, los que se encuentren por encima del
mismo serán positivos y los que se encuentren debajo negativos. Entonces si
se dice 100 m se estará hablando de una altura de 100m y si se dice - 100 m
todos comprenderán que se trata de una profundidad de 100 metros. En el
caso de las temperaturas será 0° , en el ejemplo del ascensor será la PB.
Surge entonces la necesidad de un nuevo conjunto de números llamado
conjunto de los números enteros, que se nota con la letra Z.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
111
Al conjunto formado por los números naturales o enteros positivos, los
enteros negativos y el 0 lo llamamos conjunto de los números enteros y lo
indicamos con:
Z = {......-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,......}
Vamos a ver varios ejemplos.
Ejemplo N° 1
(volvamos a José y el supermercado).
José compró 3 tortas de frutilla, 2 kilos de frutillas, 6 botellas de vino blanco y
3 de vino tinto y 2 kilos de carne y gastó $ 78, ¿ que hubiera pasado sin en lugar
de pagar con $ 100, pagaba con $ 50 ?
En realidad no hubiera podido hacer la compra pues el gasto superaría al dinero
que tiene, la deuda sería de $ 28 y para indicar que es una deuda diriamos - $ 28.
No es lo mismo decir tengo $ 28 que debo $ 28, por eso la deuda se escribirá
como
- $ 28.
$50
$78
$28
Ejemplo N° 2
Pablo está preocupado pues acaba de recibir el resumen de su cuenta bancaria
con una deuda de $ 4500.
A los diez días, va al banco y paga $ 1.200 en efectivo. Cuando al mes
siguiente le llega el resumen bancario observa lo siguiente:
Cuenta Nº
0000507/8
Banco Irlandés
Fecha
Señor: Pablo González
10-03-04
Deuda Anterior
20-03-04
Pago en Efectivo
15-03-04
Interés por
Ahorro y Servicios
- 4500.-
1200.- 150.-
deuda
SALDO AL 31-03-04
- 3450.-
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
112
Pablo miró el resumen y observó que todavía debía $
¿Cómo llegó el banco a esa suma?
Pablo leyó una y otra vez el resumen, buscó lápiz, papel y comenzó a
anotar.
debía
$ 4.500.pagué
$ 1.200.debo
$ 3.300.-
debo intereses +
$ 150.$ 3.450.-
Sin embargo, el banco había hecho la cuenta de otro modo: deuda
anterior (- 4500) + intereses por deuda (- 150), el cliente debe (- 4650); pagó
$1200, debe entonces (- 3450). El cliente sigue debiendo por que lo que
pagó es menor que su deuda.
Debe
–
4500 – 150
Pagó
= - 4650
- 4650
+ 1200 = - 3450
Representación
y orden
de números
enteros
En general los números enteros se representan en una recta en la que se
marca el 0 (cero) y un segmento unidad con el objeto de fijar el punto de
referencia. En dicha recta a partir del cero hacia la derecha, estarán
representados los números positivos y del cero hacia la izquierda los
números negativos. El 0 no es ni positivo ni negativo. Teniendo en cuenta lo
expuesto cualquier número de la recta numérica es mayor que otro que se
encuentre a su izquierda.
negativos
-3
-2
positivos
-1
0
1
2
3
El orden de los naturales se establece de la siguiente forma
1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 .........
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
113
El orden de los enteros se establece de la siguiente forma
-8< -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2< -1 < 0 < 1 <2 <3 <4 <5 ......
Si consideramos en la recta numérica, –2 y 2 están a la misma distancia del
cero.
A estos números se los denomina números opuestos
Números opuestos: Se denomina así a los números cuya distancia al cero es
la misma.
Módulo o valor absoluto de un número:
La distancia entre cualquier número entero y el cero se denomina valor
absoluto o módulo.
En cualquier número se pueden distinguir dos propiedades
1) su signo. ( positivo o negativo).
2) su valor absoluto o módulo (cantidad de unidades que ocupa en la
recta numérica).
ejemplo:
El módulo de - 2 = 2 (ocupa dos unidades)
y el módulo de 2 = 2 aunque ambos tienen distinto signo tiene
igual modulo
Módulo se representa por medio de dos barras donde queda encerrado el
número.
2
2
El número que esta dentro del modulo puede ser positivo o negativo, pero el
modulo de cualquier número (sea positivo o negativo) es positivo, pues se
asocia al concepto de distancia, y las distancias son siempre positivas.
Ordenar de menor a mayor los siguientes números:
-15; 4; -7; 2; 9; -20; 5; 0; 1; -12; -1; 3; 20.
-20; -15; -12; -7; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 9; 20.
..........................................................................................................................
Ordenamos de menor a mayor:
-2; 7; 0; 45; -1;-32; 20; 17; 8.
.............................................................................................................................
.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
114
7
Problema 1)
Dibujen una recta numérica y ubiquen los siguientes números.
a) Marquen con un color los números naturales y con otro los números
enteros.
b)Marquen si existen pares de números opuestos.
c) Indiquen el módulo o valor absoluto de cada número.
-5 , -9, 3, 8, -5, 7, 2 ,–2 ,-7,
................................................................................................................
................................................................................................................
................................................................................................................
................................................................................................................
................................................................................................................
Problema 2)
Completen el siguiente cuadro
número
5
opuesto
módulo
consecutivo
doble
7
-6
-12
Problema 3)
Si tenemos en cuenta los años mas importantes en la vida de Juan:
Nació 1951
Terminó la primaria 1963
Terminó la secundaria 1968
Se recibió de abogado en 1975
Se casó en 1978
Tuvo su primer hijo en 1980
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
115
Tuvo su segundo hijo en 1983
Se divorció en 1999
Tomen como punto de referencia el año en el que terminó la secundaria e
indiquen mediante un número entero cuantos años antes o después
ocurrieron los otros acontecimientos.
Nació
Terminó la primaria
Terminó la secundaria
Se recibió de abogado
Se casó
Tuvo su primer hijo
Tuvo su segundo hijo
Se divorció
Problema 4)
En un edificio de Belgrano, en el ascensor la PB esta indicada con el 0, y los
subsuelos con números negativos.
Completen el siguiente cuadro.
Sube en el piso
-3
4
Viaja en el ascensor
5 pisos hacia arriba
5 pisos hacia abajo
6 pisos hacia arriba
7 pisos hacia abajo
8
-2
Baja en el piso
4
-3
0
8
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116
OPERACIONES
FUNDAMENTALES
CON NÚMEROS
ENTEROS
Suma y resta
Para sumar y restar dos números enteros se tiene 8 posibilidades
Suma de dos enteros positivos.
(+3)+(+4)
3+4=7
Resta de dos enteros positivos.
(+3)-(+4)
3–4=-1
Suma de dos enteros de distinto signo. ( + 3 ) + ( - 4 )
3 – 4 = -1
(-3)+(+4)
- 3+4=1
Resta de dos enteros de distinto signo. ( - 3 ) - ( + 4 )
-3–4=-7
( + 3 ) - ( -4 )
3+4=7
Suma de dos enteros negativos.
(-3)+(-4)
- 3 – 4 = -7
Resta de dos enteros negativos.
(-3)-(-4)
-3+4=1
Si recordamos lo visto en el capitulo anterior, para sumar o restar
enteros operamos igual que con naturales, eliminamos los paréntesis
y luego se opera.
-2 + 3 – 5 + 4 – 8 + 2 – 7 + 6
A esta sucesión de sumas y restas en Z, se la conoce con el nombre de
suma algebraica. ¿Cómo se resuelve?
Agrupamos los números positivos por un lado y los negativos por otro de
la siguiente manera:
(3 + 4 + 2 + 6 ) - ( 2 + 5 + 8 + 7 ) =
positivos
negativos
Como existe un – delante de un paréntesis significa que son negativos a
pesar de que dentro del paréntesis figuren como positivos.
( 15 ) - ( 22 ) = 15 - 22 = -7
Si la suma de los positivos es mayor que la de los negativos, entonces el
resultado final, será positivo.
Si la suma de los positivos es igual a la de los negativos, entonces el
resultado final será 0.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
117
Si la suma de los negativos es mayor que la de los positivos , entonces el
resultado final era negativo.
Al resolver las sumas algebraicas, se puede pensar que los números positivos
es el dinero con que se cuenta para pagar una deuda, los números negativos
son la deuda.
Retomando:
Si lo que se tiene es mayor que la deuda, abono y me quedo con efectivo.
Si lo que se tiene es igual a la deuda, abono y no me queda nada.
Si lo que se tiene es menor a la deuda, abono y quedo con deuda.
Multiplicación en Z:
Definición: Si a y n son números enteros, el producto a . n (se lee “a por
n”) es también un número entero.
El producto a . n se define mediante:
a.0=0
a.1=a
a (-1) = - a
Es decir, multiplicar un número entero a por otro n mayor que 1, significa
sumar n veces a; en cambio multiplicarlo por – n; significa sumar n veces el
opuesto de a.
Es decir:
 el producto de dos números es positivo si ambos son del mismo signo;
 negativo si uno de ellos es negativo,
 cero si alguno de los dos es cero, o ambos son ceros.
Esto se conoce con el nombre de “regla de los signos”
1)
2)
3)
4)
(+) . (+) = (+)
(+) . (- ) = (- )
(- ) . (+) = (- )
(- ) . (- ) = (+)
En 1) y 4) observamos que siendo los 2 del mismo signo (es decir ambos + o
ambos negativos) da positivo (+)
En 2) y 3) cuando uno de ellos es negativo da negativo (- )
La regla de los signos se utiliza para la multiplicación y la división.
ejemplos:
1)
2 . 3 = 6
4)
( - 5 ) . 7 = - 35
2)
( - 2 ) . (- 3 ) = 6
5)
7 . (- 8) = - 56
3)
( - 4 ) . 8 = - 32
6)
( - 4 ) . (- 8) = 32
Si se tienen más de dos enteros se multiplican de a 2 :
(- 3) . (- 4) . (- 8) = - 96
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
118
8
( +) .
(-)=(-)
Para dividir también se aplica la regla de los signos:
a) (- 4) : 2
= -2
b)
(- 6) : (- 3) = 2
c) (- 8) : (- 2) = 4
d)
16 : ( - 2) = - 8
e) (- 18) : (- 9) = 2
f) (- 15) : 3 = - 5
Ejercicio1)
Resuelvan las siguientes sumas y restas eliminando previamente los
paréntesis.
a) ( + 3) + (-4) = ....................... b) ( - 7 ) + (+5) + (-2) =..........................
d) ( - 5) – ( -3) =....................... d) ( +9) + (+7) =……………………….
e)( - 5) + ( - 4) =……………... f) ( +9) – (-8) - (6) =...............................
Ejercicio 2)
Resuelvan las siguientes sumas algebraicas:
a)
b)
c)
d)
7 – 8 - 4 + 9 + 8 + 3 – 4 =...............................................
5 – 8 + 9 – 5 – 9 + 6 = ....................................................
– 7 – 5 + 9 + 8 + 9 –3 =
– 11 – 12 – 7 - 9 + 9 + 7 + 8 =
Ejercicio 3)
Completen el siguiente cuadro
a
3
4
-1
-8
-3
b
-2
-8
3
-2
-2
c
1
2
2
4
3
a. b. c
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
119
a. b : c
-2
25
-7
1
10
20
-2
0
4
-5
-1
3
Ejercicio 4)
Según corresponda en cada caso indique si es V (verdadero) o F (falso).
a) (-3): (-3) = (3): (3)
d) (-5).(1) = (-1). (5)
b) (-5). (-1) = (5).(-1)
e) (-2).0 = 0. (-5)
c) (-3): (-1) = (-1): (-3)
f) (-5) (2) = (-2). (5)
Ejercicio 5)
Coloquen los paréntesis necesarios donde correspondan para que las
operaciones combinadas den el resultado indicado
-4-2-2+3+2=5
-2:2-2-3-5+10=-21
Ejercicio 6)
Completen el siguiente cuadro:
a
-1
0
5
-2
2
1
2
3
b
2
2
1
-3
3
-1
4
3
c
3
-1
-1
-2
0
-1
-3
-2
a+b-c
a+b-(c+a)
a.b.c
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
120
a-(b+c)
POTENCIACIÓN
EN Z
Dado un número a que
a Z y otro n que
a N definimos una nueva
operación a la que llamamos potenciación que cumple:
an = b Donde a se llama base, n exponente y b potencia.
Ejemplo numérico:
23 = 8 “2 es la base, 3 el exponente y 8 la potencia”
¿ cómo se calcula una potencia?
En realidad la potenciación es una multiplicación abreviada, el número n
nos indica la cantidad de veces que se multiplica la base:
23 =
2.2.2. = 8
23 = 2 . 2 . 2 = 8
3 veces ( n = 3)
22 = 2 . 2 = 4
2 veces ( n = 2)
Para tener en cuenta
a0 = 1 cualquier número distinto de 0 elevado a la 0 es igual a 1 (por ahora
lo tomamos sin discusión ya veremos cual es el motivo cuando estudiemos
propiedades de las potencias).
a1 = a cualquier número elevado a la 1(primera) es el mismo número.
Si el exponente es 2 se denomina al cuadrado.
Si el exponente es 3 se denomina al cubo
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
121
En esta primera instancia hemos definido al exponente como un número
natural, por lo que no puede ser negativo, pero hemos definido a la base
como un numero entero por lo que puede ser positivo o negativo.
Por lo tanto estudiaremos todas las posibilidades teniendo en cuenta los
signos de la base. Sigan la secuencia del grafico analizando el ejemplo
numérico para comprender mejor las distintas situaciones que se plantean.
POTENCIACIÓN
an = b
Base positiva a > 0
Ej. a = 5
Exponente
par
n=2
Base negativa a < 0
Ej. a = -2
Exponente
impar
n =3
Resultado siempre
positivo
Exponente par
n=2
Resultado Positivo
(-2)2 = (-2). (-2) = 4
52 = 5.5 = 25
-.- = +
Exponente
impar
n =3
Resultado Negativo
(-2)3 = (-2). (-2).(.2)=
-8
-.-.-=-
53 = 5.5.5= 125
Conclusión: Cuando la base es positiva ya sea el exponente par o impar
siempre arroja por resultado un número positivo.
Conclusión: Cuando la base es negativa y el exponente es par da por
resultado un número positivo.
Conclusión: Cuando la base es negativa y el exponente es impar es en el
único caso en el que el resultado es un número negativo.
Ojo queda pendiente el caso en el que el exponente es negativo.
Importante
-22
- 2.2
-4
(-2)2
(-2). (-2)
4
En una caso la base es 2 y
en el otro (-2)
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
122
Propiedades
de la
potenciación
La potenciación no es distributiva con respecto a la adición o a la
sustracción.
Es decir; en símbolos:
(a + b)2
(2 + 3)2
52
25
a2 + b2
22 + 32
4 + 9
13
Primero se efectúa la suma y después se eleva a la potencia correspondiente.
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la
división:
En símbolos:
(a . b)n =
(a : b)n
an . b n
=
an : bn
( 2 . 3 )2 = 22 . 32
62
= 4 . 9
36
= 36
En el producto y en el cociente el resultado es el mismo aplicando o no la
propiedad distributiva.
Producto de
potencias de
igual base
23
.
22
=
3+2
25 =2
2 . 2 . 2
2 . 2 = 5
Conclusión: en el producto de potencias de igual base se suman los
exponentes.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
123
Ejemplo 1:
34 . 35 = 39
Cociente de
potencias de
igual base
45 : 43 = 42
1 1 1
4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 42
4.4.4
1 1 1
Si observamos los exponentes: 5 - 3 = 2
Propiedad: En el cociente de potencias de igual base se restan los
exponentes.
ejemplo 2:
84 : 82 = 84-2 = 82
Potencia de
potencia
(22) 3 =(2 . 2 ) 3 = 23 . 23 =
23+3 =
26
aplico propiedad de
aplico
producto de
propiedad
potencias de igual
distributiva base
Si observamos los exponentes 2 . 3 = 6
Propiedad En la potencia de potencia se multiplican los exponentes
( 25 )2
=
2 5 . 2=
210
Potenciación 1) Calcular las siguientes potencias:
a)
b)
c)
( - 3 )2 =..................
( - 3 )3 =.................
( - 7 )2 =…………..
e)
f)
g)
(- 2 )4 =..................
(- 2 )5 =..................
( - 1 )2 =.................
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
124
d)
( - 7 )3 =…………..
h)
( - 1 )3 =.................
Propiedades de la
potenciación
Producto de potencias de
igual base
Se suman
exponentes
los
Cociente de potencias
de igual base
Potencia de potencia
Se restan los
exponentes
Se multiplican los
exponentes
RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa de la potenciación
n
a = b entonces a = bn
siendo
n: índice de la raíz
a: radicando
b: raíz enésima
signo radical
La raíz de índice 2 se llama raíz cuadrada y generalmente el 2 no se
escribe en el signo radical, o sea
a “se lee raíz cuadrada de a”. La
raíz de índice 3, se llama cúbica.
ejemplos:
4 = 2 porque 22 = 4
3
8 = 2 porque 23 = 8
Las raíces de índice par tienen “algunas particularidades”: Si x 2 = 4 , nos
encontramos con una ecuación y para resolverla deberemos encontrar el o
los valores de x que verifiquen la igualdad, entonces surge la pregunta
¿cuáles son los valores de x que elevados al cuadrado darán como resultado
4?
En realidad los números que satisfacen esa condición son x = 2 ó x = -2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
125
x2
= |x|
|x| = 2
x=2 o x=-2
x 2 = |x|
Resumiendo si n es par:
Este tema resulta un poco difícil de comprender, pero pensemos que:
22 = 4
y
(-2)2 = 4
Propiedades
de la radicación
La radicación goza de las mismas propiedades que la potenciación.
Es decir:
No es distributiva respecto a la adición y/o a la sustracción:
a+b
a
+
b
ejemplo numérico:
25 144
144 Verificar realizando los cálculos con la
25
calculadora.
Es distributiva respecto a la multiplicación y a la división.
a . b =
a
. b
ejemplo numérico:
3
8.64 =
3
8
3
512
=
8
. 3 64 = 2 . 4 =
sin aplicar propiedad distributiva
8
aplicando propiedad
distributiva
Al igual que en la potenciación, las raíces de índice impar y radicando
negativo son las únicas que me dan por resultado un número negativo.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
126
Radicación
Usando la
Calculadora
Radicando negativo
a<0
Radicando positivo
a>0
a=5
Índice par
n=2
4
Índice impar
n =3
3
=2
a = -2
8
Resultado
siempre positivo
La
calculadora
marca error
Índice par
n=2
2
4
No tiene resultado
pues no existe
ningún número que
multiplicado por sí
mismo sea negativo.
Recordemos que
Índice impar
n =3
3
27
Resultado
Negativo
+.+=+
-.- =+
entonces
4
¿ qué significa?, ¿ qué era
?
Como no se puede encontrar el resultado se dice que la solución
es vacía.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
127
3
Cuadrado de
Binomio
Se ha visto que la potenciación no es distributiva con respecto a la
suma o a la resta y ¿entonces como se opera en una situación como la
que sigue?
(x-2)2
1) Se sabe que si un número o una expresión está elevada al cuadrado,
la base debe multiplicarse por sí misma dos veces. Entonces:
(x – 2 ) 2 = (x - 2) (x - 2)
2)Se aplica propiedad distributiva
1°
(x + 2) (x + 2) = x . x + 2 . x + 2 . 2 + 2 . x
1°
2°
2°
= x2 + 2x + 4 + 2x
= x2 + 2x + 2x + 4
= x2 + 4x + 4
Otro ejemplo
(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5)
(x + 5) (x + 5) = x . x + 5 . x + 5 . x . + 5 . 5
= x2 + 5x + 5x +25
= x2 + 10x + 25
En general
(a b)2 = a2 2 a b + b2
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
Si se tiene una suma al cuadrado el resultado es: el cuadrado del
primer número, más el doble producto del primer número por el
segundo, más el cuadrado del segundo.
En caso de una resta, el resultado es el mismo, pero el doble producto
será negativo.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
128
9
Ejercicio
Marque con una x la ecuación que corresponde a cada uno de los
siguientes enunciados
1) La suma de los cuadrados de dos números distintos es igual a 25.
a. (x+y)2 =25
b.
2
2
x +y =25
c.
2
x + y =25
2)El triple de un número aumentado en 6 es igual a 36.
a. 3x+6=36
b.
3x=36+6
c.
3(x+6)=36
3) La suma de tres números consecutivos es 63.
a. 3w=63
b.
c.
w+w+1+w+2=63
3(w+1)=63
4)El triple de un número es igual al doble de su consecutivo.
a. 3t=2t+1
b.
t+3=2t+1
c.
3t=2(t+1)
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
129
5) Si un número se lo eleva al cuadrado se obtiene por resultado el
cuádruple de dicho número.
a. g=4g2
b.
4g=g
2
c.
2
g =g+4
Ejercicio
Planten la ecuación y resuelvan los siguientes problemas.
1. La suma entre un número y el doble de su consecutivo es igual a
35
¿Cuál es el número?
...............................................................................................................
...............................................................................................................
...............................................................................................................
2.El doble del anterior de un número sumado a su triplo es igual a 13.
¿Cuál es el número?
...............................................................................................................
...............................................................................................................
...............................................................................................................
3.El triple de la suma entre dos números consecutivos es igual a 45.
¿Cuál es el número?
...............................................................................................................
...............................................................................................................
...............................................................................................................
4.El cuádruple de la edad que tenía Yolanda hace 2 años es igual al doble de la
que tendra dentro de 10. ¿Qué edad tiene Yolanda?
...............................................................................................................
...............................................................................................................
...............................................................................................................
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
130
Ejercicio
Observen como se resuelve cada ecuación y resuelvan las de la última
página
2
1. ( x 3) : 2 14
5. 4 x 2 7 29
4x2 =36
x2+3=28
x2 =9
x2=28+3
x2=25
x = 3 ó x = -3
x =5 ó x = -5
4
2. 2x 1 7
6. 5x 1 2
5x+1 = 24
.
2 x = -6
5x+1 = 16
2x = (-6)2
5x = 15
2x = 36
x=3
x = 18
3
3. 3( x 1) 27
7. 3 2 x 2 5
8 = 2x2
x3-1= -27 : 3
4 = x2
x3-1= -9
x = 2 ó x = -2
x3= -8
x = -2
3
4. 2 x 2 4
8. 5 1 11x 2
3
1-11x = (-2)5
x 2 = -2
1-11x = -32
x + 2 = (-2)3
33 = 11x
x +2 = -8
3=x
x = -10
EJERCICIOS PARA HACER EN CASA:
NÚMEROS ENTEROS
1°) ESCRIBIR LOS PLANETAS ORDENADOS SEGÚN SU TEMPERATURA
MEDIA EN SUPERFICIE, ORDENADOS DE MAYOR A MENOR.
480°C
220°C
350°C
22°C
210°C
180°C
150°C
23°C
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
131
230°C
2°) SABIENDO QUE UN PAÍS OBTIENE DINERO AL EXPORTAR ( ) Y AL
IMPORTAR LO PIERDE ( ).
CALCULAR EL SALDO OBTENIDO PARA CADA MES E INDICAR
FINALMENTE CUÁL FUE EL MES DE MAYOR INGRESO Y EL DE MAYOR
EGRESO.
(en millones de dólares)
Mes Export.
Abril
616
Mayo 454
Junio
503
Julio
548
Import.
593
519
542
521
Saldo
...................
....................
...................
....................
3°) EN UN PUEBLO DE LA SIERRA DE CÓRDOBA SE HIZO UN
ESTUDIODEL MOVIMIENTO DE POBLACIÓN OCURRIDO EL AÑO
PASADO.
TOMANDO LOS DATOS DEL GRÁFICO Y USANDO NÚMEROS ENTEROS,
DETERMINAR SI FINALMENTE HUBO UN AUMENTO O UNA
REDUCCIÓN EN LA POBLACIÓN INICIAL.
74
41
PUEBLO
168
53
89
4°) CALCULAR LA TEMPERATURA PROMEDIO ANUAL A PARTIR DE LA
MÁXIMA Y LA MÍNIMA, PARA CADA CIUDAD CHILENA.
TEMP. MAX.
TEMP. MIN.
TEMP. PROM.
TEMP. MAX.
SANTIAGO
34°C
6°C
...............
PUNTA
ARENAS
VALDIVIA
33°C
3°C
...............
BAHÍA
ORANGE
TEMP. MIN.
TEMP. PROM.
26°C
10°C
...............
23°C
7°C
...............
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
132
5°) CALCULAR CUÁNTOS GRADOS DE LATITUD HAY QUE RECORRER
AL REALIZAR LOS SIGUIENTES VIAJES: (USANDO LA FÓRMULA DE
VARIACIÓN)
BRASILIA
TEGUCIGALPA; TEGUCIGALPA
QUITO
PANAMÁ; BRASILIA
QUITO;
PANAMÁ
TEGUCIGALPA
POLO NORTE:
90°
TEGUCIGALPA:
14°
PANAMÁ:
8°
ECUADOR:
0°
QUITO:
1°
BRASILIA:
22°
POLO SUR:
90°
BRASILIA;
6°) DETERMINAR EL TIEMPO DE DURACIÓN QUE TUVO
CADA IMPERIO DE LA ANTIGÛEDAD:
(USANDO LA FÓRMULA DE VARIACIÓN)
BABILONIA : desde 2.000 hasta 600
EGIPTO: desde 4.000 hasta 332
GRECIA: desde 2.800 hasta 100
ROMA: desde 750 hasta 476
7°) EL MERCURIO ES UNA SUSTANCIA QUE CONGELA A 39°C
Y VAPORIZA A 357°C.
SÍ INICIALMENTE SE ENCUENTRA EN ESTADO LÍQUIDO, A LA
TEMPERATURA
AMBIENTE DE 12°C. CALCULAR (USANDO LA FÓMULA DE
VARIACIÓN):
1°) LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA QUE EXPERIMENTARÁ
PARA LLEGAR A SOLIDIFICAR.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
133
GAS
0°C
SÓLIDO
357°C
LQUIDO
2°) LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA QUE EXPERIMENTARÁ
PARA LLEGAR A VAPORIZAR.
39°C
8°) INDICAR CON FLECHAS
PARA C/ CUENTA EL
SIGNO DEL RESULTADO.
pos.
pos.
pos.
pos.
NEGATIVO
pos.
neg.
neg.
pos.
neg.
neg.
NEGATIVO
neg.
neg.
neg.
POSITIVO
neg.
par
POSITIVO
impar
LA REGLA DE LOS SIGNOS SEGÚN LOS CALCULADORES HINDÚES: "EL
PRODUCTO DE DOS BIENES O DE DOS DEUDAS ES UN BIEN".
9°) RESOLVER LAS SIGUIENTES OPERACIONES COMBINADAS:
1. ( 16) ( 22) ( 13) ( 20) =
.....................................................................................................................
2. ( 49):( 7) ( 18):( 1) ( 30):( 3)
.....................................................................................................................
3. ( 6)3:( 3)2 =
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
134
.................................................................................................................
....
4. ( 1).( 14) ( 5).( 4) ( 8).( 4) =
.................................................................................................................
....
5. ( ( 4):( 1) )3 =
.................................................................................................................
....
6. ( ( 39) ( 13) ( 45) ( 5) )3 =
.................................................................................................................
....
10°) CONSTRUIR LAS RELACIONES UTILIZANDO FLECHAS:
RADICACIÓN
2
NEGATIVO
2
POSITIVO
3
NEGATIVO
3
POSITIVO
2 soluciones
1 solución
BHASKARA, MATEMÁTICO HINDÚ DEL SIGLO XII,
INDICA QUE LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO
POSITIVO TIENE DOS VALORES, PERO AFIRMA QUE
NO HAY NINGUNA RAÍZ CUADRADA DE UN N°
NEGATIVO PORQUE ESTOS NÚMEROS NO SON
CUADRADOS.
sin solución
11°) RESOLVER LAS SIGUIENTES OPERACIONES COMBINADAS:
( 38) ( 17) ( 27) 2 ( 42) ( 26) ( 13) 2=
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
2)
( 1)2 ( 2)3 ( 3)4 ( 10)=
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
1)
3 3. 2 1
3) 12 2 : 8 2 49 .2 81
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
4) 10 3 : 2 3
15 2 : 5 : 10 =
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
ALGUNAS RESPUESTAS:
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
135
2°) Saldo de mayo: 65 millones 3°) 89 hab. 4°) Santiago: 20°C; Punta
Arenas: 8°C 5°) Brasilia
Tegucigalpa: 36°; Quito a Panamá
9°C 6°)
Duración del imperio babilónio: 1.400 años, del imperio egípcio: 4332 años.
7°): 1°): 345°C 2°): 51°C 9°)  5  1  24  38  64
 216 11°)  4  9  9  3
1) ( x 2
2)
3x
6) : 2
2
5) 2 x 2
20
6)
8
4
20
30
3x 2
2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
136
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
137
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
138
Capítulo IV
NÚMEROS RACIONALES
Si observamos el siguiente dibujo veremos dos zonas perfectamente
delimitadas, cada una de ellas se puede representar con una fracción.
Se lee: dos
Se lee: tres
quintos
3
5
y
2
5
quintos
Una fracción esta formada por dos números naturales:
el numerador y el denominador:
3
5
numerador
deno min ador
El denominador
indica en cuantas
partes se ha divido
el entero.
El numerador
indica cuantas
partes se han
tomado del entero.
IMPORTANTE EL
DENOMINADOR NO
PUEDE SER 0
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
139
En la vida cotidiana estamos acostumbrados a hablar con fracciones; cuando
vamos a la panadería y pedimos
1
1
kg de pan; en el supermercado de café,
2
4
etc.
El ticket del supermercado también muchas veces “esconde” una fracción; ya
que si el mismo nos indica que gastamos $ 24,50, esta es la forma decimal de
nombrar un número racional. O sea que los números racionales pueden
expresarse en forma fraccionaria
1
1
ó en forma decimal ya que es la forma
2
2
fraccionaria y 0,5 es su equivalente en su forma decimal.
¿Cómo pasar una fracción a número decimal y viceversa?
Ejemplo:
3
para pasar esta fracción a decimal se divide 3 por 4 :
4
30
se obtiene 0,75
4
20 0,75
0
Ahora para pasar de decimal a fracción se procede:
1) en el numerador se escribe todo el número, en este caso 75 y en el
denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el
número que deseamos pasar a fracción.
2) luego se simplifica. Simplificar significa “achicar” la fracción dividiendo
numerador y denominador por un mismo número. En este caso , primero se
divide por 5, y luego nuevamente por 5, así se obtiene
3
4
1
para pasar a decimal dividimos 1 dividido 8
8
1
8
se obtiene
1)
20 0,125
40
0
0,125, ahora para volver a la fracción, se escribe en el numerador todo el
número y en el denominador 1000. Para simplificar dividimos numerador y
denominador por 5.
1
5
25 Universidad Tecnológica Nacional
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo
140
125
1000
200
1
8
2) Se simplifica hasta obtener nuevamente:
Representación de fracciones en la recta numérica:
-1
0
Si queremos representar
1
1
4
1
en la recta numérica; sabemos que se trata de
4
un número que está comprendido entre el 0 y el 1 ya que ¼ es la forma
fraccionaria y 0,25 es su equivalente en su forma decimal.
Para representar
1
en la recta numérica dividimos el “segmento unidad”
4
entre 0 y 1 en cuatro partes iguales y tomamos una de ellas.
De la misma forma podemos hacer si tuviéramos una tableta de chocolate y
quisiéramos sólo
1
de la tableta.
4
0
1
1
4
Continuamos con el ejemplo del chocolate.
Si tenemos una barra de chocolate y queremos sólo la mitad es decir
Tomaremos:
1
2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
141
1
2
Si de la misma barra de chocolate queremos
2
4
tendremos
que
dividir la barra en cuatro partes iguales y tomar dos de ella.
2
4
¿Qué observamos? Que tenemos exactamente “la misma cantidad” de
chocolate en ambos casos. Es decir que
Cuando esto sucede decimos que
1
2
y
2
4
1
2
representa lo mismo que
2
4
son fracciones equivalentes.
A pesar de que tienen distinto numerador y distinto denominador, si se
simplifica
2
se obtiene
4
1
.(para simplificar dividimos numerador y
2
denominador por 2)
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
142
OPERACIONES
FRACCIONES
Si comemos
CON
1
4
de una pizza y después
2
4
de la misma ¿Qué
fracción de la pizza comimos?
1°
+
2°
=
Suma
Es decir que para sumar 2 o más fracciones, las mismas deben tener el mismo
denominador y entonces sumamos los numeradores. Ej
1
4
5
4
1 5
4
6
¿Qué
4
ocurre cuando las fracciones no tienen el mismo denominador?
La convertimos en fracción equivalente de denominador 4 para poder
sumarla
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
143
3
4
3
4
1
2
2
4
5
4
equivalente
La convertimos en fracción
equivalente de denominador 4
1 2
2 2
2
4
Ejemplo 1
equivalente
1
7
2
5
5
35
1 5
7 5
14
35
19
35
2 7
5 7
5
35
EQUIVALENTES
14
35
EQUIVALENTES
Si es necesario transformamos ambas fracciones dadas en fracciones
equivalentes y luego las sumamos.
3
8
5
4
3 10
8 8
13
8
Ejemplo 2
Transformamos en una
fracción equivalente de
denominador 8
5 2
4 2
10
8
Conclusión:
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
144
Para sumar o restar dos números racionales expresados en forma
fraccionaria, se los expresa como fracciones equivalentes de igual
denominador y el resultado es otra fracción del mismo denominador y el
numerador resulta de sumar o restar los numeradores.
1
4
3
2
7
3
3
=
5
5
4
3
2
Buscar las fracciones
equivalentes
Sumar o restar
1
4
3
2
7
3
5 12
20 20
6 5
4 4
14 9
6 6
5
5
2
2
2
2
3
5
5
4
3
2
4
4
3
3
17
20
Cuando aparezco yo es porque el
ejercicio está resuelto al final del
capítulo
Multiplicación
El producto de números racionales expresados en forma fraccionaria, es una
fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo
denominador es el producto de los denominadores.
Ejemplo:
3 1
5 9
3
45
Para poder trabajar con números más pequeños, se puede simplificar antes de
efectuar la multiplicación; los numeradores con los denominadores.
Simplificamos el 3 y el 9 por 3
1
3 1
5 9
1
15
Ejemplo 1
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
1453
5
20 . 3 = 15
4 8
1
8
Simplificamos el 20 y el 4 por 4. ( 20 4 5 y 4 4 1 ) después efectuamos la
multiplicación:
5 3 15 numerador
1 8 8 denominador
Ejemplo 2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
146
Operación
Simplificamos
Multiplicamos
16 15
3 12
..............................
.................................
Operación
Multiplicamos
Simplificamos
18 15
3 24
.........................
...................
División
Para dividir dos fracciones, multiplicamos la primera de ellas por la recíproca
de la segunda fracción. Es decir:
2 7
:
5 3
2 3
5 7
7
3
su recíproco
3
7
y convertimos la división en
producto
Entonces , hay que invertir
la segunda fracción y luego
multiplicar
Los números racionales pueden ser también negativos .
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
147
Observemos la recta numérica.
1/2
-1/2
0
-1
1
- 1 2 es un número racional negativo.
Es decir que cuando hablemos de números racionales o fracciones en lo
sucesivo hay que pensar que pueden ser positivos o negativos (si son
negativos delante de la raya de fracción colocaremos el signo
correspondiente).
O sea:
-
1
2
; -
3
1
; -
4
4
Ubicamos en la recta numérica:
-1
-3/4
-1/2
-1/4
0
Las operaciones con los números racionales negativos respetan las mismas
reglas vistas anteriormente:
Ejemplos:
Ejemplo 1
-
-
5
4
2
5
3
1
-
4
1
4
2
-
7
7
1
2
5 5
.
4 5
2 4
.
5 4
=-
=-
25
20
4
4
= -1
3
Ejemplo 2
7
8
20
25 8
20
17
20
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
148
En 1 y 2 convertimos en fracciones equivalentes:
Ejemplo 3
Ejemplo 4
-
2
1
+
7
2
=-
3
.
7
3
3
+
1
3
1
En 1
7
.
7
= -
6
21
7
+
21
=
1
21
2
y 2 convertimos en fracciones equivalentes:
Producto y cociente
Respetamos la regla de los signos
+
-
+
+
-
-
-
+
Ejemplo 1
1
2
3
1
.
-
3
9
4
2
= -
3
2
Simplificamos numeradores y denominadores (el 9 y el 3 por 3; y el 2 y el 4
por 2).
El resultado es una fracción negativa, porque
2
es positiva y
3
9
es negativa,
4
respetando la regla de los signos (+) . (-) = (-).
Resultado negativo
Ejemplo 2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
149
3
:-
4
2
:
3
1
3
=
7
:
4
1
7
2
3
1
-
7
.
4
14
3
7
.
3
=
-7
=
-
21
4
El más (+) no lo coloco, ya
sé que es positivo
(-) . (-) = +
Ejemplo 4
31
.
2
1
-
2
4
2
10
.-
5
1
4
=
9
3
3
Observamos que cuando es un producto o una división de racionales
negativos los encerramos entre paréntesis.
*
2
-
5
-
25
2
4
25
-
5
es un producto
es una resta
4
Por eso la importancia de los paréntesis en *
Resolvemos:
-
1
2
5
1
.
-
5
25
4
2
=
5
2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
150
-
2
-
5
25
4
2
=-
.
5
4
4
25
-
.
4
5
5
= -
8
20
-
125
20
Remarcamos que:
-
2
.
-
5
25
4
-
producto
2
5
-
25
4
resta
Por eso la importancia
de colocar paréntesis
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
151
=
-
133
20
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
152
10
1) Expresa la parte coloreada en forma de fracción
Figura
Fracción
Numerador
Denominador
2) Escribe tres fracciones equivalentes
3
5
4
5
7
2
3) Completa cada una de las siguientes igualdades de forma que se obtengan
ecuaciones equivalentes.
4
5
8
2
9
8
7
3
21
24
25
16
45
28
9
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
153
Resolviendo problemas:
El primero lo hacemos juntos:
María y Carmen tienen, cada una un block con 240 hojas. María
usó las dos terceras partes del suyo y Carmen las tres quintas partes.
¿Cuántas hojas usó cada una?.
80
2
2.240
160
María de 240 =
3
3
48
3
3.240
Carmen de 240 =
5
5
1
144
5) En la oficina de personal hay 30 empleados, las dos quintas partes son
mujeres y el resto hombres. ¿Cuántas mujeres hay en la oficina? Y
¿hombres?
6
2
30 .2
de 30 =
5
5
1
12 mujeres
30 – 12 =18 hombres
6) Un automovilista recorrió un camino en tres días. El primer día recorrió la
tercera parte. El segundo día las dos cuartas partes del mismo camino y el
tercer día el resto. Si el camino tenía 1200 km.
¿cuántos kilómetros recorrió el primer día?
¿cuántos kilómetros recorrió el segundo y cuantos el tercer día?
400
1
1200
400 km
1° día de 1200 =
3
3
1
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
154
6001
2
1200 .2
2° día de 1200 =
4
4
2
600 km
3° día 1200 – 600 – 400 = 200 km
RTA: a)…………………………………………b)……………….………
7)¿ Cuantos cuartos de torta hay en dos tortas?, ¿ Cuánto hay que agregar a
tres cuartos de torta para completar tres tortas?
Rta: a) 8 cuartos
1
2
5
6
3
4
7
8
b) 9 cuartos
1
2
3
6
7
4
5
8
9
8) Para festejar el cumpleaños de Adrián en la oficina compraron empanadas
de pollo, jamón y queso y carne picante. Primero comieron la mitad de las
que compraron, luego la tercera parte de las que quedaban y finalmente María
se llevo a su casa las 6 que sobraron. ¿cuántas empanadas compraron?.
x cantidad de empanadas
primero comieron
1
x
2
1
de lo que quedaba
3
1
si habían comido quedan
2
1
1
1
1 1
1
entonces de = . =
2
3
2
3 2
6
segundo
María se llevó 6
Entonces
1
1
x+ x+6=x
2
6
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
155
1
1
x- x
2
6
6 x 3 x 1x
6=
6
6=x-
36 = 2 x
18 = x
8) Para viajar a San Nicolás alquilaron un micro. Primero reservaron la
tercera parte de los asientos, luego la mitad de los que quedaban y aun
quedaron sin reservar 8 asientos. ¿Cuántos asientos tenía el micro?
…………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
156
11
1)
Pasar a número decimal:
1
4
1
4
4
3
5
16
5
3
5
3
1
8
1
3
2
2
2) Pasar a fracción:
0,2
0,1
0,125
1,25
0,750
0,50
1,50
4,50
0,6
3) Compramos 2 kilos a $ 12,75 de carne de cerdo , 4 kilos a 8,50 de cordero
y 6 kilos de papas a $ 1,25 (los precios que se indican son por kilo).¿ si
pagamos con un billete de $ 100, cuanto dinero nos devolvieron?
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………RTA.: 33
4) Fuimos al buffet del club y gastamos $ 33,18 ¿cuántos pesos debió pagar
cada uno si éramos tres personas y dividimos la cuenta en partes iguales?
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………RTA.: 11,06
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
157
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
158
Potenciación en Q
Para resolver una potencia en el conjunto de los racionales (en Q) recordamos
que la potenciación es distributiva respecto del cociente, por lo tanto ,
elevamos a lo que indica el exponente al numerador y al denominador
Elevamos por separado numerador y denominador.
2
5
=
4
52
42
Aplicamos propiedad distributiva del cociente respecto a la potenciación
2
3
32
=
2
4
=
4
2
1
-
4
3
2
-
3
=
1
16
Como es exponente es par el resultado es
positivo
16
= -
Ejemplo
s
9
8
Como es exponente es impar el resultado es
negativo
27
Observamos que representamos las mismas reglas vistas para la
potenciación que vimos para los números enteros.
(+) . (+) = (+)
(+) . (- ) = (- )
(- ) . (+) = (- )
(- ) . (- ) = (+)
-
2
3
3
= -
2
3
.
-
2
3
.-
2
3
=-
8
27
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
159
Datos
Resolver
2
1
3
2
3
4
5
1
7
Datos
3
Resolver
3
2
3
4
3
30
1
2
Resolver
2
4
3
03
2
Datos
3
3
4
3
2
2
7
2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
160
Radicación en Q
Para resolver una raíz en el conjunto de los racionales (o sea en Q),
recordamos que la radicación es distributiva respecto del cociente, es decir,
que si tenemos una fracción debajo de una raíz, podemos separarla en
dos raíces, una para el numerador y otra para el denominador.
36
36
=
25
6
=
25
Ejemplo 1
5
(o sea que extraemos la raíz cuadrada del numerador y del denominador)
Ejemplos:
a)
3
3
27
=
8
3
-
b)
27
3
27
8
=-
=
8
3
2
3
2
Cuando el radicando es negativo y el índice es impar, el resultado es
negativo (igual que en Z)
c)
5
1
32
4
d)
1
16
e)
f)
3
5
-
8
27
1
32
=
1
2
1
=
=-
=-
Otros ejemplos
2
2
3
1
2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
161
operación Resolver
operación
8
27
3
5
4
81
36
1
4
5
243
32
36
100
3
27
8
5
operación
16
81
1
4
1
32
Resolver
4
16
625
121
4
32
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
162
Resolver
Producto de potencias de igual base:
23
22
.
=
3+2
25 =2
RECORDANDO
2 . 2 . 2
2 . 2 = 5
Conclusión: en el producto de potencias de igual base se suman los
exponentes.
Con las fracciones pasa exactamente lo mismo que con los números enteros,
si se tiene la misma base se suman los exponentes.
2
2
3
2
3
2
.
.
2
3
3
3
.
2
3
.
5
2
=
3
2
3
.
2
3
5
Cociente de
Potencias de igual base
45 : 43 = 42
1 1 1
4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 42
4.4.4
1
1 1
Si observamos los exponentes: 5 - 3 = 2
Lo mismo ocurre si la base es una fracción, se restan los exponentes.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
163
4
3
4
2
=
3
:
4
2
3
Se restan los
exponentes
4
Propiedad: En el cociente de potencias de igual base se restan los
exponentes.
(22) 3 =
(2 . 2 ) 3 = 23 . 23 =
23+3 =
26
Propiedad En la potencia de potencia se multiplican los exponentes
( 25 )2
2 5 . 2=
=
210
Lo mismo ocurre con las fracciones, se multiplican los exponentes.
3
2
4
2
=
3
2
8
Se multiplican los exponentes
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
164
Propiedades de la
potenciación
Producto de potencias de
igual base
Cociente de potencias de
igual base
Potencia de potencia
Se restan los
exponentes
Se multiplican los
exponentes
Se suman los
exponentes
RADICACIÓN
Ejercicios
Combinados
Para resolver un ejercicio combinado es necesario recordar el orden de
prioridad de las operaciones, es decir:
1° efectúe las multiplicaciones y las divisiones
2° efectúe las sumas y restas.
Ejemplo 1°
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
165
1
2
3
2
4 5
.
8
15
-
1
3
1
3
=
Separamos en términos
8 - 5
15
=
1
3
15
5
En primer lugar
efectuamos el producto
5 .
4
1
- 2
3
2
- 5
6
+
+
2
7
=
2
7
=
- 35 + 12
42
=
1
5
Sacamos común
denominador para efectuar
la resta
= -
Simplificamos (en el
producto)
numerador
con
denominador
23
42
Sacamos común denominador para
efectuar la suma
En este ejercicio el paréntesis se coloca para indicar que la fracción es
negativa y que se trata de un producto de un numero positivo (5/4) por otro
2
negativo 3
¿Qué hubiera ocurrido si no estaba el paréntesis?
si no hubiera estado colocado el paréntesis hubiera quedado así:
la operación se transforma en una resta
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
166
5
4
-
2
3
el paréntesis es absolutamente necesario para indicar que se trata de un
producto entre un racional positivo y un racional negativo. Observa el
siguiente ejemplo:
5 . - 2
4
3
Es un producto
5
4
Es una resta
-
2
3
¿y si son los dos negativos y quiero realizar un producto?
Es sencillo, coloco dos paréntesis en lugar de uno solo, uno para cada numero
negativo por ejemplo.
- 2
3
.
1
5
=
2
15
Es un producto entre dos números
negativos, aplicamos la regla de los
signos. ( - ) . ( - ) = ( + )
Como es un producto entre dos números negativos hay que aplicar la regla
de los signos.
( - ) . ( - ) = (+)
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
167
Separamos en términos.
1
1
2
2
2
3
-
+
3
:
1
5
-
2
1
2
-
=
Para separar en términos tengo que tener en cuenta los signos (+) y (-) que
estén colocados fuera de los paréntesis. Por eso el primer signo (+) que
encontramos está después de ½, o sea que el primer término de este ejercicio
está formado solamente por un número que es
1
, el segundo término abarca
2
hasta el signo (-) delante del paréntesis y luego hasta finalizar, el tercer
término.
Primero se realizan las divisiones y los productos por eso en este caso se
resuelve primero el segundo termino.
2
-
3
1 = - 10
5
3
:
- 1
2
Después el tercer término
2
=
1
4
Los signos que separan los términos no se modifican hasta que se resuelvan
los mismos
Finalmente realizamos las sumas y las restas sacando el común
denominador
1
2
+- 2 :
3
1
2
+
1
2
-
1
5
- 10
3
10 3
-
-
1 =
4
- 1
2
+ 1
4
2
=
=
6 - 40 - 3
= 12
37
12
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
168
Recuerda que 6 es un número positivo, mientras que 40 y 3 son negativos : 6
– (40+3) = 6 – 43 = - 37 que es el numerador.
POR FIN , SE
TERMINÓ
OTRO
1
1
2
+ 3
4
. 5
:
1
2
- 2
3
-
=
En este caso, dentro del paréntesis se separa en términos.
3
1
y 5. A ese resultado súmele . Además
4
2
1
todo lo que encierra el paréntesis divídalo por
2
Luego realiza el producto entre
Fíjate como lo hacemos:
3
15
.5
4
4
1
2 +
15
2 + 15
17
= 4
4 =
4
17
1
2 +
2
3 =
17
+
2
2
3 =
51 + 4
6
= 4 :
=
=
55
6
Cálculos auxiliares
1
1
= 2 +
15
4
1
2
3
4 .
: 2 + 3 =
5
15
= 4
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
169
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
170
12
Resuelva los siguientes ejercicios combinados. Escriba todos los pasos
necesarios para resolverlo. Si le resulta útil, realice los cálculos auxiliares al
costado derecho de la hoja.
1)
3
27
8
36
2)
49
2
9
2
:
3
1
2
1
9
2
3
3
3)
4
20
9
5
4
5
6
20
9
1
2
4)
7
5)
8
2
6)
5
2
3
0
2
2
5
2:
4
5
1
2
7
8
4
21
2
3
3
=
2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
171
7)
1
10
3
:
5
9
10
3
2
8)
2
3
1
:
4
3
8
9)
1
2
5
.
4
8
9
10)
2
3
3
27
4
4
3
4
1
2
1
2
3
3
:
5
2
5
2 5
.
3 4
0
Algunos problemas.
1) María gastó en el supermercado
1
1°) de lo que tenía en la carnicería
4
1
2°) de lo que tenía en lácteos
5
Si tenía 125 pesos, ¿cuánto gastó en cada rubro y cuanto dinero le queda?
RTA:................................................... ........................ ..............................................
3
2) ¿Cuántos cuartos hay que agregar a 4 de pizza para tener 4 pizzas?
RTA:................................................... ........................ ..............................................
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
172
Ejercicio página 84
1)
Buscar las fracciones
equivalentes
Sumar o restar
5
20
12
20
6
4
14
6
5
4
9
6
1
4
3 17
=
5 20
1 5
45
3 4
5 4
3
2
7
3
5
4
3
2
3
2
7
3
5 6 5
4 4 4
3 3 14 9
23 6 6
1
4
23
6
2
2
2
2
5
20
12
20
17
20
1
4
23
6
Ejercicio página 86
Operación
16 15
3 12
Operación
18 15
3 24
Simplificamos
4
5
16 15
3 12
4
1
Simplificamos
18 15
9 3 245
Multiplicamos
20
3
Multiplicamos
45
12
8
4
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
173
Ejercicio página 91
1)
Figura
Fracción
5
10
Numerador
5
Denominador
10
3
6
3
6
5
8
5
8
3
5
4
5
7
2
6
10
8
10
14
4
9
15
12
15
21
6
12
20
16
20
28
8
4
5
2
9
7
3
8
10
8
36
21
9
20
25
10
45
21
9
24
30
16
72
28
12
2)
3)
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
174
Ejercicio página 97
1
1
4
0,25
4

1,33
3
0,6

1,66
5
16
5
3
5
3
3,2
1
0,5
0,2
0,1
0,125
1/5
1/10
1/8
2
1
4
0,25
1
8
0,125
3
1,5
2
2
1,25
0,750
0,50
5/4
3/4
1/2
1,50
4,50
0,6
3/2
9/2
3/5
Ejercicio página 100
Datos
Resolver
2
1
3
2
3
4
5
1
7
2
2
3
Datos
Resolver
3
1
9
3
4
9
03
0
16
25
30
1
1
343
1
2
-27
1
4
2
Datos
Resolver
2
4
3
4
3
2
7
64
27
3
3
4
3
2
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
175
16
9
64
27
4
49
Ejercicio página 101
operación Resolver
8
27
3
5
operación
2
3
4
Resolver
Resolver
16
81
2
3
81
36
9
6
3
2
1
4
0
16
625
2
5
121
4
11
2
1
4
1
2
5
243
32
36
100
6
10
3
27
8
3
2
1
32
1
5
32
-2
5
operación
4
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
176
Capítulo V
Geometría:
 Signos y símbolos.
 Conjunto de puntos: punto, recta y plano. Definición de semirrecta y
segmento. Segmentos consecutivos. Suma de segmentos.
 Ángulos, medidas de un ángulo convexos, llanos, cóncavos, consecutivos.
 Clasificación de los ángulos. Opuestos por el vértice.
 Triángulos : definición. Elementos de un triángulo. Clasificación de los
triángulos según sus lados y sus ángulos.
Signos y Símbolos
no es igual a
menor que
mayor que
no es menor que
no es mayor que
menor o igual que
mayor o igual que
perpendicular a
// paralela a
oblicua a
// no paralela a
//
igual y paralelo
en consecuencia
pertenece a
no pertenece a
determinan
y
o, en sentido inclusivo
o, en sentido exclusivo
¡QUE
INTERESANTE
!
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
177
tal que
incluido en
incluye a
incluido estrictamente o propiamente dicho
incluye estrictamente a
unión o reunión
intersección
para todo
existe por lo menos uno
implica (condición necesaria)
implica doblemente; si sólo si(condición necesaria
Alfabet
y suficiente)
o griego
corresponde unívocamente
corresponde biunívocamente
conjunto vacío
alfa
eta
nu
tau
beta
gamma
delta
épsilon
zeta
theta
iota
kappa
lambda
mu
xi
ómicron
pi
rho
sigma
ípsilon
phi
ji o chi
psi
omega
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
178
Antes de comenzar a trabajar nos pondremos de acuerdo en la
notación que utilizaremos, es decir cuando veamos un símbolo
sabremos lo que representa
A los puntos los designaremos mediante letras mayúsculas de
imprenta.
Por ejemplo: A , B
A las rectas con letras minúsculas de imprenta.
Por ejemplo:
a
b
- A los planos mediante letras del alfabeto griego. Por ejemplo:
A las semirrectas con dos letras mayúsculas de imprenta y una
flecha sobre las mismas. Por ejemplo: AB .
A los segmentos con dos letras mayúsculas de imprenta y un guión
sobre las mismas. Por ejemplo: AB .
La geometría que estudiaremos será la llamada geometría
Euclídea, en honor a Euclides
EUCLIDES
Euclides es, sin lugar a dudas, el Matemático
más famoso de la antigüedad y quizás el más
nombrado y conocido de la historia de las
Matemáticas.
Se conoce poco de la vida de Euclides, sin
embargo, su obra sí es ampliamente conocida.
Todo lo que sabemos de su vida nos ha
llegado a través de los comentarios de un
historiador griego llamado Proclo. Sabemos
que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer en
torno al año 300 a.c. Allí fundó una escuela
de estudios matemáticos. Por otra parte
también se dice que estudió en la escuela
fundada por Platón.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
179
Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de "Los
Elementos", cuyo contenido se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando
hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las geometrías no euclídeas.
"Los Elementos" ha tenido más de 1.000 ediciones desde su primera publicación en
imprenta en 1482. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más
leído de la historia.
Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la
sistematización, el orden y la argumentación con la que está constituida. Euclides recopila,
ordena y argumenta los conocimientos geométrico-matemáticos de su época, que ya eran
muchos.
Euclides construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o
propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se
deduce todo lo demás) que Euclides llamó postulados. Los famosos cinco postulados de
Euclides, que ofrecemos a continuación, son:
Ahora enunciamos los axiomas o postulados que relacionan los entes elementales. Se
denominan axiomas o postulados porque al ser tan evidentes no necesitan demostración
Axioma 1: Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.
Axioma 2: Por un punto pasan infinitas rectas.
a
b
c
A
d
e
f
g
Axioma 3: Dos puntos determinan una única recta a la cual pertenecen.
Axioma 4: por una recta pasan infinitos planos.
Un ejemplo concreto de este axioma lo constituyen las puertas giratorias de
los bancos compuestas de un eje fijo (la recta r) y de las hojas que giran
alrededor de él (los planos).
r
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
180
lenguaje simbólico
r
; r
r
lenguaje coloquial
La recta r está incluida en el plano alfa, la recta r está incluida en el plano beta
y la recta r está incluida en el plano delta.
Axioma 5:
Por tres puntos no alineados pasa un único plano al cual pertenecen .
A
x
lenguaje
simbólico
A; B C
xB
lenguaje coloquial
El punto A, B, y C determinan el
plano alfa.
xC
Semirrecta
Si sobre una recta marcamos un punto P, la recta quedará dividida en
dos partes que llamaremos semirrecta. En realidad quedan dos
semirrectas pero para poder diferenciar a cual de las dos semirrectas nos
referimos señalamos otros dos puntos ( P y O ) de la siguiente manera:
r
P
O
Matemática
1º año - CENS Nº 451 – AnexoR
Universidad Tecnológica Nacional
181
PR es la semirrecta de origen P que contiene al punto R
PO es la semirrecta de origen P que contiene al punto O
El punto R y el punto O le dan el sentido a las semirrectas.
La semirrecta PR tiene sentido hacia la derecha de la hoja mientras que la
semirrecta PO tiene sentido hacia la izquierda de la hoja.
PR y PO son semirrectas opuestas: porque están sobre la misma recta r, tienen
el mismo origen P y distinto sentido.
La semirrecta es un conjunto de puntos que tiene origen pero no tiene fin.
Otro ejemplo:
P
0
OP es la semirrecta de origen O que contiene al punto P
Vamos a marcar el conjunto de puntos que abarca dicha semirrecta.
P
0
¿Por qué marcamos más allá del punto P; acaso la semirrecta no termina en el
punto P?
No, el punto P solo determina el sentido de la semirrecta, pero esto no
significa que la semirrecta finalice en el punto P.
Quiere decir que la semirrecta OP empieza en el punto O y no tiene fin.
Exactamente, el punto P solo me determina el sentido si es a la derecha o a la
izquierda, te doy otro ejemplo:
OQ: Semirrecta de origen O que contiene al punto Q
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad O
Tecnológica Nacional
Q
182
Segmento
Dada una recta r y dos puntos P y Q pertenecientes a ella, hallamos
gráficamente la intersección entre las semirrectas PQ y QP
r
P
Q
Obtenemos una porción de la recta que está rayada por ambos trazos, es
decir que es común a ambas semirrectas, dicha porción común la
denominamos segmento PQ .
Un segmento es un conjunto de puntos que tiene origen y fin.
En el segmento PQ ; P y Q son los extremos del segmento.
Con las rectas, semirrectas y segmentos podemos efectuar operaciones, ya que
se trata de conjuntos de puntos, por lo tanto podemos efectuar operaciones de
unión y de intersección.
Segmentos
Consecutivos
Si tomamos un metro de madera y lo estiramos, nos damos cuenta que está
formado por varias varillas unidas entre sí por remaches, cada
una de estas varillas representa un segmento que está unido al
anterior por el remache, que es lo único que tienen en común.
Llamamos segmentos consecutivos a aquellos que tienen
solamente un extremo común.
Si están sobre una recta, se dice que están alineados.
A
B
C
D
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
183
Cuando no están alineados se dice que forman una poligonal.
E
B
C
A
D
Dadas las siguientes figuras nombrar pares de segmentos consecutivos y no
consecutivos.
B
C
A
ABy BC
son segmentos consecutivos
ED y DC son segmentos consecutivos
AB yCD no son segmentos consecutivos
D
E
C
AE y BC no son segmentos consecutivos
D
B
F
H
O
M
P
W V
S
U
T
X
E
A
N
G
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
184
Q
R
Segmentos
Segmentos no
Segmentos
Segmentos no
consecutivos
consecutivos
consecutivos
consecutivos
CO, DE
CD, EF
MN, NO
MN, PQ
EF, FG
FG, CD
OP, PQ
XM ,VU
AH , HG
BC, HG
RS, ST
UT, XM
Posiciones relativas a dos rectas en el plano:
Dos rectas que se cortan en el plano se dice que son secantes.
b
a y b son
secantes
a
Dos rectas que se cortan formando cuatro ángulos iguales son
perpendiculares
b
a
b Se lee: “la recta a es
perpendicular a la recta b”
a
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
185
Rectas paralelas
Dos rectas en el plano son paralelas cuando no tienen ningún punto en común,
es decir, cuando no se cortan o bien cuando tienen todos sus puntos en
común. (esto es difícil de comprender, pero igual lo mencionamos, mas
adelante nos interiorizaremos en ello)
o
lenguaje simbólico
a
b
a
b =
lenguaje coloquial
La recta a es paralela a la recta b sí
y solo sí a intersección b es igual al
conjunto vacío.
a
b
Observen los puntos, esta figura se llama trama. Dibujen en ella con distintos
colores 2 rectas paralelas, 2 rectas perpendiculares y 2 rectas oblicuas
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
186
Ángulos
Dos rectas que se intersecan determinan cuatro regiones,
llamaremos ángulos.
a las que
Elementos de un ángulo
A
O
B
Todo ángulo convexo puede ser designado con tres letras mayúsculas,
ubicando en el centro, el vértice del ángulo o bien con una letra del alfabeto
griego. Por ejemplo el ángulo dibujado anteriormente se designa AO B siendo
O el vértice del ángulo.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Convexos
Agudo
menores de
90º
Matemática 1º año
Recto
igual a 90º
Obtuso
mayores de 90º
- CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
187
Ángulo Cóncavo
Son mayores son mayores a 180º
O
Ángulos especiales:
Angulo nulo: es el que mide o°
Angulo llano: es el que mide 180°
Observen detenidamente las regiones punteadas, se llaman tramas. La
primera es una trama triangular y la segunda es una trama cuadrada:
Utilizando como vértices los puntitos de cada una dibujen en ambas:
1) un ángulo cóncavo ( ˆ ) 2) un ángulo convexo ( ˆ ) 3) un ángulo llano.
( ˆ)
4) un ángulo recto. ( ˆ ) 5) un ángulo obtuso. ( ˆ ) 6) un
ángulo agudo. ( ˆ )
1)
2)
CÓNCAVO 0°<( ˆ )<180°
CONVEXO ˆ >180°
( ˆ ) = 0°
nulo
0°<( ˆ )<90°
agudo
( ˆ ) = 90°
recto
90°<( ˆ )<180° obtuso
( ˆ )= 180°
llano
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
188
Ángulos consecutivos
Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común.
Si tienen un lado en común significa que tienen el mismo vértice. (En este
ejemplo el vértice es el punto 0).
A
AOB y BOC son
ángulos consecutivos
0
B
C
Dado el siguiente gráfico,
nombraremos algunos pares de
ángulos consecutivos y algunos no consecutivos.
A
0
AOB y BOC son consecutivos
B
BOC Y COD son consecutivos
C
AOB y COD no son consecutivos
D
Medida de un Ángulo
La medida de un ángulo es un número que nos permite comparar la
amplitud de ese ángulo con la amplitud de otro que consideramos como
unidad consideramos como unidad la amplitud de una vuelta completa.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
189
En el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta completa es igual a 360º.
Si dividimos un ángulo de un giro en 360 partes de igual medida, cada una de
ellas es un ángulo de un grado sexagesimal. Se simboliza:1º
Si dividimos un ángulo de 1º en 60 partes de igual medida obtenemos un
ángulo de un minuto sexagesimal.
Se simboliza 1´ y se cumple que 1º = 60´ (un grado es igual a sesenta
minutos).
Y si hacemos lo mismo con un ángulo de 1´ obtenemos uno de un segundo
sexagesimal. Se simboliza 1” y se cumple que 1´= 60”. Este sistema de
medición de ángulos se llama sistema sexagesimal.
Para medir ángulos se debe utilizar un instrumento llamado
transportador; que consiste en un semicírculo graduado dividido en 180
partes, cada una de las cuales corresponde al ángulo central de un grado.
La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema
sexagesimal. Analicemos el siguiente problema:
Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos
una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón
en 2 h 48' 35"; el segundo día, en 2h 45' 30". ¿Cuanto tiempo corrió Luis en
ambos días?
Si sumamos por separado las horas, los minutos y los segundos, resulta:
2h 48' 35"
+ 2h 45' 30"
4h 93' 65"
Pero 65 segundos equivalen a 1 minuto (60 segundos) y 5 segundos, luego la
suma se puede escribir así:
4h 94' 5"
De la misma forma, 94' equivalen a 1 hora y 34 minutos. Luego la suma es:
5h 34' 5"
Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
190
Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
En la primera carrera un compañero de Luis corrió la maratón en 3 horas
exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?
Debemos hacer la siguiente operación:
3h 0' 0"
- 2h 48' 35"
Igual que en la suma, deberíamos restar por separado las horas los minutos y
los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35 (segundos) ni 0-48
(minutos). Para conseguirlo transformamos una hora en 60 minutos y un
minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 horas se convierten en 2h 59' 60".
2h 59' 60"
- 2h 48' 35"
0h 11' 25"
Multiplicación de un ángulo por un
número natural.
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese
número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si
alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo
transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.
18º 26' 35"
X 3
54º 78' 105"
Pero 105" = 1' 45", luego
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
191
54º 79' 45"
Pero 79' = 1º 19', luego
55º 19' 45"
18°25´36”
+
45°25´30”
....................................
....................................
....................................
....................................
RTA.:
45°25´30”
18°30´36”
....................................
....................................
....................................
....................................
RTA.:
26°16´52”
x2
....................................
....................................
....................................
....................................
RTA.:
Bisectriz de un ángulo
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta interior con origen en el
vértice del ángulo que lo divide en dos partes congruentes (es decir iguales).
A
OR bisectriz del AO C
= AO R = R O C
Se lee: El ángulo A O R es congruente al
ángulo R O C .( En geometría se habla de
0
R
congruencia entre dos
figuras, no de
igualdad).
C
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
192
Ejemplo:
Dado el ángulo
bisectriz OR ;
1
que mide 60º, si trazamos
mide 30º y
2
también mide 30º.
1
O
2
R
su
Ángulos complementarios y
suplementarios
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de ambos es igual a un
recto.
y
son complementarios
+
= 90º
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de ambos es igual a un llano.
y
Si
son suplementarios
por ejemplo vale 50º y
entonces
y
+
= 180º
es igual a 40º, entre los dos suman 90º,
se dicen complementarios
Claro, siempre que la suma de los dos sea igual a 90º se dicen que son
complementarios y si
es igual a 120º y
suplementarios porque la suma es 180º.
es igual a 60º se dice que son
Ángulos adyacentes
Dos ángulos que son consecutivos y suplementarios se llaman ángulos
adyacentes
b
c
o
a
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
193
ob lado común, oc y oa semirrectas opuestas
+
y
son adyacentes
= 180º
Ángulos opuestos por el vértice
Se llaman así los ángulos que tienen el vertice común y sus lados son
semirrectas opuestas
y
son ángulos opuestos por el vértice
A
D
y
también lo son.
B
C
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
194
13
1 )Observen cada reloj y determinen que tipo de ángulo determinan las agujas
2)Clasifiquen los ángulos de las siguientes figuras
(ˆ )
...........................................( ˆ )................................
( ˆ ) ..........................
( ˆ )............................................( ˆ ) ...............................( ˆ )...........................
( ˆ ) ............................................ ( ˆ ) ................................. ( ˆ ) ..........................
3) Hallen la medida de
a) ˆ = 53° 23 35” y
ˆ
y
ˆ
sabiendo que:
ˆ
son suplementarios.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
195
.......................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.........................................................................................................
b)
ˆ
= 37° 43 21” y
ˆ
y
ˆ
son complementarios.
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.................................................................................................
4) Hallen la medida de los ángulos.
ˆ = 86° 41
= 23° 54 36”
ˆ
= 126° 38 42”
ˆ =ˆ
ˆ = 27° 34 18”
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
196
58”
Ejercicio página 126
1)
2)
llano
obtuso
recto
llano
agudo
agudo
obtuso
obtuso
recto
obtuso
agudo
agudo
Ejercicio página 130
18°25´36”
+
45°25´30”
....................................
....................................
....................................
....................................
RTA.: 63°51´6”
45°25´30”
18°30´36”
....................................
....................................
....................................
....................................
RTA.: 26°54´54”
26°16´52”
x2
....................................
....................................
....................................
....................................
RTA.: 52°29´44”
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
197
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
198
Triángulos
Un triángulo es un polígono convexo.
Los tres segmentos que forman los bordes son los lados.
Los tres puntos que comparten los lados dos a dos son los vértices.
Las tres regiones interiores que se forman al cortarse cada par de lados son
los ángulos interiores.
Si se prolongan los lados , los ángulos adyacentes a los ángulos interiores son
los ángulos exteriores.
ab
b
bc
ca
a, b, c vértices
a
b
c
a
aˆ
bˆ
Ángulos
Internos
cˆ
ángulos externos
c
.
Según la longitud de sus lados los triángulos se clasifican en :
Triángulos equiláteros
Triángulos isósceles
Triángulos escalenos
Tres lados iguales y
Dos lados iguales y
Tres lados distintos y
tres ángulos iguales.
dos ángulos iguales
tres ángulos distintos.
b
a
b
c
Según la ángulos los triángulos se clasifican en :
Triángulos acutángulos
Tres ángulos agudos
.
b
c
a
a
Triángulos rectángulos
Un ángulo recto
c
Triángulos obtusángulos
Un ángulo obtuso
amplitud de sus
a
c
a
c
b
c
a
b
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
199
b
Completen las siguientes tablas: (la medida de los lados está en cm).
Lean previamente la página 60
Si se sabe que la suma de los ángulos interiores es de 180°
Triángulo
~
Angulo Â
Angulo B
53 °
123°
90°
60°
32°
28°
1
2
3
4
5
Angulo Ĉ
Clasificación de
acuerdo a la
amplitud de sus
ángulos
16°
45°
60°
108°
Si se sabe que el perímetro de un triángulo es la suma de las medidas de los
lados.
Triangulo
1
2
3
Lado
AB
10
21
24
a)
Lado BC Lado CA Perímetro Clasificación de
Acuerdo a la
longitud de sus
lados
8
8
21
65
15
82
Identifiquen y anoten cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas:
1- Si un triángulo es equilátero, también es isósceles.
2- Todo triángulo isósceles es equilátero.
Matemática 1º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional
200
3- Un triángulo obtusángulo puede ser isósceles.
4- Un triángulo equilátero puede ser rectángulo.
5- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son siempre
complementarios.
Un triángulo escaleno puede ser rectángulo.
Relaciones entre los ángulos de un triángulo
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º
+
+ = 180º
Si pudiéramos recortar un triángulo y de cada vértice recortar el ángulo y
pegarlos uno a continuación del otro podríamos observar que nos queda
determinado un ángulo llano.
Dibujen un triángulo cualquiera.
Marquen los ángulos interiores con color.
Dividan el triángulo en 3
Dispongan esas partes de forma que en cada una quede un ángulo.
.
Trate de hacerlo con papel y tijera recortando los ángulos del triángulo y
pegándolos uno a continuación del otro.
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Esta propiedad nos permite calcular los ángulos interiores de un
de la siguiente forma.
Verificamos que la suma de los ángulos interiores es igual a 180°
triángulo
La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es
igual a 180°
Supongamos que nos dan un triángulo isósceles y nos dicen que el ángulo
desigual mide 40º es decir:
B
Como se trata de un triángulo
isósceles
Tiene 2 lados congruentes (iguales)
A = C y también 2 ángulos congruentes
A
A
C
C
Y el ángulo desigual B = 40º
A +B +C =180º
A + C + 40º = 180º
(Remplazamos el dato B = 40º)
A + C = 180º - 40º
A + C = 140º
Pero como A = C
A = 140º: 2
A = 70º
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Ejercicio página 137
Triángulo
Angulo B
53 °
123°
90°
60°
32°
28°
41°
45°
60°
40°
1
2
3
4
5
Triangulo
1
2
3
~
Angulo Â
Lado
AB
10
21
24
Angulo Ĉ
99°
16°
45°
60°
108°
Lado BC Lado CA Perímetro
8
23
15
8
21
43
26
65
82
Clasificación de
acuerdo a la
amplitud de sus
ángulos
Obtusángulo
Acutángulo
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
Clasificación de
Acuerdo a la longitud
de sus lados
Isósceles
Isósceles
Escaleno
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14
2)
1)
1)Observen detenidamente las regiones punteadas. Utilizando como vértices
los puntitos de cada trama.
dibujen en caso de ser posible: ( los lados y ángulos iguales con el
mismo color )
1. un triángulo que tenga los tres lados iguales.
2. Un triángulo que tenga dos lados iguales.
3. Un triángulo que tenga los tres lados desiguales.
4. Marquen con color los ángulos interiores.
5. Un triangulo rectángulo isósceles.
6. Un triangulo obtusángulo.
7. Un triangulo acutángulo escaleno
2) Lean atentamente e indiquen si son verdaderas o falsas las siguientes
afirmaciones, justificando en cada caso:
a) Todos los triángulos isósceles son equiláteros.
..................................................................................................................
b) Algunos triángulos equiláteros son isósceles
..................................................................................................................
c) Ningún triángulo rectángulo es equilátero
..................................................................................................................
d) Ningún triángulo obtusángulo es isósceles.
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..................................................................................................................
e) A veces los triángulos rectángulos son isósceles.
.................................................................................................................
3) Observen atentamente la siguiente tabla y completen justificando en cada
caso con un gráfico que cumpla las condiciones. De no ser posible
indiquen por que.
TRIANGULO
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
ACUTÁNGULO
OBTUSÁNGULO
RECTÁNGULO
4) Dado el siguiente dibujo , completen el cuadro.
A
B
C
D
E
5) Si el ángulo = 70º ¿Cuál es su complemento? ¿Y su suplemento?
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.................................................................................................................
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6) Calculen la medida del AMB, sabiendo que MO es bisectriz de AMB y que
A AM O O = 4 X – 29º y O M B = x + 19º
A
M
O
B
Resolvemos juntos
AM O es igual a O M B por su bisectriz entonces
AM O = AM O
4 x – 29° = x + 19°
3 X = 48°
x
48
3
x = 16°
Reemplazamos y AM O = 4 . 16° - 29
= 64° - 28°
AM O =35°
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7) Calcular los ángulos señalados con números:
C
a) 7 x – 11º
D
2 2 x + 17º
B
1
B es bisectriz de CDM
M
Este es igual que el anterior
¡Ánimo!
Determina la medida de todos los ángulos
Ayuda es el opuesto por el vértice con
25°
5 x - 18 º
1
3 x + 34 º
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D
8) Clasifique cada triángulo de acuerdo a los datos.
60º
100º
45º
60º
3 lados distintos
..................................
......
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