UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES
Departamento: Matemática
Carrera: Licenciatura en Física
ASIGNATURA: ANÁLISIS MATEMÁTICO IV
Código: 2240
Profesora Responsable: Mg. Adriana María González
Año Académico: 2010
Régimen de la Asignatura:
1. Régimen de Regularidad: Examen Parcial (Recuperatorio) y Seminario
2. Régimen de Promoción: No hay
Asignación de Horas Semanales: 8
Examen Parcial: Escrito, se evalúa la parte práctica de la materia
Seminario: Oral, se evalúan las partes teórica y práctica de los temas detallados más adelante
Examen Final: Escrito, se evalúa la parte teórica de la materia
OBJETIVOS PROPUESTOS
1) Lograr que los alumnos apliquen correctamente los conocimientos adquiridos en materias
previas destacando las diferencias y similitudes que aparecen en el estudio de las funciones
complejas de una variable compleja respecto a las funciones por ellos conocidas.
2) Lograr que los estudiantes comprendan el desarrollo lógico de algunas partes de la teoría
clásica que son importantes por sus aplicaciones.
3) Lograr que los alumnos aprendan a valorar la importancia del rigor matemático junto a las
aplicaciones, incluyendo el uso de la teoría de los residuos y de las integrales curvilíneas en el
cálculo de integrales reales.
4) Iniciar a los estudiantes en el conocimiento de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias uno
de los campos de mayor aplicación de la Matemática .
5) Preparar a los alumnos para proseguir estudios con mayor especialización.
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE
Unidad I: Números Complejos
Definición. Operaciones fundamentales. Propiedades. Representación geométrica. Ejemplos.
Conjugados y Valores absolutos. Desigualdades. Forma polar. Interpretación geométrica de las
operaciones fundamentales. Ejemplos. Potencias enteras. Teorema de De Moivre. Raíces
n-ésimas. Potencias racionales. Ejemplos.
Unidad II: Funciones de una Variable Compleja
Conceptos preliminares: entorno, punto de acumulación, punto interior, punto frontera, región,
región abierta, región acotada, región cerrada, región conexa, dominio, ejemplos. Funciones
complejas de una variable compleja: definición, dominio de definición, imagen, uniformidad,
representación geométrica, ejemplos, límite, unicidad del límite, relación entre límite de una
función compleja de una variable compleja y límite de una función real de dos variables reales,
propiedades sobre límites, ejemplos, continuidad, propiedades y relaciones fundamentales,
ejemplos, derivación, relación entre continuidad y derivación, reglas básicas de derivación,
ecuaciones de Cauchy-Riemann, condición necesaria (suficiente) para que una función sea
derivable en un punto de su dominio, ejemplos, función analítica, función entera, punto singular,
condiciones necesarias (suficientes) para que una función sea analítica en un punto de su
dominio, ejemplos, función armónica, funciones armónicas conjugadas, ejemplos.
Unidad III: Funciones Elementales
Función Exponencial: definición, propiedades, identidades, periodicidad, ejemplos. Funciones
Trigonométricas: definición, propiedades, identidades, periodicidad, diferencias notables
respecto a las funciones trigonométricas reales, ceros, ejemplos. Funciones Hiperbólicas:
definición, propiedades, identidades, relaciones con las funciones trigonométricas, ceros,
ejemplos. Función Logarítmica: definición, propiedades, ramas, punto de ramificación, corte de
rama, identidades, ejemplos. Función Potencial: definición, propiedades, ramas, potencias
complejas, ejemplos. Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas Inversas: definición,
propiedades, ramas, ejemplos.
Unidad IV: Transformaciones mediante Funciones Elementales
Estudio de Transformaciones mediante Funciones Lineales, Potenciales, Bilineales e
Irracionales. Ejemplos. Las funciones w = 1/z, w = exp z y w = sen z. El Punto del Infinito.
Ejemplos. Transformaciones mediante Funciones Trigonométricas. Ejemplos. Transformaciones Sucesivas mediante Funciones Elementales. Ejemplos.
Unidad V: Integrales Curvilíneas
Integral definida de una función compleja de una variable real. Curva de Jordan. Contorno.
Contorno cerrado. Integral curvilínea de una función compleja de una variable compleja.
Propiedades. Ejemplos. Teorema de Cauchy-Goursat. Dominios simple y multiplemente
conexos. Extensión del Teorema de Cauchy-Goursat a ciertos dominios multiplemente
conexos. Integrales indefinidas. Fórmula Integral de Cauchy. Fórmulas Integrales para
Derivadas de Funciones Analíticas. Ejemplos. Derivadas de funciones analíticas. Teorema de
Morera. Módulo máximo de funciones. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental del
Álgebra. Ejemplos.
Unidad VI: Series de Potencias
Teorema de Taylor. Series de Taylor y de Maclaurin. Ejemplos. Desarrollo de Laurent.
Propiedades fundamentales de las series infinitas de números complejos. Convergencia
absoluta y uniforme de series de potencias. Círculo de Convergencia. Ejemplos. Continuidad,
derivación e integración de series de potencias. Unicidad de la representación de una función
en este tipo de series. Operaciones. Ejemplos. Ceros de funciones analíticas.
Unidad VII: Residuos y Polos
Residuos. Teorema de los Residuos. Ejemplos. Polos. Singularidad esencial. Métodos para
calcular residuos. Aplicación de las integrales curvilíneas y de la teoría de residuos para
calcular integrales reales impropias e integrales definidas de funciones trigonométricas.
Ejemplos. Método para calcular integrales reales alrededor de un punto de ramificación.
Ejemplos.
Seminario I: Series de Fourier
Conceptos preliminares: función par, función impar, función periódica, función casi-continua,
producto interior de dos funciones, norma de una función, funciones ortogonales, funciones
ortonormales, conjunto ortogonal de funciones, conjunto ortonormal de funciones, ejemplos.
Series Trigonométricas: Aproximación n-ésima de Fourier de una función definida sobre
[-  ,  ], Serie de Fourier de una función definida sobre [-  ,  ], convergencia de dicha serie,
Coeficientes de Fourier de una función definida sobre [-  ,  ], ejemplos, desarrollo de Fourier
de una función definida sobre un intervalo simétrico, desarrollo de Fourier de una función
definida sobre un intervalo cualquiera, desarrollo de Fourier en senos o en cosenos, ejemplos.
Seminario II: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Conceptos preliminares: clasificación, terminología y notación, orden, solución, condición inicial
y problema de valores iniciales. Ecuaciones diferenciales separables de primer orden.
Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden. Ejemplos. Ecuaciones diferenciales
exactas de primer orden. Factores integrantes. Ejemplos. Ecuaciones diferenciales lineales de
primer y segundo orden con coeficientes constantes. El Wronskiano. Método de variación de
parámetros. Método de los coeficientes indeterminados. Ejemplos.
FORMAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE
En las Clases de esta Asignatura se trata de fomentar la participación de todos los
estudiantes en los desarrollos teórico-prácticos. Ello sucede especialmente durante los
Seminarios cuyos temas son expuestos en forma grupal por los alumnos guiados por la
Profesora Responsable de la Materia.
Se resuelven guías de Trabajos Prácticos que contienen Ejercicios y Problemas muy
relacionados con los conceptos teóricos impartidos para afianzar los conocimientos adquiridos.
Existen Horas de Consulta donde los estudiantes pueden resolver sus dudas en forma
individual o grupal.
TRABAJOS PRÁCTICOS
Las guías de Trabajos Prácticos son 9 (nueve) y se corresponden con cada una de las
Unidades y los Seminarios mencionados.
BIBLIOGRAFÍA
Advanced Engineering Mathematics de E. Kreyszig. Editorial John Wiley & Sons. Estados
Unidos (1993).
Complex Variables with Applications de David Wunsch. Addison-Wesley - Series in
Mathematics. U. S. A. (1983).
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas de M. R. Spiegel. Editorial Prentice Hall
Hispanoamericana. México (1983).
Ecuaciones Diferenciales (con Aplicaciones de Modelado) de D. G. Zill. International Thomson
Editores. México (1997).
Ecuaciones Diferenciales (con Aplicaciones y Notas Históricas) de G. F. Simmons. Editorial
McGraw Hill Interamericana. España (1993).
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (con Métodos de Variable Compleja y de
Transformaciones Integrales) de Hans Weinberger. Editorial Reverté. España (1970).
Ecuaciones Diferenciales. Problemas Lineales y Aplicaciones de F. Marcellán, L. Casasús y A.
Zarzo. Editorial McGraw-Hill Interamericana. España (1990).
Funciones de Variable Compleja de César Trejo. Colección Harper. México (1974).
Variable Compleja de Arthur Hauser. Editorial Fondo Educativo Interamericano. Colombia
(1973).
Variable Compleja y Aplicaciones de Ruel Churchill y James Ward Brown. Editorial McGraw-Hill
Interamericana. España (1998).
Mg. Adriana María González