Complejos 2002

1
CUARTO AÑO PLAN COMÚN
PRIMERA UNIDAD :
NÚMEROS.
PROFESOR ENCARGADO : GEORG STÜCKRATH M.
2
COLEGIO SAN MATEO
OSORNO.
SECTOR DE FORMACIÓN
ÁREA TEMÁTICA
CURSO
PROFESOR
UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
TIEMPO
FECHA INICIO
FECHA TÉRMINO
:
:
:
:
:
:
:
:
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
CUARTO AÑO MEDIO.PL COMÚN.
GEORG STÜCKRATH M.
NÚMEROS COMPLEJOS
16 HORAS
PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA
ALUMNO : _________________________________________
LOGROS :
Los alumnos :







Reconocen la utilidad de las diferentes clases de números para ordenar, expresar
códigos, aproximar y estimar medidas.
Entienden las sucesivas ampliaciones que experimentan los conjuntos numéricos para
dar solución a las necesidades planteadas por el ser humano.
Deducen y aplican las definiciones axiomáticas de adición y multiplicación de los
números complejos expresados como pares ordenados.
Saben representar gráficamente los números complejos.
Incorporan al lenguaje habitual la expresión con distintas clases de números para
comunicar los hechos de forma más completa y precisa.
Conocen las diferentes potencias de la unidad imaginaria i y aplicarlas a la obtención de
raíces de segundo grado que no posean solución en R.
Adquieren destrezas prácticas relacionadas con el cálculo aritmético.
ACTIVIDADES SUGERIDAS:
Realizan una investigación sobre las diversas clases de números de acuerdo a las
necesidades presentadas.
Resuelven ejercicios para determinar la necesidad de crear nuevos números.
Analizan las operatorias con números complejos expresados como pares ordenados.
Amplían sucesivamente los conjuntos numéricos justificando las necesidades planteadas por
el ser humano.
Aplicación en las diferentes definiciones axiomáticas de adición y multiplicación de números
complejos.
Grafican las operaciones con números complejos.
Conocimiento y aplicación de las diferentes potencias de la unidad imaginaria i.
Tenacidad en la búsqueda de soluciones a los problemas con diferentes tipos de números.
Confianza en encontrar procedimientos y estrategias para resolver y solucionar problemas.
Consultan libros :
Matemática Ed. Arrayán 4º año
3
Matemática Ed. Santillana 4º año
Texto San Mateo
Fundamentos de Matemática Moderna Colección Schaum
Lo que voy a hacer
NOCIONES :
Definición de número complejo como par
ordenado.
Representación gráfica de un número complejo.
Igualdad de números complejos.
Complejo conjugado.
Ponderación de un número complejo.
Adición de números complejos.
Propiedades de la adición en los números
complejos.
Complejo nulo y complejo. Inverso aditivo.
Multiplicación de números complejos.
Propiedades de la multiplicación en los números
complejos
División de números complejos
Propiedad distributiva del producto sobre la
suma de complejos
Potencias de la unidad imaginaria i.
Forma canónica o estandarizada de un número
complejo
Operatoria de complejos en su forma binómica.
Conjugado de un número complejo. Propiedades y
utilidad.
Módulo de un número complejo. Interpretación
gráfica.
Propiedades generales de los números complejos.
Inicio
Térmi
no
Aprendido
Indicaciones
4
CUARTO MEDIO (PLAN COMÚN)
TEXTO UNIDAD Nº 1 :
“NÚMEROS COMPLEJOS”
COLEGIO SAN MATEO
Área de Matemática
Prof.encargado : Georg Stückrath M
El CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.
El gran matemático griego Diofanto (275 D.C.) trató de construir un
triángulo rectángulo con una cuerda de doce nudos a igual distancia uno de
los otros, y que su área fuera igual a 7 unidades cuadradas. Como el área
14
tenía que ser igual a 7 , si el cateto medía x el otro mediría
. Por
x
14
tanto , los lados tendrían que medir x ,
,y h.
x
Teniendo en cuenta que el perímetro debía ser doce unidades y que
por ser rectángulo debía verificarse el teorema de Pitágoras , Diofanto
llegó a la solución :
x =
32 
- 167
12
=
32 
167
12

- 1
Pero Diofanto no conocía ningún número real que elevado al cuadrado fuese igual
a - 1 , por tanto , el problema no tenía solución .
Posteriormente reaparecieron en el siglo XVI. Fueron introducidos
por primera vez por los matemáticos italianos Tartaglia , Cardano ,
Ferrari , Bombelli. Se les consideraba como números espurios o irreales,
y de allí su denominación de “imaginarios”.
Durante mucho tiempo fueron
matemáticos , que creían ver en ellos
inquietaba a tal punto que a fines
definía como “un admirable y delicado
anfibio entre el ser y el no ser “.
acogidos con hostilidad por los
algo místico y esotérico que les
del siglo XVII , Leibniz
los
refugio del espíritu divino , algo
Gauss desarrolló el álgebra de los Números Complejos, dándole en
1832 su actual denominación de NUMERO COMPLEJO . Hamilton, en
1840, le dió un perfeccionamiento definitivo, cuando consiguió definirlos
como pares ordenados de números reales.
I. NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA DE PAR ORDENADO.
5
DEFINICION : Se llama número complejo a todo PAR ORDENADO DE
NUMEROS
REALES. Es decir a una expresión de la forma :
z = (a , b)
Si
z = (a , b)
, entonces
con a , b  IR
a = Re (z) = parte real del complejo “z”
b = Im (z) = parte imaginaria del complejo “z”.
Se desprende de esto que nuestro universo es  x  o 2 , y que
llamaremos C.
Ejemplo :
 1  3
(-4 , 3) , (0 , 5) ,  ,
 ,
2
5 

3 , 2

son números
complejos.
REPRESENTACION GRAFICA DE UN NUMERO COMPLEJO.
Como un par ordenado de números reales se puede representar en un sistema
de ejes cartesianos, se dice que los números complejos también tienen una
representación gráfica de la misma forma .
Ejemplo : Los números complejos (4 , 6) y (-3 , 2) quedan :
y
(-3 , 2)
6 -------------  (4 , 6)
5
4
3
2

1
-3 -2 -1
1 2 3 4
x
IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS :
Sean
z1 = (a , b)
y
z 1 = z2
Ejemplo :
z2 = (c , d) dos números complejos, entonces :
 a=c
y
b=d
(x,y) = (-2 ,7) entonces x = -2
ACTIVIDAD : Encuentra el valor de x y de
1. (3 , x) = (3 , 5)
3. (x + 3 , 2y) = (y , 2 + x)
5. (1 , 9x-5) = (72x-9 , 27)
e y = 7
y en los siguientes casos :
2. (x , 3) = (2 , 5)
4. (x2 - 5x + 6 , 6) = ( 0 , 6)
6. 3x + 2y = (6 , [2 + y] )
6
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.
Los números complejos pueden ser :
Complejos Reales : Tienen la forma (a , 0) , es decir la segunda componente
del par ordenado es cero.
Complejos imaginarios puros :Tienen la forma (0 , b) , es decir la primera
componente es cero.
CONCLUSIONES :
CIR = { (a,0) / a IR }
0  (0,0)
CI = { (0,b) / b  IR }
1  (1,0)
i  (0,1)
es el conjunto de los números reales
es el complejo neutro para la adición
es el conjunto de los números imaginarios.
es el complejo neutro para la multiplicación
es la unidad imaginaria
¿Cuál es el único número que es a la vez un complejo real y un complejo
imaginario ?.
¿Cuál es el lugar geométrico de los complejos reales ?
¿Cuál es el lugar geométrico de los complejos imaginarios ?
¿Cómo se representa el complejo cero ?
OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS.
ADICION DE NUMEROS COMPLEJOS :
Dados dos números complejos z1 = (a , b)
adición en C como :
y
z2 = (c , d) , se define la
z1 + z2 = (a + c , b + d)
Ejemplos :
(4 , -7) + (3 , 1) = (4 + 3 , -7 + 1) = (7 , -6)
1
3 
1
3 
1


   1 , 1 
 3 ,   2 ,    3  2 ,


2
4 
2
4 
4
Para la resta entre números complejos se debe recordar que :
ACTIVIDAD :
z1 - z2 = z1 + (-z2)
7
Dados los números complejos : z1= ( -5 , 2 )
encuentra el valor de :
7. z1 + z2 + z3 =
9. z3 -
 =

, z2 = ( 0 , 3 ) , z3 = (1 , -1)
8.
z2 - ( z1 + z2) + z3
=
z 3 - ( z1 - z 2 ) =
10.
-  - z2 -

z1 -(
z 2 + z3 )
CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO.
Dado un número complejo z , escrito como par ordenado, se define el
complejo conjugado de z , como sigue :
Si
z = (a , b)
entonces el conjugado de z es
z = (a , -b)
Sea z = ( -3, 4) entonces z = ( -3, -4)
11. Determina los inversos aditivos y los conjugados de los siguientes
números complejos :
(2 , 3 )
(-1 , -1)
(-1 , 0)
2

0 , - 

3
MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS .
Dados los números complejos z1 = (a , b) y z2 = (c , d)
multiplicación entre ellos como :
se define la
z1  z2  ( ac  bd , ad  bc)
Ejemplo : 1)
2)
(5 , 3)  (2 , 4)   5  (2)  3  4 , 5  4  3  (2)

= (-10 - 12 , 20 - 6)
= (-22 , 14)
1  1 4 
3 1
3
 1 4 3 4
 1 1 
    ,

   .
 ,     ,    
4
4 3
2   3 5
5 4
5
 2
 2 3 
3
1
 2 
 1 
=   
,
  

4
5
 5 
 6 
8
2
3
1
1
=  
,
 
4
5
5
6
13 
 13
= 
,

 20
30 
ACTIVIDAD :
12. Efectúa los siguientes productos :
( 1 , 5) ( 3 , 3) =
(5 , 2 ) (-1, -6 ) =
(-2 , 1) (-2,1) =
Para encontrar el inverso multiplicativo debemos efectuar la siguiente multiplicación :
(a,b)  (x,y) = ( 1,0 )
b 
 a
, 2
 2
2
2 
a b a b 
( inverso multiplicativo ) de los siguientes números
Determinaremos que (x,y) =
13. Determina z-1
complejos :
A) (3 , 1)
b) (4 , -1 )
c) (0 , 2 )
DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS.
Se define para z = (a , b) y
w = (c , d)
la división entre ellos , como :
z
 z  w1 , donde w-1 es el número complejo inverso multiplicativo de w .
w
4 
 5
 5  4   22 7 
(2,3) : ( 5,4) = (2,3)   2
= (2,3)  ,
, 2
 =  , 
2
2 
5 4 5 4 
 41 41   41 41
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO SOBRE LA SUMA.
.. z1 , z2 , z3
POTENCIAS DE i .
i =  1 , por lo que
z1  z2  z3   z1  z2  z1  z3
C :
 25
=
25 (1)
= 5
1
= 5i
Como i = (0,1) , entonces : ¿cuál es el valor de i2 , i3 , i4 , i5 , ... ?
i2 = (0,1)  (0,1) = (-1,0)
i3 = (-1,0)  (0,1) = (0,-1)
9
i4 = (0,-1)  (0,1) = (1,0)
i5 = (1,0)  (0,1) = (0,1) = i
Esto se puede resumir en la siguiente expresión :
i4n+p = ip ,
donde
n , p  IN0
y
p<4
i82 = i4.20 + 2 = i2 = -1
Ejemplo :
ACTIVIDAD :
14. Calcula el valor de las siguientes potencias :
a) i25 + i1003 =
b) i20 +3i22 - 4i16 =
d)
c)
- 100  - 36  - 81 =
- 16  - 49 - - 64 =


ES HORA DE REALIZAR EL TALLER
Nº 1.
II. FORMA CANONICA O STANDARD DE UN COMPLEJO .
Todo número complejo (a , b) puede expresarse en la forma a + bi .
Esto es :
(a , b)  a + bi
ACTIVIDAD :
15. Dados
z1 = a + bi
y
z2 = c + di , deduce las operaciones de
adición (sustracción) y de multiplicación
ADICION :
SUSTRACCION :
MULTIPLICACION :
Ejemplo :
Dados
z1 + z2 = 7 + 2i
z1 = 3 - 5i
y
z2 = 4 + 7i
z1 - z2 = -1 - 12i
, entonces :
z1
 z2 = 40 + i
Observa que los números complejos, en su forma canónica se operan como si
fueran polinomios, pero además, en el caso de la multiplicación, se debe aplicar
el que
i2 = -1 .
10
ACTIVIDAD :
Realiza las siguientes operaciones :
16. (7  5i)  (3  10i) 
17.
1
 1

18.   2i     4i  =
2
 4

19.
(5  7i) (3  8i) 



7  5i :
7  5i 
CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO.
Dado un número complejo z , escrito de cualquiera de sus formas , como par
ordenado o canónica , se define el complejo conjugado de z , como sigue :
Si
z = (a , b)
es decir,
si
entonces el conjugado de z es
z = a + bi
z = (a , -b)
, entonces su conjugado es
z = a - bi
NOTA : Para dividir números complejos en la forma canónica, se debe
amplificar la fracción por el conjugado del denominador.
Ejemplo : Dividir
z1 = -3 + 4i
por
z2= 10 + 4i
z1
z2
=

 3  4i
10  4i
( 3  4i )
(10  4i )

(10  4i )
(10  4i )
 30  12i  40i  16i 2
100  16i 2
 14  52i

116
7
13


i
58
29

PROPIEDADES DE LOS CONJUGADOS :
Dados : z , z1 , z2  C , entonces
El conjugado del conjugado de z
:
El conjugado de una suma es igual a
las suma de losconjugados :
El conjugado de un producto es igual
al producto de los conjugados de los factores :
z
= z
z1  z2  z1  z2
z1  z2  z1  z2
11
El conjugado de un cuociente es igual al
 z1 
  
 z2 
cuociente de los conjugados :
z1
z2
La suma de un complejo con su conjugado
es igual a dos veces la parte real del complejo :
z  z  2  Re(z)
La diferencia de un complejo con su conjugado
es igual a dos veces la parte imaginaria del complejo
z  z  2  Im(z)i
Un complejo es real si y sólo si es igual a su conjugado : z  IR  z  z
ACTIVIDAD :
Dados los números complejos : z1 = 3 + 4i , z2 = -3 + i , z3 = -2i , z4 =
2 1
 i
3 2
Encuentra :
20.
z1  z 4 
21. 2 z 2  Re( z 3 )  Im(z 4 )i  z1 
22. z1  z 2 
24.
23. 3z 2  5z1 
25. z1  3z 2  z 4 
z 2  z3 
MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO.
Sea
z = a + bi un número complejo, se llama MODULO o VALOR
ABSOLUTO de z al número real z definido por :
z
=
a 2  b2
Ejemplo: Sea z = 3 + 4i , entonces :
z

3  4i

32  42 
25
 5
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL MODULO DE UN COMPLEJO
z = (a , b) = a+bi
El módulo del complejo z mide la longitud
del segmento que une el origen de coordenadas con
punto del plano correspondiente al número complejo
y
b

12
dado.
z
a
x
PROPIEDADES.
Sean z, z1 y z2 números complejos, entonces se cumple que :
1. El valor absoluto de la parte real de un complejo es menor o igual al valor
absoluto del complejo:
Re (z)  z
2. El valor absoluto de la parte imaginaria de un complejo es menor o igual al
valor absoluto del complejo:
Im (z)  z
3.
Un complejo es cero si y sólo si su valor absoluto es cero:
z  0  z  0
4. El valor absoluto de un complejo es igual al valor absoluto de su inverso
aditivo y de su conjugado:

z
z

z
5. El valor absoluto de un producto de complejos es igual al producto de los
valores absolutos de los factores:
z1  z2

z1  z2
6. El valor absoluto de un cuociente de números complejos es igual al
z1
z1

cuociente de los valores absolutos de los números:
z2
z2
7. El valor absoluto de una suma de números complejos es menor o igual a la
suma de los valores absolutos de los números complejos:
z1  z2

z1  z2
ACTIVIDAD :
26. Grafica los siguientes complejos y determina su módulo :
3 - 4i
5 + 12i
5 + 8i
-5 -12i
27. Realiza las siguientes operaciones :
Si z1 = (2 , 3) , z2 = (1 , -2) , z3 = -5
a) z1 + z2 - z3 =
b) 2z1 - 3 z2 =
, z4 = 4 i encuentre :
c) z4 (z1 + z2 ) =
Resuelve los problemas :
28. Encuentra un número complejo cuyo cuadrado sea -3 - 4i .
29. Encuentra el valor de “x” para que el cuociente
2x  i
sea imaginario
1 i
puro.
ES HORA DE REALIZAR EL TALLER
Nº 2.
13
BIBLIOGRAFIA :
- Algebra . Charles Lehmann
- Algebra superior. Serie Schaum.
- Algebra. Tomo IV . Arrayán.
- Matemática IV. Editorial Santillana.
- Matemática Algoritmo I. BUP. I.
COLEGIO SAN MATEO/
TALLER NO 1.
CUARTO AÑO MEDIO PLAN COMÚN.
NOMBRE :
ACTIVIDAD : Encuentra el valor de x y de y en los siguientes casos :
1. (2x + y , x - y) = (12 , -5)
2. ( 32x+6 , 42y-7) = (81 , -0,5)
1 1 
3. 3 y, 3x  2, y  1)
4.  , y   2 x 1 ,23 y 1
8 8 
y
y 1
1
1
  1

6.
23x 1, 36  4x 5 , 6
5.  x  ,4 y    0, y  3 
3
2
  4






 

Suma, considerando la adición en función de “i”
7.
8. 3  49  5  25   169 
 25  5  4  2  16 
9.
2 -8 - 4
10.
5
11.
3x
12.
- 18 + 7
- 50 + 5
- 20 + 7 - 12 - 8
2
-4 - 5
- 18 + 5
- 9 x2
- 72 =
- 45 + 10 - 48 +
+ 12 x
- 27 )  ( 3
- 80 =
- 64
-8  6
-12
Si z1 = (2,-2 ) ; z2 = ( -3,5 ) ; z3 = (4,-1)
13.
z1 + 2z2 =
15.
z3 + ( z2 - z1 )
17.
z 3 : z2 =
19.
( z1 - z3 ) · 2 z2 =
=
=
y z4 = (0,3) Determina :
14.
z2  z1 =
16.
z1 + z 4
18.
20.
=
( z 4 + z 2 ) : ( z 1 - z3 ) =
z 2 : z3-1 
Realiza las siguientes operaciones :
21.
23.
-100

- 36 +
- 81
6i  2(2  25   16) 

=
22.
5i   16  3  25  5  36 
24.
(2+5i)+(3-2i)2i =
14
25.
2x -18 + 3x
- 72 -
-50 x2 - x
Encuentra x e y en :
26. (3x,4) = (5,-2y)
27.
-8 =
(x,2y) = (0,-3)
Resuelve el siguiente problema :
28. Encuentra el valor de x de modo que el producto
número real.
29.
i16
(1,-2)(x,-5) sea un
Calcula los siguientes valores de las potencias de i que se indican :
i25 =
i1003
i-5 =
i42 + i54 - i18 1 1


=
i4 i3
COLEGIO SAN MATEO/
TALLER NO 2.
CUARTO AÑO MEDIO PLAN COMÚN.
NOMBRE
Dados z1 = 3+4i ; z2 = -3+i ; z3 = -2i ; z4 =
1. (z1 - z2 ) ( z3 + z4 ) =
3. z3-1 (z1 + z4) =
z1 - z 3 =
5.
2 1
 i
3 2
2.
z1-1 + z2-1 =
z1 - z 2
4.
=
z1  z 2
6.
1.
Calcula el cuadrado de
a) 5 - 3i =
b) 1 - i =
2.
Calcula el cuociente de :
(2+i):(2-1)=
3.
Calcula x e y en :
2x - 3i + y = xi - 2i + 2yi + 1
z3
z3 + z 4
4.
Calcula el número complejo cuyo cuadrado sea 8 - 6i
5.
Si z = 2 - 3i encuentra z2 - 2z + 1
6.
12. Encuentra “x” para que
=
1
sea un número real.
2x  i
13. Determina los números reales “x” e “y” que satisfagan la siguiente condición :
(2 + xi) : (1 - 2i) = y + i
8. Encuentra “x” con la condición de que el producto (3x,2) (4,-5x) sea un complejo imaginario.
9. Encuentra “x” para que el producto de (1 - 2i)(x - 5i) sea un número real.
10. Demuestra :
Que las raíces de la ecuación x4 - 16 = 0
suman cero.
7.

11. Calcula las raíces cuadradas de los números complejos :
a) 3 + 4i
b) -15 + 8i
c) -2i
12. Encuentra las soluciones o raíces de la ecuación
x3 - 1 = 0 .
15
13. Para a,b IR , a2 + b2 no puede factorizarse. Sin embargo, si se puede en el campo de los
números complejos :
a2 + b2 = a2 - (bi)2 = (a + bi)(a - bi)
Sabiendo esto, factoriza los siguientes binomios :
a) 4 + x2
b) 36x2 + 9y2
c) 25a2b2 + 16c4
d) 100x2 + 4y2
14. Determina el valor de los siguientes complejos :
a) z1 = (1 - 2i)2 - (1 + i)2
b) z2 = (1 - i)3 - (1 + i)3
15. Si el complejo ( a, b ) como par ordenado se puede escribir como a + bi en la forma canónica y
además sabemos que el módulo del complejo es
z  a2  b2 = r
Con esos antecedentes definimos la forma polar de un complejo
Z = r( cos  + i sen  )
Siendo cos  =
a
r
sen  =
b
r
; tg  =
b
a
Encuentra la forma polar de los siguientes complejos :
a) z1 = 3 + 4i
b) z2 = 3 + 2i
b
c) z3 = 5 - 2i
z = a + bi

a
Al término de esta unidad, tú :
1. Debes entender las sucesivas ampliaciones que experimentan
los conjuntos numéricos para dar solución a las necesidades
planteadas por el ser humano.
2. Deduces y sabes aplicar las definiciones axiomáticas de
adición y multiplicación de los números complejos expresados
como pares ordenados.
3. Sabes representar gráficamente los números complejos.
4. Conoces las diferentes potencias de la unidad imaginaria i
Al término de esta unidad, tú :
5. Sabes reconocer la utilidad de las diferentes clases de
números para ordenar, expresar códigos, aproximar y estimar
medidas.
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6. Conoces las diferentes potencias de la unidad imaginaria i y
aplicarlas a la obtención de raíces de segundo grado que no
posean solución en R.
7. Adquieres destrezas prácticas relacionadas con el cálculo
aritmético.
8. Confianza en encontrar procedimientos y estrategias para
resolver y solucionar problemas.