Pruebas de Raíces Unitarias.

PRUEBAS DE
RAICES UNITARIAS
Prof. Adriá
Adrián Ferná
Fernández
CURSO METODOS CUANTITATIVOS AVANZADOS Opció
Opción Econometrí
Econometría
Edició
Edición 2009
PRUEBAS DE RAICES UNITARIAS
• Estimación de φ - procesos ESTACIONARIOS
• Estimación de φ - procesos NO ESTACIONARIOS
• Prueba de Dickey - Fuller
• Prueba de Phillips – Perron
• Conclusiones
1
Estimació
Estimación de φ – procesos estacionarios
Se sigue a Hamilton (1994)
Consideremos el caso de un AR(1):
x =φ x
+ε
t = 1,2,..., n
t
t −1 t
con ε t ruido blanco
x0 = 0
(I)
E (ε t ) = 0
σ 2
COV (ε t ε s ) =  ε
0
t=s
t≠s
Supongamos |φ|<1 lo que asegura la estacionariedad en sentido amplio
(o estacionariedad en covarianza) de xt.
Estimació
Estimación de φ – procesos estacionarios
La estimació
estimación por MCO de φ es:
n
φˆ =
n
∑
xtx
t−1
1
n
∑
x t2− 1
1
= φ +
∑
x t − 1ε
t
1
(II)
n
∑
x
2
t−1
1
Este resultado es válido para todo φ (aún φ = 1)
Dado que tenemos un regresor estocástico:
E (φˆ) ≠ φ
Además, el estimador de φ tiene un sesgo de subestimación.
2
Estimació
Estimación de φ – procesos estacionarios
Propiedades en el lílímite del estimador.
estimador.
Se considera la “transformació
transformación estabilizadora”
estabilizadora”, que evita
que la distribució
ó
n
en
el
lí
í
mite
sea degenerada.
distribuci
l
∑x ε
n
n (φˆ − φ ) = n
n
t −1
1
n
∑x
1

=  ∑x 
n

[A ]
2
t −1
−1
n
t
t −1
1
n
2
t −1
1
n ∑x ε  1
 1
=
=  ∑x ε 
=
n ∑x
 n
 1∑x
n
1
n
t
2
1
t −1
t
n
t −1
1
2
t −1
 1

x
ε
∑
 n

[B]
n
1
t −1
t
Estimació
Estimación de φ – procesos estacionarios
Término [A]:
1
lim p
n
Término [B]:
1
n
∑x
∑x
2
t −1
1
= γ 0 ⇒ lim p 
n
∑x
2
t −1



−1
= 1
γ0
ε → N (0 ; σ ε2γ 0 )
t −1 t
A partir de estos resultados, se tiene que:
 σ
n (φˆ − φ ) → N  0 ; ε
 γ
2
n
0



3
ESTIMACIÓ
ESTIMACIÓN DE φ - PROCESOS ESTACIONARIOS
Para un modelo AR(1) se tiene que:
σ ε2
γ0 =
(1 − φ 2 )
(
⇒ n (φˆn − φ ) → N 0 ; (1 − φ 2 )
)
Una distribució
distribución no degenerada (con varianza NO
nula) lo que prueba la necesidad de una
transformació
transformación estabilizadora.
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
Caso má
más simple - Caminata al azar sin constante: φ = 1
x = x +ε
t t −1 t
t =1, 2, ..., n x = 0
0
con ε ~N( 0,σε2 )
t
(III)
E ( xt ) = E ( xt −1 ) = E ( xt −2 ) = ... = E ( x0 ) = 0
V(xt ) = V ( xt −1 + ε t ) = σ ε2 + V ( xt −1 ) = ... = tσ ε2 + V ( x0 ) ⇒
V(xt ) = tσ ε2
Este resultado determina que la transformació
transformación estabilizadora
sea del orden de n y no de n
4
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
Propiedades del Estimador
En el caso de φ = 1, el estimador de φ cumple:
n
φˆn − 1 =
∑x
ε
t −1 t
1
n
∑x
2
t −1
n
 n 2 
= ∑ xt −1ε t  ∑ xt −1 
1
 1

1
[A]
−1
(IV)
[B]
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
Término A, observemos que:
xt2 = ( xt −1 + ε t ) = xt2−1 + 2 xt −1ε t + ε t2 ⇒ xt −1ε t =
2
n
∑
x t −1ε
t
=
1
1
2
(
∑ (x
n
2
t
− x t2− 1 − ε
2
t
(
)
)=
1
)
n
1  n

2
2
ε t2  =
x
−
x
−
∑
∑
t
t−1

2  1
1

n
1
1
1
1
=
x n2 − x 02 −
ε t2 =
x n2 −
∑
2
2 1
2
2
=
(
1 2
xt − xt2−1 − ε t2
2
)
n
∑
ε
2
t
1
ya que x0 = 0.
n
1 2 1 n 2
⇒ ∑ xt −1ε t = xn − ∑ ε t
2
2 1
1
(V)
5
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
Término B. Observemos que:
(E ∑x )=∑E(x ) =∑σ (t −1) =σ ∑(t −1) =σ (n−21)n
n
1
n
2
t −1
1
2
t −1
n
1
2
2
ε
ε
n
1
2
ε
n
ya que ∑ (t − 1) = ( n − 1) n por suma de nú
números
1
2
naturales.
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
Para el proceso AR(1) estacionario se analizó
analizó la
distribució
distribución de
n (φˆn − φ )
La transformació
transformación estabilizadora tiene por tanto un
orden
n
Para un proceso de caminata al azar, donde la
transformació
transformación estabilizadora es de orden “n”, es
necesario analizar la distribució
distribución en el lílímite de
n ( φˆ n − 1 )
6
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
Distribució
Distribución en el lílímite de n ( φˆ − 1 )
n
1
∑x ε
n
ˆ
n φ −1 =
1
∑x
n
n
A partir de (IV):
(
)
n
t −1
1
n
2
t
(VI)
2
t −1
1
El numerador de (VI) es, de acuerdo a (V):
(V):
1
1
1
∑ x ε = x − ∑ε
n
2n
2n
n
n
2
t −1
1
t
n
1
2
t
Dividiendo ambos miembros por σ2Ű:
1
σε
2
n
∑
n
x t − 1ε t =
1
1
2
 xn

σ
 ε n
2

 − 12 1

2σ ε n

n
∑ε
2
t
1
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
A partir de (III) y de la esperanza y varianza
deducidas:
x ~ N (0;σ ε n)
2
n
 x
⇒
~ N(0,1) y 
σε n
 σε
x
n
n
2

 ~χ
n 
2
1
Ademá
Además
1 n 2 P
εt 
→σ ε2
∑
n 1
⇒
1
σ n
2
ε
lim p
∑x ε →
n
1
t −1
t
1 n 2
ε t = σ ε2
∑
n 1
1
( χ − 1)
2
2
1
7
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
n( φˆn – 1) sigue una distribució
distribución útil no degenerada.
El numerador contiene una expresió
expresión que se
distribuye χ2 y el denominador una distribució
distribución
no está
estándar.
Como P(χ21 < 1) = 0,68 => P (χ21 – 1 < 0) = 0,68
ESTIM. DE φ - PROCESOS NO ESTACIONARIOS
Como el denominador es mayor que 0, P[n(
P[n( φˆn – 1)]<0 se
aproxima a 0,68 cuando “n” es grande.
En 2/3 de las muestras grandes generadas por
una caminata al azar la estimació
estimación de φ será
será
menor al verdadero valor 1.
8
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Caminata al azar sin deriva. Prueba de hipó
hipótesis.
x =φx
+ε
t
t −1 t
t = 1,2 ,...,n x = 0
0
con ε ruido blanco
t
E(ε ) = 0
t
 σ 2 t = s
COV(ε ε ) =  ε
t s
0
t≠s
H 0 :φ = 1
Por el sesgo
del estadístico
H1 : φ < 1
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Se plantean 2 estadí
estadísticos para la prueba:
El estadí
estadístico
n(φˆn − 1)
La llamada “seudo t”
t” :
tn =
φˆn − 1 φˆn − 1
=
=
σˆφ
ES (φˆ)
φˆn − 1
n
sn2
∑x
t =1
2
t −1
donde s2n es la estimació
estimación de la vza de las perturbaciones:
∑(x − φˆ x )
n
s =
2
n
t =1
2
t −1
t
n −1
9
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Los 2 estadí
estadísticos, dada H0, no siguen distribuciones
está
estándares.
DF aplicando pruebas de Montecarlo calculan los valores
crí
críticos para distintos tamañ
tamaños de muestra y niveles de
significació
ó
n.
significaci
A continuació
continuación ejemplo de deducció
deducción (programa EViews).
EViews).
Se parte del modelo xt = xt-1 + εt con t=1, 2, …, 100,
x0=0 y εt~N(0,1)
Se determinan los valores de la prueba de DF exclusivamente
con la hipó
hipótesis H0: φ = 1 para el modelo xt = φ xt-1 + εt
Prueba de DickeyDickey-Fuller
create u 101
vector(1000) phi
vector(1000) secoef
genr x = 0
for !j=1 to 1000
smpl @all
genr epsi = nrnd
smpl 2 101
genr x = x(-1) + epsi
equation pepe.ls x x(-1)
phi(!j) = @coefs(1)
secoef(!j) = @stderrs(1)
next
10
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Ejemplo (Hamilton):
Notas del Tesoro americano, 3 meses plazo, datos entre
19471947-2 y 19891989-1. n=168
n=168
Estimació
Estimación por MCO: it = 0,99694 it-1
(0,010592)
De donde
n (φˆn − 1 )
= 168(0,99694
168(0,99694 – 1) = - 0,51
Prueba de Hipó
Hipótesis
H : φ = 1 Valor Crítico: -7,9 para nivel de significación del
H : φ < 1 5% y n = 100. Como - 0,51 > -7,9 no Rech H0
0
1
Sólo con φ^≤0,953 se rech. H0 ya que 168*(0,953–1)=-7,9
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Especificaciones del Test DF - 3 Modelos
( A)
xt = φ xt −1 + ε t
( B)
xt = µ + φ xt −1 + ε t
(C )
xt = α + β t + φ xt −1 + ε t
En todos los casos
H : φ =1
0
H : φ <1
1
Para cada modelo se construyen las tablas siguiendo el mismo
procedimiento.
procedimiento. Así
Así para n=
n= 100, los Valores Crí
Críticos para
cada modelo son: Modelo A: -1,61, Modelo B: -2,58 y
Modelo C: -3,1
11
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Ejemplo (Hamilton):
Notas del Tesoro americano, n=168
n=168
Estimació
Estimación por MCO: it = 0,211 + 0,96691 it-1
(0,112)
n (φˆn − 1 )
(0,0191)
= 168 * (0,99691
(0,99691 – 1) = - 5,51
Prueba de Hipó
Hipótesis
H : φ =1
0
H : φ <1
1
Valor Crítico: -2,58 para n. de s. del 5% y n=100.
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Especificació
Especificación alternativa
( A)
∆xt = γ xt −1 + ε t
( B)
∆xt = µ + γ xt −1 + ε t
(C )
∆xt = α + β t + γ xt −1 + ε t
Las hipó
hipótesis son:
H0 :γ = 0
H1 : γ < 0
12
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Pruebas conjuntas
Puede tener interé
interés, suponiendo la especificació
especificación (B),
plantearse la siguiente hipó
ó
tesis
a
testear:
hip
H 0 : µ = 0, φ = 1
H1 : µ ≠ 0 o φ < 1
u otras combinaciones de pará
parámetros.
Por los procedimientos ya vistos se construyen tablas para
estas pruebas conjuntas.
Si φ < 1 se rechaza la hipó
hipótesis de raí
raíz unitaria y las
pruebas para µ, β, etc. se transforman en pruebas “t”
está
estándares.
Prueba de DickeyDickey-Fuller - DF aumentado (ADF)
Modelo Bá
Básico es AR (p+1),
(p+1), en vez de un AR(1):
Φ p +1 ( L) xt = (1 − φ1 L − φ2 L2 − ... − φP +1 LP +1 ) xt = ε t
Interesa saber si el proceso incluye una raí
raíz unitaria.
Es decir, si:
Φ p +1 ( L) xt = (1 − L)Φ *p ( L) xt = ε t
donde
Φ *p
tiene sus raí
raíces fuera del cí
círculo unidad.
13
Prueba de DickeyDickey-Fuller - DF aumentado (ADF)
Reformulació
Reformulación del Modelo Bá
Básico:
∆xt = γ xt −1 + φ1*∆xt −1 + φ2*∆xt − 2 + ... + φ p* ∆xt − p + ε t
Aná
Análogamente para los modelos B y C.
Los estadí
estadísticos son los mismos que en el test de
D-F.
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Estructura MA (q) y Test DF
Si el PGD es un AR (p), se aplica ADF. La
pregunta es có
cómo se testea si el modelo modelo
incluye una estructura de medias mó
móviles.
Todo Arima (p,1,q) puede aproximarse por un
AR de orden finito.
Said y Dickey proponen aplicar el ADF como un
AR(s)
AR(s) escogiendo como s = 3√n; se aplican los
tests anteriores a un AR(s)
14
Prueba de DickeyDickey-Fuller
Pruebas de I(d) con d>1
Se realizan las pruebas en orden. Se conjetura
el orden “máximo”
ximo” de integració
integración de la serie
(d*) y se comienza realizando las pruebas de
D-F sobre la serie diferenciada d* veces.
En el caso que se rechace Ho se hace la prueba
con la serie diferenciada d*d*-1.
Se aplican las mismas tablas de DD-F.
Prueba de Phillips - Perron
► Phillips(1987),
Phillips(1987),
y Phillips y Perron(1988)
Perron(1988) realizan
una extensió
extensión a las pruebas de DickeyDickey-Fuller
permitiendo DGP má
más generales.
► D-F construyen sus pruebas suponiendo ruidos
blancos para sus modelos. La prueba de DickeyDickeyFuller Aumentado (ADF) permite la generalizació
generalización
a un modelo con un polinomio AR(p+1)
AR(p+1) con
eventualmente una raí
raíz unitaria.
► Las pruebas de DD-F pueden ampliarse en dos
líneas: admitiendo que el ruido sigue un proceso
estacionario ARMA(p,q)
ARMA(p,q) y la posibilidad de ruidos
heterocedá
á
sticos.
heteroced sticos.
15
Prueba de Phillips - Perron
► La
posibilidad de componentes MA en el ruido está
está
implí
implícitamente considerado en el ADF en la
medida que se suponga el componente MA
invertible. Sin embargo, la propiedad de
parsimonia recomendarí
recomendaría el tratamiento explí
explícito
de componentes MA.
► En ambos casos la existencia de estas violaciones
a los supuestos invalidarí
invalidarían las pruebas DD-F. Dada
la baja potencia de estas pruebas, estas hipó
hipótesis
alternativas sobre los ruidos representan un
importante desafí
desafío.
Prueba de Phillips - Perron
Como en DD-F, Phillips plantea 3 modelos. Se presentan a
continuació
continuación los modelos A y B:
xt = φ A xt −1 + ut
(VII)
xt = µ B + φB xt −1 + ut
donde ut sigue un proceso ARMA(p,q)
ARMA(p,q) estacionario e
invertible. Alternativamente, puede suponerse un
proceso estacionario heteroescedá
heteroescedástico.
stico.
16
Prueba de Phillips - Perron
► Mientras
que el procedimiento de DD-F busca de
retener la validez de los tests basados en errores
ruido blanco (ampliando el polinomio
autoregresivo al grado p+1), el procedimiento de
Phillips modifica las estadí
estadísticas para tomar en
cuenta distintos tipos de estructura en los errores.
► Asintó
Asintóticamente la estadí
estadística de la prueba es
corregida en el monto apropiado, de manera que
las mismas tablas de DD-F son aplicables.
► A diferencia del ADF, el procedimiento no requiere
la estimació
estimación de pará
parámetros adicionales en el
modelo de regresió
regresión.
Prueba de Phillips - Perron
►
Consideremos la hipó
hipótesis φB=1 (VII). PP-P plantean la
estadí
estadística:
 −1 l n
  −2 n
2
ˆ
ˆ

ˆ
ˆ
Z(φB ) = n(φB - 1 ) −  n ∑ ∑ ut ut −1  * n ∑ ( yt −1 − y−1 ) 
j =1 t = j +1


  t =2
(I)
(II)
(III)
►
►
−1
El primer té
término de la estadí
estadística es el estadí
estadístico de DD-F,
por lo que el segundo té
término (el producto de II y III)
“corrige”
corrige” por la eventual presencia de estructura en el
ruido.
El té
término II estará
estará relacionado con eventual autoautocorrelació
correlación del ruido, mientras que el té
término III
corresponde a una estimació
estimación de la varianza del proceso.
17
Conclusiones
► En
el caso de las pruebas estadí
estadísticas del tipo de
D-F, se presume que el modelo captura las
principales caracterí
características del proceso de una
manera en que los errores son independientes e
idé
idénticamente distribuidos.
► Cuando
ello no se cumple, las pruebas como las
de PP-P, o inclusive pruebas no paramé
paramétricas son
más adecuadas.
Conclusiones
►
Dada la relevancia del tema es importante determinar si
las inferencias que surgen de los tests de raíces unitarias
son frágiles. ¿Tienen estos tests una baja potencia
respecto de la una alternativa TS? ¿Son los resultados
obtenidos de estos tests sensibles a información fuera de
la muestra (propuesta de Perron)?
►
DeJong y otros encuentran que los tests de raíces unitarias
tienen en los hechos una muy baja potencia (menos de
50% y frecuentemente tan baja como 10%) frente a la
alternativa TS.
►
Las implicancias para el trabajo empírico es que alternativa
(la H1) importa: la inferencia debería estar basada en el
soporte relativo que los datos otorgan a la hipótesis nula y
a la hipótesis alternativa.
18
Conclusiones
Ejemplo de inconsistencia de H0 y H1.
►
►
►
►
►
Obsérvese el modelo (B) de D-F: xt = µ + φ xt-1 + εt con
εt~N(0,1)
~N(0,1)
En el caso de rechazo de H0, ello implica que el proceso es
estacionario. Pero ademá
además E(x
E(xt) = µ* = µ/(1/(1- φ)
En cambio si se acepta H0 el proceso es una caminata al
azar (random walk) con deriva (con tendencia).
Si, alternativamente, se especifica el modelo (A) de DD-F, sin
deriva, ello implica que la alternativa es un proceso
estacionario con E(x
E(xt) = 0.
No hay una especificació
especificación que permita testear un
modelo de random walk sin deriva vs. un proceso
estacionario de media no nula.
19