Columnas Flexo-comp oblicua - hormigonarmado-fiobera

442 – Estructuras de Hormigón Armado 2010
DISEÑO A FLEXO-COMPRESION OBLICUA
El método aproximado utilizado para el diseño de secciones de columnas de hormigón armado
sometidas a solicitaciones de flexo-compresión oblicua esta basado en la ecuación de Bresler, y
se conoce como el “Método de la Carga Inversa o Reciproca”.
El método de la carga inversa consiste en determinar un valor de resistencia nominal a la flexocompresión oblicua (carga con excentricidades en “x” e “y”) para una sección dada, mediante la
determinación de resistencias nominales de flexo-compresión recta en torno a cada eje de
flexión por separado, combinadas con compresión pura, para dicha sección. Esto permite hacer
el estudio de la resistencia cuando se tiene flexión oblicua mediante los procedimientos para
flexión recta, que son más simples.
La expresión de Bresler es:
1
1
1
1
=
+
−
Pn Pnxo Pnyo Po
Donde:
Pn= valor aproximado de la resistencia nominal con excentricidades ex y ey.
Pnxo= resistencia nominal cuando solo se tiene excentricidad ey, o sea con ex=0. Es decir, que
se supone una flexo-compresión recta en torno al eje “x”. Este valor se obtiene con ayuda de
diagramas de interacción para flexión recta.
n ⋅ Ag
φ ⋅ Pnxo
n=
⇒ Pnxo =
φ
Ag
Pnyo= resistencia nominal cuando solo se tiene excentricidad ex, o sea con ey=0. Es decir, que
se supone una flexo-compresión recta en torno al eje “y”. Este valor se obtiene con ayuda de
diagramas de interacción para flexión recta.
φ ⋅ Pnyo
n ⋅ Ag
n=
⇒ Pnyo =
Ag
φ
Po= resistencia nominal para carga centrada, o sea compresión pura. Se obtiene con la
expresión básica para resistencia a compresión:
Po = 0.85 ⋅ f c' ⋅ Ag − Ast + f y ⋅ Ast
(
)
Donde
Ag= área de la sección bruta de hormigón.
Ast= área de acero de las armaduras.
El procedimiento consiste en determinar los valores de resistencia para luego comparar el valor
de resistencia Pn con el valor de la carga exterior solicitante. El diseño será confiable cuando se
cumpla la condición básica de diseño por resistencia:
φ ⋅ Pn ≥ Pu
Donde:
Pn = valor aproximado de resistencia nominal para carga con excentricidades ex y ey, obtenido
de la expresión de Bresler.
Pu = carga ultima.
φ = factor de minoración de resistencia (0.65 para columnas con estribos, y 0.70 para columnas
zunchadas).
Diseño a flexo-compresión oblicua
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El método de la carga inversa no es un método usado para hacer el proporcionamiento de la
sección, sino es más bien un método aproximado de verificación de capacidades de columnas
sometidas a flexo-compresión oblicua. Esto significa que las dimensiones de la sección y las
cantidades de armadura deben determinarse previamente mediante algún método, para luego
verificar la resistencia nominal mediante la formula de Bresler.
Para determinar los valores de “P” de la ecuación de Bresler con los diagramas de interacción,
deben tenerse la cuantía y distribución de las armaduras en la sección. Existen varios métodos
aproximados que simplifican la determinación de las armaduras en estos casos.
En síntesis, el problema radica en qué cuantía de armadura tomamos como inicial para hacer la
verificación de la capacidad de la columna, teniendo en cuenta que el proceso de selección
puede requerir de varias iteraciones.
A continuación se presenta un procedimiento aproximado, tomado del libro “Concreto
Reforzado” de McCormac, mediante el cual pueden determinarse las cuantías de armaduras
para una sección sometida a flexo-compresión oblicua, para luego verificar su capacidad
mediante la formula de Bresler. Se hacen diferencias entre columnas de sección cuadrada y
columnas de sección rectangular.
1) Si la columna es cuadrada, se supone que los valores de momento Mnx y Mny actúan,
ambos, respecto a ambos ejes “x” e “y”, esto significa que:
M x = M y = M nx + M ny
La cantidad total de armadura se determina haciendo el diseño respecto a uno de los ejes
(mediante un diagrama de interacción para flexo-compresión recta) y se distribuye alrededor de
la sección de la columna, y la ecuación de Bresler se usa para verificar la capacidad última de
carga de la columna cargada excéntricamente.
2) Si se tiene una sección rectangular donde el eje “y” es la dirección débil, parecería lógico
calcular My = Mnx + Mny y usar ese momento para seleccionar las armaduras requeridas
respecto al eje “y” y distribuir el área de acero así calculada en toda la sección de la columna.
Este procedimiento conduce a valores seguros, pero tiene el inconveniente de que pueden
obtenerse columnas poco económicas, ya que serán demasiado resistentes en torno al eje
fuerte.
Frente a este inconveniente, se plantea como una aproximación bastante satisfactoria suponer
My = Mnx + Mny, y multiplicarlo por la relación de lados b/h, y con ese valor de momento
determinar las armaduras entorno al eje débil (llamado “y” en este caso).
Es decir que la cantidad total de armaduras se determina con el valor de momento entorno al
eje débil (mediante un diagrama de interacción para flexo-compresión recta)
M y = ( M nx + M ny ) ⋅
b
h
Y luego se distribuye en toda la sección de la columna, para finalmente verificar la capacidad
mediante la ecuación de Bresler.
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Ejemplos.
1) Sección cuadrada
Diseñar una columna con sección cuadrada, para las siguientes solicitaciones últimas:
M ux = 23.00kNm
M uy = 22.50kNm
Pu = 570.10kN
1.1) Sección propuesta:
Materiales: Hormigón H-25 ( f c' = 25MPa ) y Acero ADN-420 ( f y = 420 MPa )
Se propone una sección de 25cm x 25cm (estas medidas deben responder a un
presimensionado de la sección de hormigón)
⇒ Ag = 25cm ⋅ 25cm = 625cm 2 = 0.0625m 2
Disposiciones reglamentarias para diámetros de armaduras:
- Barras longitudinales ⇒ db ≥ 12mm
- Estribos ⇒ dbe = 6mm para d b ≤ 16mm
Deben hacerse estimaciones previas en cuanto a la distribución que tendrán las armaduras en
la sección, así como algunas medidas de la misma. Esto es necesario para poder determinar
los parámetros para elegir y utilizar el diagrama de interacción correspondiente.
γ=
d −d'
h
Se suponen barras con diámetros d b = 16mm y estribos con d be = 6mm .
Se considera un recubrimiento al filo de armaduras cc = 2, 0 cm
1.6cm


+ 0.6cm  = 18.2cm
2


Podrían despreciarse los estribos aquí.
γ ⋅ h = 25cm − 2 ⋅  2cm +
γ=
18.2
= 0.73
25.0
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Las armaduras propuestas, en esta instancia, no responden a una cuantía determinada, sino
que son un indicativo de la distribución que tendrán en la sección, y los diámetros propuestos
son nada más que para determinar las medidas que se necesitan para calcular el parámetro
que permite elegir los diagramas de interacción a utilizar (γ). Debe tenerse en claro que estas
determinaciones pueden estar sujetas a modificaciones en función a los resultados obtenidos.
1.2) Determinación de la cuantía total mediante la metodología propuesta.
Se determina la cuantía total para el momento último:
M u = M ux + M uy = 23.00kNm + 22.50kNm = 45.50kNm = 0.0455MNm
Y para la carga axial ultima:
Pu = 570.10kN = 0.5701MN
Se usan los diagramas de interacción para la distribución propuesta con γ = 0.70 y γ = 0.80 ,
para finalmente interpolar para el valor obtenido γ = 0.73 .
n=
m=
φ ⋅ Pn
Ag
=
φ ⋅ Mn
Ag ⋅ h
Pu 0.5701MN
=
= 9.10
Ag 0.0625m 2
=
Mu
0.0455MNm
=
= 2.90
Ag ⋅ h 0.0625m2 ⋅ 0.25m
Ingresando a los diagramas dados por el reglamento CIRSOC 201, para secciones con
armadura en todas las caras:
II .8 ⇒ γ = 0.70 , se tiene para n=9,10 y m=2,90 ⇒ sobre curva ρ ≅ 0.026
II .9 ⇒ γ = 0.80 , se tiene para n=9,10 y m=2,90 ⇒ sobre curva ρ ≅ 0.022
Interpolando ⇒ para γ = 0.73 ⇒ ρ = 0.025
Verificación de las cuantías limites reglamentarias:
ρ min = 0.01
ρ max = 0.08
Si se prevé la utilización de empalmes por yuxtaposición, debe considerarse que la cuantía
máxima es ρ max = 0.04
⇒ ρ = 0.025 ✓
Sección de armadura requerida Ast = ρ ⋅ Ag = 0.025 ⋅ 625cm 2 = 15.63cm 2
⇒ Se disponen 8 db 16mm distribuidos en las 4 caras de la sección
⇒ Astdisp = 16.08cm 2 y ρ disp =
16.08cm 2
≅ 0.026
625cm 2
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1.3) Verificación de la capacidad de la sección determinada
Se verifica la capacidad de la columna mediante el la ecuación de Bresler.
1
1
1
1
=
+
−
Pn Pnxo Pnyo Po
- Po
Po = 0.85 ⋅ f c' ⋅ ( Ag − Ast ) + f y ⋅ Ast = 0.85 ⋅ 25MPa ⋅ ( 625 − 16.08 ) ⋅10 −4 m 2 + 420 MPa ⋅16.08 ⋅10 −4 m 2
⇒ Po = 1.969 MN = 1969.00kN
- Pnxo ⇒ ex = 0 ; ey =
M ux 23.00kNm
=
= 0.040m
Pu
570.10kN
Diagrama → γ = 0.73 , sección con armadura distribuida en todas las caras
hy
0.25m
Pendiente línea radial →
=
= 6.25 (en los diagramas aparece como e/h, o sea la
ey 0.040m
inversa
ey
hy
= 0.16 ). Debe tenerse en cuenta que los diagramas tienen los ejes en escalas
distintas.
Curva → ρ = 0.026 (corresponde a un valor intermedio de curva entre las de ρ = 0.020 y
ρ = 0.030 . Podría hacerse también una interpolación. Acá se toma un valor intermedio
aproximado).
Diagrama II .8 con γ = 0.70 ⇒ n = 13.78MPa
Diagrama II .9 con γ = 0.80 ⇒ n = 14.00 MPa
→ Para γ = 0.73 ⇒ n = 13.85MPa
n=
φ ⋅ Pnxo
Ag
⇒ Pnxo =
n ⋅ Ag
φ
=
13.85MPa ⋅ 0.0625m 2
= 1.332 MN
0.65
⇒ Pnxo = 1332.00kN
- Pnyo ⇒ ey = 0 ; ex =
M uy
Pu
=
22.50kNm
= 0.039m
570.10kN
Diagrama → γ = 0.73 , sección con armadura distribuida en todas las caras
hx
0.25m
Pendiente línea radial →
=
= 6.41 (en los diagramas aparece como e/h, o sea la
ex 0.039m
e
inversa x = 0.156 )
hx
Curva → ρ = 0.026
Siguiendo el procedimiento anterior para Pnxo, se obtienen los valores y se interpola.
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Los resultados son muy similares a los del caso de Pnxo.
⇒ Pnyo = 1332.00kN
- Resistencia Nominal:
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
− =
+
−
= 9.936 ⋅10−4
Pn Pnxo Pnyo Po 1332.00kN 1332.00kN 1969.00kN
kN
⇒ Pn = 1006.40kN
- Verificación de aplicabilidad del método de carga inversa
debe ser Pn ≥ 0.10 ⋅ Po
⇒ 1006.40kN > 0.10 ⋅1969.00kN = 196.90kN
✓
- Verificación de resistencia
φ ⋅ Pn ≥ Pu
⇒
φ ⋅ Pn = 0.65 ⋅1006.40kN = 654.16kN > Pu = 570.10kN ✓✓
Con lo cual la sección cumple con la resistencia para el valor de carga último y las
excentricidades dadas.
Finalmente se dispone la sección de la columna con:
- Barras longitudinales → 8 db 16mm
- Estribos → dbe=6mm (diámetro en función de los diámetros de barras longitudinales)
12db = 12 ⋅1, 6cm = 19.2cm

Separación máxima s ≤ 48bbe = 48 ⋅ 0.6cm = 28.8cm ⇒ smax = 19.2cm
b = 25cm

- Verificación de las condiciones de arriostramiento de las barras longitudinales:
Las barras que se encuentren a una distancia x > 15dbe de otras barras efectivamente
arriostradas, deben arriostrarse mediante armadura transversal adicional. Cabe aclarar que el
reglamento considera efectivamente arriostradas a las barras de esquina, y por ende las
distancias “x” deben medirse a partir de dichas barras.
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En este caso 15 ⋅ d be = 15 ⋅ 0.6cm = 9cm
X= 7.5cm
→ no se requieren arriostramientos adicionales
→ se dispone 1 dbe 6mm c/ 19cm
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2) Sección rectangular
Diseñar una columna con sección rectangular, para las siguientes solicitaciones últimas:
M ux = 195.00kNm
M uy = 65.00kNm
Pu = 1300.00kN
Eje débil → “y”
Eje fuerte → “x”
2.1) Sección propuesta:
Materiales: Hormigón H-25 ( f c' = 25MPa ) y Acero ADN-420 ( f y = 420 MPa )
Se propone una sección de 50cm x 35cm (estas medidas deben responder a un
presimensionado de la sección de hormigón)
⇒ Ag = 50cm ⋅ 35cm = 1750cm 2 = 0.175m2
Disposiciones reglamentarias para diámetros de armaduras:
- Barras longitudinales ⇒ db ≥ 12mm
- Estribos ⇒ dbe = 8mm para 16mm < d b ≤ 25mm
Se suponen barras con diámetros d b = 25mm y estribos con d be = 8mm .
Se considera un recubrimiento al filo de armaduras cc = 2, 0 cm
Como la sección es rectangular deben calcularse los parámetros “γ” en las dos direcciones
diferentes.
Para flexión con respecto al eje “y” (débil)
2.5cm


γ ⋅ b = 35cm − 2 ⋅  2cm +
+ 0.8cm  = 26.9cm
2


26.9cm
⇒γ =
= 0.77
35.0cm
Para flexión con respecto al eje “x” (fuerte)
2.5cm


γ ⋅ h = 50cm − 2 ⋅  2cm +
+ 0.8cm  = 41.9cm
2


41.9cm
⇒γ =
= 0.84
50.0cm
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2.2) Determinación de la cuantía total mediante la metodología propuesta.
El método aplicado al caso de secciones rectangulares indica que la determinación de las
armaduras se hace considerando una flexión recta con respecto al eje débil, que en este caso
llamamos “y”.
Entonces se determina la cuantía total para el momento último dado por:
M uy = ( M ux + M uy ) ⋅
b
35
= (195.00kNm + 65.00kNm ) ⋅ = 182.00kNm = 0.182 MNm
h
50
Y para la carga axial ultima:
Pu = 1300.00kN = 1.30 MN
Se usan los diagramas de interacción para la distribución propuesta, considerando la flexión
recta entorno al eje “y”, con γ = 0.70 y γ = 0.80 , para finalmente interpolar para el valor obtenido
γ = 0.77 .
Parámetros “n” y “m” de los diagramas:
n=
m=
φ ⋅ Pn
Ag
=
φ ⋅ Mn
Ag ⋅ b
Pu 1.30 MN
=
= 7.43
Ag 0.175m 2
=
Mu
0.182MNm
=
= 2.97
Ag ⋅ b 0.175m2 ⋅ 0.35m
Ingresando a los diagramas dados por el reglamento CIRSOC 201, para secciones con
armadura en todas las caras:
Diagrama II .8 ⇒ γ = 0.70 , se tiene para n=7.43 y m=2,97 ⇒ sobre curva ρ ≅ 0.022
Diagrama II .9 ⇒ γ = 0.80 , se tiene para n=7.43 y m=2,97 ⇒ sobre curva ρ ≅ 0.019
Interpolando ⇒ para γ = 0.73 ⇒ ρ = 0.0211
Verificación de las cuantías limites reglamentarias:
ρ min = 0.01
ρ max = 0.08
Si se prevé la utilización de empalmes por yuxtaposición, debe considerarse que la cuantía
máxima es ρ max = 0.04
⇒ ρ = 0.0211 ✓
Sección de armadura requerida Ast = ρ ⋅ Ag = 0.0211⋅1750cm2 = 36.93cm 2
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⇒ Se disponen 8 db 25mm distribuidos en las 4 caras de la sección
⇒ Astdisp = 39.27cm 2 y ρ disp =
39.27cm 2
≅ 0.0224
1750.0cm 2
2.3) Verificación de la capacidad de la sección determinada
Se verifica la capacidad de la columna mediante el la ecuación de Bresler.
1
1
1
1
=
+
−
Pn Pnxo Pnyo Po
- Po
Po = 0.85 ⋅ f c' ⋅ ( Ag − Ast ) + f y ⋅ Ast = 0.85 ⋅ 25MPa ⋅ (1750 − 39.27 ) ⋅10 −4 m 2 + 420 MPa ⋅ 39.27 ⋅10 −4 m 2
⇒ Po = 5.284 MN = 5284.00kN
- Pnxo ⇒ ex = 0 ; ey =
M ux 195.00kNm
=
= 0.15m
Pu
1300.10kN
Diagrama → γ = 0.84 , sección con armadura distribuida en todas las caras
h 0.50m
Pendiente línea radial →
=
= 3.33 (en los diagramas aparece como e/h, o sea la
e y 0.15m
inversa
ey
h
= 0.3 ). Debe tenerse en cuenta que los ejes del diagrama están en escalas distintas.
Curva → ρ = 0.0224 (corresponde a un valor intermedio de curva entre las de ρ = 0.020 y
ρ = 0.030 . Podría hacerse también una interpolación. Acá se toma un valor intermedio
aproximado).
Diagrama II .9 con γ = 0.80 ⇒ n ≅ 9.12 MPa
Diagrama II .10 con γ = 0.90 ⇒ n ≅ 10.0 MPa
→ Para γ = 0.84 ⇒ n = 9.472 MPa
n=
φ ⋅ Pnxo
Ag
⇒ Pnxo =
n ⋅ Ag
φ
9.472 MPa ⋅ 0.175m 2
=
= 2.55MN
0.65
⇒ Pnxo = 2550.00kN
- Pnyo ⇒ ey = 0 ; ex =
M uy
Pu
=
65.00kNm
= 0.05m
1300.00kN
Diagrama → γ = 0.77 , sección con armadura distribuida en todas las caras
b 0.35m
(en los diagramas aparece como e/h, o sea la
Pendiente línea radial →
=
= 7.0
ex 0.05m
e
inversa x = 0.14 )
b
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Curva → ρ = 0.0224
Diagrama II .8 con γ = 0.70 ⇒ n ≅ 14.30 MPa
Diagrama II .9 con γ = 0.80 ⇒ n ≅ 16.20 MPa
→ Para γ = 0.77 ⇒ n = 15.63MPa
n=
φ ⋅ Pnyo
Ag
⇒ Pnyo =
n ⋅ Ag
φ
=
15.63MPa ⋅ 0.175m 2
= 4.208MN
0.65
⇒ Pnyo = 4208.00kN
- Resistencia Nominal:
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
− =
+
−
= 4.405 ⋅10−4
Pn Pnxo Pnyo Po 2550.00kN 4208.00kN 5284.00kN
kN
⇒ Pn = 2269.90kN
- Verificación de aplicabilidad del método de carga inversa
debe ser Pn ≥ 0.10 ⋅ Po
⇒ 2269.90kN > 0.10 ⋅ 5284.00kN = 528.40kN
✓
- Verificación de resistencia
φ ⋅ Pn ≥ Pu
⇒
φ ⋅ Pn = 0.65 ⋅ 2269.90kN = 1475.43kN > Pu = 1300.00kN ✓✓
Con lo cual la sección cumple con la resistencia para el valor de carga último y las
excentricidades dadas.
Puede verse que, tanto en el ejemplo de sección cuadrada como en este, hay un “exceso” de
resistencia que deriva de la adopción de las armaduras a disponer, ya que si se toma la cuantía
exacta dada por el método aproximado de McCormac los resultados son más ajustados.
También, es importante tener en cuenta que es parte de un proceso de optimización de la
sección hacer que los resultados obtenidos sean más ajustados (modificando la sección bruta
de hormigón y/o combinando diámetros de barras a usar para obtener una cuantía mas
ajustada).
Finalmente se dispone la sección de la columna con:
- Barras longitudinales → 8 db 25mm
- Estribos → dbe=8mm (diámetro en función de los diámetros de barras longitudinales)
12db = 12 ⋅ 2.5cm = 30.0cm

Separación máxima s ≤ 48bbe = 48 ⋅ 0.8cm = 38.4cm ⇒ smax = 30.0cm
b = 35cm

Diseño a flexo-compresión oblicua
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- Verificación de las condiciones de arriostramiento de las barras longitudinales:
En este caso se tiene:
15 ⋅ d be = 15 ⋅ 0.8cm = 12cm
Lado dirección “x”
x=
b − 2 ⋅ ( cc + dbe ) − 3 ⋅ db
2
=
35cm − 2 ⋅ ( 2 + 0.8 ) cm − 3 ⋅ 2.5cm
2
= 10.95cm < 12cm
Lado dirección “y”
x=
h − 2 ⋅ ( cc + dbe ) − 3 ⋅ db
2
=
50cm − 2 ⋅ ( 2 + 0.8 ) cm − 3 ⋅ 2.5cm
2
= 18.45cm > 12cm
→ deben arriostrarse las barras intermedias de las caras en dirección “y”.
→ se disponen:
- Estribos cerrados 1 dbe 8mm c/ 30cm
- Arriostramiento para barras medias 1 dbe 8mm c/ 30cm
Diseño a flexo-compresión oblicua
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Diseño a flexo-compresión oblicua