PTIV: Problemas Tema IV (Comunicaciones digitales) 1 1) Se desea

PTIV: Problemas Tema IV (Comunicaciones digitales)
1) Se desea transmitir un mensaje de 100 caracteres alfanuméricos en 2 segundos. Los
caracteres se codifican con ASCII de 7 bits, más un bit de paridad. El sistema de
transmisión empleado utiliza un alfabeto de M=16 símbolos. Determinar el número de
símbolos en el mensaje, la velocidad de símbolo y la velocidad binaria. Si ahora se
utiliza un alfabeto de M=64 símbolos, ¿qué cambia?.
2) Se considera un sistema de transmisión digital basado en el conjunto de señales
{sm(t)}m=1,..,4 de la figura.
a) Indicar para que valor de c constituye ψ1, ψ2 un sistema ortonormal.
b) Hallar el desarrollo de las señales respecto del sistema ortonormal (obsérvese
que puede hacerse de forma gráfica)
c) Calcule la relación entre a y b para que el conjunto de señales formen una
constelación cuadrada tipo 4-QAM.
3) Una fuente binaria entrega un uno o un cero con probabilidades respectivas
p0=p1=1/2 cada T=10-3 seg. El símbolo “1” se transmite enviando una tensión de 1V. El
símbolo “0” se codifica con la ausencia de señal (= 0V). En el camino se suma un ruido
blanco gaussiano. El receptor consta de un filtro paso-bajo de ancho de banda
suficientemente grande para no distorsionar la señal de información y limitar la potencia
de ruido a Pno=0.52 W. Si después del filtro sólo se toma una muestra de la señal
recibida:
a) Diseñar la regla óptima de decisión.
b) Determinar la Pe.
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4) Un sistema de comunicaciones puede transmitir dos símbolos (“0” y “1”) enviando la
señal correspondientes. Por el camino se añade ruido y finalmente se muestrea
obteniendo una cantidad z en el receptor. z es una variable aleatoria, cuya fdp es la
siguiente, dependiendo de que se haya enviado un “1” o un “0”:
⎧2(1 − z ), 0 ≤ z ≤ 1
f ( z| tx "0") = ⎨
,
resto
0,
⎩
⎧ z
⎪1 − , 0 ≤ z ≤ 2
f ( z| tx "1") = ⎨ 2
⎪⎩ 0,
resto
En recepción se hace la decisión comparando con un umbral γ.
a) Determinar las probabilidades P(dec “0”|tx “1”) y P(dec “1”|tx “0”)
b) Suponiendo que los símbolos son equiprobables p0=p1=1/2, hallar el umbral
óptimo y la Pe
c) Hacer lo mismo suponiendo p0=2/3 y p1=1/3.
5) Una transmisión digital en banda base utiliza un código Manchester (ver transp. 11
tema III.1). Suponiendo que el canal añade ruido blanco gaussiano con densidad
espectral de potencia η, diseñe el receptor óptimo y calcule la potencia de señal
transmitida si la Pe debe ser inferior a 10-6 (utilizar curvas de la transp. 8 tema III.1).
Datos: La atenuación del canal es 30 dB, la d.e.p. es η=10-8W/Hz y el caudal de
información es Rb=48kbps.
6) Se considera un sistema de transmisión digital formado por las señales de la figura,
con T=1.
a) Hallar una base ortonormal del subespacio de señal mediante el algoritmo de
Gram-Schmidt
b) Hallar las coordenadas de cada señal de la constelación respecto de la base
c) Diseñar un receptor óptimo para este sistema
d) Si la componente de señal recibida r(t) es la de la figura, hallar su proyección
sobre el espacio de señal y la parte ortogonal a él.
e) ¿Qué señal decidirá el receptor qué se ha mandado? ¿Qué vector de ruido ha
supuesto el receptor que se ha producido?
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7) Sean las constelaciones de las figuras 1,2,3 y 4.
a) Si el valor de A en todos los casos es igual, ¿que constelación tendrá mejor
comportamiento frente al ruido, la 3 o la 4?.
b) Determinar el valor de A en cada una de ellas para que la potencia media sea
igual en todas a Ps.
c) De entre todas ellas, ¿cual tiene mejor comportamiento en canales con
problemas de no-linealidades y/o desvanecimientos?
8) Un sistema transmite señales cada periodo T con M amplitudes diferentes Am=A(2m1-M), proporcionales a un pulso de la forma g(t)= e-at, 0≤t≤T, a>0. El ruido del sistema
se puede modelar como una fuente de ruido blanco y gaussiano de densidad espectral η
a la entrada del receptor. Entre el emisor y el receptor hay un canal de ancho de banda
ilimitado cuyo efecto es una atenuación de 50dB.
a) Escribir las señales del código de línea, determinar una base del subespacio de
señal y representar la constelación
b) Diseñar un receptor óptimo para este sistema, indicando los instantes de
muestreo y la regla de decisión.
Suponga a partir de ahora que M=2.
c) Calcular la Probabilidad de error teórica de este sistema para el caso de M=2
señales.
d) Si en el receptor llega una potencia de 10 mW, η=10-8W/Hz y se quiere
diseñar el sistema para tener una PE=10-5, ¿que régimen binario máximo Rbmax
puede haber en el sistema?.
e) Si la potencia del receptor está atenuada 30 dB respecto de la del emisor,
¿Si se escoge a como el inverso de periodo de símbolo, cuánto vale A?.
f) Si el sistema se cambia y ahora se transmiten los pulsos con dos amplitudes 0
y A’, para la misma potencia de 10 mW en el receptor, ¿podría mejorar el
régimen binario máximo?, ¿cuánto?¿cambiaría el valor de A’?
g) Si se trasmitieran M=8 señales, ¿cual sería Rbmax? (utilizar las curvas de la
transp. 18 del tema III.4).
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9) Se muestrea con la frecuencia de muestrea fs mínima posible una señal de 4 KHz de
ancho de banda. Las muestras se cuantifican con 256 niveles que se transmiten por un
sistema de modulación digital. La modulación puede ser 2-ASK, QPSK ó 64 QAM.
a) Indicar, para cada una de ellas la mínima anchura de banda necesaria para
transmitir sin IES.
b) ¿Qué modulación elegiría en el caso de que sólo se dispusieran de 25KHz de
ancho de banda de canal y hubiese un amplificador fuertemente no lineal?
c) Si se utilizara FSK, cual debería ser la separación entre portadoras? ¿Qué
ancho de banda se requeriría para M=2?
10) En un sistema de transmisión digital a través de un canal paso-bajo de ancho de
banda Wc se utiliza una modulación digital PAM en banda base. Se conoce la forma del
espectro X(f)=G(f)Hc(f)Hr(f) del pulso básico a la salida del filtro del receptor, que
debido al ancho de banda limitado del canal es cero para frecuencias mayores que
|f|>Wx=Wc (Wx es el ancho de banda del espectro X(f)).
a) Para cada uno de los casos de la figura, indicar cual es la máxima velocidad
de símbolo posible que puede utilizarse en el sistema sin que haya Interferencia
entre símbolos (IES).
b) ¿Si la única restricción del sistema fuera la IES, cuál será la máxima
velocidad binaria que se puede transmitir por el canal? ¿Existiría alguna otra
limitación?.
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