Estadıstica y Probabilidad TÉCNICAS DE CONTEO Universidad del

Estadı́stica y Probabilidad
TÉCNICAS DE CONTEO
Universidad del Cauca
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Principio multiplicativo: Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, donde el primer paso puede ser
llevado a cabo N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o
formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:
N1 × N2 × ... × Nr
Los pasos no son excluyentes, sino que es posible realizarlos juntos o en sucesión.
Ejemplo: Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir: Los cimientos de concreto
o bloques de cemento, las paredes de adobe, adobón o ladrillo, el techo de concreto o lámina y los acabados de una
sola manera. ¿Cuántas maneras tiene esa persona para construir su casa?
Solución: Considerando que r = 4 pasos y:
N1
N2
N3
N4
=
=
=
=
Maneras
Maneras
Maneras
Maneras
de
de
de
de
construir
construir
construir
construir
cimientos = 2.
paredes = 3.
el techo = 2.
los acabados = 1.
Luego, las maneras de construir la casa son:
N1 × N2 × N3 × N4 = 2 × 3 × 2 × 1 = 12. formas de construir la casa.
Ejercicio: Se quiere construir placas para automóvil que deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si
las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dı́gitos del 0 al 9. ¿Cuántas placas son posibles si:
1. Es posible repetir letras y números? R:/ 196.830.000
2. No es posible repetir letras y números? R:/ 88.452.000
3. Cuántas placas del inciso anterior empiezan por la letra D seguida de la letra G? R:/ 126.000
Principio aditivo: Bajo las mismas premisas que en el principio anterior, pero en este caso la tarea tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la
segunda alterntativa puede ser realizada de N maneras o formas y la última de las alternativas puede ser realizada
de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de:
M + N +...+ W maneras o formas.
En este principio las tareas no es posible realizarlas juntas o en sucesión pues son mutuamente excluyentes.
Ejemplo: Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado seleccionar entre las marcas
Whirpool (W), Easy (E) y LG. Cuando va a hacer la compra encuentra las siguientes caracterı́sticas en cada marca:
W tiene: Dos tipos de carga, cuatro colores difrentes, automática y semiautomática.
E tiene: Tres tipos de carga, dos colores diferentes, automática y semiautomática.
LG tiene: Un tipo de carga, dos colores diferentes y semiautomática.
¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución: Sean
M : Número de maneras de seleccionar W = 2 × 4 × 2 = 16.
N : Número de maneras de seleccionar E = 3 × 2 × 2 = 12.
O : Número de maneras de seleccionar LG= 1 × 2 × 1 = 2.
Luego,
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras o formas de seleccionar una lavadora.
Ejercicio: Juan quiere ir a las Vegas o Disneylandia desde la ciudad de Morelos. Para ir a las Vegas: Tiene 3 medios
de transporte para ir de Morelos al Paso Texas y del Paso Texas a las Vegas tiene 2 medios de transporte, mientras
que para ir del Paso Texas a DisneyLandia tiene 4 medios de transporte.
1. ¿Cuántas maneras diferentes tiene Juan de ir a las Vegas o Disneylandia? R:/ 18.
2. ¿Cuántas maneras tiene Juan de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el
mismo medio de transporte en el que se fue? R:/ 84.
PERMUTACIÓN Es todo arreglo de elementos en donde SI interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de
los elementos que constituyen dicho arreglo. La expresión que permite determinar las permutaciones de r objetos
tomados de entre n objetos es:
n Pr
=
n!
(n−r)!
Tenga en cuenta: No se pueden repetir objetos dentro del arreglo, (los objetos son diferentes).
¿Qué expresión se usa para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?
Sustituya n en lugar de r
Ejemplo: ¿Cuántas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal si esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del
sindicato de una empresa?
Solución:
-Por el principio multiplicativo:
25 × 24 × 23 × 22 × 21 = 6.375.600 maneras
-Por fórmula:
n = 25 y r = 5
25 P5
=
25!
(25−5)!
=
25!
(20)!
= 6.375.600 maneras
Ejercicio: ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una
carrera de fórmula uno? R:// 40.320.
Ejercicio:
1. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones principales de una compañı́a, si el equipo de trabajo consta
de 12 integrantes? R:/ 95.040.
2. ¿Cuántas maneras hay de asignar las posiciones si una de ellas sólo puede ser ocupada por Juan Diaz? R:/ 7920.
3. ¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones si es necesario que en una de ellas esté Juan Diaz y Jhon
Days? R:/ 720.
Permutaciones con repetición: En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para hacer los arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá una fórmula que nos permite
obtener las permutaciones de n objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son iguales.
n Px1 ,x2 ,...,xk
=
n!
x1 !x2 !...xk !
Donde x1 + x2 + ... + xk = n
Ejemplo: Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos,
tres son verdes y uno morado.
Solución: Se tiene: n= 6 banderines, x1 = 2 banderines rojos, x2 = 3 banderines verdes, x3 = 1 banderı́n rojo. De
esta manera:
6 P2,3,1
=
6!
2!3!1!
= 60 señales diferentes.
Ejercicio: ¿De cuántas maneras es posible plantar en una lı́nea divisora de un terreno dos nogales, cuatro manzanos
y tres ciruelos? R:/ 1260.
Pruebas Ordenadas: Se llama prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n objetos contenidos en
una urna uno tras otro.
Una prueba ordenada puede ser llevada a cabo de dos maneras:
1. Con sustitución
En este caso se procede a seleccionar el primer objeto de entre los n que hay, se observará de qué tipo es y se
procede a regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta seleccionar los
r objetos de prueba.
Luego, el número de pruebas ordenadas con sustitución se obtiene con la expresión: nr
2. Sin sustitución En este caso se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna, luego
se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite hasta completar los r objetos de la prueba.
Luego, el número total de pruebas ordenadas sin sustitución se obtiene con la expresión: n Pr
Ejemplo: Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios de un sorteo en donde el primer premio es un
apartamento, el segundo es un carro y el tercer premio es un computador, si los participantes son 120 personas?
a) Con sustitución
b) Sin sustitución
Solución:
a) Con sustitución
- Por fórmula: Se tiene: n = 120 y r = 3
nr = 1203 = 1.728.000.
- Por principio multiplicativo:
b) Sin sustitución
- Por fórmula: Se tiene: n = 120 y r = 3
n Pr
=120 P3 =
120!
(120−3)!
= 1.685.040.
- Por principio multiplicativo:
Ejercicio: Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de fórmula k,
si participan 26 autos en esta carrera? R:/ 7.893.600.
Ejercicio: ¿Cuántas maneras hay de asignar el órden de participación de los primeros cinco concursantes de
11 finalistas de una licitación para proveer a los empleados de cierta compañı́a? R:/ 55.440.