Suma y resta de enteros

LECCIÓN 8
bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a 81 metros
bajo el nivel del mar. ¿Cuál de los dos está más cerca
de la superficie?
d) El saldo de la empresa “Caluro, S.A.” es de $12 807 en
números rojos, y el de la empresa “Forzo, S.A.” es de
$6 014 en números negros. ¿Cuál de las dos está en
mejor situación?
Lección 8: Suma y resta
de en teros
Con los números enteros también se hacen operaciones.
En este curso veremos sólo la suma y la resta con enteros, y
en el próximo curso se verán las otras operaciones. Aquí ya
vimos la suma de números positivos y la resta de números
positivos cuando el sustraendo es menor que el minuendo.
Ahora vamos a ver suma y resta de negativos y de negativos
con positivos; y también la resta de números positivos cuando
el sustraendo es mayor que el minuendo. Trabajaremos en
primer lugar con esta última.
Resta de enteros positivos con el
sustraendo mayor que el minuendo
Recuerde que nos interesaron los números negativos porque
permiten expresar situaciones como “si tengo $20 y me gasto
$27, quedo a deber $7”. Si queremos expresar esta situación
con una operación, tendremos una resta en la que el
sustraendo es mayor que el minuendo: 20 – 27 = –7.
En general, si queremos restar un número mayor de uno
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
menor el proceso es muy similar a lo que hacemos al gastar
restar 53
restar 14
-14
restar 39
0
39
más de lo que tenemos: gastamos lo que tenemos y luego
empezamos a deber. Por ejemplo, si restamos 39 – 53,
primero descomponemos el sustraendo en dos partes: una
igual al minuendo y otra igual a lo que sobre: 53 = 39 + 14.
Entonces al minuendo, 39, le restamos la primera parte del
sustraendo, hasta quedar en cero, y luego restamos la otra
parte, lo que nos va a dar un resultado negativo:
39 – 53 = 39 – 39 – 14 = 0 – 14 = –14.
Observe que para descomponer 53 tuvimos que restar 53 – 39
= 14. Este resultado nos da la cantidad que “quedamos a
deber”, y sólo le falta el signo menos. Siempre podemos
hacer la resta de esa manera, restamos el número chico
del grande y al resultado le ponemos signo negativo:
39 – 53 = – (53 – 39) = –14
Tenemos entonces dos maneras de restar enteros positivos
cuando el sustraendo es mayor. Observe que dan el mismo
resultado:
84
LECCIÓN 8
• restamos el número chico del grande y al resultado le
ponemos signo negativo; por ejemplo
192 – 652 = –(652 – 192) = –460.
• descomponemos el sustraendo en dos partes: una igual
al minuendo y otra igual a lo que sobre, restamos hasta
quedar en cero y luego la otra parte; por ejemplo
192 – 652 = 192 – 192 – 460 = 0 – 460 = –460
Haga las siguientes restas con el método que usted prefiera:
a) 13 – 386 =
e) 103 – 505 =
i) 265 – 1571 =
b) 168 – 925 =
f) 1397 – 6998 =
j) 635 – 661 =
c) 287 – 740 =
g) 4481 – 6248 =
k) 561 – 870 =
d) 81 – 99 =
h) 50 – 566 =
l) 4366 – 73637 =
Suma de números enteros
Vamos ahora a sumar números negativos y números positivos
con negativos. Analicemos en primer lugar la suma de
números negativos.
Si sumamos dos negativos sólo estamos haciendo crecer la
“deuda”. Se suman los números sin considerar el signo y
al resultado se le pone signo negativo. Vea los ejemplos:
+
–12
–5
–17
+
–644
–360
–95
–1099
+
–42
–782
–89925
–662
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
–91411
Si queremos escribir las operaciones anteriores en
un renglón tenemos que poner paréntesis para que no se
nos junten los signos:
–12 + (–5) = –17
–644 + (–360) + (–95) = –1099
-12
+ 5
-7
-4
+ 36
+ 32
–42 + (–782) + (–89925) + (–662) = –91411
Veamos ahora la suma de un número positivo
y un negativo.
Si sumamos un positivo y un negativo estamos haciendo “corte
de caja”. Es decir, “pagamos deudas” con lo que
tenemos y seguimos debiendo o no según lo que tengamos.
Si debemos más de lo que tenemos, seguimos endeudados.
Si debemos menos de lo que tenemos nos queda dinero.
Por ejemplo:
Si debemos $12, tenemos $5 y pagamos, seguimos
debiendo $7.
Si debemos $4, tenemos $36 y pagamos, nos quedan
$32.
Observe que se puede restar el número de mayor valor
86
LECCIÓN 8
absoluto menos el de menor valor absoluto y ponerle al
resultado el signo del número de mayor valor absoluto. Esto
es, primero vemos los números “como si no tuvieran signo”,
y de esta manera restamos el menor del mayor, y luego le
ponemos al resultado el signo del mayor.
En los dos ejemplos anteriores observe que hemos denotado
los números positivos 5 y 36 como +5 y +36: esto
es sólo para remarcar los signos de todos los sumandos.
Por último, veamos cómo efectuar una suma con más de dos
sumandos enteros. Por ejemplo, consideremos la operación
–11 + (+88) + (–91). Podemos efectuar la operación de dos
maneras:
• Podemos sumar los dos primeros, al resultado sumarle
el siguiente número, y seguir en esa forma hasta
acabar:
–11 + (+88) + (–91) = 77 + (–91) = –14.
• Podemos también cambiar de orden los sumandos
siempre y cuando no olvidemos ponerle a cada número
su signo. En nuestro ejemplo podemos sumar primero
los negativos:
–11 + (+88) + (–91) = –11 + (–91) + (+88) = –102 + (+88) = –14.
Haga las siguientes sumas de números enteros:
a)
b)
–82
c)
–499
–169
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DE
MATEMÁTICAS I
+
–57
–30
d)
+
–334
–275
e)
–778
+ –533
–1875
–79
+
–62
–49
f)
+
–37
–44
–188
–537
–900
+ –223
–9378
–44364
g) –32 + (–4) =
h) –60 + (–42) + (–71) =
i) –906 + (–826) + (–672) + (–217) =
j) –784 + (–64) + (–4101) + (–149) =
Haga las siguientes sumas de números enteros:
a)
b)
+
88
+40
–50
c)
+
–32
+55
+
+271
–952
LECCIÓN 8
d)
e)
–350
+ +131
f)
+6812
+ –1110
–3892
+ +528
g) +527 + (–261) =
i) +825 + (–67) =
h) –504 + (+480) =
j) –658 + (+861) =
Haga las siguientes sumas de números enteros:
a) –27 + (–19) + (+31) + (12)
b) +82 + (–7) + (+5) + (–2) + (–13)
c) –608 + (+102) + (–327) + (+14) + (–1006)
d) –248 + (–624) + (–26) + (+879) + (+904)
Resta de números enteros
Ya vimos cómo se restan los números positivos. Veamos ahora
cómo se restan dos números negativos y un número positivo
con uno negativo.
Regresemos al primer ejemplo de esta lección. Si tenemos
$20 y gastamos $37, quedamos a deber $17. Si ahora pagamos
$12, debemos $5. Podemos interpretar y escribir estas
operaciones de las siguientes maneras:
Se quitan 37: 20 – 37 = –17 o bien, se agrega una deuda de 37:
20 + (–37) = –17.
Se agregan 12: –17 + 12 = –5 o bien, se quita una deuda de 12:
–17 – (–12) = –5.
Observe que siempre interpretamos “quitar” como una resta,
“agregar” como una suma, y “una deuda” como un número
negativo.
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Si quitamos una cantidad positiva obtenemos lo mismo que si
sumamos un negativo:
20 – 37 = 20 + (–37) = –17
Si quitamos una deuda estamos restando un número negativo
y obtenemos lo mismo que si agregamos un número positivo:
–17 – (–12) = –17 + 12 = –5
Lo que acabamos de observar nos permite convertir las restas
que tienen números negativos en sumas, que ya sabemos
resolver.
En lo sucesivo hablaremos únicamente de sumas de números
enteros pues, como acabamos de ver, todas las restas se
pueden convertir en sumas:
• Restar un número positivo es lo mismo que sumar un
número negativo.
• Restar un número negativo es lo mismo que sumar un
número positivo.
Para hacer las siguientes restas de números enteros, primero
conviértalas en sumas:
a)
b)
–
90
+40
–50
c)
–
–61
+35
–
+82
–89
LECCIÓN 8
d)
e)
–811
– +218
Día
f)
+1188
– –2009
–2508
– +949
Entradas
Salidas
Saldo del día
Saldo acumulado
($)
($)
($)
($)
Lunes
340
1080
Martes
256
270
Miércoles
524
0
Jueves
328
96
Viernes
134
140
Sábado
395
85
Domingo
520
0
Total
g) +119 – (–749) =
i) +983 – (–54) =
h) –7702 – (+837) =
j) –714 – (+608) =
Santiago le debe $125 a Camila y $130 a Miguel. La próxima
quincena recibirá $780 y piensa pagarles.
a) ¿Cuánto debe pagar por sus deudas?
b) ¿Con cuánto dinero se quedará Santiago la próxima
quincena?
Doña Lola registra cada noche los ingresos y egresos que
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GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
tuvo ese día en su tiendita. En la tabla que se muestra a
continuación aparecen los datos que anotó la última semana.
Responda las siguientes preguntas:
a) Complete la tabla anotando el saldo correspondiente a
cada día y el que se va acumulando al agregárselo al
del día anterior.
b) ¿Con qué saldo quedó doña Lola el martes por la noche?
c) ¿Qué día doña Lola comenzó a tener un saldo positivo?
d) ¿Cuánto pagó doña Lola esa semana ?
e) Según doña Lola, la semana anterior a la que se muestra
obtuvo $150 más de saldo, aunque tuvo que pagar 85
pesos más. ¿Cuáles fueron en total la entrada y la salida
de esa semana?
En la siguiente tabla se muestran las temperaturas observadas en algunas ciudades a las 7, 15 y 22 horas de un día de
enero del año pasado. Considere la información de la tabla
para responder las preguntas que se hacen a continuación.
Ciudad
92
7 horas
15horas
22 horas
LECCIÓN 9
Toluca
–3º
7º
–2º
Guadalajara
6º
20º
9º
Monterrey
–4º
0º
–1º
Distrito Federal
2º
13º
4º
Acapulco
18º
29º
21º
a) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a
las 7 de la mañana?
b) ¿En cuál ciudad se registró la temperatura más baja a
las 10 de la noche?
c) ¿Cuánto aumentó la temperatura en cada ciudad entre
las 7 de la mañana y las 3 de la tarde?
d) ¿Cuánto disminuyó la temperatura en cada ciudad entre
las 3 de la tarde y las 10 de la noche?
Lección 9: Fracciones
decimales
Sistema de numeración
No siempre podemos trabajar con unidades enteras. Con
frecuencia tenemos que partir lo que tenemos para usarlo.
En esta lección veremos una manera de expresar partes de
una unidad a través del sistema de numeración decimal,
que ya hemos empezado a estudiar.
Recuerde que nuestro sistema de numeración es decimal
porque agrupa de diez en diez las unidades, decenas, etc.;
y es posicional porque el lugar que ocupa una cifra nos dice
de qué tamaño son los grupos que estamos contando. Para
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