Momento Magnético - LABORATORIOS FÍSICA UNAH | Walter

Momento
un Imán
Magnético
de
Ley de Faraday y Momento de torsión
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Facultad de Ciencias
Escuela de Fı́sica
Asignatura: Laboratorio Avanzado II
Walter Josué Fuentes Cuéllar
20111000443
Walter Josué Fuentes Cuéllar
1
Momento Magnético de un Imán
Resumen
En el siguiente trabajo se presenta el cálculo del momento magnético de un imán, haciendolo
mediante dos métodos diferentes. Un sistema de tres bobinas donde se mide la fem inducida
producida por el movimiento del imán a través de ellas (m = (4,87 ± 0,04) × 10−3 A · m2 y
con el cual podemos comprobar la ley de inducción de Faraday; comparamos con el resultado
determinado si contamos con las oscilaciones que efectua un imán cuando intenta estabilizarse
al estar inmerso en un campo magnético uniforme (bobina de Helmholtz), el cual se llevo a
cabo elaborando una regresión lineal del cuadrado de la frecuencia angular del imán vrs.el
cociente de la magnitud del campo magnético entre el momento de inercia del imán, obteniendo
m = (3,94 ± 0,60) × 10−3 A · m2 , llevandonos a concluir que el método de la ley de inducción es
más preciso para generar este dato, y conlleva a la comprobación de la ley de Faraday.
I.
Introducción
na de las expresiones que conforman las ecuaciones de Maxwell esta detallada mediante
U
la le y de inducción de Faraday, la cual describe el fenómeno que ocurre cuando un campo
magnético varia con el tiempo generando un
campo eléctrico. Pueden existir otras factores u
otras formas en las que podemos describir dicho
proceso; experimentalmente podemos considerar la fem inducida a través del movimiento de
imán pasando por una bobina. Con ello comprobariamos la ley de inducción, pero nuestro
trabajo consiste no precisamente en corrobar en
la práctica que esto es cierto, si no utlizar dicho
análisis para conocer una propiedad inherente al
imán, como lo es su momento magnético. Registrando datos de fem inducida en cierto tiempo
y haciendo las cosnideraciones fı́sicas necesarias
podemos hacer el cálculo de dicho valor; pero
se plantea un método alternativo para verificar
que los resultados obtenidos sean ciertos, esto se
hará mediante el estudio del momento de torsión
que sufre el imán al estar sometido a un campo
magnético uniforme.
Nuestro problema es claro, lo que queremos determinar es el valor de esta caracterı́stica del imán,
y pues comparando resultados de ambos métodos, veremos que se cumple la ley de inducción
de Faraday.
II.
Objetivos
Determinar el momento magnético de un
imán, mediante la aplicación de la ley de
Faraday y considerando el momento de torsión.
1 Esto
Comprobar experimentalmente la ley de
Faraday, detectando la fem inducida al
atravesar un imán por una bobina.
III.
Marco Teórico
Leyce: de Faraday de la inducción estable”La fem inducida en una espira cerrada
es igual al negativo de la tasa de cambiodel flujo magnético a través de la espira
con respecto al tiempo.”[1]
εind = −
dΦ
dt
(1)
Con respecto al signo o dirección de esta corriente inducida, aplicamos la ley de Lenz1 :
”La dirección de cualquier efecto de la
inducción magnética es la que se opone
a la causa del efecto.”[1]
Para nuestro trabajo usaremos dos formas
de calcular el momento magnético del imán.
I. Usando la ley de Faraday
Campo magnético del imán
Consideramos que el imán es pequeño con
respecto a las dimensiones de la bobina;
hacemos una aproximación de multipolos
magnéticos, orientando el momento dipolar
m
~ a lo largo del eje[2]:
es consecuencia del principio de conservación de la energı́a.
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2
Momento Magnético de un Imán
Según la ley de Faraday tenemos que:
εind = −
εind =
~ × ~r
~ dip (~r) = µ0 m
A
4π r2
(2)
dΦ
dΦ dz
dΦ
=−
=− v
dt
dz dt
dz
3µ0 mN a2
zv
5
2
2
(a + z 2 ) 2
(7)
donde v es la velocidad con la que pasa
el imán por la bobina. Experimentalmente
podemos determinar la velocidad con la
que viaja el imán y haciendo uso de una
interfase conectada a un computador tener
el registro para los valores de corriente inducida en términos de fem (Voltios).
Si usamos el criterio de la primera derivada,
y encontramos los valores máximos para la
fem inducida tenemos:
Tenemos que m
~ = I~a, donde ~a es el vector
de área e I es la corriente.
24µ0 mN v
(8)
εind,M ax = ±
5
µ
m
2 a2
0
(5)
~
B=
(2 cos θr̂ + sin θθ̂)
(3)
4πr3
Para calcular el flujo magnético consideramos el imán en el origen, y consideramos la
superficie limitada por la bobina (esfera).
~ · d~a = µ0 m 2 cos θ r2 sin θdθdφ
B
4πr3
Z π Z 2π Z
µ0 m
~
2
cos
θ
r2 sin θ dθ dφ
Φ = B·d~a =
4πr3
0
0
Z θ0
µ0 m
Φ=
2(2π)
cos θ sin θ dθ
4πr
0
µ0 m
sin θ02
Φ=
(2)(2π)
4πr
2
Entonces para calcular el momento
µ0 m
2
magnético usaremos la expresión:
Φ=
sin θ0
(4)
2r
5
Esta expresión es para una espira, consideεind,M ax (5) 2 a2
rando las N espiras:
m=
(9)
24µ0 N v
µ0 mN
Φ=
sin2 θ0
(5)
2r
Del gráfico generado podemos obtener el
valor de la velocidad considerando un mona
2
2 12
Tenemos que r = (a + z ) , y sin θ0 = r
taje de tres bobinas conectadas en serie, la
cual estará conectada a la interfase.
2
µ0 mN
a
Φ=
(6)
1
2r (a2 + z 2 ) 2
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3
Momento Magnético de un Imán
análisis se considera que:
t1 = τ2 − τ1
(13)
t2 = τ3 − τ1
(14)
Con las ecuaciones (11)-(14) generamos un
sistema de ecuaciones con las cuales obtenemos el valor de v0 y de a. Ahora estamos
listos para calcular el valor de v:
v = v0 + at
(15)
Donde usaremos el tiempo en la bobina 3
(τ3 ), debido a que podemos aproximar una
velocidad terminal constante.
Para calcular la velocidad:
Consideramos una aceleración constante
(diferente al valor de la gravedad), tenemos
una expresión:
1
y = y0 + v0 t + at2
2
(10)
Asumimos un t0 en la primera bobina, en
la siguientes t1 y t2 , respectivamente. Con
lo cual tendremos dos expresiones con respecto a la posición:
1
y1 = v0 t1 + at21
2
~
~τ = m
~ ×B
Si colocamos un imán cı́lindrico dentro de
un campo uniforme, podemos analizar el
movimiento oscilatorio que este sufre.
Στ = Iα
d2 θ
dt2
Consideramos que el ángulo es pequeño.
−mB sin θ = I
(11)
1
y2 = v0 t2 + at22
(12)
2
Donde y1 es la distancia de la primera bobina a la segunda y y2 es la distancia de la
primera a la tercera bobina. Las lecturas de
los tiempos corresponderán a los tiempos
que trasncurren entre cada bobina, pero
los datos seran tomados del gráfico que se
genera con el computador, debido a que
esté comienza a contar el tiempo a partir
de que se suelta el imán y luego comienza
el registro. Para esto asignamos que t0 = 0,
y los datos de tiempo obtenidos son τ1 , τ2
y τ3 corresponde al tiempo en que el imán
pasa por cada bobina, pero para nuestro
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II. Usando el momento de torsión
magnética
Cuando un dipolo magnético m
~ se coloca
en una región donde existe una inducción
magnética uniforme, se observa que el dipolo comienza a oscilar debido al momento
de torsión magnética.
−mBθ = I
d2 θ
dt2
d2 θ
mB
=−
θ
(16)
dt2
I
Resolviendo la ecuación diferencial, la cual
corresponde a la del oscilador armónico
simple tenemos:
θ = θ0 cos(ωt + φ)
Donde:
r
mB
(17)
I
Para un cı́lindro el momento de inercia con
respecto al eje que pasa en su centro es:
ω=
I=
1
M L2
12
4
Momento Magnético de un Imán
V.
y la inducción magnetica será:
B = Bth +
8µ0 N i
3
52 a
(18)
Si variamos la corriente y medimos la frecuencia de las oscilaciones, podemos obtener el valor de m, haciendo una regresión
lineal; para nuestro caso y = ω 2 , y x = BI ,
donde el valor del momento magnético corresponderá a la pendiente de dicho gráfico.
IV.
Equipo y materiales
Imán de neodimio
Bobina de Helmholtz
Multı́metro
Cables conductores
Hilo
Procedimiento Experimental
Parte I. Usando la ley de Faraday
Para esta parte de la experiencia hacemos
uso de un sistema de tres bobina conectadas en serie en un tubo e igualmente
espaciadas; dicho sistema presenta dos
puntas que permiten conectar la interfase
y está a su vez se conectara al computador
donde se registraran los datos obtenidos.
Colocamos el sistema de bobinas en la
pared, tratando de ponerlo lo más perpendicular posible para evitar que el imán
pegue con las paredes del tubo. También
se debe tener el cuidado que la zona de
trabajo este libre de cable y conexiones
para evitar la influencia de ruidos en las
señales reportadas.
Los elementos dentro del circuito estan en
serie, y agregamos un capacitor variable
para filtrar las señales que pasen por la
interfase y se registren en el computador;
ya con todo el montaje listo, dejamos caer
el imán a través del tubo, previamente activando la lectura del programa. Es necesario
tener algo debajo del tubo para retener la
caida del imán y cuidar que no se dañe.
Generamos el gráfico y analizamos nuestros resultados, de este lo que tomaremos
en cuenta son los tiempos que le toman al
imán pasan por las bobinas y el valor de
los picos para la fem inducida. Aplicamos
el sistema de ecuaciones planteados en
el marco teórico y usando la ecuación (9)
obtenemos el valor del momento magnético
del imán.
Balanza
Pie de rey
Fuente de corriente DC
Interfase
Programa analizador de videos, Tracker
Brújula
Resistor Variable
Capacitor variable
Cinta metrica
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Parte II. Usando el momento de Torsión
Usaremos la bobina de Helmholtz para registrar datos debido a que con ella podemos
asegurar un campo magnético uniforme
dentro de la bobina. Ponemos una brújula
dentro de la bobina y alineamos la orietanción del campo producido por la bobina
con la componente horizontal del campo
magnético de la Tierra.
Amarramos el imán con un hilo por la
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Momento Magnético de un Imán
mitad y lo colocamos de forma que cuelgue
en el centro de la bobina, sin aplicar ninguna corriente sobre las espiras veremos
que este oscila debido al campo magnético
terrestre. La conexión del circuito es en
serie, conenctado la fuente de voltaje con
la resistencia variable y esté a la bobina;
por otro lado, se conecta el multı́metro a
la bobina y la otra punta se conecta a la
fuente cerrando el circuito.
Si empezamos a variar la corriente usando
0,200A para empezar veremos como el
imán oscila, para calcular el valor del momento necesitamos conocer la frecuencia
con la que oscila y el campo magnético que
se esta aplicando para hacerlo rotar. La
magnitud del campo la podemos calcular
usando la expresión (18). Para la frecuencia debemos considerar que la oscilación
la haga con ángulos pequeños, se usará el
programa para analizar el vı́deo (Tracker),
por ello registraremos videos de dichos movimientos y con esto generaremos el tiempo
de cada oscilación y con la aplicación de
conceptos de movimiento ondulatorio obtenremos la frecuencia angular.
El modelo lineal se usará conlleva el
término del momento de inercia, para
esto debemos de medir la masa del imán
y la longitud que posee. Se tomarán 10
mediciones de estas magnitudes.
Tabulando los resultados estamos listos para generar el valor del momento magnético
del imán, como resultado de la regresión
lineal donde la pendiente de dicho ajuste
corresposnde a nuestra incognita.
VI.
Hojas de Datos
Parte I
Cuadro 1: Tabla
Resultados obtenidos mediante la interfase
τ1 (s)
τ2 (s)
τ3 (s)
εind,max (V )
N
y1 (cm)
y2 (cm)
a(m)
µ0
1.48632
1.67088
1.79822
4.512
500 vueltas
50,00 ± 0,05
100,00 ± 0,05
0.01
4π × 10−7
Parte II
Cuadro 2: Tabla
Resultados obtenidos
mediante uso de la bobina de Helmholtz
(4,2 ± 0,1) ∗ 10−8
22 Vueltas
(0,1445 ± 0,0005)
I(Kg · m2 )
N
a(m)
Cuadro 3: Tabla
N◦
T (s)
f (Hz)
ω(rad/s)
B (10−5 )(T)
1
2
3
4
5
6
2.210
2.143
2.002
1.924
1.893
1.725
0.452
0.467
0.500
0.520
0.528
0.580
2.840
2.934
3.142
3.267
3.318
3.644
2.70
4.20
5.38
5.86
7.09
7.95
Cuadro 4: Datos de la Regresión Lineal
Walter Josué Fuentes Cuéllar
N◦
B/I
1
2
3
4
5
6
642.86
1000.00
1280.95
1395.24
1688.10
1892.86
ω2
8.066
8.608
9.872
10.673
11.009
13.279
6
Momento Magnético de un Imán
VII.
Procesamiento de datos
experimentales
Parte I
Introduciendo las ecuaciones (13) y (14) en las
ecuaciones (11) y (12), respectivamente, tenemos
un sistema de ecuaciones donde haciendo uso del
programa Mathematica obtenemos los valores de
la velocidad inicial y la aceleración. Siendo los
resultados:
Parte II
Se tomaron videos para registrar los tiempos de
oscilación del imán, y se tabularon los resultados
obtenidos mediante el Tracker, considerando el
tiempo de 10 oscilaciones.
Al utilizar la expresión (17) podemos hacer una
regresión lineal con la cual obtuvimos lo siguiente:
v0 = 1,98876m/s
a = 7,80617m/s2
Con dichos valores obtenemos una expresión para
calcular la velocidad en tiempos siguientes:
v(t) = 1,98878 + 7,800617t
Donde al evaluar el valor del tiempo al que imán
pasa por la tercera bobina, obtenemos el valor
de la velocidad terminal, que usamos para hacer
el cálculo del momento magnético. Dicho valor
es v(τ3 ) = 16,026.
Evaluando los valores obtenidos y tabulados
en la ecuación (9), obtenemos el valor de:
m = (4,87 ± 0,04) × 10−3 A · m2
(19)
Se hicieron varias pruebas para ello:
Obteniendo un valor para el momento
magnético de:
m = (3,94 ± 0,60) × 10−3 A · m2
VIII.
(20)
Discusión de Resultados
arte del porblema del montaje al trabajar
P
con el sistema de las tres bobinas es debido
al movimiento del imán a través del tubo, tratando de que no golpee las paredes y se manifieste
pérdidas por fricción; con esto se debe procurar
que el sistema de las bobinas este lo más perpendicular posible. Como hacemos mediciones
directas de longitud entre bobinas y el radio de
las mismas, introducimos error al generar el dato
numérico del momento magnético del imán.
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7
Momento Magnético de un Imán
Cada uno de los montajes tuvo diferentes dificultades, pero analizando la precisión mediante la
incertidumbre porcentual de cada uno de ellos,
vemos que hacer el cálculo mediante la inducción
sobre el sistema de tres bobinas obtenemos mejores resultados (0,82 %), a diferencia de tratar
con el momento de torsión (15,28 %). Estos resultados pueden ser debido a que en el montaje
de la bobina de Helmholtz es necesario asegurar
que el campo magnético generado sea uniforme,
que el imán se encuentre al centro de la bobina,
poder alinearlo con el campo magnético de la
tierra, que sus oscilaciones las efectue barriendo
un ángulo pequeño; incluso es importante que
el área de trabajo este libre de conexiones, de
elementos metálicos que presenten alguna interacción con el imán, ya que esto contribuye a su
movimiento y a la tendencia que presenta este
elemento a orientarse y alcanzar su estabilidad.
En el sistema de las tres bobinas contribuye el
hecho de la cantidad de datos por segundo que
puede tomar la interfase, con esto podemos generar un resultado más preciso; y en este montaje
se reducen los posibles errores durante la toma
de datos, por lo ya antes mencionado. Es interesante ver como la forma con la que se suelta el
imán muetsra una diferencia en el orden de los
picos del gráfico de fem inducida con respecto al
tiempo, en la imagen () sesolto el imán con uno
de sus polos hacia abajo, y luego se intercambio.
Vemos como los picos salen contrarios.
IX.
bobinas es una mejor alternativa para medir
dicha cantidad, aun cuando se asume que la
aceleración es constante; y como lo planteamos
al inicio del experimento generando nuestro resultado y comparando que andan por el mismo
orden, podemos comprobar la ley de inducción
de Faraday, validada por nuestro experimento.
X.
Referencias
1. Young, H. & Freedman, R. (2009) Fı́sica
Universitaria con fı́sica moderna (Vol. 2)
(12.a ed.). México: Pearson Educación.
2. Griffiths, D. & College, R. (1999) Introduction to Electrodynamics (3.a ed.). New
Jersey: Prentice Hall.
3. Serway,R. & Jewett,J. (2008) Fı́sica para
ciencias e ingenierı́a (Vol. 2) (7.a ed.). Distrito Federal: Cengage Learning Editores.
4. Wangsness, R. (1989) Campos Electromagnéticos. México: Impresiones Editoriales, S.A.
5. Kingman, R. & Clark S. (2001) An experimental observation of Faraday’s law of
induction Am. J. Phys. 70(6), 595-598.
Conclusiones
uestro trabajo fue encontrar el momento
magnético de un imán, y se logró hacerlo.
Se compararon dos métodos para la obtención
de esta caracterı́stica del imán y vemos que
trabajar mediante la ley de inducción de Faraday en un sistema de tres bobinas midiendo la
fem inducida presenta mejores resultados que
si se considera un imán dentro de un campo
magnético uniforme alineandose hasta llegar a
la estabilidad. Si tomamos medidas con la bobina de Helmholtz pudiesemos hacer el cálculo
del momento magnético con buena precisión,
pero necesitamos hacer un buen registro de los
datos cuando éste oscila y alejarlo de cualquier
influencia del medio donde se realice. Debido
a esto se recomienda que el sistema de la tres
N
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XI.
Anexos
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