ANLISIS DE FUNCIONES RACIONALES

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICA II MECÁNICA
DÁMASO ROJAS
ANÁLISIS DE FUNCIONES RACIONALES
2( x 2 − 9)
Dada la función f ( x) = 2
x −4
DETERMINE: Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad,
extremos relativos y puntos de inflexión, representar la función gráficamente y rango.
Se introduce la función en Derive F(x):=(2(x^2-9)/(x^2-4))
A) DOMINIO.
Para estudiar el dominio se buscan los valores de x para los cuales f(x) es un número real,
Obsérvese que en nuestro ejemplo, para x=2 y x=-2, no existe la función, ya que estos son
justamente los valores que anulan el denominador. (la división entre cero no está definida),
a
=∞
0
B) ASÍNTOTAS.
1. Asíntotas verticales. La función, como se ve gráficamente, tiene dos asíntotas verticales,
las rectas x=2 y x=-2. (Valores que no pertenecen al dominio de la función).
Analíticamente, para determinar las asíntotas verticales estudiamos los siguientes límites:
Para calcular el primer límite, se elige el botón de herramientas
y en la ventana de
diálogo correspondiente al cálculo de límites se introducen la variable “x”, el punto -2 y en
el campo “Aproximación desde” se elige la opción “derecha”. Finalmente se hace clic en
, y obtenemos:
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Luego simplificamos con
y se obtiene:
Es decir cuando x se aproxima a –2 por la derecha la rama de la gráfica se va a: ∞
Para calcular el segundo límite se repite el proceso anterior, pero en el campo
“Aproximación desde” se elige la opción “izquierda” y obtenemos las expresiones:
Se observa que cuando los valores de x se aproximan a –2 por la izquierda la rama de la
gráfica se va a: - ∞, Esto demuestra que el valor de x = -2 es una asíntota vertical.
Se repite el proceso para verificar si x = 2 es asíntota vertical.
Esto demuestra que el valor de x = 2 es una asíntota vertical.
2. Asíntotas horizontales. Para determinar la existencia de asíntotas horizontales de la
función se calculan los siguientes límites:
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Entonces se concluye que y = 2 , es una asíntota horizontal
C) INTERVALOS DE CRECIMIENTO /DECRECIMIENTO.
El estudio analítico de los intervalos de crecimiento y decrecimiento utiliza la función
derivada. Por tanto, se calcula en primer lugar la derivada (derivada de primer orden) de
la función.
Se aplica
y la ventana de diálogo que aparece nos aseguramos de que los campos
“variable” y “orden” tengan asignados los valores “x” y “1” respectivamente y a
continuación se elige la opción
, y se obtiene:
Como la función es creciente en aquellos valores en los que la derivada es positiva,
debemos resolver la inecuación:
20 x
>0
( x − 4) 2
2
Para ello se introduce la expresión: (20·x/(x^2 - 4)^2)>0
Se aplica
(resolver), y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos “Método”
y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y “Complejo” y finalmente se
elige la opción
obteniéndose el resultado:
Por tanto, los intervalos de crecimiento son (0, 2) ∪ (2, ∞) .
Nota: observe que el valor de 2 no está incluido ya que es una asíntota vertical.
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Para determinar los intervalos de decrecimiento se estudian los valores en los que la
derivada es negativa, debemos resolver la inecuación:
20 x
< 0 (procedimiento similar)
( x − 4) 2
2
Por tanto, los intervalos de decrecimiento son (−∞, −2) ∪ (−2, 0) .
Nota: observe que el valor de -2 no está incluido ya que es una asíntota vertical.
D) VALORES CRITICOS.
Para determinar analíticamente los puntos críticos de la función se calculan los puntos que
anulan la derivada. Por tanto, hay que resolver la ecuación:
Se elige el botón de herramientas
20 x
=0
( x 2 − 4)
(resolver), y en la ventana de diálogo se comprueba
que los campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y
“Complejo” y finalmente se elige la opción
. El resultado es:
El punto crítico es x=0. y los valores de ±∞ se trata de donde no está definida la primera
derivada (asíntotas verticales)
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Nota: Puede determinar la parte (D) y luego la parte (C)
E) PUNTOS DE INFLEXION.
Los puntos de inflexión se encuentran entre aquellos puntos que igualan a cero la segunda
derivada.
Utilizando la expresión # 1 (Derive), que ya teníamos editada anteriormente, se aplica el
botón de herramientas
y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos
“variable” y “orden” tengan asignados los valores “x” y “2” respectivamente y finalmente
se elige la opción:
y se obtiene:
Ahora bastará resolver la ecuación:
20(3x 2 + 4)
=0
(4 − x 2 )3
Para ello se elige el botón de herramientas
, y en la ventana de diálogo se comprueba
que los campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y
“Complejo” y finalmente se elige la opción
, el resultado es:
Por consiguiente no existen valores reales que anulen la segunda derivada, y en
consecuencia, no hay puntos de inflexión.
F) INTERVALOS DE CONCAVIDAD
Para el estudio analítico de la concavidad de una función se utiliza la segunda derivada de
ella. A continuación se determina el conjunto de los números reales para los que la segunda
20(3 x 2 + 4)
>0
derivada es positiva resolviendo la inecuación:
(4 − x 2 )3
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Para ello se elige el botón de herramientas
, y en la ventana de diálogo se comprueba
que los campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y
“Complejo” y finalmente se elige la opción
, el resultado es:
Se obtiene que el intervalo de concavidad hacia arriba de la función es (-2,2).
Análogamente la función es cóncava hacia abajo en aquellos puntos que hacen negativa la
20(3 x 2 + 4)
<0
segunda derivada, para lo que hay que resolver la inecuación
(4 − x 2 )3
Se obtiene que los intervalos de concavidad hacia abajo
de la función son:
(−∞, −2) ∪ (2, ∞)
Nota: Obsérvese que x=-2 y x=2 separan intervalos de concavidad, pero no son puntos de
inflexión por que son puntos que no están en el dominio de la función.
G) TABLA PARA REPRESENTAR LOS RESULTADOS.
Se introduce una tabla en Derive de la siguiente manera:
Insertar, luego Objeto OLE, seleccionar documento en Microsoft word (ver anexo)
aceptar
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Una vez activada esa ventana trabaje igual que un documento Word. Inserte una tabla de
acuerdo a lo explicado en clases y llene la misma con los resultados obtenidos:
Intervalos
(−∞, −2)
x = −2
(−2, 0)
x=0
(0, 2)
x=2
(2, ∞)
F(x)
A.V.
F´(x)
(-)
A.V.
(-)
F´´(x)
(-)
A.V.
(+)
Existe Mínimo
Relativo
9
2
A.V.
Resumen
↓ ∩
A.V.
↓ ∪
(+)
A.V.
(+)
(+)
A.V.
(-)
↑ ∪
A.V.
↑∩
Nota: Para buscar el valor de la función en x = 0 se procede en la barra de herramienta
pulsar
, luego aparece esta ventana solo sustituya el valor requerido y simplificar.
H) REPRESENTACIÓN GRÁFICA
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Para representar la función, se selecciona la expresión # 1
y a continuación activamos el comando INSERTAR, seleccionamos GRÁFICA 2D
En la nueva ventana se aplica insertar gráfica y por último ARCHIVO, INCRUSTAR
y se obtiene la gráfica de la función estudiada.
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Nota: Para graficar las asíntotas debe seleccionarlas cada una de ellas en el programa y
seguir este procedimiento.
RANGO.
Gráficamente el rango de la función es el conjunto de números del eje OY en los que
“existe la gráfica”. Como puede verse, en este caso el rango de la función los intervalos
(−∞, 2) ∪ ( 92 , ∞) .
DÁMASO ROJAS
JUNIO 2007
DÁMASO ROJAS. [email protected] [email protected]