11.Pruebas de hipótesis

PRUEBAS DE HIPÓTESIS 375
11-7 RESUMEN
En este capítulo se abordó la prueba de hipótesis. Los procedimientos para probar hipótesis en medias y varianzas se resumen en la tabla 11-8. La bondad de ajuste de la ji cuadrada se presentó para
probar la hipótesis de que una distribución empírica sigue una ley de probabilidad particular. Los métodos gráficos también son útiles en la prueba de la bondad de ajuste, en particular cuando los tamaños de muestra son pequeños. Además, se presentaron las tablas de contingencia de dos vías para
probar la hipótesis de que dos métodos de clasificación de una muestra son independientes. También
se analizaron varios ejemplos cuyos resultados se obtuvieron usando computadora.
11-8 EJERCICIOS
11-1 Se requiere que la resistencia al rompimiento
de una fibra utilizada en la fabricación de ropa
no sea menor que 160 Ipc. La experiencia indica que la desviación estándar de la resistencia al rompimiento es de 3 lpc. Se prueba una
muestra aleatoria de cuatro especímenes y se
encuentra que la resistencia promedio al rompimiento es de 158 Ipc.
a) ¿Debe considerarse aceptable la fibra con
a = 0.05?
b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar HO:µ <_
160 si la fibra tiene una resistencia al rompimiento verdadera de 165 lpc?
11-2 Se está estudiando el rendimiento de un proceso químico. A partir de la experiencia previa,
se sabe que la varianza del rendimiento con este proceso es 5 (unidades de a2 = porcentaje2).
Los últimos cinco días de operación de la planta han dado como resultado los siguientes rendimientos (en porcentajes): 91.6, 88.75, 90.8,
89.95, 91.3.
a) ¿Hay razón para creer que el rendimiento
es menor a 90%?
h) ¿Qué tamaño de muestra se requeriría para detectar un rendimiento medio verdadero de 85% con probabilidad de 0.95?
11-3 Se sabe que el diámetro de ciertos tornillos tiene una desviación estándar de 0.0001 pulg.
Una muestra aleatoria de 10 tornillos produce
a) Pruebe la hipótesis de que el diámetro medio real de los tornillos es igual a 0.255
pulg, empleando (x = 0.05.
b) ¿Qué tamaño de muestra se necesitaría
para detectar un diámetro medio real de
0.2552 puig con probabilidad de por lo
nrcnos 0.90?
11-4 Considere los datos del ejercicio 10-39.
a) Pruebe la hipótesis de que el diámetro medio de un anillo de pistón es 74.035 mm.
Utilice a = 0.01.
b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
detectar un diámetro medio real de 74.030
mm con probabilidad de por lo menos
0.95?
11-5 Considere los datos del ejercicio 10-40. Pruebe
la hipótesis de que la vida media de las bombillas eléctricas es de 1000 horas. Use a= 0.05.
11-6 Considere los datos del ejercicio 10-41. Pruebe
la hipótesis de que la resistencia media a la compresión es igual a 3500 Ipc. Utilice a= 0.01.
11-7 Se emplean dos máquinas para llenar botellas
de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. El proceso de llenado puede suponerse normal, con desviaciones estándar de a, = 0.015 y
a, = 0.018. Los ingenieros del departamento
de control de calidad sospechan que ambas
376 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
Tabla 11-8 Resumen de procedimientos de pruebas de hipótesis en medias y varianzas
Hipótesis
Estadística de prueba
Hipótesis nula
H0:µ =µo,
Zo =
G2 conocida
H0:µ=No'
G2 desconocida
to =
vn
X-µ o
tiín
SI
µ # µo
Parámetro de
la curva CO
d=
Iu - µol /G
H1:µ>uo
d=
(y-
H1:µ<µo
Z0<-Z,
d=
(tio -µ) /G
H1:µ * PPo
1(01 > t<,12,,,-1
H1:µ > µo
H1:µ < Po
H1: µ 1 # µ2
HO:µ1 = P2
Criterio de
rechazo
IZO¡ > ZL2
Zo>Za
H1:
X-µ0
G¡
Hipótesis
alternativa
to >
to <
1tol >
taI2,
d = I f^ - µo I/6
d=
-1
n-1
ta . n
-ta,
µ0)IG
(1-^ -µ,)1a
d = (µo - p)/G
n1+n2-2
H1 : P l > µ2
to > ta,
H1: µ 1 < µ 2
to < -ta, n1+ n2 - 2
n1 + n2 - 2
d = Iµ1 -µ 21 /2G
d = (p 1 - µ2 )/2G
d = (µ2 - µ1)/2G
X1 - X2
to =
1 # 2
S2
S22
1
desconocidas
n1 n2
2
S2
1 S2
2
n1 n2
v=
-2
(S, /n1)2
(S2/n2/2
n1 + 1 n2 + 1
H0: G 2
2
= G 0,
2
xo
(n- 1)S2
= 2
H1:G2
#GQ
Go
2 x2
x0>
0
x 0 < x 1 - a/2, n - 1
2 2
xo>xa,n-1
2 2
x0 <x1-a,n -1
2
H1:G>Go
2
H1: G2 <G2
H0: G2
= G2
a/2,n-1
2
6/60
=G/Go
Fo = S2/S2
0
Fo < F1 H1: Gl >
G2
a /2,
n1 -
Fo > Fa n1 - 1
1, n2 -1
n2 - 1
2
= G1 / G2
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 377
sin importar que éste sea o no 16.0 onzas. Se
toma una muestra aleatoria de la salida de cada máquina.
1 1 - 1 0 Considere los datos del ejercicio 10-46. Pruebe H(,: p 1 _ ,u, contra 11,: µ, > p 2 , empleando
a = 0.05.
Máquina 1
11-11 Considere los datos de octanaje de gasolina
que se presentaron en el ejercicio 10-47. Al fabricante le gustaría detectar que la fórmula 2
produce un octanaje más alto que la fórmula 1.
Cree y pruebe una hipótesis apropiada. empleando a = 0.05.
Máquina 2
16.03
16.04
16.05
16.05
16.01
15.96
15.98
16.02
16.02
15.97
15.96
16.01
16.03
16.04
16.02
16.01
16.02
15.99
15.11)
16.00
¿Piensa usted que los ingenieros están en
lo correcto? Utilice a = (1.05.
b) Suponiendo tamaños de muestra iguales.
¿qué tamaño de muestra se utilizaría para asegurar que fi = 0.05 si la diferencia
en medias reales es 0.075'? Suponga que
a = (1.05.
c) ¿Cuál es la capacidad de la prueba en a)
para tina diferencia verdadera entre las medias de 0.075?
11-8 El departamento de revelado fotográfico de
tina tienda departamental está considerando
reemplazar su máquina procesadora actual. El
tiempo que necesita la máquina para completar
el procesamiento de un rollo de película es importante. Por ello, se selecciona una muestra
aleatoria de 12 rollos de 24 exposiciones a color para su procesamiento en la máquina actual.
El tiempo de procesamiento promedio es de 8.1
minutos, con una desviación estándar de 1.4 minutos en la muestra . Se selecciona una muestra
aleatoria de 10 rollos del mismo tipo de película para probarlos en la máquina nueva. El tiempo de procesamiento promedio en este caso es
de 7.3 minutos , con una desviación estándar de
0.9 minutos en la muestra. La tienda departamental no comprará la máquina nueva, a menos que su tiempo de procesamiento sea menor
en 2 minutos en comparación con la máquina
actual. Con base en esta información , ¿deberá
comprarse la máquina nueva?
11-9 Considere los datos del ejercicio 10-45. Pruebe
la hipótesis de que ambas máquinas llenan hasta el mismo volumen. Emplee a = 0.10.
11-12 Un fabricante de propulsores está investigando
la desviación lateral en yardas de cierto tipo de
proyectil de mortero. Se han observado los siguientes datos.
Etapa
Desviación
Etapa
Desviación
1
11.28
-10.42
-8.51
1.95
6.47
6
7
8
9
lo
-9.48
6.25
10.11
-8.65
-0.68
2
3
4
5
Pruebe la hipótesis de que la desviación lateral
media de estos proyectiles de mortero es cero.
Suponga que la desviación lateral se distribuye
normalmente.
11-13 El tiempo que se puede almacenar una película fotográfica es de interés para el fabricante.
Éste observa los siguientes datos para ocho
unidades elegidas al azar de la producción actual. Suponga que el tiempo de almacenamiento se distribuye normalmente.
108 días 128 días
134
163
124
159
116
134
a) ¿Hay alguna evidencia de que el tiempo de
almacenamiento medio es mayor o igual
que 125 días`?
b) Si es importante detectar una razón &/6 de
1.0 con probabilidad de 0.90 , ¿el tamaño
de la muestra es suficiente"
378 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
11-14 El contenido de titanio en una aleación se está
estudiando con la esperanza de incrementar finalnmente la resistencia a la tensión . Un análisis
de seis calentamientos recientes elegidos al azar
produce los siguientes contenidos de titanio.
Para b✓ cr = 2.0, ¿ cuál es la potencia de la
prueba anterior?
11-17 Suponga que debe probarse la hipótesis
H0:p? 15.
8.0% 7.7%
9.9 11.6
9.9 14.6
H1:p<15,
donde se sabe que a2 = 2.5. Si a = 0.05 y la media real es 12, ¿qué tamaño de muestra es necesario para asegurar un error de tipo Il de 5%?
¿Hay alguna evidencia de que el contenido
medio de titanio sea mayor que 9.5%?
11-15 Un artículo del Journal of Construction Engineering and Management ( 1999, pág . 39) presenta algunos datos acerca del número de
horas de trabajo perdidas por día en un proyecto de construcción , a causa de incidentes
relacionados con el clima. En un periodo de
11 días de trabajo se registraron las siguientes
horas de trabajo perdidas.
8.8
12.5
5.4
12.8
9.1
14.7
11-18 Un ingeniero desea probar la hipótesis de que el
punto de fusión de una aleación es 1000 °C. Si
el punto de fusión real difiere del hipotético en
más de 20° C. el ingeniero debe cambiar la composición de la aleación. Si suponemos que el
punto de fusión es una variable aleatoria que
se distribuye normalmente , a = 0.05, /3= 0.10 y
a= 10 °C, ¿cuántas observaciones deben efectuarse?
8.8 11-19 Se están investigando dos métodos para produ12.2 cir gasolina a partir de petróleo crudo. Se su13.3 pone que el rendimiento de ambos procesos se
6.9 distribuye normalmente . Los siguientes datos
2.2 de rendimiento se han obtenido en la planta piloto.
Suponiendo que las horas de trabajo se distribuyen normalmente , ¿ existe alguna evidencia
para concluir que la media del número de horas
de trabajo perdidas es mayor que ocho horas?
Proceso Rendimiento (%)
1
11-16 Se desea probar si el porcentaje de rebaba producida en una operación de acabado metálico
es menor que 7.5%. Se eligieron varios días al
azar v se calcularon los siguientes porcentajes
de rchaha.
5.51%
6.49
6.46
5.37
7.32%
8.81
8.56
7.46
a) En su opinión , ¿ la proporción real de rebaba es menor que 7.5%?
b) Si es importante detectar una razón de
Sla = 1.5 con probabilidad de por lo menos 0 .90, ¿cuál es el tamaño de muestra
mínimo que puede utilizarse?
24.2 26.6 25.7 24. 8 25.9 26.5
21.0 22 .1 21.8 20 . 9 22.4 22.0
a) ¿Hay alguna razón para creer que el proceso 1 tiene un rendimiento medio mayor?
Use a = 0. 01. Suponga que ambas varianzas son iguales.
b)
Suponiendo que para adoptar el proceso 1
debe producirse un rendimiento al menos
5% mayor que el del proceso 2, ¿cuáles
son sus recomendaciones'?
c) Encuentre la potencia de la prueba en la
parte a ) si el rendimiento medio del proceso 1 es 5 % mayor que el del proceso 2.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 379
(/) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
la prueba en la parte a), a fin de asegurar
que la hipótesis nula se rechazará con probabilidad 0.90 si el rendimiento medio del
proceso 1 excede el rendimiento medio
del proceso 2 en 5%?
11-20 Un artículo que apareció en el Proceedings of'
the 1998 Winter Simulittion Contference (1998,
pág. 1079). analiza el concepto de validación para los modelos de simulación de tránsito. El propósito establecido para este estudio consiste
en diseñar y modificar los servicios (avenidas
y dispositivos de control) para optimizar la eficiencia y seguridad del flujo de tránsito. Parte
del estudio compara las velocidades observadas en diferentes intersecciones , y simula la velocidad mediante un modelo que se está
probando . El objetivo es determinar si el modelo de simulación es representativo de la velocidad real observada . Se reúnen datos de
campo en tina ubicación particular, y después
se implementa el modelo de simulación. Se
miden 14 velocidades (pies/s) en una ubicación particular , y se simulan usando el modelo
propuesto. Los datos son:
Campo
Modelo
53.33
57.14
47.40
58.20
53.33
57.14
49.80
59.00
53.33
61.54
51.90
60.10
55.17
61.54
52.20
63.40
55.17
61.54
54.50
65.80
55.17
69.57
55.70
71.30
57.14
69.57
56.70
75.40
Suponiendo que las varianzas son iguales,
realice una prueba de hipótesis para determinar si existe una diferencia significativa entre
los datos de campo y el modelo simulado. Use
a = 0.05.
11-21 Los siguientes son tiempos de quemado (en
minutos) de señales luminosas de dos tipos diferentes.
Tipo 1
Tipo 2
63
82
64
56
81
68
72
63
57
59
83
74
66
75
59
82
82
73
65
82
a) Pruebe la hipótesis de que las varianzas
son iguales. Use a = 0.05.
b) Empleando los resultados de a), pruebe la
hipótesis de que los tiempos medios de
quemado son iguales.
11-22 Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en
una unidad química. Antes de su instalación, una
muestra aleatoria produce la siguiente información acerca del porcentaje de impurezas: ,r, =
12.5, s,`' = 101.17 y n i = 8. Después de la instalación , una muestra aleatoria produce .1, = 10.2,
s,= 94.73y ^i,=9.
a) ¿Es posible concluir que las dos varianzas
son iguales?
b) ¿El dispositivo de filtrado ha reducido en
forma significativa el porcentaje de impurezas?
11-23 Suponga que dos muestras aleatorias se extraen
de poblaciones normales con varianzas iguales.
Los datos de la muestra producen -Y, = 20.0,
n, = 10, Y(x1, -.i 1)2 = 1480, 15.8, n, = 10
y E(x,; _.j_,)2 = 1425.
a) Pruebe la hipótesis de que las dos medias
son iguales. Emplee a = 0.01.
b) Encuentre la probabilidad de que la hipótesis nula en a) se rechazará si la diferencia real entre las medias es 10.
c) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
detectar una diferencia real entre las medias de 5 con probabilidad de al menos
0.80 si se sabe al inicio del experimento
que una estimación aproximada de la varianza común es 150?
380 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
11-24 Considere los datos del ejercicio 10-56.
a) Pruebe la hipótesis de que las medias de
las dos distribuciones normales son iguales. Emplee a = 0.05 y suponga que 6¡ _
Q;.
b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para
detectar una diferencia entre las medias de
2.0 con probabilidad de por lo menos
0.85?
c) Pruebe la hipótesis de que las varianzas de
dos distribuciones son iguales. Emplee a =
0.05.
d) Encuentre la potencia de la prueba en c) si
la varianza de una población es cuatro veces la de la otra.
11-25 Considere los datos del ejercicio 10-57. Suponiendo que Q¡ = 6;, pruebe la hipótesis de que
el diámetro medio de las barras producidas en
los dos tipos diferentes de máquinas no difiere. Emplee a = 0.05.
11-26 Una compañía química produce cierta droga
cuyo peso tiene una desviación estándar de 4
miligramos. Se ha propuesto un nuevo método
de producción de esta droga, aunque están involucrados costos adicionales. La administración autorizará el cambio en la técnica de
producción, sólo si la desviación estándar del
peso en el nuevo proceso es menor que 4 miligramos. Si la desviación estándar del peso en
el nuevo proceso es tan pequeña como 3 miligramos, a la compañía le gustaría cambiar los
métodos de producción con una probabilidad
de por lo menos 0.90. Suponiendo que el peso
se distribuye normalmente y que a = 0.05,
¿cuántas observaciones deben efectuarse?
Suponga que los investigadores eligen n = 10 y
obtienen los siguientes datos. ¿Es ésta una buena elección para n? ¿Cuál debe ser la decisión?
16.628 gramos
16.630 gramos
16.622
16.627
16.631
16.624
16.623
16.622
16.618
16.626
11-27 Un fabricante de instrumentos de medición de
precisión afirma que la desviación estándar
del instrumento es, 0.00002 pulg. Un analista,
que desconoce esta afirmación, utiliza el instrumento ocho veces y obtiene una desviación
estándar de la muestra de 0.00005 pulg.
a) Al emplear a = 0.01. ¿se justifica la afirmación?
b) Calcule un intervalo de confianza de 99%
para la varianza real.
c) ¿Cuál es la potencia de la prueba si la desviación estándar real es igual a 0.00004?
d) ¿Cuál es el tamaño de muestra que puede
utilizarse para detectar una desviación estándar real de 0.00004 con una probabilidad de por lo menos 0.95? Emplee a =
0.01.
11-2S Se supone que la desviación estándar de las
mediciones que realiza un termopar especial
es 0.005 grados. Si la desviación estándar es
tan grande como 0.010, deseamos detectarla
con probabilidad de por lo menos 0.90. Emplee a = 0.01. ¿Qué tamaño de muestra debe
emplearse? Si se emplea este tamaño de muestra y la desviación estándar s = 0.007, ¿cuál es
su conclusión empleando a = 0.01? Construya
un intervalo de confianza superior a 95% para
la varianza real.
11-29 El fabricante de una fuente de poder está interesado en la variabilidad del voltaje de salida.
Ha probado 12 unidades elegidas al alar con
los siguientes resultados:
5.34
5.65
4.76
5.00
5.55
5.54
5.07
5.35
5.44
5.25
5.35
4.61
a)
Pruebe la hipótesis de que a2 = 0.5. Emplee a = 0.05.
b)
Si el valor real de a2 = 1.0, ¿cuál es la probabilidad de que la hipótesis en a) sea rechazada?
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 381
11-30 En relación con los datos del ejercicio 11-7, 11-33 En una prueba de dureza. una hola de acero se
pruebe la hipótesis de que las dos varianzas
presiona contra el material que se está probanson iguales. empleando a = 0.01. ¿El resultado a una carga estándar. Luego se mide el diádo de esta prueba influye en la manera en la
metro de la hendidura. el cual se relaciona con
que se conduciría una prueba respecto de las
la dureza. Se dispone de dos tipos de bolas, y su
medias? ¿Qué tamaño de muestra es necesario
desempeño se compara en 10 especímenes. Capara detectar a¡16; = 2.5. con probabilidad de
da espécimen se prueba dos veces, una vez con
por lo menos 0.90?
cada hola. Los resultados son los siguientes:
11-31 Considere las dos muestras siguientes. extraídas de dos poblaciones normales.
Muestra 1 Muestr a 2
4.34
5.00
4.97
4.25
5.55
6.55
1.87
2.00
2.00
1.85
2.11
2.31
6.37
5.55
3.76
2.28
2.07
1.76
1 . 91
2.00
¿Hay apuna evidencia para concluir que la
varianza de la población 1 es mayor que la varianza de la población 2? Use a= 0.01. Encuentre la probabilidad de detectar a'¡/6 = 4.0.
11-32 Dos máquinas producen piezas metálicas. Interesa la varianza del peso de estas piezas. Se
han recopilado los siguientes datos.
Máquina 1
Máquina 2
izr=25
x, = 0.984
s¡ = 13.46
n,=30
0.907
s; = 9.65
a) Pruebe la hipótesis de que las varianzas de
las dos máquinas son iguales. Emplee a. _
0.05.
b) Pruebe la hipótesis de que las dos máquinas producen piezas con el mismo peso
medio. Use a = 0.05.
Bola .v
75
46
57
43
58
32
61
56
34
65
Bola .v
52
41
43
47
32 49
52
44
57
60
Pruebe la hipótesis de que las dos bolas producen la misma medición de dureza esperada.
Emplee a = 0.05.
11-34 Dos tipos de equipo de ejercicio. A y B. para
personas minusválidas , se usan con frecuencia
para determinar el efecto en el ritmo cardiaco
de un tipo particular de ejercicio (en latidos por
minuto ). Han participado siete personas en un
estudio para determinar si los dos tipos de
equipo tienen el mismo efecto en el ritmo cardiaco. Los resultados se presentan en la tabla a
continuación:
Persona
A
B
1
162
161
2
163
187
3
140
199
4
191
206
5
160
161
6
158
160
7
155
162
Realice una prueba de hipótesis apropiada para determinar si existe una diferencia significativa en el ritmo cardiaco debido al tipo de
equipo usado.
11-35 Un diseñador de aviones tiene evidencia teórica de que la pintura del avión reduce la velocidad del mismo a una potencia especificada y
según la colocación del alerón. Para probarlo,
prueba seis aviones consecutivos de la línea de
ensamble antes y después de pintarlos. Los resultados se muestran a continuación:
382 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
Velocidad máxima (mph)
Avión
Pintado
No pintado
1
2
3
4
5
6
286
285
279
283
281
286
289
286
283
288
283
289
¿Los datos respaldan la teoría del diseñador?
Use a=0.05.
11-36 En un artículo del Intenuationa l Journal of Fatigue (1998, pág. 537), se analiza el doblamiento por resistencia a la fatiga de un material
dental cuando se usa un proceso de pretensado
o preajustado. El preajustado de un material
dental se obtiene cuando se aplica y después se
elimina una sola sobrecarga al elemento de la
máquina . Para determinar las diferencias significativas en la resistencia a la fatiga debida al
preajustado , se formaron parejas de datos de la
fatiga . Se formaron parejas de un diente "preajustado ' y uno "no preajustado", ambos con el
mismo material . Se formaron 11 parejas y se
midió la vida a la fatiga en cada uno . (La respuesta final de interés es ln[vida a la fatiga x
10-3].)
Diente Diente no
Par preajustado preajustado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3.813
4.025
3.042
3.831
3.320
3.080
2.498
2.417
2.462
2.236
3.932
2.706
2.364
2.773
2.558
2.430
2.616
2.765
2.486
2.688
2.700
2.810
Realice una prueba de hipótesis para determinar si el preajustado aumenta significativamente la vida a la fatiga del material dental.
Use a= 0.10.
11-37 Considere los datos del ejercicio 10-66. Pruebe
la hipótesis de que la tasa de no asegurados es
de 10%. Use a= 0.05.
11-38 Considere los datos del ejercicio 10-68. Pruebe
la hipótesis de que la fracción de calculadoras
defectuosas producidas es 2.5 por ciento.
11-39 Suponga que deseamos probar la hipótesis
H0: Jul = P2 contra la alternativa Hr: p, # p2,
donde ambas varianzas o y (F2 se conocen. Se
tomó un total de n i + n, = N observaciones.
¿Cómo deben distribuirse estas observaciones
en las dos poblaciones para maximizar la probabilidad de que Ho se rechazará si H, es real
YP1-Y2=o.
11-40 Considere el estudio de los miembros del sindicato descrito en el ejercicio 10-70. Pruebe la
hipótesis de que la proporción de los hombres
que pertenecen al sindicato no difiere de la
proporción de las mujeres que pertenecen al
mismo. Use a= 0.05.
11-41 Mediante el empleo de los datos del ejercicio
10-71, ¿es razonable concluir que la línea de
producción 2 produce una fracción más alta
de producto defectuoso que la línea 1'' Use a
0.01.
11-42 Dos tipos diferentes de máquinas de moldeo por
inyección se utilizan para formar partes plásticas. Una parte se considera defectuosa si tiene
un encogimiento excesivo o si se decolora. Se
seleccionan dos muestras aleatorias , cada una
de tamaño 500. Se encontraron 32 partes defectuosas en la muestra de la máquina 1, en
tanto que se encontraron 21 partes defectuosas
en la muestra de la máquina 2. ¿Es razonable
concluir que ambas máquinas producen la misnma fracción de partes defectuosas?
11-43 Suponga que deseamos probar la hipótesis
HO: pt = P2 contra H,: pr :# µ,, donde a¡ y Qz
se conocen. El tamaño de muestra total N es fijo, pero la distribución de las observaciones
para las dos poblaciones , tales que ni + n2 = N,
se hará con base en costos . Si los costos del
muestreo para las poblaciones 1 y 2 son Ct y
PRUEBAS DE HIPÓTESIS 383
(:,, respectivamente, encuentre los tamaños de
muestra de costo mínimo que proporcionan una
varianza especificada para la diferencia de las
medias niuestrales.
11-44 El fabricante de una nueva pastilla analgésica
desearía demostrar que su producto actúa dos
veces más rápido que el de su competidor. Específicamente, le gustaría probar
HO: p, = 2p,,
Ht: p1 > 2p,
donde p, es el tiempo de absorción medio del
producto del competidor, y p, es el tiempo de
absorción medio del nuevo producto. Suponiendo que se conocen las varianzas cr y 6;,
sugiera un procedimiento para probar esta hipótesis.
11-45 Deduzca una expresión similar a la ecuación
11-20 para el error /3 correspondiente a la prueba en la varianza de una distribución normal.
Suponga que se especifica la alternativa bilateral.
11-46 Deduzca una expresión similar a la ecuación
11-20 para el error f3 correspondiente a la prueba de igualdad de las varianzas de dos distribuciones normale' . Suponga que se especifica la
alternativa bilateral.
11-47 El número de unidades defectuosas encontradas cada día por un probador funcional de circuitos en un proceso de ensamble de tarjetas
de circuitería we muestra a continuaciR"m:
Número de
defectos por día
Veces observadas
0-10
11-15
16-20
21-25
26-30
31-35
36-40
41-45
6
11
16
28
22
19
11
4
a) ¿Es razonable concluir que estos datos provienen de una distribución normal? Use una
prueba de bondad de ajuste de la ji cuadrada.
b) Grafique los datos en un papel de probabilidad normal. ¿Se justifica una suposición
de normalidad''
11-48 Los defectos sobre las superficies de obleas en
la fabricación de circuitos integrados son inevitables. En un proceso particular se reúnen los
siguientes datos:
Número de
dcl,cctos i
Número de obleas
con i defectos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
13
34
56
70
70
58
42
25
15
9
3
1
¿La suposición de una distribución de Poisson
es apropiada como modelo de probabilidad para este proceso?
11-49 Un generador de números seudoaleatorios se
diseña de manera que los enteros 0 al 9 tengan
igual probabilidad cte ocurrencia. Los primeros
10,000 números son:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
967 1008 975 1022 1003 989 1001 981 1 043 1011
¿Este generador está trabajando en forma apropiada?
11-50 El tiempo de ciclo de una máquina automática
se ha observado y registrado.
Seg. 12.1 12.1112 .1212.1312.1412.1512.1612.172.18 2.19
Frec. 1 16 1 28 1 41 1 74 1 14912561 137 1 82 1 40
19
2.2
11
384 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
u) ¿La distribución normal es un modelo de
probabilidad razonable para el ciclo de tiempo? Emplee la prueba de bondad de ajuste
de la ji cuadrada.
Tipo de paciente
Seguro médico Quirúrgico Clínico
b) Grafique los datos en papel de probabilidad normal. ¿Parece razonable la suposición de normalidad?
11-51 Un embotellador de refrescos está estudiando
la resistencia a la presión interna de botellas
no retornables de un litro. Se prueba una
muestra aleatoria de 16 botellas y se obtiene la
resistencia a la presión. Los datos se muestran
enseguida. Grafique estos datos en papel de
probabilidad normal.
Pruebe la hipótesis de que los llamados pacientes quirúrgicos o clínicos son independientes
de que tengan o no seguro médico.
11-54 Las calificaciones en un curso de estadística y
en un curso de investigación de operaciones se
tomaron en forma simultánea , y fueron las siguientes entre un grupo de estudiantes.
¿Es razonable concluir que la resistencia a la
presión se distribuye normalmente?
226.161pc
211.14lpc
202.20
203.62
219.54
188.12
193.73
224.39
208.15
221.31
195.45
204.55
193.71
202.21
200.81
201.63
Calificación
de estadística
A
B
C
Otra
Calificación de investigación
de operaciones
A
/i
C
Otra
25
17
18
10
6
16
4
8
17
15
18
11
13
6
10
20
¿Se relacionan las calificaciones en estadística
e investigación de operaciones?
11-52 Una compañía opera cuatro máquinas en tres
turnos diarios. A partir de los registros de producción, se recopilan los siguientes datos respecto del número de interrupciones:
11-55 Un experimento con casquillos de artillería
produjo los siguientes datos acerca de las características de las desviaciones laterales y alcances. ¿Concluiría usted que la desviación y
el alcance son independientes?
Máquinas
Turno
A
B
C
1)
1
41
20
12
16
2
31
11
9
14
3
15
17
16
10
Pruebe la hipótesis de que las interrupciones
son independientes del turno.
11-53 Los pacientes de un hospital se clasifican como quirúrgicos o clínicos. Se lleva un registro
del número de veces que los pacientes requieren servicios de enfermería durante la noche y
de si tienen o no seguro médico. Los datos son
los siguientes:
Desviación lateral
Alcance (yardas) Izquierda Normal Derecha
o- 1,999
2,000 - 5,999
6,000 - 11,999
6
9
8
14
11
17
8
4
6
11-56 Se está realizando un estudio de las fallas de
un componente electrónico. Hay cuatro tipos
de fallas posibles y dos posiciones de montaje
para el dispositivo. Se tomaron los siguientes
datos:
PRUEBAS DE HIPOTESIS 385
Tipo de falla
Posición de
montaje
1
2
A
B
C
D
1,1
6
c^
4
46
17
¿Concluiría usted que el tipo de falla es independiente de la posición de montaje'?
11-57 Un artículo de Research in Nursing arel Healili
( 1999. pág. 2 63), resume los datos reunidos en
un estudio previo ( Research in Nursurg uncí
Healili. 1998. pág. 285) sobre la relación entre
la actividad física y el estatus socioeconómico
de 1507 mujeres caucásicas . En la siguiente tabla se presentan los datos obtenidos.
11-59 Un artículo del Jeurnal of Marketing Researelr
1970, pág. 36), informa de un estudio de la relación entre las condiciones de las instalaciones en gasolinerías y la agresividad de su
política de venta de gasolina. Se investigó una
muestra de 441 gasolinerías con los resultados
obtenidos, mismos que se muestran a continuación. ¿Hay evidencia de que la estrategia relativa al precio de la gasolina y las condiciones
de la instalación sean independientes"
Condición
Política
Agresiva
Neutral
No agresiva
Subestándar Estándar Moderna
24
15
17
52
73
80
58
86
36
Actividad física
Estatus socioeconómico
Inactiva
Activa
Bajo
Medio
Alto
216
226
114
245
409
297
Pruebe la hipótesis de que la actividad física es
independiente del estatus socioeconómico.
11-58 Una tela se agrupa en tres clasificaciones: A, B
y C. Los resultados siguientes se obtuvieron de
cinco telares. ¿La clasificación de la tela es independiente del telar'?
Número de piezas de tela en
la clasificación de la misma
Telar
A
B
C
1
2
3
4
5
185
190
170
158
185
16
24
35
22
22
12
21
16
7
15
11-60 Considere el proceso de moldeo por inyección
descrito en el ejercicio 11-42.
a) Establezca este problema como una tabla
de contingencia de 2 x 2 y efectúe el análisis estadístico indicado.
b) Enuncie claramente la hipótesis que se está probando. ¿Está usted probando homogeneidad o independencia'?
c) ¿Este procedimiento es equivalente al procedimiento de prueba utilizado en el ejercicio 11-42'?