Permeabilidad de Medios Porosos: Experimentos Numéricos y Teoría

Universidad de Concepción
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Química
Profesor Patrocinante:
Pedro G. Toledo R.
Permeabilidad de Medios Porosos:
Experimentos Numéricos y Teoría
Roberto Eduardo Rozas Cárdenas
Tesis presentada a la Escuela de Graduados
de la Universidad de Concepción para optar al Grado de
Magíster en Ciencias de la Ingeniería con Mención en Ingeniería Química
Concepción, Chile, Septiembre de 2002
A Carolina y Paloma.
Resumen
La permeabilidad es la propiedad que determina el flujo a través de un medio poroso,
en régimen laminar queda definida por la ley Darcy. En literatura se encuentran numerosas
expresiones que intentan relacionar la permeabilidad con la porosidad; sin embargo, ninguna
de ellas representa satisfactoriamente el comportamiento de la permeabilidad observado en
diversas clases de materiales porosos, no poseen carácter universal. Los resultados
experimentales disponibles en literatura señalan que relaciones tipo Carman-Kozeny y leyes
de potencia simple entre la permeabilidad y la porosidad son satisfactorias en rangos estrechos
de porosidad en un mismo material. Hasta ahora las desviaciones observadas respecto de estas
relaciones son atribuidas sin mayor argumentación a errores experimentales en la
determinación de permeabilidad a baja porosidad.
En este trabajo se estudia, mediante simulación de Monte Carlo, la evolución de las
propiedades geométricas y de transporte, y la relación entre ellas, de un material poroso
sometido a compactación. El espacio poroso es representado mediante redes regulares,
cuadrada y cúbica, de conductos de tamaño distribuido que son deformados de acuerdo a un
mecanismo de compactación aleatorio. Las propiedades de transporte, específicamente la
permeabilidad y la conductividad eléctrica, son estimadas en forma rigurosa mediante
simulación de Monte Carlo; la solución es corroborada mediante aproximación de medio
efectivo. Dado que Monte Carlo conduce a un sistema lineal de 105 o más ecuaciones, aquí se
implementa
un
algoritmo
de
almacenamiento
óptimo
de
matrices,
denominado,
almacenamiento ralo simétrico. Por otra parte, dadas las características de condicionamiento
del sistema, para su solución se utiliza el algoritmo de sobrerrelajación sucesiva simétrica
precondicionada con gradiente conjugado de parámetros fijos y optimizados en forma
empírica.
Otra propiedad de interés es la longitud característica de un medio poroso que fija la
escala de las propiedades de transporte. Diversas longitudes han sido propuestas, entre ellas el
radio hidráulico. Sin embargo, de acuerdo a los resultados, la longitud crítica se muestra
particularmente sensible a cambios en la microestructura porosa a medida que se compacta.
Esta longitud se encuentra relacionada con el camino de mínima resistencia en una situación
de flujo en un medio poroso y se determina mediante un experimento clásico o numérico de
porosimetría. Los resultados de simulación de Monte Carlo reproducen el comportamiento
observado en datos experimentales de permeabilidad-porosidad, incluyendo aquellos aspectos
que hasta ahora han sido atribuidos a error experimental. Durante una compactación débil
todas las propiedades de medios porosos pueden ser relacionadas mediante leyes simples de
potencia, válidas en todo el rango de porosidad. En compactaciones severas se observan
cambios abruptos en las propiedades de transporte y en la longitud crítica. Estos cambios, que
se manifiestan como puntos singulares en las propiedades cuando se despliegan en función de
la porosidad, en este trabajo son interpretados en términos de transiciones en la
microestructura de los materiales porosos. La existencia de estas transiciones es comprobada
aquí mediante una extensión de la teoría de percolación a materiales que sufren transiciones
del tipo conductor-conductor débil. Si un material posee una población de poros que en
proporción es mayor que la probabilidad crítica de percolación de la red que lo representa, el
tamaño característico de esta población domina las propiedades de transporte del material.
Cuando esta proporción es igual a la probabilidad crítica de percolación, entonces existe un
camino crítico conexo de estos poros a través del medio; un avance diferencial en este estado
hacia una porosidad más baja implica, en una muestra representativa, la desaparición del
camino conexo de poros de mayor conductancia. Esto es, ocurre una transición de
microestructura que se manifiesta como un descenso abrupto en las propiedades
macroscópicas del material, tales como la conductividad eléctrica, permeabilidad, difusividad,
etc. Los puntos de inflexión observados en resultados de permeabilidad experimentales
representados en escala logarítmica no son más que la evidencia de tales transiciones.
La presencia de transiciones indica la necesidad de incorporar nuevos parámetros en
las relaciones de permeabilidad, a fin de otorgarles carácter predictivo, notablemente la
longitud crítica y la porosidad a la que ocurren las transiciones microestructurales. Dos
relaciones con carácter universal se establecen en base a los resultados de simulación de
Monte Carlo. La primera, de Katz y Thompson (1986) k = αlc2 / F , establece una relación
entre la permeabilidad k , la longitud crítica lc y el factor de formación F . Esta ley tiene
(
)
sustento en análisis de trayectoria crítica y teoría de percolación. La segunda, k = αlc2 φ − φc' ,
donde φ c' es una porosidad pseudocrítica, es postulada aquí en base a las relaciones de
escalamiento que exhibe la permeabilidad y la longitud característica con la porosidad.
Las rutinas implementadas en esta tesis se reúnen en un programa que denominamos
PROTRAN. Se trata de una interfaz Windows a un grupo de rutinas que permite la estimación
de la permeabilidad, conductividad eléctrica y longitudes características a distintos valores de
porosidad. El programa permite también simular experimentos de porosimetría y obtener
gráficos de patrones de flujo. Las variables de alimentación de las rutinas son la dimensión de
la red, el método de cálculo de las propiedades de transporte, el factor de compactación y la
distribución de tamaño de poros.
Tabla de Contenidos
Capítulo 1
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
1
Capítulo 2
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
14
Capítulo 3
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
3.1 Teoría de percolación
23
25
3.1.1 Trasfondo histórico
25
3.1.2 Tipos de percolación
26
3.1.3 Propiedades de un proceso de percolación
27
3.1.4 Escalamiento crítico de las propiedades de percolación
32
3.1.5 Escalamiento en redes de dimensión finita
34
3.2 Solución analítica de modelos geométricos simples
36
3.2.1 Ensamble de capilares paralelos de igual tamaño
36
3.2.2 Ensamble de capilares paralelos de tamaño distribuido
42
3.2.3 Red tridimensional de capilares interconectados y con tamaño distribuido
44
3.2.4 Modelo de compactación de capilares
47
3.3 Análisis de trayectoria crítica, teoría de percolación y permeabilidad
57
3.3.1 Análisis de trayectoria crítica
57
3.3.2 Modelo de Katz y Thompson
58
3.3.3 Longitudes características
61
3.4 Resumen
66
Capítulo 4
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación en Redes de Poros
67
4.1 Simulación de Monte Carlo en redes de poros
68
4.1.1 Representación del espacio poroso
68
4.1.2 Definición de conductancia de poro
73
4.1.3 Decoración de la red
77
4.1.4 Determinación de la porosidad
78
4.1.5 Determinación de las propiedades de transporte
78
4.2 Teoría de medio efectivo
81
4.2.1 Aproximación de medio efectivo (EMA)
81
4.2.2 Aproximación de enlace simple (SBA)
85
4.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PSRG)
89
4.4 Resumen
92
Capítulo 5
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo,
Campo Medio y Renormalización
93
5.1 Representación del espacio poroso
95
5.2 Definición de conductancia de poro
96
5.3 Decoración de la red subyacente
99
5.3.1 Algoritmo de decoración
99
5.4 Modelo de compactación
103
5.5 Determinación de la porosidad
106
5.6 Determinación de las propiedades de transporte
108
5.6.1 Método Monte Carlo
108
5.6.2 Aproximación de medio efectivo (EMA)
136
5.6.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PRSG)
140
5.7 Determinación de longitudes características
5.7.1 Simulación de porosimetría
5.8 Resumen
145
147
156
Capítulo 6
Resultados y Discusión
157
6.1 Efecto de la compactación sobre la función de distribución de tamaño de poros 158
6.2 Evolución de las propiedades de transporte durante compactación
186
6.3 Porosimetría en redes de poros
224
6.4 Longitudes de escala y sus evoluciones en redes sometidas a compactación
234
6.5 Longitud característica y su evolución en redes sometidas a compactación
237
6.6 Relaciones de escalamiento entre la permeabilidad y otras propiedades
260
Capítulo 7
Conclusiones
277
Referencias
288
Apéndices
A. Aproximación de enlace simple (SBA)
295
B. Definición de conductancia en capilares bidimensionales
311
C. Muestreo Monte Carlo
315
D. Conductancia de la celda de renormalización 2×2×2
322
E. Programa PROTRAN para la estimación de propiedades de medios porosos
327
Nomenclatura
Operadores
∇ Gradiente.
∇ 2 Laplaciano.
Promedio aritmético.
∆ Diferencia.
x& Derivada temporal de la variable x.
x' Derivada total de la variable x.
R Operador discreto de renormalización de celda.
Capítulo 1
u Velocidad.
ρ Densidad.
t Tiempo.
P Presión.
q Densidad de flujo hidrodinámico.
g Aceleración de gravedad.
k Permeabilidad.
µ Viscosidad.
lc Longitud característica.
F Factor de formación.
φ Porosidad.
kir Coeficiente de permeabilidad relativa de una fase i.
Capítulo 2
ρ Densidad.
P Presión.
q Densidad de flujo hidrodinámico.
g Aceleración de gravedad.
k Permeabilidad.
µ Viscosidad.
lc Longitud característica.
F Factor de formación.
φ Porosidad.
c Prefactor de la ecuación de Kozeny.
S Superficie específica de poros.
d Diámetro de partículas.
z Indice de coordinación de red.
β Prefactor de la ecuación de Kozeny para un arreglo uniforme de esferas.
α , m Parámetros de ajuste de la relación de permeabilidad (Bourbié et al., 1987).
x Factor de compactación.
φc Porosidad crítica.
g c Conductancia crítica.
σ e* Conductividad eléctrica de un fluido conductor.
σ e Conductividad eléctrica de una red de poros saturada de fluido conductor.
µ ' , λ Parámetros de la relación de potencia entre la conductividad eléctrica y la porosidad.
p Fracción de enlaces conductores en una red.
pc Probabilidad crítica de percolación.
µ p , γ Parámetros de escalamiento entre la conductividad eléctrica y la fracción de enlaces
conductores en una red percolativa en el estado crítico.
Capítulo 3
p Fracción de enlaces conductores en una red.
pc Probabilidad crítica de percolación.
z Indice de coordinación de red.
f Función de distribución.
g e Conductancia eléctrica.
g h Conductancia hidrodinámica.
d n Dimensión de red.
P( p) Probabilidad de percolación.
X A ( p ) Fracción de enlaces accesibles de una red percolativa.
X B ( p ) Fracción de enlaces conductores efectivos de una red percolativa.
ξ ( p ) Longitud de correlación de una red percolativa.
S ( p) Tamaño promedio de racimos de una red percolativa.
s Número de enlaces de un racimo.
ns ( p) Densidad de racimos de tamaño s (enlaces) de una red percolativa.
g ef ( p) Conductancia efectiva de una red percolativa.
β p , β B , µ p , γ p , υ p Exponentes de escalamiento crítico de las propiedades de percolación
de enlaces en redes.
De Difusividad eléctrica.
ne Densidad de electrones.
Ψ Propiedad genérica de una red percolativa.
ε Exponente crítico de la propiedad Ψ de una red percolativa.
N Tamaño de la red expresado en número de nodos (o de enlaces).
A Sección transversal.
I Flujo eléctrico.
V Potencial eléctrico.
σ e Conductividad eléctrica.
σ h Conductividad hidrodinámica.
σ * Conductividad eléctrica de un fluido.
L Longitud de un medio en la dirección del flujo.
l Longitud de un enlace de red.
VT Volumen total de un material poroso.
V p Volumen de poros de un material.
τ Tortuosidad.
Q Flujo volumétrico o caudal.
m Masa.
r Radio de un conducto.
rmp Radio más probable de un conducto a una cantidad dada de pasos de compactación.
rrms Radio cuadrático medio de una red heterogénea.
S Superficie específica de matriz sólida.
lc Longitud característica de un medio poroso.
k Permeabilidad.
µ ' Exponente de escalamiento entre la conductividad eléctrica y la porosidad.
µ " Exponente de escalamiento entre la permeabilidad y la porosidad.
x Factor de compactación.
n Número de deformaciones sobre un enlace.
M Número de deformaciones aleatorias sobre una red de poros.
F Factor de formación.
db Diámetro de partículas esféricas de vidrio.
ce , ch Prefactores de las definiciones de conductancia de poro.
α e , α h Prefactores de las relaciones de Katz y Thompson para conductividad eléctrica y
permeabilidad de red.
lhmín Tamaño de poro que maximiza la conductividad hidráulica de una red.
lemín Tamaño de poro que maximiza la conductividad eléctrica de una red.
V p Volumen de poro.
S p Superficie de poro.
Λ Longitud característica lambda.
lh Longitud característica hidrodinámica.
θ Angulo de contacto.
γ Tensión superficial.
d Diámetro de poro.
Pc Presión capilar.
Pc* Presión umbral de una curva de saturación-presión capilar.
S nw Saturación de fluido no-mojante en una red.
Capítulo 4
J Flujo genérico.
P Presión.
g Conductancia.
g e Conductancia eléctrica.
g h Conductancia hidrodinámica.
ϕ Potencial de nodo.
l Largo de enlace.
z Indice de coordinación de red.
S nw Saturación de fluido no-mojante en una red.
Pc Presión capilar.
σ e Conductividad eléctrica.
I Flujo eléctrico.
A Area de la sección transversal de conductor.
r Radio de conductor.
Q Flujo hidrodinámico.
µ Viscosidad.
v Velocidad.
x Coordenada espacial.
ξ Factor de forma de conducto.
W Perímetro de la sección transversal de un conducto.
a , b Dimensiones características de un conducto.
Γ Definición geométrica de frontera de un conducto.
ε Tolerancia numérica.
k Permeabilidad.
f Función de distribución.
g ef Conductancia efectiva.
p Fracción de enlaces conductores de red.
℘ Función discreta de Green.
aml Término correctivo de la expresión de desviación de conductividad (SBA).
G Matriz de conductancias.
ϕ Vector de potenciales de nodo.
V Vector de voltajes de nodo.
P Vector de presiones de nodo.
b Vector libre del sistema lineal de balances nodales.
Capítulo 5
j Densidad de flujo.
J Flujo.
σ Conductividad.
A Area de sección transversal.
l Longitud de conductor.
ϕ Potencial.
g Conductancia.
r Radio de conducto.
V Potencial eléctrico.
P Presión.
µ Viscosidad.
Q Flujo hidrodinámico.
F Función de distribución acumulada.
f Función de distribución.
u Variable aleatoria distribuida uniformemente.
λ1 , λ2 Parámetros de una distribución.
g Conductancia.
U (a, b) Función de distribución uniforme de parámetros a y b .
L(a, b) Función de distribución log-normal de parámetros a y b .
θ Dirección genérica de una red cúbica.
x , y , z (superíndice) Direcciones de una red cúbica.
x Factor de compactación.
P e Presión externa aplicada a la matriz sólida de un material poroso.
E Módulo de Young.
υ Módulo de Poisson.
ν Exponente de la relación k-φ en el modelo de Wong.
V p Volumen de poros.
VT Volumen del medio poroso.
n Número de enlaces de una red en una dirección dada.
m Masa.
t Tiempo.
nel Número de elementos no-nulos en una fila de una matriz.
nc Número de columnas de la matriz intermedia de conductancias.
s Variable de numeración de nodos conductores de una red.
d Distancia entre las bandas diagonales a la diagonal central en la matriz de conductancias.
N Número total de nodos de una red.
s Variable de numeración de nodos conductores de una red percolativa.
ε Tolerancia numérica.
g ef Conductancia efectiva de red.
z Indice de coordinación de red.
h Función objetivo de la ecuación autoconsistente EMA.
V p Volumen de poros.
S p Superficie de poros.
lh Longitud característica hidrodinámica.
Λ Longitud característica lambda.
Pc Presión capilar.
S nw Saturación de fluido no-mojante en una red.
G Matriz de conductancias.
b Vector de posición del sistema lineal de balances nodales.
P Vector de presiones de nodo.
V Vector de voltajes de nodo.
A , IA , JA Vectores de almacenamiento ralo de una matriz.
M Matriz de ejemplo.
G' Matriz intermedia de conductancias.
R Matriz de decoración de radios en la simulación de porosimetría.
lst Vector de los nodos del frente de avance de fluido invasor en porosimetría.
e Vector de rótulos de los nodos en el algoritmo de reconocimiento de racimos.
et Vector de rótulos en el algoritmo de reconocimiento de racimos.
rs Vector de relación entre las numeraciones de nodo s y s’ en una red percolativa.
Capítulo 6
f Función de distribución.
U (a, b) Función de distribución uniforme de parámetros a y b .
L(a, b) Función de distribución log-normal de parámetros a y b .
x Factor de compactación.
p ( k ) Fracción de enlaces en la celda k.
ξ Parámetro de avance de una compactación.
α Constante de proporcionalidad entre el flujo de salida de un modo y su población.
s Variable temporal en el espacio de Laplace.
N Número de modos en una distribución.
φ Porosidad.
r Radio de poro.
wik Fracción de transferencia de elementos desde el modo k al modo i.
σ Conductividad eléctrica.
k Permeabilidad.
m Exponente de la relación de potencia entre una propiedad de transporte y la porosidad.
S nw Saturación de fluido no-mojante en una red.
lc Longitud crítica.
Pc Presión capilar.
d h Longitud característica hidrodinámica.
Λ Longitud característica lambda.
g Conductancia.
Γ ( k ) Racimo conductor de enlaces que pertenecen a un modo k.
F Factor de formación.
b Coeficiente de posición de la relación de permeabilidad.
φc' Porosidad pseudo-crítica.
φc Porosidad de transición de régimen de transporte.
Apéndices
J Flujo genérico.
g Conductancia.
δ i , j Delta de Kronecker.
ϕ Potencial.
N Número de nodos en una red.
S Conductividad de red.
Z Impedancia de red.
f Función de distribución.
F Función de distribución acumulada de f.
z Indice de coordinación de red.
d n Dimensión de la red.
I n Función de Bessel modificada de orden n.
p Fracción de enlaces conductores.
P( p) Probabilidad de percolación.
v Velocidad.
µ Viscosidad de fluido.
p0 , pL Presión de entrada y de salida de un ducto, respectivamente.
Γ Fuerzas de campo por unidad de masa.
l Longitud de un conducto.
R Radio de un conducto.
A Area de la sección transversal de un conducto.
P Probabilidad.
nu Número de nodos de una red en la dirección u.
J Vector de flujo en nodos.
G Matriz de conductancias.
b Vector libre de un sistema de balances nodales.
E, ℘ Operadores de Green discretos de una red efectiva y de una red aleatoria,
respectivamente.
Indice de Figuras
Capítulo 1
Figura 1.1 Relación permeabilidad-porosidad en diversos materiales porosos naturales y
sintéticos. (a) Bourbié et al. (1987) (b) Bosl et al. (1998).
Figura 1.2 Relación permeabilidad-porosidad para Arena Fontainebleau. Los datos
obedecen Kozeny-Carman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el
rango de porosidad.
Figura 1.3 Relación permeabilidad-porosidad para calcita prensada. Los datos obedecen
Kozeny-Carman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el rango de
porosidad.
Figura 1.4 Relación permeabilidad-porosidad para material fibroso. Los datos obedecen
Kozeny-Carman a alta porosidad, en un rango muy estrecho de porosidad.
Figura 1.5 Relación permeabilidad-porosidad para esferas de vidrio cementadas con resina.
Los datos muestran un comportamiento no lineal con presencia de inflexiones.
Capítulo 3
Figura 3.1 Red de Bethe o árbol de Cayley de índice de coordinación z = 3 .
Figura 3.2 Proceso de percolación en una red cuadrada de 140×140 nodos. En negro,
enlaces aislados; en gris, enlaces conductores; y en blanco, enlaces eliminados. A) Estado
inicial de la red, la conectividad es máxima, p = 1. b) Aparecen racimos aislados, p = 0.55.
c) Umbral crítico de percolación, se observa conectividad de largo rango, p = 0.50. d) Zona
subcrítica, la red posee una fracción de enlaces p = 0.45 inferior a la mínima que establece
conducción a través de la red.
Figura 3.3 Evolución de la función de distribución percolativa, Ecuación (1.1), durante el
proceso de percolación en una red regular cuadrada. (a), (b), (c) y (d) corresponden a los
estados representados en la Figura 3.2. p c es la fracción crítica de enlaces que garantiza
conducción a través de la red.
Figura 3.4 Red tridimensional de capilares paralelos de sección constante.
Figura 3.5 Red cúbica simple tridimensional de capilares cilíndricos de tamaño distribuido.
Figura 3.6 Patrón de flujo en un experimento de porosimetría en una red cuadrada de
380×380 nodos. La imagen muestra el momento exacto en que el fluido invasor alcanza la
presión necesaria para formar un racimo que atraviesa la red de arriba a abajo. El medio
corresponde a una red decorada con una distribución de radios inicial uniforme U(1,2) que
fue sometido a una alta compactación, x = 0.3 , hasta una porosidad normalizada de 0.6. El
círculo negro indica la posición del poro crítico en la red. Los tonos de gris indican rangos
diferentes de presión capilar.
Figura 3.7 Curva de presión capilar de un experimento simulado de porosimetría en la red
de la Figura 3.6. El círculo blanco en la curva corresponde al punto en que el fluido invasor
atraviesa la red, es decir, el estado que define la longitud característica del medio.
Capítulo 4
Figura 4.1 (a) Imagen RMN del espacio poroso de una Arena del Mar del Norte. (b) Red
subyacente.
Figura 4.2 Redes regulares bidimensionales. De izquierda a derecha red Honeycomb, red
cuadrada, red Kagomé y red triangular.
Figura 4.3 Redes irregulares. A la izquierda red Voronoi, a la derecha triangulación
Delaunay.
Figura 4.4 Curvas de saturación (S nw ) o presión capilar (Pc ) de fluido no mojante (nw)
para un experimento de porosimetría simulado en redes de poros de 50×50×50 nodos y
distribución de radio de conductos uniforme U(1, 2) para distintos valores de conectividad
media, z = 2, 3, 4, 5 y 6.
Figura 4.5 Conductancia adimensional vs factor de forma (Patzek y Silin, 2001).
Figura 4.6 La cinta de Moebius es un ejemplo de una condición de medio periódico. La
hormiga camina sobre una trayectoria ilimitada en un espacio periódico limitado. (Grabado
de Escher).
Figura 4.7 Conductividad efectiva en una red cúbica simple mediante MC, EMA, SBA y
REMA en con celda 2×2×2. La función de distribución de conductancias locales es binaria.
El tamaño de red es de 50×50×50 nodos. (Los datos de REMA son de Sahimi et al., 1983).
Figura 4.8 Representación esquemática del método de renormalización. (a) El medio
original es heterogéneo, presenta una distribución amplia de colores (o de propiedades de
conducción). (b) En una primera etapa de renormalización se subdivide el espacio en celdas
que contienen 2×2 elementos, la distribución resultante es menos heterogénea que en a). (c)
Segunda etapa de renormalización, se repite el proceso sobre el medio en b). (d) En la
última etapa de renormalización el medio es homogéneo y su color (o propiedad de
transporte) es representativo del medio heterogéneo original en a).
Capítulo 5
Figura 5.1 Redes de poros utilizadas en simulaciones de flujo en medios porosos. Red
cuadrada bidimensional de conductos cilíndricos planos o rectangulares (izquierda), red
cúbica simple tridimensional de conductos cilíndricos (derecha).
Figura 5.2 Procedimiento de muestreo Monte Carlo. Función de distribución continua de
una variable aleatoria r (izquierda) que se desea muestrear. Muestreo uniforme del
recorrido de la función de distribución acumulada y cálculo de la función inversa (centro).
Función de distribución obtenida mediante el muestreo (derecha).
Figura 5.3 Modelo de compactación de poros de Wong et al. (1984). Izquierda:
compactación severa de un capilar cilíndrico (x = 0.5). Derecha: compactación débil (x =
0.8).
Figura 5.4 Izquierda: nodo genérico (i,j) de una red cuadrada. Derecha: nodo genérico
(i,j,k) de una red cúbica simple.
Figura 5.5 Notación de índices i, j y decoración de una red cuadrada de 3×3 nodos.
Figura 5.6 Notación de índices s i , j y decoración de la red cuadrada de 3×3 nodos.
Figura 5.7 Red cuadrada de 3×3 nodos con condición de borde lateral, horizontal,
periódica.
Figura 5.8 Comparación de memoria de computador requerida para almacenar la matriz de
conductancias en el modo convencional y en el ralo periódico para distintos tamaños de
red. Red cuadrada (izquierda). Red cúbica simple (derecha).
Figura 5.9 Red percolativa. Racimos aislados aparecen en gris. Racimo infinito en negro.
En gris claro aparecen nodos aislados que producen la indeterminación del sistema de
ecuaciones de los balances nodales.
Figura 5.10 Algoritmo de Hoshen y Kopelman. (a) Red cuadrada percolativa y (b)
asignación de etiquetas hasta la aparición de un conflicto de rotulación en el nodo ‘?’. (c)
Primera etapa de rotulación completa y (d) asignación de etiquetas definitivas.
Figura 5.11 Tipos de enlaces en una red percolativa. Los enlaces aislantes, de conductancia
nula, no aparecen en la red. Los enlaces gris oscuro corresponden a racimos de enlaces que
no son conductores pues no conectan con el racimo infinito. En gris claro, se indican los
enlaces terminales que son eliminados en una etapa previa a la numeración s’ de los nodos
del racimo infinito. En negro y rotulados aparecen los enlaces y nodos del racimo infinito
que son potenciales conductores y que intervienen en la determinación de las propiedades
de transporte de la red.
Figura 5.12 Comportamiento monótono y creciente de la función objetivo h que define la
conductancia efectiva de redes de poros heterogéneas. Las curvas corresponden a diferentes
valores de porosidad de redes cuadradas de 200×200 nodos decoradas con distribución
inicial uniforme de radios U(1,2) compactadas bajo factor x = 0.1.
Figura 5.13 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cuadrada
con una celda de renormalización de tamaño 2×2. En este caso la renormalización se
muestra para la dirección vertical, en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.
Figura 5.14 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cúbica
simple con una celda de renormalización de tamaño 2×2×2. En este caso la renormalización
se muestra para la dirección vertical; en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.
Figura 5.15 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante en una red
cuadrada de poros con distribución de radios. Los contornos laterales se conectan en forma
periódica, aunque desplazados en una unidad de red. La inyección del fluido ocurre desde
arriba. La Figura a la derecha muestra la red con el tamaño proporcional de sus poros en su
estado inicial, libre de fluido no mojante.
Figura 5.16 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante, en gris oscuro,
en la red de la Figura 5.15. La presión requerida para inundar el primer poro de la red
(izquierda) es suficiente para inundar todos los poros, de mayor tamaño que éste, que se
encuentran accesibles desde los poros inundados (derecha).
Figura 5.17 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (en gris oscuro)
ilustrado en la red cuadrada de la Figura 5.16.
Figura 5.18 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (en gris oscuro)
en la red de la Figura 5.17. La figura a la derecha muestra el momento en que el fluido
invasor forma una fase conexa a través de la red.
Figura 5.19 Curvas de saturación o presión capilar obtenidas mediante simulación de
Monte Carlo en redes cúbicas de 50×50×50 nodos y distribución de tamaño de poros
U(1,2). Los resultados corresponden a dos tipos de comportamiento observados durante la
invasión forzada de un fluido no mojante cuando las redes son sometidas a compactación
severa, izquierda, y débil, derecha. Cada curva corresponde al experimento a una porosidad
fija ( φ disminuye de 1 hasta 0.1). Los círculos corresponden al estado en que el fluido no
mojante atraviesa la red.
Capítulo 6
Figura 6.1 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cuadrada para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Figura 6.2 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cuadrada para
distintas intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e)
x = 0.99 .
Figura 6.3 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cuadrada para
distintas intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e)
x = 0.99 .
Figura 6.4 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cuadrada para
distintas intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e)
x = 0.99 .
Figura 6.5 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cúbica para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Figura 6.6 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cúbica para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Figura 6.7 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cúbica para
distintas intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e)
x = 0.99 .
Figura 6.8 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cúbica para
distintas intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e)
x = 0.99 .
Figura 6.9 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a x = 0.3 en una red cúbica.
(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.
Figura 6.10 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a x = 0.1 en una red cuadrada.
(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.
Figura 6.11 Evolución de la distribución uniforme U(1,20) a x = 0.1 en una red cuadrada.
(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.
Figura 6.12 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cuadrada decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades
de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.13 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cuadrada decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades
de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.14 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cuadrada decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas
intensidades de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.15 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cuadrada decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas
intensidades de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.16 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cúbica decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.17 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cúbica decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades
de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.18 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cúbica decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades
de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.19 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cúbica decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades
de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.20 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.21 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.22 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.23 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.24 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de
compactación. (a)Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.25 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red
cúbica decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades
de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.26 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.27 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Figura 6.28 Permeabilidad normalizada vs fracción de enlaces de alta conductancia p1 para
el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los
círculos corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.29 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada para el modelo binario
en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos corresponden a
la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.30 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta
conductancia p1 para el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de
compactación x. Los círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de
inflexión.
Figura 6.31 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el
modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos
en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.32 Fracción de enlaces en la transición de permeabilidad vs factor de
compactación x para el modelo binario en una red cúbica.
Figura 6.33 Permeabilidad normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductancia
p1 para el modelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los
círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.34 Permeabilidad normalizada EMA vs porosidad normalizada en una red cúbica
del modelo binario para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas
corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.35 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta
conductancia p1 para el modelo binario en una red cúbica para distintos factores de
compactación x. Los círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de
inflexión.
Figura 6.36 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el
modelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos en
las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.37 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,2).
Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.38 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,20).
Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.39 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal
L(1.5,0.1). Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.40 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal
L(1.5,0.8). Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.41 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cúbica de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,2).
Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.42 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cúbica de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,20).
Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.43 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cúbica de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal
L(1.5,0.1). Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.44 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de
poros cúbica de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),
0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal
L(1.5,0.8). Círculos blancos indican la presión umbral de la red.
Figura 6.45 Diámetro hidráulico normalizado vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y
(d) L(1.5,0.8) a distintas intensidades de compactación dadas por el factor x.
Figura 6.46 Longitud lambda normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica con
distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y (d)
L(1.5,0.8) a distintas intensidades de compactación x. La ampliación muestra Λ a baja
porosidad.
Figura 6.47 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) a distintas intensidades de
compactación.
Figura 6.48 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de
compactación.
Figura 6.49 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de
compactación.
Figura 6.50 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de
compactación.
Figura 6.51 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.
Figura 6.52 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de
compactación.
Figura 6.53 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de
compactación.
Figura 6.54 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de
compactación.
Figura 6.55 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución
de radios inicial U(1,2) para distintos factores de compactación.
Figura 6.56 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución
de radios inicial U(1,20) para distintos factores de compactación.
Figura 6.57 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución
de radios inicial L(1.5,0.1) para distintos factores de compactación.
Figura 6.58 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución
de radios inicial L(1.5,0.8) para distintos factores de compactación.
Figura 6.59 Representación esquemática del método de cálculo de la porosidad pseudocrítica φc' .
Figura 6.60 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada
decorada con distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.
Figura 6.61 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada
decorada con distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.
Figura 6.62 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada
decorada con distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.
Figura 6.63 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada
decorada con distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.
Figura 6.64 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada
con distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.
Figura 6.65 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada
con distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.
Figura 6.66 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada
con distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.
Figura 6.67 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada
con distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.
Apéndices
Figura A.1 Red unidimensional. l representa un nodo genérico en la red, 1 es el nodo de
entrada de flujo y m el nodo de salida de flujo.
Figura A.2 Representación de la red utilizada en la formulación de la aproximación del
enlace simple.
Figura A.3 Perfil de velocidades en un conducto rectangular de longitud l y radio R.
Figura A.4 Celda de renormalización 2×2×2 en la red cúbica (arriba). En una primera etapa
a los nodos superiores e inferiores (gris claro) de la celda se les impone el mismo potencial
(abajo).
Capítulo 1
Estudio de Flujo en Medios Porosos:
Motivación
La relevancia y urgencia de mejorar nuestra comprensión de fenómenos de flujo en
medios porosos a fin de optimizar el diseño de procesos actuales y proponer nuevos procesos
no está en duda. Flujo en medios porosos ocurre en prácticamente todas las aplicaciones
industriales y también en el medio ambiente natural. Aplicaciones importantes incluyen la
explotación de gas y petróleo; migración de contaminantes y fertilizantes en suelos;
lixiviación de minerales; secado de madera, papel, alimentos; preparación de catalizadores y
materiales cerámicos; procesos de separación con catalizadores, membranas, filtros, columnas
empacadas; diseño de cementos y hormigones.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
2
La simulación de fenómenos de flujo en materiales porosos es difícil debido a la
compleja naturaleza de la geometría y topología de su espacio y la heterogeneidad en la
composición química de sus paredes internas. Para un fluido incompresible, el flujo a escala
de segmentos de poro obedece las ecuaciones de Navier-Stokes (Tritton 1988, Bear 1972),
∇ ⋅ u = 0,
ρ
∂u
+ ρu ⋅ ∇u = −∇P + ∇ 2 u.
∂t
(1.1)
(1.2)
donde u es la velocidad local del fluido en cualquier punto del espacio poroso, y la condición
de borde en la interfase sólido-fluido se supone de no deslizamiento (u = 0 ) . La solución de las
Ecuaciones (1.1) y (1.2) mediante métodos tradicionales de diferencias finitas y elementos
finitos requiere de la discretización de una imagen del medio poroso sobre una malla regular
en dos o tres dimensiones, según sea el caso. Para medios porosos complejos y de tamaño
representativo la exigencia computacional, léase velocidad y memoria, hace inviable el uso de
técnicas tradicionales. Una demostración es que el método clásico de diferencias finitas en lo
que respecta a flujo microscópico en medios porosos, sólo ha sido implementado para resolver
la forma estacionaria y linealizada, o la forma de Stokes, de las Ecuaciones (1.1) y (1.2), esto
es,
∇ ⋅ u = 0,
(1.3)
∇P = ∇ 2 u.
(1.4)
con la condición de borde de no deslizamiento en la interfase sólido-fluido (u = 0 ) . Esta
condición de borde es suficiente para flujo a bajo número Reynolds, que son los de interés en
medios porosos. La solución de estas ecuaciones mediante diferencias finitas o elementos
finitos pasa por discretizar los gradientes en la Ecuación (1.4) sobre una malla. La
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
3
implementación apropiada de la condición de borde para cada forma posible de la frontera
sólido–fluido impone una alta exigencia en la capacidad computacional disponible (léase
exigencia en desarrollo tecnológico). La idea de discretizar el espacio poroso de manera no
muy fina para reducir la necesidad de memoria y velocidad de procesamiento incide directa y
negativamente sobre la resolución con que se representa el medio poroso. El problema es
agravado por efectos multicomponentes, multifásicos, presencia de partículas sólidas y
fenómenos de deformación, entre varios otros. A nuestro mejor entender, el método de
diferencias finitas aún no ha sido aplicado a la simulación de flujo microscópico multifásico
inmiscible en medios porosos.
Un camino alternativo consiste en plantear el problema de flujo en la escala
macroscópica, es decir, en la escala de observación. Para ello se hace uso extensivo de la ley
de Darcy, que dio inicio a la ciencia de flujo en medios porosos durante la mitad del siglo
dieciocho. Conduciendo experimentos en empaques de arena, Darcy (1856) encontró la
siguiente relación entre la densidad de flujo q y la fuerza aplicada sobre el fluido,
q=−
k
µ
(∇P − ρg )
(1.5)
donde µ es la viscosidad del fluido, ∇P el gradiente de presión aplicado sobre el fluido, ρg
la densidad de fuerza gravitacional, y k la permeabilidad. La permeabilidad tiene dimensiones
de área y es una medida de la conductividad del medio poroso al flujo de fluido a su través
(Dullien, 1992).
Dado que la permeabilidad es una propiedad del medio poroso, no del fluido, resulta
independiente de las condiciones de flujo, surge la duda sobre el origen del interés teórico en
una ley fenomenológica lineal como la ley de Darcy. Existen al menos tres razones para tal
interés: el escalamiento de micro a macro escala, la definición de permeabilidad y la extensión
de la ley de Darcy a flujo multifásico. Cada uno de estos aspectos se discute a continuación.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
4
Micro a macro escala
La primera razón de interés en la Ecuación 1.5 es puramente una cuestión físicomatemática. ¿Cómo una ecuación lineal como la de Darcy puede resultar de una ecuación no
lineal como la Ecuación (1.2)? La linealidad de la ley de Darcy es difícilmente obvia
considerando que es bien conocido que la ley aplica a flujos donde el término no lineal de la
Ecuación (1.4) juega un papel de magnitud comparable al término viscoso. Este es un punto
entre muchos otros de discusión permanente en la literatura de medios porosos.
Permeabilidad
La segunda razón deriva del coeficiente de permeabilidad. Para una multitud de
preocupaciones prácticas que van de la migración de contaminantes en aguas subterráneas a la
eficiencia de recuperación de gas y petróleo desde yacimientos, lo común es insertar la
Ecuación (1.5) en la ecuación de momento de Navier-Stokes, Ecuación (1.2), para obtener una
ecuación macroscópica que se puede resolver no sin dificultad, si se dispone de la
permeabilidad, mediante técnicas tradicionales como diferencias finitas y elementos finitos.
En tal caso, el material poroso es discretizado en bloques, conocidos como bloques de
simulación, para los que se requiere la permeabilidad. El resultado es un simulador de flujo en
materiales porosos. Si el medio es homogéneo la permeabilidad de los bloques es idéntica. Si
el medio es heterogéneo, el caso más común, entonces la permeabilidad de los bloques es
distinta; en este caso se requiere de un campo de permeabilidades.
La simulación de flujo en medios porosos en la gran mayoría de las aplicaciones
descansa en simuladores macroscópicos que deben ser alimentados con las propiedades físicas
relevantes del sistema. En este sentido las ecuaciones que gobiernan el flujo están muy bien
definidas; la forma de resolverlas también. La capacidad computacional necesaria se encuentra
disponible. A pesar de todas estas ventajas, debido a la falta de datos de permeabilidad por
razones de costo y problemas de accesibilidad en casos, la simulación tiene carácter de ajuste
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
5
de historia a lo más, con escasa capacidad predictiva. Esto no debe sorprender, la verdadera
física del fenómeno no es considerada en la ecuación macroscópica de flujo sino que descansa
en la permeabilidad. Así, el problema sigue siendo la falta de caracterización apropiada del
medio poroso, esto es, la falta de ecuaciones constitutivas de sus propiedades materiales. Los
simuladores macroscópicos de flujo y transporte en medios porosos son así muy buenos, casi
exclusivamente, en la ventana de operación de las variables utilizadas en el ajuste de historia
del problema de flujo.
La necesidad de asignar carácter predictivo a los simuladores ha impulsado una
creciente actividad de investigación con el objetivo de predecir la permeabilidad de medios
porosos a partir de propiedades estadísticas de la geometría y topología del espacio poroso.
Sin embargo, a pesar del esfuerzo teórico invertido y de muchos avances significativos,
todavía es común encontrar errores de orden de magnitud o mayor en las estimaciones de
permeabilidad.
Uno de los avances más notables del último tiempo es la relación tipo ley de potencia
entre la permeabilidad y el inverso del factor de formación, razón entre la conductividad de un
medio poroso saturado con un electrolito y la conductividad eléctrica del electrolito bulto, a
través de una longitud característica del medio poroso. Esto es,
k∝
l c2
F
(1.6)
donde l c es la longitud característica y F el factor de formación del medio (Katz y
Thompson, 1986). El reconocimiento de esta longitud característica, que fija la escala de la
permeabilidad, deja atrás décadas de intentos por relacionar la permeabilidad con el factor de
formación o con la porosidad exclusivamente. Diversos autores han propuesto definiciones
para esta longitud característica, pero a la fecha no está clara la más apropiada. Considerando
que a su vez F se relaciona con φ mediante una ley de potencia, ley de Archie (Dullien,
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
6
1992), es razonable esperar también una ley de potencia que relacione k con φ , simple
extensión de la Ecuación (1.6). Una duda importante que prevalece tiene que ver con la
universalidad del carácter de estas leyes de potencia que se han teorizado para la
permeabilidad.
Los datos de permeabilidad-porosidad de una gran variedad de materiales porosos de
origen natural presentados en la Figura 1.1 revelan efectivamente un comportamiento de ley
de potencia, de exponente que varía de un material a otro. La sola Figura 1.1a pareciera
indicar que un comportamiento universal de ley de potencia entre permeabilidad y porosidad
no es posible. Esta apreciación cobra mayor fuerza si se consideran los datos de la Figura
1.1b; no sólo el comportamiento de la relación k- φ es distinto de un material a otro sino que la
relación en la forma de ley de potencia sólo sería válida por tramos en un mismo material. Por
ejemplo, la arena de Fontainebleau en la Figura 1.1b muestra un comportamiento no-lineal en
coordenadas logarítmicas. Bourbié et al. (1987) ajustaron una ley de potencia a alta φ y una
distinta a baja φ . Mavko y Nur (1997), utilizando conceptos de teoría de percolación,
proponen que esta arena posee una porosidad crítica, φ c , distinta de cero, y que cuando se
grafican los datos de k contra φ − φ c siguen la ley de potencia de Kozeny (1927) y Carman
(1937) en todo el rango de φ , como indica la Figura 1.2. Dado que φ c define un cambio de
régimen de flujo del material poroso, de conductor a no conductor ( k = 0 ) en el caso de la
arena, el trabajo de Mavko y Nur (1997) sugiere una transición en la microestructura que
controla el flujo, de una abierta, permeable, a una cerrada, impermeable. La relación k- φ de
otros materiales porosos con comportamiento similar al de la arena a baja porosidad ha sido
exitosamente explicada con el argumento de Mavko y Nur (1997), ver Figuras 1.3 para el
caso de calcita prensada. Sin embargo, existen datos k- φ de otros medios porosos que
muestran comportamiento no lineal y presencia de inflexiones en coordenadas log-log, lo que
revelaría transiciones en la microestructura porosa que controla el flujo. Ejemplos son los
datos de la Figura 1.4 para material fibroso y de la Figura 1.5 para esferas de vidrio
cementadas con resina.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
7
(a)
(b)
Figura 1.1 Relación permeabilidad-porosidad en diversos materiales porosos naturales y sintéticos.
(a) Bourbié et al. (1987) (b) Bosl et al. (1998).
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
8
Figura 1.2 Relación permeabilidad-porosidad para Arena Fontainebleau. Los datos obedecen KozenyCarman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el rango de porosidad.
Figura 1.3 Relación permeabilidad-porosidad para calcita prensada. Los datos obedecen KozenyCarman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el rango de porosidad.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
9
Figura 1.4 Relación permeabilidad-porosidad para material fibroso. Los datos obedecen KozenyCarman a alta porosidad, en un rango muy estrecho de porosidad.
Figura 1.5 Relación permeabilidad-porosidad para esferas de vidrio cementadas con resina. Los datos
muestran un comportamiento no lineal con presencia de inflexiones.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
10
El comportamiento tipo escalera de los datos en la Figura 1.5 difícilmente podría ser
explicado con los argumentos de Mavko y Nur (1997), no al menos en todo el rango de
porosidad. El comportamiento de este empaque de esferas de vidrio cementadas es raro, pero
puede obedecer a una razón simple: los dominios de porosidad que se exploran en
experimentos típicos son estrechos. La pregunta abierta aquí es si el comportamiento no lineal
de los datos de k − φ en las Figuras 1.2 a 1.5 descarta un carácter universal de la relación de
ley de potencia entre la permeabilidad y la porosidad. Las explicaciones en la literatura para
la zona de inflexión de los datos de permeabilidad vs porosidad son múltiples e incluyen
argumentos tales como que la precisión de los instrumentos de medida es excedida o que los
datos revelan error de medida. En algunos casos los datos en esta región simplemente son
descartados por falta de explicación, por sospecha de error en la medida o con el argumento
que la permeabilidad en ese rango de baja porosidad carece de interés práctico.
Un problema adicional con la permeabilidad es la limitada comprensión de su
dependencia con la longitud de escala del material poroso. La necesidad de resolver esta
dificultad es central si se desea realizar predicciones en aplicaciones que involucren escalas de
orden del kilómetro o más, mientras que las medidas de laboratorio se realizan típicamente en
la escala de centímetros. Las ideas con mayor potencial en esta área son las de escalamiento
mediante renormalización, una herramienta de la física de la materia condensada.
Finalmente, la toma de decisiones sobre la mejor estrategia de producir un pozo de gas
o de petróleo, o de la mejor estrategia para desarrollar una técnica de remediación de suelos
depende fuertemente de la calidad de ésta predicción. La alimentación de simuladores con
información definitiva, sin duda otorgará carácter predictivo a los simuladores actuales.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
11
Efectos multifásicos
La tercera razón de interés en la Ecuación (1.5) es su aplicabilidad al flujo de dos o
más fases inmiscibles en medios porosos. Comúnmente se supone que una modificación
simple de la Ecuación (1.5) aplica al flujo multifásico. Para dos fluidos, se puede escribir
qi = − kir
k
µ
(∇Pi − ρi g ) ,
i = 1, 2
(1.7)
donde el subíndice i se refiere a las fuerzas que actúan sobre el i-ésimo fluido o a las
propiedades del i-ésimo fluido, θ es la saturación relativa de un fluido 1, y k ir es el coeficiente
de permeabilidad relativa dependiente de la saturación. Entre los muchos problemas con la
Ecuación (1.7) se encuentra la suposición implícita que el flujo de cada fluido transcurre
desacoplado del otro; es decir, cada fluido desarrolla sus propios canales independientes de
flujo y fluye sin interacción viscosa alguna con el otro fluido residente. Simulación de Monte
Carlo y de autómatas celulares en redes de poros ha arrojado luz parcial sobre este problema
(para revisiones ver Sahimi, 1993, 1995 y Wong, 1999).
La determinación de permeabilidades relativas resulta un problema similar al de la
estimación de permeabilidad en flujo monofásico aunque más complicado debido a la cantidad
de configuraciones espaciales posibles de dos fases. Con relación a las permeabilidades
relativas todavía no emerge consenso sobre como deben medirse en el laboratorio, si bien se
ha avanzado de manera significativa, experimental y numéricamente, en la comprensión del
papel que juegan la presión capilar, los efectos de borde, la mojabilidad de las superficies
sólidas, la viscosidad y la velocidad de flujo. La literatura da cuenta de relaciones funcionales
entre la permeabilidad relativa de un fluido y su saturación; sin
embargo, todos estos
esfuerzos tienen carácter exclusivamente empírico. La extrapolación y el escalamiento a otras
longitudes de escala siguen siendo de alto riesgo.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
12
Aparte de las tres razones expuestas para interesarse en la ley de Darcy, existen otras
situaciones prácticas que también necesitan definir la aplicabilidad de la ley de Darcy o de
alguna de sus variantes. Nos referimos al problema de flujo y transporte en materiales porosos
sometidos a carga; cuyas propiedades de flujo y de inventario varían con el proceso de
compactación al que son sometidos. Se encuentran en literatura numerosos estudios
experimentales y ecuaciones empíricas para explicar, por ejemplo, la relación entre la
permeabilidad y la porosidad. Trabajo de primeros principios, a escala de segmentos de poro,
sólo el de Wong et al. (1984).
La imposibilidad de abordar estos problemas con esquemas numéricos tradicionales,
diferencias finitas y elementos finitos, ha estimulado el uso de métodos discretos inspirados en
simulación de Monte Carlo y en la filosofía de los autómatas celulares. Tales simulaciones de
flujo y transporte en materiales porosos basadas en primeros principios y con fuerte carácter
ab initio pueden y deben ser utilizadas para explorar una ventana de operación más amplia a
fin de dilucidar soluciones a la gama de problemas mencionados.
Gran parte de la comprensión actual de flujo y transporte en medios porosos se debe a
estudios numéricos mediante simulación de Monte Carlo en redes de poros (para trabajos
recientes en esta área en la Universidad de Concepción ver Bustos y Toledo, 2002a,b,c,d).
Esta forma de enfrentar el problema tiene dos aspectos principales. Primero, permite una
idealización de la geometría compleja del material poroso, reduciéndolo a gargantas y cuerpos
de poro, manteniendo algún grado del desorden propio de los espacios porosos reales.
Segundo, el uso de redes de poros de geometría simple permite sustituir la integración de las
ecuaciones completas de Navier-Stokes por sus soluciones en las geometrías simples, como el
flujo Poiseuille en un tubo de radio especificado. Los modelos de red siguen siendo usados en
la actualidad; estos modelos son especialmente poderosos para estudiar fenómenos de
formación de patrones de flujo en medios porosos.
Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación
13
En los últimos años, sin embargo, otra posibilidad para el estudio numérico de flujo de
fluidos en medios porosos ha comenzado a ganar adeptos. Se trata de modelos basados en la
filosofía de autómatas celulares; concretamente el método gas reticular (lattice gas automata,
LGA) y, el más reciente, retículo de Boltzmann (lattice Boltzmann, LB). Los métodos LB, al
igual que los LGA, han sido desarrollados como una alternativa numérica para la simulación
de flujos complejos de fluidos sin simplificar la geometría del espacio poroso. El método LB
para simular fluidos es una evolución del método LGA. Ambos métodos tienen su origen en la
teoría cinética de los gases. La idea común detrás de estos métodos es que el proceso de
advección y colisión de partículas de fluido puede conducir a las ecuaciones de Navier-Stokes
cuando la colisión conserva masa, momento y energía. Adicionalmente, las partículas de
fluido deben moverse a lo largo de los enlaces de una malla numérica altamente simétrica
denominada retículo. Con la solución del campo de velocidades es muy fácil determinar la
permeabilidad del medio en estudio, mediante la aplicación de la ley de Darcy (para trabajos
recientes en esta área en la Universidad de Concepción ver Quispe y Toledo, 2002; y Rozas et
al. 2000).
En esta tesis se abordan algunos de los problemas mencionados en este capítulo.
Mediante simulación de Monte Carlo se estudia el problema de flujo en redes de poros que
sufren compactación, con atención especial a la permeabilidad, la longitud característica del
espacio poroso que fija la escala de la permeabilidad, y la relación funcional de la
permeabilidad con el factor de formación y la porosidad. Un objetivo importante en este
trabajo es la determinación del grado de universalidad de una relación como la indicada en la
Ecuación (1.6). También lo es la relación entre la longitud característica del espacio poroso y
la microestructura porosa.
Capítulo 2
Permeabilidad de Medios Porosos:
Una Revisión
La caída de presión de un fluido incompresible en régimen laminar a través de un
medio poroso se encuentra descrita por la ley macroscópica de Darcy (1856), esto es,
q=−
k
µ
∇P
(2.1)
donde q la densidad de flujo hidrodinámico a través del material poroso es proporcional al
gradiente de presión ∇P, la constante de proporcionalidad es la razón entre la permeabilidad,
una propiedad del medio, y la viscosidad del fluido µ.
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
15
La permeabilidad, k, es la propiedad global que controla el flujo, y como toda
propiedad de transporte depende fundamentalmente de propiedades geométricas y topológicas
del medio tales como la conectividad del espacio conductor, la geometría, la disposición
espacial de las partes que lo conforman y la proporción de volumen que ocupan estas partes.
Numerosas expresiones semi-analíticas propuestas en la literatura intentan relacionar la
permeabilidad con las propiedades geométricas y topológicas de los materiales porosos. En la
formulación de relaciones de aplicación práctica se han elegido como variables independientes
aquellas que pueden ser determinadas experimentalmente con una certidumbre razonable.
Hasta ahora, en literatura, las relaciones de permeabilidad involucran variables como la
porosidad, la tortuosidad, la forma y tamaño de las partículas (en el caso de sistemas
particulados), el tamaño y forma de los intersticios y, en enfoques más modernos, longitudes
características del espacio poroso.
La ley de Kozeny, una de las ecuaciones de permeabilidad más simples y conocidas,
fue deducida a partir de la solución analítica de las ecuaciones de Navier-Stokes en una
representación simplificada del espacio poroso, un arreglo de conductos cilíndricos paralelos
de sección aleatoria, pero constante. La ley de Kozeny relaciona la permeabilidad k con las
propiedades geométricas del medio poroso, como la porosidad φ , la superficie específica de
poros S y un parámetro empírico c, que en la mayoría de los casos es cercano a 0.2 (Kozeny,
1927; Carman, 1938). La ley que también se conoce como ley de Kozeny-Carman es
k =c
φ3
(2.2)
S2
el parámetro c contiene implícitamente la dependencia de la permeabilidad con respecto a las
desviaciones de la solución del modelo ideal respecto del medio real, por lo que es función de
variables como la tortuosidad, la forma y conectividad de los pasajes de flujo.
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
16
En medios porosos compuestos por partículas de forma regular y dispuestas en un
arreglo uniforme, la superficie específica S se encuentra relacionada directamente con la
porosidad φ y el diámetro promedio de las partículas ⟨d⟩,
S=
z (1 − φ )
d
(2.3)
A modo de ejemplo, en un arreglo uniforme de esferas con conectividad z = 6, la
ecuación de Kozeny-Carman toma la forma
k=β d
2
φ3
(1 − φ )2
(2.4)
donde φ es la porosidad, ⟨d⟩ una longitud característica que en este caso es el promedio de
tamaño de las partículas, y β un parámetro que presenta la misma funcionalidad que el término
c de la Ecuación (2.2).
La ecuación de Kozeny-Carman ha probado ser predictiva en el régimen de porosidad
alta en materiales compuestos por partículas bien distribuidas, tales como arenas naturales y
rocas sedimentarias. Su aplicación puede extenderse incluso a algunos casos en que las
partículas se encuentran pobremente distribuidas, como es el caso de sedimentos, siempre y
cuando se adopte una definición conveniente de la longitud característica. Sin embargo, no
resulta apropiada para el ajuste de datos experimentales correspondientes a clases distintas de
materiales porosos, ya que posee una dependencia fija de la porosidad. Para corregir este
defecto de la ecuación de Kozeny, Bourbié et al. (1987), basados en simple ajuste de datos,
proponen una ley de potencia capaz de ajustar datos experimentales k-φ para distintas familias
de materiales porosos, la ley es
2
k =α d φm
(2.5)
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
17
Bourbié et al. (1987) advierten que esta correlación no es apropiada en materiales
altamente deformables, ya que en esos casos el exponente m no es único, sino que depende de
la porosidad, varía desde 2 en el límite diluido hasta 8 en una región de porosidad intermedia y
baja permeabilidad.
Wong et al. (1984) comprobaron la validez de la ecuación (2.2) mediante simulaciones
de Monte Carlo de flujo en medios que se compactan de acuerdo a un mecanismo aleatorio de
compactación local. La simulación consiste en la solución de las ecuaciones de conservación
de materia y movimiento de fluido en redes de poros en etapas sucesivas de compactación. De
acuerdo a sus resultados, los autores concluyen que la relación de permeabilidad-porosidad
sigue una ley de potencia en todo el rango de porosidad en compactaciones moderadas y que
el exponente de esta ley queda determinado por la intensidad de compactación. Sin embargo,
Wong et al. (1984) mencionan que en compactaciones fuertes el exponente de la relación
permeabilidad porosidad no es único sino que varía con la porosidad, pero no presentan
resultados por problemas de precisión en el cálculo de flujo en redes cuasi-percolativas
( x → 0 y φ → φ c ).
La causa principal de la baja capacidad de predicción de las ecuaciones tipo KozenyCarman, se encuentra en la simplicidad del modelo del que se derivan las relaciones entre
permeabilidad y porosidad; el espacio poroso de los medios reales se presenta como una trama
de conductos aleatoriamente interconectados y no como un conjunto de conductos paralelos.
Tal como reconocen Mavko y Nur (1997) sobre la base del análisis de datos experimentales, la
permeabilidad del medio es baja cuando su conectividad es débil, pero no necesariamente la
porosidad. Este límite corresponde a un medio poroso en que existen zonas porosas que no
contribuyen significativamente al transporte, que los autores denominan porosidad crítica φ c .
Rigurosamente, este valor de porosidad corresponde a un estado intermedio en la transición de
un régimen de alto flujo a uno de menor permeabilidad, que debería denominarse umbral de
cuasi-percolación.
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
18
Efectivamente, a la luz de la teoría de percolación un medio de conectividad infinita
como el modelo de Kozeny presenta conducción hasta una fracción de conductores nula, es
decir, el modelo predice conducción hasta que el volumen del espacio poroso es nulo. Los
medios reales en cambio presentan conectividad finita y por lo tanto exhiben una probabilidad
de percolación finita, es decir, un límite de porosidad no-nulo en que el medio es impermeable
o débil conductor pues el espacio poroso presente se encuentra aislado o conexo a través de
caminos de difícil acceso. Por otro lado, las observaciones de Bourbié et al. (1987) y Wong et
al. (1984) respecto de la sensibilidad de la permeabilidad en las cercanías de la transición
conductor-aislante de un medio poroso encuentran sustento en el hecho que las propiedades de
transporte en redes presentan un escalamiento que depende de la distancia con respecto al
estado crítico (Erdös y Haley, 1975). Al respecto, Mavko y Nur (1997) proponen que la
introducción de la siguiente transformación de la porosidad φ → φ − φ c corrige este defecto en
la ecuación de Kozeny-Carman, así
k =α d
2
(φ − φ c )3
(1 − φ + φ c )
(2.6)
2
En la zona de cuasi-percolación esta relación converge a la forma de escalamiento
k =α d
2
(φ − φ c )3
(2.7)
(1 − φ + φ c )2
que se obtiene al expandir el denominador en serie de Taylor en las cercanías de φ c , esto es,
kφ →φc = α d
2
(φ − φ c )3 (1 + φ − φ c + ... + (φ − φ c )n ) ≈ α
d
2
(φ − φ c )3
(2.8)
Experimentalmente, la medición de la porosidad de transición es difícil, por ejemplo,
en un experimento convencional de porosimetría, ya que la elevada presión de fluido invasor
que se requiere para penetrar las regiones del espacio poroso que se encuentran conectadas por
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
19
poros pequeños puede alterar su estructura. Mavko y Nur (1997) aplican satisfactoriamente la
Ecuación (2.8) en un amplio rango de porosidad al utilizar la porosidad crítica φ c como
parámetro de ajuste de datos de permabilidad-porosidad.
Katz y Thompson (1986), en una extensa revisión de relaciones de permeabilidad
existentes, reconocen la importancia de una definición adecuada la longitud característica en la
relación de permeabilidad. Según estos autores, la ley de Kozeny- Carman y otras basadas en
la definición de radio hidráulico no resultan predictivas porque es imposible obtener una
representación única de la relación entre una propiedad de transporte como la permeabilidad
con propiedades macroscópicas bulto del medio poroso como son la porosidad y cualquier
promedio del tamaño de partículas y/o de intersticios que conforman el espacio poroso. Katz y
Thompson (1986) proponen una definición de longitud característica l c que involucra la
accesibilidad del fluido al espacio poroso. Esta definición de longitud se basa en el concepto
de análisis de trayectoria crítica introducido por Ambegaokar et al. (1971)
Según el análisis de Ambegaokar et al. (1971) el transporte en un sistema heterogéneo
aleatorio se encuentra dominado por aquellas partes que poseen conductancia mayor que un
valor crítico g c , de este modo las propiedades de transporte de cualquier sistema
macroscópico pueden ser aproximadas al resolver el problema de percolación clásico que
resulta al eliminar los elementos que poseen conductancias menores que g c . Este valor crítico
de conductancia corresponde al mínimo valor de conductancia que permite la formación de un
racimo conductor.
La extensión del análisis de trayectoria crítica al flujo en materiales porosos es directa.
El camino crítico de un material conductor corresponde al racimo de poros que ofrece la
menor resistencia al paso de fluido, la longitud característica lc queda determinada por el radio
del poro en este racimo que permite el paso de fluido a través del medio. Experimentalmente,
esta longitud puede ser determinada mediante porosimetría. En este experimento el fluido
invasor busca en orden descendente los poros de mayor tamaño que son accesibles hasta
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
20
atravesar el medio. En cada paso de invasión la accesibilidad queda determinada por la presión
necesaria para inundar un poro determinado y por la conectividad local del medio.
Los conceptos empleados por Katz y Thompson (1986) se resumen en la siguiente
relación de permeabilidad,
lc σ e
231 σ e*
2
k=
(2.9)
donde σ e* es la conductividad eléctrica del fluido y σ e es la conductividad eléctrica del
espacio poroso inundado de fluido conductor a un valor dado de porosidad, la razón entre
ambas cantidades se denomina factor de formación,
F=
σ e*
σe
(2.10)
La información experimental disponible y las simulaciones de flujo en medios porosos
indican que la permeabilidad, la porosidad, la densidad del empaque, la superficie específica
de poros, etc., son propiedades macroscópicas del medio poroso que varían continuamente
durante una compactación; sin embargo, algunas de ellas presentan una sensibilidad mayor a
las perturbaciones cerca de las condiciones críticas de flujo. En este punto cabe hacer una
clasificación de las propiedades macróscopicas mencionadas, existen algunas como la
porosidad, que quedan determinadas por un proceso de promediación que denominamos
propiedades bulto, y otras, las propiedades de transporte, que adicionalmente dependen de la
conectividad del medio. La imposibilidad de obtener relaciones biunívocas entre propiedades
bulto y propiedades de transporte radica en la diferencia de la sensibilidad, de unas y otras, a
las perturbaciones locales al aproximarse a las condiciones críticas.
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
21
El valor del trabajo de Katz y Thompson (1986) es que introduce en la relación de
permeabilidad una propiedad del medio, una longitud característica, que depende de la
conectividad efectiva del medio y que adicionalmente es consistente con la forma general de la
relación de permeabilidad que provee el desarrollo analítico de Kozeny-Carman.
Por otro lado, en muchos materiales porosos la conductividad eléctrica escala con la
porosidad con un exponente único en todo el rango de porosidad, relación empírica que
estableció Archie en el estudio de las propiedades de transporte en rocas, esto es
σ e = λφ µ '
(2.11)
El exponente de esta relación no es universal, sino que varía de una estructura porosa a otra. A
partir de un modelo de esferas dispuestas en forma aleatoria Sen et al. (1981) proponen que
este exponente es µ '= 3 / 2 en el límite diluido.
A partir de simulaciones de Monte Carlo y de un desarrollo analítico aproximado,
Wong et al. (1984) demostraron la validez de la Ecuación (2.11) en medios representados
como redes de poros que son deformados de acuerdo a un mecanismo aleatorio de
compactación. El exponente del modelo propuesto por Wong et al. (1984) resulta dependiente
de un término que da cuenta de la intensidad de la compactación (x).
µ ' = µ ' ( x)
(2.12)
La ley de Archie es válida en su forma original exclusivamente para sistemas que
presentan conectividad hasta un límite de porosidad nulo. Tal como sugiere la teoría de
percolación, es necesario introducir un término correctivo a la porosidad en los materiales que
sufren una transición de régimen de conducción, como los estudiados por Mavko y Nur
(1997). En el modelo de redes, en el caso límite de una compactación que obedece a un
Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión
22
bloqueo aleatorio de poros, se ha demostrado basándose en teoría de percolación que la
relación entre conductividad y fracción de enlaces es,
σ e = γ ( p − p c )µ
p
(2.13)
La fracción de enlaces es análoga a la porosidad de los materiales porosos. Sobre la
base de esta analogía, a la ley de escalamiento de la conductividad eléctrica, a las
observaciones de Mavko y Nur (1997) y al trabajo de Katz y Thompson (1986) en esta tesis se
propone el siguiente ansatz,
(
k = αl c2 φ − φ c c
'
)
µ'
(2.14)
es decir, la permeabilidad se relaciona fundamentalmente con una longitud característica, con
la porosidad del medio que es una variable bulto y con una constante α que es una función
débil de la forma de los conductos. A su vez la longitud característica depende de la
distribución de tamaño de poros, de la conectividad y de la tortuosidad que presentan los
caminos que sigue el fluido.
La relación propuesta, Ecuación (2.14), es comprobada en este trabajo de tesis
mediante teoría de campo medio, simulaciones Monte Carlo de flujo y porosimetría en
materiales diversos, representados por redes de poros, que evolucionan de acuerdo al
mecanismo idealizado de compactación propuesto por Wong et al. (1984), enfatizando la
estimación precisa y controlada de las propiedades de transporte en las zonas de transición de
la microestructura porosa que controla el flujo.
Capítulo 3
Permeabilidad de Medios Porosos:
Fundamentos y Relaciones
En este capítulo se revisan los conceptos que han motivado el desarrollo de relaciones
de permeabilidad para flujo monofásico en materiales porosos. La atención se centra en flujos
a bajo número de Reynolds que son los más relevantes del punto de vista práctico. De interés
aquí son las teorías y métodos que permiten predecir la permeabilidad macroscópica a partir
de información microscópica a escala de segmentos de poro. Uno de los objetivos claves en el
desarrollo de teorías y métodos de predicción de permeabilidad es potenciar el carácter
predictivo de los métodos macroscópicos. En lo que sigue del capítulo se discuten ideas y
conceptos de flujo a escala de segmentos de poro, especialmente teoría de percolación, que se
utilizan en el marco de esta tesis para predecir permeabilidad y conductividad eléctrica de
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
24
materiales porosos. La revisión de teorías abarca la solución analítica de modelos de redes
simples, la solución aproximada de modelos más complejos basados en teoría de percolación,
leyes de escalamiento, campo medio y longitudes características. Los modelos revisados
incluyen casos con conectividad extrema, esto es, el ensamble de poros paralelos que exhibe
conectividad infinita, y el ensamble de poros en serie que exhibe conectividad mínima igual a
dos, y redes cubicas tridimensionales. Con especial detalle se analiza la evolución de
propiedades de estos modelos cuando se someten a compactación. La mayor parte de este
análisis es original y parte de este trabajo de tesis. Especial atención se presta a posibles
relaciones entre la permeabilidad y la porosidad, la permeabilidad y la conductividad eléctrica.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
25
3.1 Teoría de percolación
3.1.1 Trasfondo histórico
Percolación es un concepto matemático utilizado con frecuencia para describir
fenómenos que ocurren en medios desordenados como la gelación de polímeros, el flujo
eléctrico en semiconductores, el transporte de fluidos a través de medios porosos, el tráfico en
una gran ciudad, la formación de dendritas, la propagación de una enfermedad en una
población y en general procesos que involucran estructuras aleatorias. La teoría de percolación
fue inicialmente planteada por Flory (1941) y Stockmayer (1943) para describir la
polimerización, es decir, la formación de macromoléculas a partir de la adición secuencial de
monómeros. En el mecanismo propuesto por estos investigadores el polímero es representado
como una de red ramificada que no contiene ciclos cerrados, conocida como red de Bethe,
Figura 3.1.
Figura 3.1 Red de Bethe o árbol de Cayley de índice de coordinación z = 3 .
Broadbent y Hammersley (1957) introdujeron el concepto en la literatura matemática
para describir la dispersión de un fluido hipotético a través de un medio aleatorio. Surgieron
dos enfoques para abordar el problema; en el primero, la aleatoriedad es asignada al fluido,
como consecuencia inunda desordenadamente los caminos de una red ordenada, en el otro, los
caminos que el fluido puede seguir quedan determinados por la aleatoriedad de la red, que
presenta un número de coordinación que varía localmente.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
26
3.1.2 Tipos de percolación
Existen dos tipos de percolación en los modelos de red; percolación de sitios y
percolación de enlaces. La percolación de enlaces consiste en eliminar aleatoriamente una
fracción 1 − p de los enlaces existentes en una red regular completamente conectada, de este
modo p corresponde a la probabilidad de encontrar un enlace en la red ( p ∈ [0,1] ). La
remoción de enlaces reduce las posibilidades de desplazamiento para el fluido, es decir,
provoca un aumento en la resistencia del medio al flujo. El otro tipo de percolación, la de
sitios, consiste en elegir aleatoriamente una fracción 1 − p de los nodos y remover todos los
enlaces que inciden en esos nodos. Comparativamente, la sensibilidad al parámetro p es mayor
en la percolación de sitios y por lo tanto la conductividad del medio decrece más rápidamente.
Matemáticamente el fenómeno de percolación se describe mediante la función de
distribución de conductancias,
f ( g ) = pδ ( g − g a ) + (1 − p )δ ( g )
(3.1)
donde δ es la función delta de Dirac. Esta función puede ser interpretada de la siguiente
manera: existe una red que posee una fracción p de enlaces de conductancia finita igual a
g a , la fracción restante 1 - p se encuentra ausente, es decir, corresponde a enlaces de
conductancia nula.
En la Figura 3.2 se presentan distintas etapas del proceso de percolación en una red
regular cuadrada. Inicialmente la red es completamente conexa, estado que corresponde a una
fracción unitaria de enlaces presentes, esto es, p = 1 (Figuras 3.2a y 3.3). En la etapa siguiente
se ha eliminado enlaces en forma aleatoria hasta una fracción de conductores p = 0.55
(Figuras 3.2b y 3.3), la conectividad ha disminuido pero existe aún una gran región de nodos
interconectados que conecta los extremos de la red y permite el transporte de fluido a través de
la red; estas zonas de conducción se denominan racimos infinitos. Las islas oscuras que
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
27
aparecen en la Figura 3.2b corresponden a enlaces de conductancia no-nula que no aportan a la
conducción pues se encuentran aislados. Si continúa el proceso de remoción de enlaces hasta
que quede una fracción de conductores p = 0.50 (Figuras 3.2c y 3.3), se observa un camino
crítico que conecta los extremos de la red y la presencia de bastas regiones de enlaces aislados.
Más allá de este punto, cuando la fracción de enlaces es inferior a p = 0.50 no existen
caminos que conecten los contornos de la red, el medio ha sufrido una transición conductoraislante (Figuras 3.2d y 3.3). Las Figuras 3.2a,b muestran que la variación de conectividad del
medio es débil cuando la fracción de enlaces es superior a 60% y abrupta cerca de la región
crítica. Cuando la fracción de conductores es alta todos los enlaces aportan a la conducción.
En cambio, cerca de la región crítica la disminución de enlaces provoca una disminución
mayor en los enlaces que efectivamente transportan fluido, pues la eliminación de un enlace
puede producir la desconexión de una región completa de enlaces conductores.
3.1.3 Propiedades de un proceso de percolación
En una red suficientemente grande, la eliminación de un enlace justo en el punto crítico
produce la transición de percolación. La fracción mínima de enlaces que permite la
conducción en una red de topología determinada se conoce como umbral de percolación ó
probabilidad crítica de percolación de enlaces ( p cb ). En redes finitas esta fracción converge a
un valor definido a medida que el tamaño de red crece y resulta invariante al número de
realizaciones del experimento numérico. La probabilidad crítica de percolación es única para
una red determinada, depende principalmente de la dimensión de la red y en menor grado de
su topología. En la Tabla 3.1 se presenta la estimación Monte Carlo de los umbrales de
percolación para distintos tipos de redes regulares en dos y tres dimensiones.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
(a)
(b)
(c)
(d)
28
Figura 3.2 Proceso de percolación en una red cuadrada de 140×140 nodos. En negro, enlaces aislados;
en gris, enlaces conductores; y en blanco, enlaces eliminados. A) Estado inicial de la red, la
conectividad es máxima, p = 1. b) Aparecen racimos aislados, p = 0.55. c) Umbral crítico de
percolación, se observa conectividad de largo rango, p = 0.50. d) Zona subcrítica, la red posee una
fracción de enlaces p = 0.45 inferior a la mínima que establece conducción a través de la red.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
29
Figura 3.3 Evolución de la función de distribución percolativa, Ecuación (1.1), durante el proceso de
percolación en una red regular cuadrada. (a), (b), (c) y (d) corresponden a los estados representados en
la Figura 3.2. p c es la fracción crítica de enlaces que garantiza conducción a través de la red.
Tabla 3.1 Umbrales de percolación en redes regulares (Sahimi, 1995).
Red
dn
z
pcb
zpcb
Panal de avejas
2
3
0.6527
1.9581
Cuadrada
2
4
0.5
2
Triangular
2
6
0.3473
2.0838
Diamante
3
4
0.3886
1.5544
Cúbica (simple)
3
6
0.2488
1.4928
Cúbica BCC
3
8
0.1795
1.436
Cúbica FCC
3
12
0.1190
1.428
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
30
Los resultados muestran que el producto entre el índice de coordinación de la red y la
probabilidad de percolación es prácticamente constante para una dimensión dada. En redes
bidimensionales resulta zpcb ≈ 2 , en tanto que en redes tridimensionales se obtiene zpcb ≈ 1.5 .
El proceso de percolación en las cercanías del punto crítico puede ser interpretado como una
transición de fase que sólo depende de la topología del medio.
La probabilidad crítica de percolación es sólo una de las propiedades que presenta una
red de una topología definida. Sobre la base del mismo proceso aleatorio se pueden definir
otras cantidades que resultan de interés para el estudio de las variables relacionadas con las
propiedades de transporte, estas son:
Probabilidad de percolación P( p) : corresponde a la fracción de enlaces que pertenece al
racimo infinito cuando existe una fracción p de enlaces presente en la red (P < p). Como
analogía, en el transporte hidrodinámico en medios porosos existe una fracción de volumen
saturada de fluido que incluye las zonas de flujo y de recirculación.
Fracción accesible X A ( p) : es la fracción de enlaces que pertenece al racimo conductor o
racimo infinito. En analogía al transporte de fluido, esta fracción corresponde a las zonas
saturadas de fluido, incluyendo las zonas donde el fluido se encuentra detenido.
Fracción conductora X B ( p) : es la fracción de enlaces que pertenece al racimo infinito y que
adicionalmente participa en la conducción. No todos los enlaces que pertenecen al racimo
participan de la conducción, puesto que algunos forman ramificaciones, recirculaciones y
circuitos ciegos que no son conductores. Análogamente en el transporte en materiales porosos
esta cantidad equivale a la fracción de volumen de las zonas de circulación de fluido conocida
como porosidad efectiva.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
31
Tamaño promedio de racimos S(p): Corresponde al promedio del número de enlaces que
contiene cada racimo. Se puede definir esta cantidad en función del número promedio de
racimos de s enlaces ns(p) como
S ( p) =
∑s
2
ns
s
∑ sns
(3.2)
s
Longitud de correlación ξ ( p ) : es el tamaño o longitud mínima de red, medida en número de
nodos, en la que el medio es macroscópicamente homogéneo. O de otro modo, la longitud en
que las variables macroscópicas son independientes del tamaño de la red. Esta cantidad es
fundamental al definir el tamaño de una muestra en un experimento estocástico, pues bajo la
longitud de correlación las propiedades macroscópicas son afectadas por el tamaño de red.
Esta dependencia de las propiedades macroscópicas muchas veces es confundida con el efecto
del tamaño de red sobre la fluctuación de las cantidades macroscópicas. Este último efecto
puede ser minimizado, de acuerdo al principio de ergodicidad, promediando los resultados de
una gran cantidad de realizaciones para obtener un resultado representativo, sin embargo, este
promedio corresponde a una cantidad observable afectada por el tamaño finito de la red y que
sólo puede representar a una red infinita al conocer la dependencia explícita de la propiedad
con el tamaño del sistema.
Conductancia efectiva g ef ( p) : es el coeficiente efectivo de transporte de una red cuando
existe una fracción p de conductores. Se relaciona directamente con la conductividad que es
el coeficiente de transporte global de un medio. Su definición depende del fenómeno de
transporte estudiado. A modo de ejemplo, la conductividad hidrodinámica corresponde a la
permeabilidad y puede ser determinada en forma aproximada, incluso exacta en algunos casos,
en redes de conductores mediante el uso de métodos que serán discutidos más adelante en este
capítulo, y en el siguiente, y que se basan en teoría de campo medio, renormalización y
simulación de Monte Carlo.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
32
3.1.4 Escalamiento crítico de las propiedades de percolación
Las propiedades de percolación a un valor dado de fracción de conductores p dependen
de los detalles microscópicos del sistema, tales como el índice de coordinación de la red. Sin
embargo, cerca del umbral crítico de percolación, estas propiedades macroscópicas obedecen
leyes de escalamiento que no dependen de la estructura de la red ni de sus detalles
microscópicos, sino sólo de la dimensión de la red, así
P( p) ~ ( p − pc )
βp
X A ( p ) ~ ( p − pc )
βp
X B ( p) ~ ( p − pc )
βB
ξ ( p) ~ p − pc
−ν p
S ( p) ~ p − pc
−γ p
(3.3)
g e ( p) ~ ( p − pc )
µp
La universalidad del escalamiento de las propiedades de percolación significa que los
exponentes de estas relaciones son únicos, o universales, para una dimensión Euclideana
determinada. La dependencia de las propiedades de los detalles de una red particular se
encuentra en los prefactores de las relaciones de escalamiento.
A continuación se presentan valores de los exponentes de las leyes de escalamiento de
percolación en redes bidimensionales y tridimensionales determinados mediante simulación
Monte Carlo. Los valores de estos exponentes críticos permiten extraer algunas conclusiones y
explicar
algunas
observaciones
macroscópicas de un medio.
respecto
del
comportamiento
de
las
propiedades
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
33
Tabla 3.2 Exponentes críticos de percolación, Ecuación (3.3), en redes bidimensionales y
tridimensionales (Sahimi, 1995).
Exponente
dn = 2
dn = 3
βp
5/26
0.41
βB
0.48
1.05
νp
4/3
0.88
γp
43/18
1.82
µp
1.3
2.0
Una de ellas es que la población del racimo conductor muestra una sensibilidad
pronunciada cerca de la región crítica en dos y tres dimensiones debido a que βp < βB, es decir,
en esta zona la fracción de enlaces conductores decrece mucho más rápidamente que la
fracción total de enlaces.
Otra de importancia es que las propiedades de transporte cerca del umbral crítico
resultan más sensibles a la fracción de enlaces en redes de dimensión superior. Esta es una de
las razones del porqué la aproximación de medio efectivo (EMA) subestima la permeabilidad
y la conductividad eléctrica de un medio cerca de la transición de régimen de conducción.
Como veremos más adelante en esta tesis, esta aproximación predice variaciones lineales de
las propiedades de transporte frente a perturbaciones en la fracción de conductores cerca de la
transición de percolación.
Finalmente, una de mayor importancia, es que si dos fenómenos poseen distintos
exponentes críticos las leyes físicas que los rigen son fundamentalmente diferentes, se dice
que ambos pertenecen a clases universales diferentes. Consideremos un ejemplo para ilustrar
esta afirmación. La ecuación de Einstein g e ~ ne De relaciona la difusividad eléctrica De con
la conductividad eléctrica ge , en esta ecuación ne es la densidad de electrones en el medio
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
34
que aporta al transporte y escala como la fracción de enlaces accesibles ne ~ X A ( p) . Así, la
ley de escalamiento de la difusividad es
De ( p ) ~ ( p − p c )
µ p −β p
(3.4)
donde µ p y β p son los exponentes de percolación de la conductividad y de la fracción
accesible de enlaces respectivamente.
Como el exponente crítico de la difusividad resulta distinto al exponente de la
conductividad, se establece que los fenómenos difusivos pertenecen a una clase universal
distinta al transporte conductivo, y por lo tanto la ley macroscópica de difusión es diferente a
la ecuación macroscópica de conducción.
3.1.5 Escalamiento en redes de dimensión finita
En la práctica la estimación de las propiedades macroscópicas de un sistema se lleva a
cabo en redes de dimensión finita. Bajo estas condiciones puede ocurrir que cerca del umbral
crítico de percolación, p → pc, la longitud de correlación pueda exceder el tamaño de red N,
medido en número de nodos. En este régimen las propiedades de la red resultan dependientes
de su tamaño.
Según Fischer (1971), si el escalamiento crítico de una propiedad Ψ respecto de la
fracción de enlaces en una red infinita es
Ψ ~ ( p − pc )
ε
(3.5)
entonces en la misma red pero de tamaño finito, e inferior a la longitud de correlación, la
propiedad presentaría la siguiente dependencia al tamaño de red
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
Ψ~N
−
ε
νp
35
(3.6)
donde ε es el exponente crítico de la propiedad Ψ y ν p es el exponente crítico de la longitud
de correlación en la red.
Por ejemplo, la probabilidad de percolación crítica pc' de una red finita, determinada
como promedio representativo de numerosas realizaciones del experimento de percolación,
resultaría menor que la probabilidad de percolación crítica de la red infinita pc que es una
cantidad única para esta red, pues
( pc − p ) ~ N
'
c
−
1
νp
(3.7)
Lo mismo ocurre con todas las propiedades de percolación definidas anteriormente. En
particular, las propiedades de transporte presentan la siguiente dependencia al tamaño de red
bajo la longitud de correlación
−
ge ~ N
µp
νp
(3.8)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
36
3.2 Solución analítica de modelos geométricos simples
La búsqueda de relaciones entre las propiedades macroscópicas de los materiales
porosos justifica el estudio de soluciones del campo de flujo en representaciones simplificadas
de éstos. La pérdida de detalle en estos modelos se ve compensada por la posibilidad de
obtener definiciones directas de las propiedades macroscópicas y establecer analíticamente
relaciones entre ellas basadas en el desarrollo de las ecuaciones de conservación. A
continuación se presentan deducciones de relaciones de permeabilidad basadas en modelos
simples de espacios porosos.
3.2.1 Ensamble de capilares paralelos de igual tamaño
Consideremos una muestra de material poroso como el modelo que se ilustra en la
Figura 3.4,
A
Ai
L
li
Figura 3.4 Red tridimensional de capilares paralelos de sección constante.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
37
La muestra presenta una sección transversal al flujo A, una longitud L y contiene un
conjunto de N capilares de sección Ai y longitud li. Supongamos que el ensamble de poros,
que no es conductora de electricidad, se inunda con un fluido conductor de conductividad
eléctrica σ e* y posteriormente se aplica una diferencia de voltaje ∆V entre sus extremos. De
acuerdo a las leyes de Kirchhoff aplicadas a este modelo, la cantidad de corriente que se
establece en la matriz es la suma de las corrientes individuales de cada capilar, esto es,
N
N
i =1
i =1
N
σ e* Ai
i =1
li
I = ∑ I i = ∑ g ∆ Vi = ∑
e
i
∆ Vi = N
σ e* Ai
li
∆V
(3.9)
De este modo, la conductancia eléctrica del medio es
ge = N
σ e* Ai
(3.10)
li
Desde un punto de vista macroscópico la expresión de transporte del ensamble es
I = g e ∆V =
σeA
L
∆V
⇒
ge =
σeA
L
(3.11)
Así, al igualar las expresiones de conductancia de las Ecuaciones (3.10) y (3.11) se
obtiene una relación entre la conductividad eléctrica del ensamble y la conductividad eléctrica
del fluido, esto es,
σ e = σ e*
NAi L
A li
(3.12)
El factor de formación de un material poroso se define como la razón entre la
conductividad del fluido conductor y la conductividad de la red
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
F=
σ e*
σe
38
(3.13)
así, en este material poroso particular el factor de formación resulta
F=
A li
NAi L
(3.14)
La porosidad es otra propiedad macroscópica de los materiales porosos, corresponde a
la razón entre el volumen ocupado por el espacio poroso y el volumen total de la muestra
φ=
Vp
(3.15)
VT
En el modelo de capilares paralelos la porosidad es
φ=
NAili
AL
(3.16)
La superficie específica corresponde a la razón entre la superficie de la matriz sólida y
el volumen de la muestra, en este caso
n
S=
∑S
i =1
VT
i
=
NSi
AL
(3.17)
La tortuosidad se define como el producto entre el factor de formación y la porosidad,
α t = Fφ , entonces para el caso en estudio resulta ser una razón entre el largo de los capilares
y la longitud observada de la muestra
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
l 
τ = i
L
39
2
(3.18)
en otras palabras, un término que da cuenta de la diferencia entre el camino efectivo que debe
seguir el fluido y la distancia mínima que debe recorrer entre dos puntos del medio poroso
(por lo tanto siempre es mayor que 1).
Del mismo modo que la conductancia eléctrica, la permeabilidad es una propiedad de
transporte global o término de proporcionalidad de una ley de transporte macroscópica, en este
caso, la ecuación de Darcy
Q=
k
µ
A
∆P
L
(3.19)
La permeabilidad y las variables microscópicas del material se relacionan a través del
balance de materia de fluido en la muestra, que en el caso de un fluido incompresible equivale
a un balance de caudales, esto es,
N
N
N
σ ih Ai
i =1
i =1
i =1
li
m& = ∑ m& i ( ρ = cte ) ⇒ Q = ∑ Qi = ∑
∆Pi = N
σ ih Ai
li
∆P
(3.20)
La solución de las ecuaciones de Poisson en capilares cilíndricos, conocida como
ecuación de Hagen-Poiseuille, determina la conductividad hidráulica de esta geometría, esto
es,
σ ih =
ri 2
8µ
(3.21)
Reemplazando esta expresión en la Ecuación (3.20) y comparando el balance
microscópico con la ecuación de Darcy resulta
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
k=
1 NAi L 2
ri
8 A li
40
(3.22)
Al examinar esta ecuación se aprecia que aparece implícitamente el factor de
formación; luego al reemplazar la Ecuación (3.14) en la Ecuación (3.22) se obtiene
k=
ri 2
8F
(3.23)
A continuación, demostramos que esta expresión es consistente en forma con la
ecuación de Kozeny-Carman utilizando las definiciones de las propiedades macroscópicas. Si
el factor de formación se expresa en términos de la porosidad y la tortuosidad
F=
τ
φ
(3.24)
y se reemplaza en la expresión (3.23) de permeabilidad, resulta
k=
ri 2φ
8τ
(3.25)
Por otro lado, la razón entre la porosidad y la superficie específica es
NAi li πri 2 li ri
=
=
=
S NS i li 2πri li 2
φ
(3.26)
O bien
ri = 2
φ
S
(3.27)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
41
Una forma equivalente de la Ecuación (3.25) es
k=
φ3
φ3
τ
=
c
(
)
τS 2
S2
(3.28)
si la definición de superficie específica que se utiliza en la relación de permeabilidad es
referida al volumen de la muestra (S’) y no al volumen de la matriz (S), resulta
k = c(τ )
φ3
S '2 (1 − φ )
2
(3.29)
que es otra forma usual de la relación de Kozeny-Carman. El inverso de la superficie
específica tiene dimensiones de longitud y la porosidad es un término adimensional, de este
modo, la razón entre la porosidad y la superficie específica cumple el papel de longitud
característica en esta ecuación. Así la ley de Kozeny-Carman satisface la forma generalizada
de la ley de permeabilidad
k =c
l c2
F
(3.30)
En este punto surgen varias interrogantes; ¿es la definición de longitud característica de
la ley de Kozeny-Carman apropiada?, y si lo es, ¿sólo para los materiales que se aproximan a
las suposiciones del modelo propuesto?. Por otro lado, ¿qué ocurre con la funcionalidad de la
permeabilidad?, ¿es de carácter universal?, ¿El exponente de porosidad en la expresión de
Kozeny-Carman es siempre el mismo para todos los materiales?.
Finalmente, una pregunta que resume las anteriores, ¿cambiará la forma de la ley de
permeabilidad si se resuelve un modelo más representativo?.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
42
3.2.2 Ensamble de capilares paralelos de tamaño distribuido
Una de las simplificaciones más fuertes del modelo presentado es la suposición de
homogeneidad del medio. Consideremos un modelo algo más complejo, una muestra de
capilares paralelos que poseen una distribución de tamaños de radio.
En este modelo, el caudal neto que atraviesa la muestra es
N
σ ih Ai
i =1
li
Q=∑
∆Pi =
π∆P N 4
∑ ri
8µli i =1
(3.31)
Al igualar esta expresión con la ley de Darcy, Ecuación (3.19), resulta la siguiente
expresión para la permeabilidad
k=
πL
N
∑r
8l A
i =1
i
i
4
=
πL
8l i A
N ri 4
(3.32)
Para la porosidad resulta
N
φ=
li ∑ Ai
i =1
AL
2
l i πN ri
=
L A
(3.33)
Y el factor de formación de este medio es
F=
τ li A 1
=
φ πL N ri 2
(3.34)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
43
O de otro modo
πL
li A
=
1
N ri 2 F
(3.35)
Al reemplazar esta cantidad en la expresión de permeabilidad se obtiene
k=
ri 4
ri 2
l2
1
= c
8F 8F
(3.36)
Es decir, la longitud característica de un medio de capilares paralelos con sección
distribuida resulta
1/ 2
 r4 
lc =  2 
 r 


(3.37)
Esta definición converge a la expresión deducida anteriormente para el caso particular
de capilares paralelos de sección constante, por lo tanto, es de carácter más general. Sin
embargo, a partir de este desarrollo no se puede extraer conclusiones respecto de la definición
de la longitud característica en modelos más complejos que consideren la conectividad que
presentan los conductos de un medio poroso real.
La importancia de este resultado es que otorga una respuesta a algunas de las preguntas
planteadas, sugiere que una definición adecuada de la longitud característica permite conservar
la forma de la Ecuación (3.36).
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
44
3.2.3 Red tridimensional de capilares interconectados y con tamaño distribuido
Considere ahora un caso más complejo que puede ser resuelto en forma aproximada.
Se trata de una red tridimensional de capilares interconectados con distribución de radios
(Figura 3.5).
Figura 3.5 Red cúbica simple tridimensional de capilares cilíndricos de tamaño distribuido.
A diferencia de los modelos antes presentados, no existe una solución cerrada para el
caudal neto en este modelo. Sin embargo, existe una suposición, la aproximación de medio
efectivo, que simplifica bastante el problema. De acuerdo a esta aproximación existe un medio
homogéneo equivalente al medio original. El flujo en una red heterogénea interconectada se
encuentra gobernado por el radio efectivo de un capilar. Bajo este supuesto el medio
heterogéneo, constituido por capilares de distinto tamaño, puede ser reemplazado por un
medio homogéneo equivalente en que el radio de todos los capilares es igual al radio efectivo
o radio que controla el transporte.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
45
En el medio efectivo el caudal neto está dado por
πref4
Q=N
∆Pi
8µli
(3.38)
como este medio es homogéneo, el gradiente de presión en cada capilar paralelo al flujo es el
mismo e igual al existente en el medio, esto es,
∆Pi ∆P
=
li
L
(3.39)
así, al reemplazar el gradiente de presión local en la Ecuación (3.38) e igualar ésta con la ley
de Darcy resulta
k=
Nπref4
(3.40)
8A
2
como la sección transversal del medio expuesta al flujo es A = Nl i la permeabilidad es
k=
πref4
8li2
(3.41)
por otro lado, el factor de formación es
F=
σ e*
ANli
l2
=
= i2
σ e NAef L πref
(3.42)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
46
De otro modo,
πref2
2
i
l
=
1
F
(3.43)
Al introducir la Ecuación (3.43) en la relación de permeabilidad (3.42) se obtiene
k=
ref2
8F
(3.44)
Es decir, bajo la definición del radio que controla el flujo adoptada en este modelo
puede ser resuelto analíticamente y su solución obedece, como en los casos antes vistos, la
forma general de permeabilidad, con lc = ref . En literatura el radio efectivo, o tamaño de poro
que controla el flujo, ha sido asociado al tamaño del poro que permite la conectividad de largo
rango de un fluido invasor en un experimento de porosimetría de mercurio, con el radio que
provee la teoría de campo medio, con el radio hidráulico y con un promedio de los radios de
capilares ponderado por la distribución de voltaje en un medio poroso saturado de fluido
conductor eléctrico.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
47
3.2.4 Modelo de compactación de capilares
Examinemos primero el término factor de formación en la relación de permeabilidad.
Luego, la relación de Kozeny-Carman para la permeabilidad. De acuerdo a la ley empírica de
Archie este el factor de formación se encuentra directamente relacionado con la porosidad de
acuerdo a la relación de potencia siguiente
F = βφ − µ '
(3.45)
El exponente de esta ley es cercano a 2 en la mayoría de los materiales porosos, sin
embargo no es de carácter universal. Más aún, cuando no se considera el efecto del umbral de
percolación en esta expresión el exponente de esta relación en un mismo material puede variar
desde un rango de alta porosidad, medio diluido, a un rango de baja porosidad o compacto. El
valor experimental observado del exponente de esta relación es consistente con el mecanismo
de compactación propuesto por Wong et al. (1984) que revisamos a continuación. Según este
modelo, los medios porosos se compactan de acuerdo a una sucesión de pasos de reducción de
los poros, proporcional al tamaño actual de éstos, que son escogidos aleatoriamente.
Capilares en paralelo
Consideremos el modelo de capilares cilíndricos paralelos de tamaño distribuido para
estudiar la relación entre el factor de forma y la porosidad al aplicar el mecanismo de
compactación propuesto. Si se elige aleatoriamente uno de los N conductos y se encoge, su
radio sufre la siguiente transformación
ri( k +1) = xri( k )
(3.46)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
48
Como la conductancia eléctrica del capilar depende de la segunda potencia de su radio, se
reduce según un factor x2, esto es,
g ie ( k +1) = x 2 g ie ( k )
(3.47)
La probabilidad de que este capilar sea encogido n veces luego de M reducciones
aleatorias sobre elementos de la red se encuentra dada por una distribución binomial
n
M!  1   N −1
P (n) =
  

(M − n )!n!  N   N 
M −n
(3.48)
Así el radio más probable del capilar luego de M pasos de compactación es
ri ,mp = ri
(0)
M
∑x
n
n =0
P(n) = ri
(0)
 N + x −1


N


M
(3.49)
y la conductancia eléctrica observada de este capilar es
g
e
i , mp
=g
e(0)
i
M
∑x
2n
P ( n) = g
n =0
e (0)
i
 N + x2 −1


N


M
(3.50)
Ahora, como los conductos están dispuestos en paralelo, la conductancia de la red es igual a la
suma de las conductancias de los capilares, y estas últimas igual a su valor más probable luego
de M etapas de reducción,
ge = N g
e
i , mp
=N g
e(0)
i
 N + x2 −1


N


M
=N
πσ e*
li
ri
(0) 2
 N + x2 −1


N


M
(3.51)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
49
La relación macroscópica entre la conductancia y la conductividad del medio es
ge =
σeA
(3.52)
L
Luego, de la comparación de las Ecuaciones (3.51) y (3.52) el inverso del factor de formación
resulta
(0)
1 NLπ ri
=
F
Ali
2
M
 N + x2 −1

 .
N


(3.53)
Por otro lado, la porosidad se encuentra relacionada con el promedio de los volúmenes
de los capilares,
N
φ=
∑πr
i =1
2
i , mp i
l
AL
=
(3.54)
Nπli 2
ri , mp
AL
o sea,
Nπli ( 0 ) 2
ri
φ=
AL
 N + x2 −1


N


M
(3.55)
De este modo, en la red de capilares paralelos el exponente µ' de la relación de Archie es
unitario, ó, de otro modo, el factor de formación es proporcional a la porosidad en esta red de
capilares paralelos;
ln (1 / F )
=1
N , M →∞
ln φ
µ ' = lím
(3.56)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
50
La extensión de este desarrollo a la determinación de una expresión de permeabilidad
en un medio de capilares paralelos fue utilizada para interpretar cualitativamente los resultados
experimentales reportados por Seminario et al. (2002) sobre la evolución de la permeabilidad
en membranas de ultrafiltración que se bloquean debido a la oclusión progresiva de sus poros
(ver Seminario et al., 2002). La membrana puede ser modelada como un medio de capilares
paralelos cilíndricos con distribución de tamaños que evolucionan de acuerdo a un mecanismo
aleatorio de bloqueo de poros En este caso en cada paso de compactación la conductancia
hidráulica del poro se reduce según un factor x4
(3.57)
g ih ( k +1) = x 4 g ih ( k )
La probabilidad de un capilar de ser encogido n veces de M compactaciones en una
población de N elementos se encuentra dada por la probabilidad (3.48). Así el valor esperado
de conductancia hidráulica de este capilar en esta etapa de la oclusión de la membrana es
g
h
i , mp
=g
h ( 0)
i
M
∑x
4n
P ( n) = g
n =0
h (0)
i
 N + x4 −1


N


M
(3.58)
La conductancia hidráulica de esta red corresponde a la suma de las conductancias
hidráulicas de capilares observadas
gh = N g
h
i , mp
= g
h (0)
i
 N + x4 −1


N


M
4
π
=N
ri( 0 )
8 µl i
 N + x4 −1


N


M
(3.59)
O de otro modo, la conductancia hidráulica de la red infinita escala con el promedio de las
cuartas potencias de los radios observados luego de un gran número de etapas de
compactación.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
51
De acuerdo a la ley de Darcy, la permeabilidad hidráulica de esta red y la conductancia
de la red se relacionan mediante
k
µ
=
gh L
A
(3.60)
Luego la expresión de la permeabilidad en la membrana es
k=
NLπ ri( 0)
8 Ali
4
 N + x4 −1


N


M
(3.61)
Como la porosidad es dada por la Ecuación (3.55), el exponente µ” de la ley de potencia
k = αφ µ " en la red de capilares paralelos es
[ (
[ (
) ]
) ]
ln 1 + x 4 − 1 / N
x4 − 1
=
= 1 + x2
2
2
N → ∞ ln 1 + x − 1 / N
x −1
µ " = lím
(3.62)
Una forma simple de expresar la relación de permeabilidad de acuerdo a este resultado es
k / k 0 = (φ / φ 0 )
1+ x 2
(3.63)
donde k0 y φ0 son un par permeabilidad-porosidad conocido. Cabe destacar, que en esta red
de conectividad infinita el escalamiento es único en todo el rango de porosidad debido a que la
porosidad de percolación es nula.
En resumen, la aplicación del análisis presentado a todas las propiedades
macroscópicas del modelo de capilares paralelos que se compacta de acuerdo al mecanismo
de Wong et al. (1984) resulta en las siguientes leyes de escalamiento (Seminario et al., 2002)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
52
2
k ~ φ 1+ x ~ ri 4
F −1 ~ φ ~ ri 2
ri 4 ~ ri 2
l c2 =
ri 4
ri
2
1+ x 2
(3.64)
~φx
2
l c2
k~
F
La última relación de la Ecuación (3.64) permite establecer una consistencia entre el
escalamiento universal de las propiedades de transporte de percolación de una red de
conectividad infinita (poros en paralelo) y el caso extremo de compactación de este modelo,
cuando x = 0, que corresponde a un mecanismo de bloqueo aleatorio de poros, ya que la
permeabilidad escala como el inverso del factor de formación, o como la conductividad
eléctrica de la red.
σe ~ k ~φ
(3.65)
En el otro extremo, x → 1, que corresponde a una compactación reversible, la longitud
característica del medio está directamente relacionada con la porosidad del medio.
Capilares en serie
En una red de capilares dispuestos en serie la conductancia de la red es igual a la suma
de los inversos de las conductancias (resistencias) de los capilares;
g
−1
e
N
1
1
= ∑ e = N e( 0)
gi
i =1 g i
M
∑x
n=0
− 2n
P ( n) = N
1
g ie ( 0 )
 N + x −2 − 1 


N


M
(3.66)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
53
Como la expresión de porosidad es la misma que en el caso anterior, entonces el
exponente µ' en este caso resulta;
[ (
[ (
) ]
) ]
ln(1 / F )
ln 1 + x −2 − 1 / N 1 − x −2
1
= lím −
= 2
= 2
2
N →∞
N →∞
ln φ
x −1 x
ln 1 + x − 1 / N
µ ' = lím
(3.67)
El factor de compactación x pertenece al dominio [0,1[ , esto implica que en una red de
capilares dispuestos en serie el exponente µ' se encuentra comprendido en el rango ]1, ∞[ . Este
resultado entrega una noción del exponente de la conductividad eléctrica de un medio poroso,
pues se desprende que la cota inferior es 1 tanto para medios de conectividad infinita (poros
paralelos) como para medios de conectividad mínima (poros en serie).
Para poros en serie es fácil demostrar que la permeabilidad y la porosidad se relacionan
como (Wong et al., 1984)
k ~ φ µ"
(3.68)
donde µ " = µ ' (µ '+1) y µ ' = 1 / x 2 . Alternativamente
k / k 0 ~ (φ / φ 0 )
µ"
(3.69)
donde k0 y φ0 son un par permeabilidad-porosidad conocido.
En resumen, la aplicación del análisis presentado a todas las propiedades
macroscópicas del modelo de capilares en serie que se compacta de acuerdo al mecanismo de
Wong et al. (1984) resulta en las siguientes leyes de escalamiento
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
k ~ φ1 / x
2
(1 / x 2 +1)
F −1 ~ φ 1 / x
l ~φ
2
c
54
2
(3.70)
1 / x 2 ( 2 +1 / x 2 )
k~
l c2
F
La expresión para lc no es analítica, se deriva del afán de relacionar k y F como indica la
última expresión de la Ecuación (3.70).
Redes de poros
Para redes regulares de poros en 2, 3, 4 y 5 dimensiones Wong et al. (1984) han
demostrado en forma numérica que los exponentes µ ' y µ " se encuentran comprendidos entre
los límites superior, poros en serie, e inferior, poros en paralelo. Adicionalmente, Wong et al.
(1984) mostraron que para dimensiones mayores y en el límite termodinámico de N, M y N/M
(
)
tendiendo a infinito, µ ' = ln x 2 / x 2 − 1 y µ " = 2µ ' . Así, para una red de poros de dimensión
infinita que se compacta de acuerdo al mecanismo de Wong et al. (1984)
k~
l c2
F
(3.71)
Siempre que
lc2 ~ φ 3 µ '
(3.72)
De nuevo, la expresión para lc no es analítica, sino que resulta definida indirectamente bajo la
suposición de la validez de la Ecuación (3.71).
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
55
Un camino alternativo para demostrar que el modelo de Wong et al. (1984)
efectivamente conduce a la Ecuación (3.93) es el de campo medio aplicado, más arriba, a una
red tridimensional de capilares interconectados y con tamaño distribuido.
Primero encontremos F para el modelo de compactación de capilares de Wong et al.
(1984). En tres dimensiones, reemplazando la red regular de poros de tamaño distribuido por
un medio efectivo constituido por N×N×N bloques idénticos de tamaño característico l g , el
tamaño de granos, y volumen l g3 . Cada bloque posee un capilar de longitud l g y radio rmp en
cada dirección principal de la red. Utilizando la Ecuación (3.42) para el factor de formación se
obtiene
F=
l g2
(3.73)
πr
2
mp
Considerando la geometría del medio efectivo, se puede escribir para la porosidad,
ri 2 1 rms2 1
~ 2
φ~ 2
F
rmp F rmp
(3.74)
Es decir, la ley de Archie del modelo de compactación de capilares resulta del contraste entre
el radio más probable de la distribución de poros original, rmp , que domina la conductividad
eléctrica y la permeabilidad de la red de poros, y el radio cuadrático medio, rms, que domina la
porosidad. Finalmente, utilizando la ecuación de Darcy, se obtiene para la permeabilidad
k=
2
rmp
8F
Esta ecuación es idéntica a la Ecuación (3.71) si l c ≡ rmp .
(3.75)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
56
Es importante señalar que las expresiones derivadas para la permeabilidad mediante el
modelo de compactación de capilares de Wong et al. (1984) son análogas a la ecuación de
Kozeny-Carman excepto por el factor 1 / S 2 , ver Ecuación (3.28). Este factor puede ser
insertado sobre la base de análisis dimensional dado que la permeabilidad tiene unidades de
longitud al cuadrado y 1 / S ≡ (volumen / área ) es una unidad natural de longitud de medios
porosos. Otras longitudes características son posibles de ser utilizadas. Incluso, el tamaño
característico de grano ha sido utilizado por algunos autores. Si se reemplaza la Ecuación
(3.73) en la Ecuación (3.75) se obtiene la relación
k=
l g2
8πF 2
(3.76)
Esta relación ha sido probada en muestras de esferas de vidrio fundidas con esferas de
diferente diámetro db . Los datos que abarcan 5 décadas de permeabilidad muestran que
pueden ser representados muy bien por la ecuación (Wong, 1994)
k≈
db2
76 F 2
consistente con la Ecuación (3.76).
(3.77)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
57
3.3 Análisis de trayectoria crítica, teoría de percolación y permeabilidad
3.3.1 Análisis de trayectoria crítica
Ambegaokar, Halperin y Langer (1971), AHL en adelante, demostraron en un estudio
de flujo en semiconductores que el transporte en sistemas aleatorios de conductancias
distribuidas es controlada por aquellas conductancias de magnitud superior a un valor
característico g c . La conductancia crítica, g c , corresponde al valor máximo que permite la
existencia de un racimo de conductores conexos, o racimo infinito, para un conjunto de
conductancias {g| g > g c }. El transporte en este sistema se reduce a un problema de
percolación con un umbral crítico g c . Kirkpatrick (1979) y Shante (1977) extendieron estas
ideas asignando el valor de conductancia crítico a todas las conductancias locales de valor
superior a g c y conductancia nula a todos los elementos restantes de la red. Para la
conductancia de la red utilizaron una solución de prueba basada en las leyes de escalamiento
del fenómeno de percolación
g = ag c ( p ( g c ) − p c )
µp
(3.78)
esta función presenta un máximo para un valor de g c determinado. El término p( g c )
corresponde a la fracción de conductores en la red de valor superior o igual a g c . En redes
percolativas tridimensionales el exponente de conductancia µ p es cercano a 2 (Fisch y Harris,
1978).
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
58
3.3.2 Modelo de Katz y Thompson
Katz y Thompson (1986) aplicaron el mismo enfoque basado en análisis de trayectoria
crítica y percolación a la estimación de la permeabilidad en rocas porosas.
La conductancia es función de la magnitud de los poros. En un medio consolidado las
conductancias eléctricas de conductos cilíndricos que representan poros quedan definidas por
la relación g ie = ce l , y las conductancias hidrodinámicas g ih = c h l 3 (Aquí es necesario
recordar que en el caso de las redes estudiadas en este trabajo, que mejor representan
materiales no consolidados, las conductancias son g ie = c e l 2 y g ih = c h l 4 . La longitud l que se
pierde en el caso de materiales consolidados se debe a que el diámetro de los poros, que es del
orden de magnitud del largo, decrece en la misma proporción que el largo a medida que el
material es compactado). Esto implica que el valor de conductancia crítica g c se encuentra
asociado a una longitud característica del medio que corresponde al diámetro del conducto
crítico lc .
Al igual que en el enfoque de AHL, Katz y Thompson (1986) proponen una función de
prueba para la conductancia efectiva de la red, esto es,
g ef (l ) = φg c (l )( p (l ) − p c )
µp
(3.79)
Esta función depende de la longitud l y presenta un máximo para un valor lmáx. El máximo de
la conductancia efectiva se origina por la competencia entre el aumento de la fracción de
capilares de diámetro superior a l y la disminución de la conductancia de decoración g c (l ) al
disminuir el diámetro l.
Como la función de prueba en la Ecuación (3.79) establece un límite inferior a la
conductancia medida en rocas (Katz y Thompson, 1986), el valor de longitud que maximiza
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
59
esta función lmáx corresponde a la mejor elección de l en la predicción de las propiedades de
transporte. En general, el valor de longitud que maximiza la conductancia eléctrica es
diferente al valor que produce el máximo en conductancia hidrodinámica, ya que los caminos
de flujo en ambos fenómenos son ponderados de diferente manera.
Ahora, las longitudes que maximizan las conductancias, eléctrica e hidrodinámica, de
la red escalan de manera distinta con la longitud característica del medio, sin embargo, es
posible relacionar ambas cantidades en forma aproximada a partir de una expansión de
segundo orden de las expresiones de conductancia alrededor de l c , esto es,


µp
e
l máx
= l c 1 −

 1 + µ p + l c µ p p" (l c ) / p' (l c ) 
(3.80)


µp
h
l máx
= l c 1 −

 3 + µ p + l c µ p p" (l c ) / p' (l c ) 
(3.81)
Estas relaciones se simplifican notablemente dado que en la mayoría de los medios
porosos se satisface la siguiente aproximación,
lc µ p p" (lc )
p' (lc )
≈0
(3.82)
Luego, las relaciones entre las longitudes que maximizan las propiedades de transporte
del medio y la longitud crítica se reducen a

µp  1
e
l máx
= l c 1 −
 ≈ lc
 1 + µ p  3
(3.83)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
60

µp  3
h
l máx
= l c 1 −
 ≈ lc
 3 + µ p  5
(3.84)
De acuerdo a la relación entre la conductancia efectiva de la red y su conductividad (la
propiedad de transporte macroscópica), las expresiones para la conductividad eléctrica y para
la permeabilidad son respectivamente,
e
σ e = α eφ ( p(lmáx
) − pc )
µp
( ) ( p(l
h
k = α hφ lmáx
2
h
máx
) − pc
(3.85)
)
µp
(3.86)
donde la constante αe corresponde a la conductividad del fluido conductor eléctrico que satura
el medio poroso, σ e* , y αh es igual a 1/32 (Landau y Lifshitz, 1959).
Si se realiza una expansión de primer orden de la probabilidad de percolación
alrededor de la longitud crítica se encuentra que
e
e
) − p c = − p' (l c )(l máx
p(l máx
− lc ) =
h
h
) − p c = − p' (l c )(l máx
p(l máx
2
p' (l c )
3
2
− l c ) = p' (l c )
5
(3.87)
Al reemplazar las constantes α y β y reemplazar la Ecuación (3.87) en las Ecuaciones
(3.85) y (3.86) resulta simple relacionar la permeabilidad con la conductividad eléctrica por
comparación, esto es,
k ~ l c2
σ e l c2
~
σ e* F
(3.88)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
61
La relación de permeabilidad deducida presenta un carácter mucho más general que las
desarrolladas anteriormente porque no se encuentra restringida a un arreglo particular de los
capilares del medio poroso. Otro aspecto interesante es que a pesar de la complejidad que
puede presentar un modelo de espacio poroso, la relación permeabilidad-conductividad
eléctrica conserva la forma general deducida en los modelos más simples. La longitud
característica de esta relación encierra toda la complejidad del medio en una variable que
puede ser determinada experimentalmente o que puede ser inferida indirectamente a partir de
la distribución de tamaño de poros. En la siguiente sección se define más detalladamente la
forma de determinar esta longitud crítica y otras que han sido propuestas posteriormente en
literatura.
3.3.3 Longitudes características
Sobre la base de la relación propuesta por Katz y Thompson (1986), y los trabajos de
Scheidegger (1974) y de Johnson et al. (1986), Martys y Garboczy (1992) estudian el efecto
de utilizar distintas definiciones de la longitud característica lc en la Ecuación (3.88) mediante
simulaciones de flujo en medios porosos representados mediante un arreglo bidimensional de
obstáculos circulares de tamaño y disposición aleatoria.
La más simple de estas longitudes se basa en la definición de radio hidráulico, que es la
longitud utilizada en la ecuación de Kozeny-Carman (Scheidegger, 1974). Esta longitud,
denominada longitud hidráulica, corresponde a un múltiplo del inverso de la superficie
específica del espacio poroso, esto es,
∫ dV
lh =
p
Vp
∫ dS p
Sp
(3.89)
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
62
Otra longitud que caracteriza un espacio poroso es definida a través de un experimento
de conducción eléctrica a través de un medio poroso inundado por fluido conductor (Johnson
et al., 1986). Esta longitud corresponde a la razón entre el volumen y la superficie de los poros
ponderados por el cuadrado del campo eléctrico que se establece bajo las condiciones de flujo
eléctrico, esto es,
Λ=
∫ ∆V
2
dV p
∫ ∆V
2
dS p
Vp
(3.90)
Sp
Según Martys y Garboczy (1992) esta definición mejora la capacidad de predicción de
la Ecuación (3.88) ya que Λ pondera con mayor peso el volumen y la superficie de los poros
de mayor tamaño y accesibilidad que son los que aportan significativamente al transporte.
Otra longitud característica se deriva del trabajo de Wong et al. (1984). Se trata del
diámetro de poro más probable ( 2rmp ) de la distribución de tamaño de poros. Sin embargo,
esta longitud no parece bien definida para medios con distribuciones de tamaño de poros que
evolucionan, por ejemplo por compactación, generando nuevos modos en la distribución y don
y cuyas propiedades macroscópicas quedan determinadas por estos nuevos modos. No existe
en la literatura un estudio sistemático de esta longitud característica. En este trabajo tampoco
se explora en mayor detalle.
Por último, la longitud crítica, utilizada en el trabajo de Katz y Thompson (1986), se
basa en el análisis de trayectoria crítica y está definida a partir de un experimento de inyección
de un fluido eléctrico no mojante a presión controlada. Inicialmente el fluido a baja presión
inunda los poros accesibles de mayor tamaño. Las zonas conectadas a través de poros más
pequeños, que aportan en menor grado a las propiedades de transporte, son inundadas a
presiones más elevadas. La presión capilar necesaria para invadir un poro cilíndrico se
encuentra relacionada con su diámetro mediante la ecuación de Laplace
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
Pc =
4γ cosθ
d
63
(3.91)
Luego, la presión que permite la formación de un camino continuo conductor a través
del medio define un tamaño crítico de poro que es una longitud característica de este medio
lc = d ( Pc* )
(3.92)
Experimentalmente, la presión capilar que permite la conectividad del fluido invasor a
lo largo de toda la red se determina mediante mediciones de conductividad, de este modo, el
estado crítico queda bien definido, ya que antes de alcanzar la presión crítica la conductividad
es nula y finita una vez que el fluido atraviesa el medio. El tamaño del poro crítico es
calculado con la Ecuación (3.91) a la presión crítica. La Figura 3.6 muestra el poro crítico al
momento de formar el racimo infinito de fluido no mojante en una red cuadrada.
En una curva de saturación se observa que la presión capilar crítica se ubica en uno de
los puntos de inflexión de la curva (ver Figura 3.7). Más adelante se establece la conexión que
guarda la posición del punto crítico a una porosidad determinada con el régimen de
conducción en que se encuentra el medio a esa porosidad.
En este trabajo se realiza un seguimiento a la evolución de todas estas longitudes
mediante la simulación de los experimentos antes descritos y el cálculo de estas cantidades en
cada etapa de compactación de redes de poros.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
64
Figura 3.6 Patrón de flujo en un experimento de porosimetría en una red cuadrada de 380×380 nodos.
La imagen muestra el momento exacto en que el fluido invasor alcanza la presión necesaria para formar
un racimo que atraviesa la red de arriba a abajo. El medio corresponde a una red decorada con una
distribución de radios inicial uniforme U(1,2) que fue sometido a una alta compactación, x = 0.3 , hasta
una porosidad normalizada de 0.6. El círculo negro indica la posición del poro crítico en la red.
Los diferentes tonos de gris indican rangos diferentes de presión capilar.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
65
Figura 3.7 Curva de presión capilar de un experimento simulado de porosimetría en la red de la Figura
3.6. El círculo blanco en la curva corresponde al punto en que el fluido invasor atraviesa la red, es
decir, el estado que define la longitud característica del medio.
Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones
66
3.4 Resumen
En este capítulo se ha revisado el flujo monofásico en materiales porosos y las
diferentes relaciones que se han propuesto para la determinación de la permeabilidad. La
atención se centra en flujos de interés práctico, esto es, flujos a bajo número de Reynolds. En
el capítulo se han discutido ideas y conceptos de flujo a escala de segmentos de poro,
especialmente teoría de percolación, que serán utilizadas posteriormente en el marco de esta
tesis para predecir permeabilidad y conductividad eléctrica de materiales porosos. La revisión
de teorías ha incluido la solución analítica de modelos de redes simples, la solución
aproximada de modelos más complejos basados en teoría de percolación, leyes de
escalamiento, campo medio y longitudes características. Los modelos revisados incluyen casos
con conectividad extrema, esto es, el ensamble de poros paralelos que exhibe conectividad
infinita, y el ensamble de poros en serie que exhibe conectividad mínima igual a dos, y redes
cúbicas tridimensionales. Con especial detalle se analiza la evolución de propiedades de estos
modelos cuando se someten a compactación. La mayor parte de este análisis es original y
constituye un aporte de este trabajo de tesis.
Especial atención se presta a longitudes
características que fijan la escala de la permeabilidad y a posibles relaciones entre la
permeabilidad y la porosidad y entre la permeabilidad y la conductividad eléctrica. En el
siguiente capítulo se revisan los métodos para estimar permeabilidad basados en redes de
poros, que no necesariamente conducen a una relación cerrada para la permeabilidad en
términos de las propiedades de la red.
Capítulo 4
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos
de Estimación Basados en Redes de Poros
En este capítulo se revisa la simulación de flujo monofásico en materiales porosos
representados como redes de poros y la determinación de las propiedades de transporte en
éstas, especialmente la permeabilidad y la conductividad eléctrica. La atención se centra en
flujos a bajo número de Reynolds. Los métodos revisados incluyen simulación de Monte
Carlo, campo medio y renormalización. La revisión en este capítulo se limita a conceptos
generales y a variantes de cada uno de los métodos.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
68
4.1 Simulación de Monte Carlo en redes de poros
Como se mencionó en el capítulo de Motivación, gran parte de la comprensión actual
de flujo y transporte en materiales porosos se debe a estudios numéricos mediante simulación
de Monte Carlo en redes de poros. Esta forma de enfrentar el problema tiene dos
características esenciales. Primero, permite una idealización de la geometría compleja del
material poroso, reduciéndolo a gargantas y cuerpos de poro, manteniendo algún grado del
desorden propio de los espacios porosos reales. Segundo, el uso de redes de poros de
geometría simple permite sustituir la integración de las ecuaciones de Navier-Stokes por
soluciones en geometrías simples, como flujo Poiseuille en ductos cilíndricos.
4.1.1 Representación del espacio poroso
En la simulación de flujo en materiales porosos es necesario adoptar una
representación simplificada del espacio poroso que capture las variables más relevantes que
inciden en la distribución de flujo y que determinan las propiedades de transporte. Estas
variables son la conectividad del espacio poroso y la diversidad de tamaño y forma de los
poros que lo conforman. El modelo de red permite incluir todas estas características en forma
sencilla.
El modelo de red consiste en reconocer las siguientes propiedades de un medio: (1) la
topología del espacio poroso real o de una simplificación, este proceso conduce a un esqueleto
o red subyacente de nodos y enlaces, y (2) la heterogeneidad de tamaños y formas de los
cuerpos y gargantas de poro, proceso conocido como decoración de la red subyacente. En
otras palabras la selección del modelo de red implica determinar las conexiones, distribución
de tamaño y forma de los poros y luego asignar, de manera estadística equivalente, estas
propiedades a una red de enlaces y nodos.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
69
La Figura 4.1 ilustra el método de obtención de la red subyacente de un material
poroso real. Mediante resonancia magnética nuclear se obtiene una imagen digital del espacio
poroso (representada en color obscuro en la Figura 4.1a), la información de la imagen
almacenada en forma binaria es transformada en la red equivalente mediante un algoritmo
capaz de reconocer los poros de la red y su conectividad. Si bien el estudio de flujo en un
medio poroso tan complejo como el que se muestra en la Figura 4.1 se puede llevar a cabo, en
la práctica no es necesario incluir todo el grado de detalle que muestra la figura. Una de las
simplificaciones más importantes es que en materia de flujo en medios porosos lo importante
es la conectividad media del material y no la distribución de conectividad. Esto ha sido
demostrado ampliamente recurriendo a experimentos computacionales de flujo en medios
porosos con conectividad distribuida y en medios porosos con la media de la distribución de
conectividad. Los resultados son idénticos dentro del error de muestreo estadístico. De aquí la
popularidad de las redes regulares como modelos de espacios porosos reales.
(a)
(b)
Figura 4.1 (a) Imagen RMN del espacio poroso de una Arena del Mar del Norte. (b) Red subyacente.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
70
En tres dimensiones la red comúnmente utilizada es la cúbica con conectividad 6, ver
Figura 3.5. Esta misma red puede servir como red subyacente para medios porosos con menor
conectividad; simplemente basta con eliminar enlaces en forma estadística para terminar con
valores de conectividad intermedios entre 2 y 6. La red cúbica también sirve en casos de
conectividad mayor a 6; basta con agregar tantos enlaces diagonales como sea necesario entre
nodos vecinos más lejanos, por ejemplo entre segundos vecinos, lo que permite alcanzar
conectividades mayores a 10. No obstante, la red cúbica es preferida simplemente porque la
mayoría de los materiales porosos reales tienen una conectividad promedio cercana a 6 o
menor. El estudio de flujo en medios porosos también se ha beneficiado de simulaciones en
redes regulares bidimensionales; algunos ejemplos se muestran en la Figura 4.2.
Otra red subyacente ampliamente utilizada, especialmente en los 1980, es la red, en
realidad árbol, de Bethe (ver Figura 2.1). El árbol de Bethe resulta muy atractivo porque
permite resolver analíticamente todas las propiedades de percolación, incluida la
permeabilidad.
En menor grado se han empleado redes irregulares en la búsqueda de representaciones
más acabadas del espacio poroso. En la Figura 4.3 se muestran algunos ejemplos de estas
redes. El uso de redes irregulares se justifica hasta ahora sólo en comparaciones con redes
regulares para demostrar precisamente que una red irregular con distribución de conectividad
puede ser reemplazada por una red regular con la conectividad promedio. Los resultados
indican que dos materiales, de tamaño superior a la longitud de correlación, que poseen la
misma distribución de elementos de conductancia y la misma conectividad promedio poseen
prácticamente el mismo valor de sus propiedades de transporte.
La elección del índice de coordinación de la red en una simulación no es trivial. La
conectividad promedio de un material poroso es un parámetro de gran incidencia en la
predicción de las propiedades de transporte.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
71
Figura 4.2 Redes regulares bidimensionales. De izquierda a derecha red Honeycomb, red cuadrada, red
Kagomé y red triangular.
Figura 4.3 Redes irregulares. A la izquierda red Voronoi, a la derecha triangulación Delaunay.
Para lograr una representación adecuada del espacio poroso resulta imprescindible
disponer de técnicas para la estimación de la conectividad. Una alternativa para determinar
este parámetro es a través de métodos sofisticados basados en análisis de imágenes y
reconstrucción tridimensional como el descrito anteriormente, otra forma, experimentalmente
más simple, es inferir esta cantidad a partir de un experimento de porosimetría, esto es, la
inyección forzada de un fluido no mojante en el espacio poroso. Las curvas de saturación de
un experimento de porosimetría a presión controlada muestran sensibilidad a la conectividad
promedio del medio. El método para la estimación de la conectividad se basa en el
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
72
desplazamiento observado en las curvas de porosimetría de dos materiales que tienen la misma
distribución de conductancias pero distinta conectividad. La medición es indirecta y consiste
en establecer la relación entre la conectividad de la red y el desplazamiento de la curva de
saturación con respecto a una curva de referencia de conectividad. Esta curva de referencia se
determina mediante simulaciones Monte Carlo del experimento de porosimetría en redes que
posean la misma distribución de condutancias que el medio real.
En la Figura 4.4 se muestran curvas de saturación obtenidas mediante simulación del
experimento de porosimetría en redes bidimensionales para distintos valores de conectividad
promedio ( z = 2, 3, 4, 5 y 6).
Figura 4.4 Curvas de saturación (S nw ) o presión capilar (Pc ) de fluido no mojante (nw) para un
experimento de porosimetría simulado en redes de poros de 50×50×50 nodos y distribución de radio de
conductos uniforme U(1, 2) para distintos valores de conectividad media, z = 2, 3, 4, 5 y 6.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
73
4.1.2 Definición de conductancia de poro
El siguiente paso es la definición de la conductancia individual de los enlaces que
conforman la red. En forma general, en un conductor i, el flujo genérico J i y el diferencial
impulsor ∆ϕ i se relacionan a través de la conductancia g i como
J i = g i ∆ϕ i
(4.1)
La ley de flujo eléctrico de Ohm, la ley de la difusión de Fick, la ley de conducción de
calor de Fourier y la ley de Hagen-Poiseuille para flujo hidráulico son expresiones de esta ley
de transporte de primer orden.
Para un conductor cilíndrico de largo l i y área de sección transversal Ai , el flujo
eléctrico queda definido por la ley de transporte de Ohm, esto es,
I i = σ ie Ai
υπri
∆Vi
= g ie ∆Vi , g ie =
li
li
2
(4.2)
donde υ es la conductibilidad de los electrones libres en el conductor, el flujo hidráulico
incompresible en régimen laminar queda definido por la ecuación de Hagen-Poiseuille, esto
es,
Qi = σ ih Ai
πr
∆Pi
= gih ∆Pi , g ih = i
8 µl i
li
4
(4.3)
donde µ es la viscosidad del fluido. En ambos casos la conductividad del enlace es una
propiedad que depende de la geometría y de las propiedades del fluido conductor.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
74
Un elemento de la red puede ser considerado como un medio conductor homogéneo
donde la conductividad no varía espacialmente. El conjunto total de conductores dispuestos en
la red conforma un medio conductor macroscópico heterogéneo que obedece la ecuación
general de transporte del mismo modo que las partes que lo componen.
Es posible y simple implementar simulaciones en redes con conductos de formas más
complejas cuando la expresión analítica de la conductancia y del volumen de la geometría
escogida es conocida. Patzek y Silin (2001) desarrollaron expresiones para conductancias en
flujo monofásico y bifásico en capilares de sección no-circular; triangular, elíptica y
rectangular. La conductancia es deducida a partir del perfil de velocidades, vi , en el capilar,
Qi = vi Ai = g ih ∆Pi
(4.4)
donde Qi es el caudal volumétrico y ∆Pi el diferencial de presión aplicado. El perfil de
velocidades se obtiene de la solución de la ecuación elíptica de Poisson, combinación de las
ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en cada una de las geometrías usando una
condición de contorno de no-deslizamiento, esto es,
∇ 2vi =
1
µ
∇Pi
(4.5)
vi ( x1 , x 2 ) = 0 , ∀ x1 , x 2 ∈ Γs
El método de resolución analítica de estas ecuaciones se obtiene mediante una transformación
al plano complejo de las coordenadas espaciales, método conocido como mapeo conforme.
Las expresiones de conductancias para diversas geometrías de poros deducidas por Patzek y
Silin (2001) se resumen en la Tabla 4.1.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
75
Tabla 4.1 Expresiones analíticas de conduntancias en capilares de diversa forma.
Capilar
Conductancia hidráulica, gh
Sección
Planar
a3
2 µl
Elipsoidal
(
πa 3b 3
)
4 a 2 + b 2 µl
Circular
Triangular
πa 4
8 µl
≈
3 r 4   β1 
 β 
β 
 cot  + cot 2  + cot 3  
20 µl   2 
 2 
 2 
β 3 = π − β1 − β 2
Rectangular
2
 1   1 64
1 +   − 5
 ε   3 επ
tanh[(2n − 1)πε / 2] 4a 3b 3

∑
2
(2n + 1)5
n =0
 (a + b ) µl
∞
ε = a/b
Cuadrada
≈
0.5623a 4
µl
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
76
Patzek y Silin (2001) relacionaron también la conductancia de capilares de sección
elíptica, rectangular y triangular con la conductancia de elementos de sección circular,
cuadrada y triangular equilátera, respectivamente, a través de la definición de un factor de
forma del conducto. Este parámetro se define como la superficie de la sección transversal del
conducto dividido por su perímetro (W),
ξ=
A
W
(4.6)
Mediante la introducción de este parámetro se demuestra que cuando la sección de un
conducto se deforma continuamente desde las formas ideales, por ejemplo, desde triángulo
equilátero a triángulo irregular, desde cuadrado a rectángulo o desde círculo a elipse, su
conductancia varía en forma prácticamente lineal con respecto al factor de forma en un amplio
rango, como muestra la Figura 4.5.
Figura 4.5 Conductancia adimensional vs factor de forma (Patzek y Silin, 2001).
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
77
La sensibilidad de las propiedades macroscópicas de transporte, como la
permeabilidad, a la forma de los conductos se encuentra actualmente en estudio. Para su efecto
en flujo bifásico el lector es referido a Bustos y Toledo (2002a,b,c,d). Cabe tener en cuenta
que si la variación de la forma de los conductos afecta linealmente la conductancia y el
volumen del conducto, entonces la relación entre la permeabilidad y la porosidad del medio
permanece inalterada.
4.1.3 Decoración de la red
Una vez establecida la topología y dimensionalidad de la red y la definición de la
forma y por tanto la conductancia de los elementos que la conforman, la descripción del
espacio poroso se completa mediante el proceso de “decoración”. Este proceso consiste en
asignar aleatoriamente valores de conductancias a los enlaces de la red de acuerdo a funciones
de distribución de tamaño. En esta sección se describe el método estocástico utilizado para
asignar valores de conductancias a los poros de la red.
Si se dispusiera de información detallada sobre el medio poroso, tal como la posición,
la forma y la conectividad de cada poro en la red sería posible decorar una red en forma
ordenada de modo que el modelo fuera una réplica determinística del medio real, sin embargo,
en sistemas desordenados compuestos de una gran cantidad de elementos, como la red de
poros que conforman un medio poroso real, el orden en que son asignadas las propiedades a
los elementos en la red no afecta la descripción macroscópica del sistema. La descripción
estadística del espacio poroso depende fundamentalmente de los parámetros de las funciones
de distribución de las propiedades microscópicas del sistema, por ejemplo el radio de los poros
o conductos. Esta información es relativamente fácil de obtener mediante técnicas no
destructivas como topografía de rayos X y resonancia nuclear magnética o mediante técnicas
destructivas, pero más asequibles, como porosimetría de mercurio y reconstrucción de
espacios tridimensionales a partir de imágenes seccionales.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
78
La decoración de la red se basa en una técnica denominada muestreo de Monte Carlo.
Este consiste en producir un conjunto de valores que siguen una función de distribución
particular a partir de un generador de números aleatorios. El generador de números aleatorios
es un algoritmo que genera una secuencia uniforme de números en el intervalo [0,1]. En
términos estrictos, no existe un algoritmo finito que genere una distribución exactamente
uniforme, por este motivo es aconsejable estudiar previamente la calidad del generador de
números utilizado en una simulación. Moore (1953) diseñaron una serie de pruebas para
determinar la calidad de los generadores aleatorios, el criterio se basa fundamentalmente en la
magnitud del período de repetición de los números en la secuencia obtenida. En las
simulaciones desarrolladas en este trabajo se utilizó el generador multiplicativo congruencial
simple disponible en la librería de aplicaciones estadísticas IMSL y revisado por Learmonth y
Lewis (1973).
4.1.4 Determinación de la porosidad
La porosidad de un medio corresponde a la fracción de volumen ocupada por el
espacio poroso. En redes de poros es simple calcular estas cantidades en forma directa.
Experimentalmente, es algo más complejo determinarla debido principalmente a la presencia
de porosidad aislada o bien de regiones de poros que sólo conectan con la trama de poros
conductores a través de unos pocos poros de sección pequeña.
4.1.5 Determinación de las propiedades de transporte
La estimación de las propiedades de transporte de una red de poros puede llevarse a
cabo en forma exacta a partir de la solución numérica del campo de presiones y de la
distribución de flujo en la red. El método se conoce como simulación de Monte Carlo, por la
forma aleatoria como se distribuyen tamaños, y por ende conductancias, en la red de poros.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
79
El método Monte Carlo consiste en determinar la solución del sistema lineal de
ecuaciones resultante de los balances de materia nodales en estado estacionario en la red de
poros. Los balances nodales en una red de N nodos conducen a un sistema lineal que posee la
forma G ⋅ ϕ = b , donde G es una matriz de conductancia de poros, ϕ el vector de potenciales
de nodo y b el vector posición, de magnitud determinada por la diferencia de potencial
impuesta sobre los contornos permeables de la red. En el transporte eléctrico los elementos de
G corresponden a la definición de conductancia eléctrica y el vector ϕ es el vector de voltaje
en los nodos V. En el transporte hidrodinámico los elementos de G contienen la definición de
conductancia hidráulica y el vector de potenciales ϕ corresponde al vector de presiones
nodales P.
En simulaciones de flujo en redes de poros que en la práctica son de tamaño infinito,
porque exigen al máximo la memoria del computador, es aconsejable utilizar condiciones de
contorno periódicas en las fronteras paralelas al flujo. El objetivo de esta elección es eliminar
el indeseable ‘efecto de borde’ que origina la condición de borde impermeable, esto es, la
perturbación que produce sobre el campo de flujo la abrupta discontinuidad de la conectividad
local en los contornos de la red. En términos prácticos el efecto de borde se minimiza
utilizando un mayor tamaño de red, promediando sobre una mayor cantidad de realizaciones o
bien utilizando una condición de borde periódica, que se ilustra artísticamente en la Figura 4.6.
La condición de borde periódica consiste en establecer continuidad de los bordes paralelos al
flujo conectando los nodos que se enfrentan
Figura 4.6 La cinta de Moebius es un ejemplo de una condición de medio periódico. La hormiga
camina sobre una trayectoria ilimitada en un espacio periódico limitado. (Grabado de Escher).
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
80
Una vez almacenado el sistema de balances nodales para la red de poros, se calcula el
campo de potenciales de nodo mediante la solución iterativa del sistema de ecuaciones que
resulta. Generalmente se utiliza un método iterativo con relajación. El criterio de elección del
método normalmente es empírico. Se basa en comparar el número de iteraciones y el tiempo
necesario para alcanzar la convergencia con una cierta tolerancia ε , esto es,
G ⋅ϕ − b < ε
(4.7)
Una vez resuelto el campo de potenciales se calculan las propiedades de transporte
mediante el uso de las leyes de transporte macróscopicas. En el caso del flujo hidrodinámico la
permeabilidad se calcula según la ecuación de Darcy, esto es,
k
µ
=−
Q
A∇P
(4.8)
Para calcular la conductividad de la red se sigue un procedimiento similar basado en la
analogía existente entre los diversos fenómenos de transporte. La conductividad eléctrica de la
red saturada con fluido conductor queda dada por la ley de Ohm,
σe =
I
A∇V
(4.9)
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
81
4.2 Teoría de medio efectivo
Las aproximaciones basadas en teoría de campo medio permiten calcular los
coeficientes globales de transporte de un medio heterogéneo a partir de la función de
distribución de conductancias de los elementos que lo componen. La estimación de
propiedades de transporte en un medio heterogéneo mediante campo medio, a diferencia de
Monte Carlo, prescinde de la solución rigurosa de las ecuaciones de conservación. El
postulado fundamental en que se basan estas aproximaciones es la existencia de un valor de
conductancia efectivo que anula el promedio de las desviaciones locales del campo originadas
por la heterogeneidad del material. Este valor permite reemplazar el medio heterogéneo por
uno homogéneo equivalente o medio efectivo. El medio efectivo posee las mismas
propiedades de transporte que el medio original y por lo tanto exhibe la misma respuesta
macroscópica a las perturbaciones externas que éste. La expresión exacta de la desviación
local del campo es desconocida en redes heterogéneas, existen, sin embargo, soluciones
analíticas aproximadas, en este capítulo se revisan dos; la aproximación de medio efectivo y la
aproximación de enlace simple.
4.2.1 Aproximación de medio efectivo (EMA)
La aproximación de medio efectivo (EMA, effective medium aproximation) fue
desarrollada por Bruggeman para abordar el problema de conducción en medios heterogéneos
continuos. La aplicación de un campo externo sobre un medio heterogéneo produce una
distribución local de éste sobre el medio cuyo promedio espacial es igual al campo aplicado
r
( ϕ ap ).
ϕr ap =
1 r
ϕ (r )d 3 r
∫
VT
(4.10)
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
82
r
Si el campo ( ϕ ) se distribuye en el medio de acuerdo a la función de distribución de
conductancias se tiene la siguiente expresión equivalente:
ϕr ap = ∫ ϕrf ( g )dg
(4.11)
La aplicación de un campo externo ϕap sobre un medio desordenado induce
fluctuaciones locales del campo. De acuerdo a la teoría de campo medio estas fluctuaciones,
que son la diferencia entre el campo del medio real y del medio efectivo en una posición, son
independientes y poseen un promedio espacial nulo.
∞
r
∫ ∆ϕf ( g )dg = 0
(4.12)
0
Esta ecuación autoconsistente posee una solución única que corresponde al valor de
conductancia efectiva del medio.
Kirkpatrick (1973) desarrolló una expresión aproximada de las fluctuaciones locales
del campo, ∆ϕ , para una red regular con un índice de coordinación z y una distribución de
conductacias f(g).
∆ϕ =
g ef − g
g + g ef ( z / 2 − 1)
(4.13)
Esta expresión fue deducida utilizando argumentos de simetría y superposición que son
válidos en redes isotrópicas, es decir, redes que presentan la misma propiedad efectiva gef en
todas las direcciones. La ecuación autoconsistente (4.13) derivada de las Ecuaciones (4.11) y
(4.12), permite calcular la conductancia efectiva de una red de elementos aleatorios
distribuidos según una función de distribución f(g). El valor de la conductancia que anula el
promedio de las desviaciones locales del campo es la conductancia efectiva gef
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
∞
∫
0
f (g)
g ef − g
dg ≡ 0,
S (g)
83
(4.14)
donde S(g) = g + gef(z/2-1) y z es el índice de coordinación de la red. Los resultados que se
obtienen mediante la aproximación de medio efectivo desarrollada por Kirkpatrick son
satisfactoriamente similares a los que se obtienen mediante simulaciones Monte Carlo,
excepto en las cercanías del umbral de percolación.
La Ecuación (4.14) provee una forma de determinar la conductancia efectiva de un
medio heterogéneo cuando se conoce su función de distribución de conductancias. A
continuación se presenta el método para una red regular decorada con una función de
distribución percolativa.
La ecuación autoconsistente que define la conductancia efectiva según EMA es
∞
∞
0
0
p ∫ ∆ϕ ( g )δ ( g − g α )dg + (1 − p )∫ ∆ϕ ( g )δ ( g )dg = 0
(4.15)
Desarrollando las integrales en esta ecuación, se obtiene
p
g ef − g α
(1 − p ) = 0
+
ef
η ( z)
η ( z ) g + gα
(4.16)
Con η ( z ) = z / 2 − 1 una función que depende del índice de coordinación de la red. La
Ecuación (4.16) conduce a una ecuación lineal en g ef cuya solución es
 zp − 2 
g ef = g α 

 z−2 
(4.17)
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
84
Según EMA la conductividad efectiva de las redes regulares isotrópicas es una función
lineal de la fracción de conductores presente. Con este resultado podemos predecir el límite de
percolación de estas redes como el punto en que la conductividad de la red se anula gef = 0
pc =
2
z
(4.18)
De acuerdo a este resultado, el escalamiento crítico de las propiedades de transporte de
redes percolativas según EMA es,
g ef =
2

1
 p −  = β ( p − pc )
z
 2
1 − 
z

gα
(4.19)
En este punto se nota la debilidad del método cerca de la transición de percolación, ya
que como sabemos de los resultados de simulaciones de Monte Carlo, el exponente crítico de
la conductividad no es unitario. Por otro lado, al comparar la probabilidad crítica de
percolación predicha por este método con los resultados más precisos que se dispone de
simulaciones de Monte Carlo se observan discrepancias en el caso de redes con índice de
coordinación distinto de 4. A modo de ejemplo, según EMA en la red cúbica simple (z = 6)
p c = 0.3333 mientras que el resultado Monte Carlo es p c = 0.2488 . Sin embargo, en la red
cuadrada este resultado es exacto, más aún lejos de la zona crítica las predicciones de EMA y
Monte Carlo convergen a la misma solución.
Al respecto, existen otras aproximaciones que permiten una mejor estimación de los
coeficientes de transporte en la región crítica de percolación en redes tridimensionales. Una de
ellas es la aproximación del enlace simple.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
85
4.2.2 Aproximación de enlace simple (SBA)
Ërdos y Haley (1975) determinaron una expresión para la fluctuación de conductividad
de una red al perturbar uno de sus enlaces. Esta expresión introduce un término correctivo en
la expresión desarrollada por Kirkpatrick. La aproximación del enlace simple (SBA, single
bond aproximation), permite obtener una estimación más exacta de las propiedades de
transporte efectivas en la zona crítica y se ajusta a los resultados de EMA en la región de alta
conductividad, esto es,
( g ef − g )
∆ϕ = ϕ ⋅
(2 − aml z )g + (z − 2 + a ml )g ef
(4.20)
El término correctivo aml es una función de la probabilidad de percolación p y se
calcula según la topología de la red que se utiliza mediante el uso de la función de Green
discreta,
1 (℘1,l − ℘1,l +1 −℘m ,l + ℘m ,l +1 )
=
(℘1,1 −℘1,m )
2
2
a ml
(4.21)
∞
℘ij = ℘(m1 , m2 .., md ) = −
1
 1  d
exp
 − tz ∏ I mi (t )dt
2 ∫0
 2  i =1
(4.22)
Con I m la función de Bessel modificada de orden m definida como,
I m (t ) =
1
π
π
∫ cos(mϕ )exp(t cos ϕ )dϕ
0
(4.23)
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
En estas expresiones, m = ( m 1 , m 2 ,... m
d
86
) denota la posición del nodo de
salida de corriente en la red y l = (l1 , l 2 ....l d ) la posición del nodo perturbado en la red, ambas
con respecto al nodo de entrada de corriente 1 = (0,0...,0 ) .
La distancia de enlace del nodo perturbado respecto al nodo de entrada de corriente es
estimada según la correlación,
l − 1 = (1 − P( p) )
(4.24)
−1
Para estudiar las diferencias entre la aproximación de medio efectivo convencional y la
aproximación de enlace simple consideremos el cálculo de la probabilidad crítica de
percolación en una red regular con índice de coordinación z decorada de acuerdo a la función
de distribución percolativa. En la aproximación SBA la ecuación autoconsistente que
determina la conductancia efectiva de la red g ef se obtiene al imponer la anulación del
promedio de conductancias de los miembros del colectivo de redes aleatorias topológicamente
iguales decoradas según una función de distribución de conductancias particular,
∞
p∫
0
(g
ef
)
− g δ ( g − gα )
(z − 2 + a ml z )g ef + (2 − a ml z )g
∞
dg + (1 − p ) ∫
0
(g
ef
)
− g δ (g)
(z − 2 + a ml z )g ef + (2 − a ml z )g
dg = 0
(4.25)
Al desarrollar las integrales, la expresión que se obtiene para la conductividad efectiva
g ef de esta red es,
g ef = g α [1 − (1 − 2 / z + a ml ( p ) ) − 1](1 − p )
(4.26)
De acuerdo a SBA la conductividad efectiva presenta una dependencia no lineal en p ,
por la presencia del término aml ( p ) . La probabilidad de percolación crítica en este caso es
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
g ef = 0 ⇒
87
(4.27)
pC = 2 / z − a ml
El término aml es una función decreciente de la fracción de conductores, cuyo valor
máximo se alcanza en el punto crítico de percolación. Su funcionalidad varía según la
topología de cada red. La mejoría en los resultados obtenidos mediante SBA se debe
fundamentalmente al comportamiento creciente que presenta el factor corrector a ml a medida
que la fracción de conductores se acerca a la probabilidad de percolación crítica. EMA es el
caso particular de esta aproximación cuando a ml es nulo. La probabilidad crítica de
percolación en la red cúbica simple es
(
a ml → a ∞1 = 2 z 2℘1,1
)
−1
= 0.0564
⇒
pc = 0.277
(4.28)
que es un valor más exacto que la estimación basada en EMA ( pc = 0.333 ).
La Figura 4.7 muestra una comparación de conductividad efectiva de una red cúbica
mediante EMA, SBA, REMA (campo medio aplicado a una red renormalizada) y Monte
Carlo. REMA y SBA, en menor grado, siguen los resultados rigurosos de Monte Carlo. La
metodología de cálculo de la aproximación de enlace simple, SBA, se muestra en detalle en el
Apéndice A.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
88
Figura 4.7 Conductancia efectiva en una red cúbica simple mediante MC, EMA, SBA y REMA en con
celda 2×2×2. La función de distribución de conductancias locales es binaria. El tamaño de red es de
50×50×50 nodos. (Los datos de REMA son de Sahimi et al., 1983).
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
89
4.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PSRG)
El método de renormalización es otra forma de estimar las propiedades macroscópicas
de transporte de un medio heterogéneo prescindiendo de la solución rigurosa de las ecuaciones
de conservación. Una etapa de renormalización consiste en subdividir el medio en particiones
o celdas de menor tamaño. Cada celda posee una conductancia definida por las conductancias
de los elementos que contiene. El medio que se obtiene mediante este procedimiento, o medio
renormalizado, se encuentra conformado por nuevos elementos o celdas que, a escala
macroscópica, son consistentes con el medio original. De este modo, la repetición sucesiva de
etapas de renormalización resulta finalmente en un conductor único homogéneo de
conductancia prácticamente igual a la conductancia del medio heterogéneo. La Figura 4.8
ilustra estas ideas. Kadanoff (1966) aplicó este método en la deducción de la expresión de
energía libre de un ferromagneto representado como un arreglo regular de espines. Los pasos
de su desarrollo incluyen dividir el sistema en bloques de espines, considerar que cada bloque
representa una nueva unidad, calcular las interacciones efectivas entre los bloques, construir
una familia de hamiltonianos correspondientes a cada etapa de subdivisión y encontrar el
punto fijo del grupo de renormalización.
Cada etapa de renormalización produce una modificación en la decoración y el número
de elementos que lo conforman, es decir, el medio renormalizado presenta una nueva
distribución de conductancias. Esta nueva distribución, o distribución renormalizada, presenta
una dispersión menor que la distribución original. Sin embargo, la propiedad de transporte del
medio renormalizado es prácticamente la misma del medio original, esto es,
R n [ f ( g )] → f n ( g )
(4.29)
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
90
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.8 Representación esquemática del método de renormalización. (a) El medio original es
heterogéneo, presenta una distribución amplia de colores (o de propiedades de conducción). (b) En una
primera etapa de renormalización se subdivide el espacio en celdas que contienen 2×2 elementos, la
distribución resultante es menos heterogénea que en a). (c) Segunda etapa de renormalización, se repite
el proceso sobre el medio en b). (d) En la última etapa de renormalización el medio es homogéneo y su
color (o propiedad de transporte) es representativo del medio heterogéneo original en a).
La Ecuación (4.29) define matemáticamente la afirmación anterior, la aplicación del
operador de renormalización R n veces sobre la distribución de la propiedad g original
produce su distribución en la enésima etapa de renormalización. En un medio infinito la
renormalización completa corresponde a un punto fijo del grupo de renormalización, esto es,
R ∞ [ f ( g )] → δ ( g − g ef )
(4.30)
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
91
Así, la distribución de la propiedad g colapsa a un valor único e igual al valor efectivo de ésta
en el medio cuando la renormalización alcanza su punto estacionario.
Una alternativa a la renormalización del espacio resulta al utilizar este método en
combinación con la aproximación de medio efectivo (Sahimi et al., 1983, ver Figura 4.7). El
método, conocido como PSRG (position space renormalization group), consiste en realizar
una cantidad finita de etapas de renormalización hasta lograr una distribución de
conductancias de baja dispersión y luego establecer el valor de conductancia efectivo definido
por la ecuación autoconsistente de EMA,
∞
∫ ∆ϕ ( g ) f
n
( g )dg = 0
(4.31)
−∞
Como se indicó anteriormente, una de las suposiciones realizadas en el desarrollo de la
expresión de las fluctuaciones del campo en la aproximación de medio efectivo es la
independencia de las fluctuaciones en el espacio, es decir, fluctuaciones no correlacionadas de
promedio espacial nulo en el medio efectivo. Esta suposición es válida sólo cuando estas
fluctuaciones son pequeñas, lo que no ocurre en medios que presentan una alta heterogeneidad
o en cualquier medio cerca de las condiciones críticas de flujo. Así el método PSRG corrige
precisamente las falencias de la aproximación de medio efectivo.
Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros
92
4.4 Resumen
En este capítulo se ha revisado la simulación de flujo monofásico en simplificaciones
de red de poros de materiales porosos y la determinación de las propiedades de transporte,
especialmente la permeabilidad y la conductividad eléctrica. Los métodos revisados incluyen
la simulación de Monte Carlo, campo medio y renormalización, que son precisamente los
seleccionados en este trabajo para determinar permeabilidad y conductividad eléctrica de redes
de poros y para explorar posibles relaciones entre estos dos parámetros y la porosidad. La
revisión aquí se limita a conceptos generales y a variantes de cada uno de los métodos; la
implementación particular utilizada en esta tesis es materia del siguiente capítulo.
Capítulo 5
Métodos de Estimación de Permeabilidad:
Simulación Monte Carlo, Campo Medio y
Renormalización
En este capítulo se presentan los algoritmos utilizados, y las estrategias de
implementación, para determinar la permeabilidad, la conductividad eléctrica y la longitud
característica de redes de poros deformables completamente saturadas de fluido. El fluido es
incompresible y fluye en estado estacionario en régimen laminar. Para estimar permeabilidad
y conductividad eléctrica se utiliza Simulación de Monte Carlo, Campo Medio y
Renormalización, para longitudes características se utiliza Monte Carlo. En este capítulo se
deducen también las expresiones utilizadas para estimar las propiedades macroscópicas de
redes de poros y los mecanismos de compactación utilizados en la simulación.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
94
En términos generales, la simulación Monte Carlo de flujo en redes de poros,
desarrollada en esta tesis, comprende los siguientes pasos:
1. Representación del espacio poroso; se describe el proceso de representación del espacio
poroso mediante una red subyacente basándose en la conectividad y dimensionalidad que
presenta el medio real. En esta etapa se define también el tamaño de la red.
2. Decoración de la red; se presenta el método de muestreo de Monte Carlo que se utiliza
para “decorar” la red subyacente con características físicas, esto es, asignar forma y
tamaño a los elementos, poros, de la red de acuerdo a la distribución de tamaño de poros
del material.
3. Definición de propiedades de transporte de poros; se establece la relación entre las
propiedades geométricas de los poros con sus propiedades de transporte, esto es, se define
la conductancia del enlace para el fenómeno de transporte de interés.
4. Determinación de las propiedades macroscópicas de la red de poros; se presentan las
definiciones empleadas para calcular las propiedades bulto de la red; porosidad, volumen y
superficie del espacio poroso, y los métodos utilizados para estimar las propiedades de
transporte; permeabilidad, conductividad eléctrica y longitudes características definidas en
el Capítulo 3.
5. Evolución de las propiedades de la red de poros; se describe el mecanismo aleatorio de
reducción de tamaño de poros utilizado para simular el proceso de compactación de la red.
6. Actualización de la red de poros; en cada paso de compactación, la decoración y las
propiedades macroscópicas de la red cambian. Las propiedades bulto y de transporte de la
red se calculan en cada etapa volviendo al Paso 3. La secuencia se repite hasta un estado
de porosidad final definida en que la simulación termina.
Cada una de estas etapas es descrita en forma detallada en las siguientes secciones.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
95
5.1 Representación del espacio poroso
Para la representación de espacios porosos en este trabajo se utiliza como red
subyacente la cuadrada con conectividad 4, en dos dimensiones, y la cúbica con conectividad
6, en tres dimensiones. En la red cuadrada los capilares son planos rectangulares de sección
constante. En la red cúbica los capilares son cilíndricos. En ambas redes los capilares poseen
la misma longitud pero distintas secciones, de valor acorde con una distribución de radios. La
Figura 5.1 muestra una representación gráfica de ambas redes.
i,j
r
r
Y
X
i,j
i,j
Figura 5.1 Redes de poros utilizadas en simulaciones de flujo en medios porosos. Red cuadrada
bidimensional de conductos cilíndricos planos o rectangulares (izquierda), red cúbica simple
tridimensional de conductos cilíndricos (derecha).
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
96
5.2 Definición de conductancia de poro
El siguiente paso es la definición de la conductancia individual de los enlaces que
conforman la red. En forma general, en un conductor i, la densidad de flujo genérico
unidimensional ji y el gradiente impulsor ∇ϕ i = ∆ϕ i / li , donde l i es el largo del conductor, se
relacionan a través de la conductividad σ i como
ji = σ i
∆ϕ i
li
(5.1)
Si la sección transversal Ai del conductor es constante, entonces el flujo J i queda
definido como
J i = ji Ai
(5.2)
y la ecuación de transporte adopta la siguiente forma,
J i = σ i Ai
∆ϕ i
li
(5.3)
En esta ecuación aparece explícitamente la definición de conductancia, esto es,
gi =
σ i Ai
li
.
(5.4)
De este modo, el flujo en un conductor i en términos de la conductancia es,
J i = g i ∆ϕ i
(5.5)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
97
En el caso del flujo eléctrico a través de un conductor cilíndrico i de radio r la ley de
transporte de Ohm es,
I i = σ ie Ai
∆Vi
υπri2
= g ie ∆Vi , g ie =
li
li
(5.6a)
y para un conductor rectangular plano (para deducción el lector es remitido a Apéndice B)
I i = σ ie Ai
∆Vi
υπri
= g ie ∆Vi , gie =
li
li
(5.6b)
donde υ es la conductividad de los electrones libres en el conductor.
Para flujo hidráulico incompresible en régimen laminar a través de un conducto
cilíndrico i de radio r , la conductancia queda definida por la ecuación de Hagen-Poiseuille,
Qi = σ ih Ai
πr
∆Pi
= gih ∆Pi , g ih = i
8 µl i
li
4
(5.7a)
y para un rectangular plano (para deducción el lector es remitido a Apéndice B)
πr
∆P
Qi = σ Ai i = gih ∆Pi , gih = i
2µli
li
3
h
i
(5.7b)
donde µ es la viscosidad del fluido.
En ambos casos la conductancia del poro es una propiedad que depende de su
geometría y de las propiedades del fluido conductor.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
98
Un elemento de la red puede ser considerado como un medio conductor homogéneo
donde la conductividad no varía espacialmente. El conjunto total de conductores dispuestos en
la red conforma un medio conductor macroscópico heterogéneo, que obedece la ecuación
general de transporte, del mismo modo que lo hacen las partes que lo componen. Conocida la
ley que gobierna el transporte a escala microscópica, es posible relacionar la propiedad de
transporte de la red con las propiedades de transporte de los elementos que la componen a
partir de la solución rigurosa de las leyes de conservación aplicadas a la red, o bien utilizando
alguna de las técnicas de homogeneización revisadas en el capítulo anterior, tales como
renormalización ó aproximación de medio efectivo.
De aquí en adelante se referirá como conductancia efectiva a la propiedad de transporte
del medio macroscópico, y como conductancia a la propiedad de transporte de los elementos
que conforman el medio heterogéneo.
En las simulaciones de flujo hidrodinámico presentadas en este trabajo se utilizan
conductos cilíndricos dispuestos en una red cúbica y conductos planos rectangulares
dispuestos en un arreglo cuadrado, para representar el espacio poroso en dos y tres
dimensiones respectivamente (ver Figura 5.1). La conductancia de los conductos rectangulares
se define a partir de la solución analítica de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo
bidimensional entre dos líneas paralelas, utilizando una condición de no-deslizamiento en los
contornos. Es posible y simple implementar simulaciones con formas de conductos más
complejas cuando la expresión analítica de la conductancia y del volumen de la geometría de
poro escogida es conocida (ver Capítulo 4).
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
99
5.3 Decoración de la red subyacente
Una vez establecida la topología y dimensionalidad de la red y la definición de la
forma, y por tanto la conductancia, de los elementos que la conforman, la descripción del
espacio poroso se completa mediante un proceso de “decoración” de la red que consiste en
asignar aleatoriamente valores de conductancias a los enlaces de la red de acuerdo a funciones
de distribución de tamaño.
5.3.1 Algoritmo de decoración
El algoritmo de decoración de la red consiste en asignar valores de conductancia a los
poros de acuerdo una función de distribución de radios de poros,
f(r). Para estudios
cuantitativos f(r) debe determinarse experimentalmente. En estudios cualitativos basta con
elegir una forma de la función de distribución f(r) representativa de medios porosos de una
clase interés. El paso de decoración se logra mediante el muestreo uniforme del dominio de la
función de distribución acumulada F(r) de f(r), el cálculo de la conductancia correspondiente
a cada uno de los números del muestreo y finalmente la asignación de las conductancias
calculadas a los enlaces de la red. Para ilustrar el procedimiento consideremos un ejemplo. Si
la función de densidad de probabilidad de un evento estocástico, como la ocurrencia de un
conducto de radio r en un medio poroso, es f(r), la probabilidad de que este radio sea menor
que r, está dada por la función de distribución acumulada
r
F (r ) = ∫ f ( x)dx
(5.8)
0
que es una función monótona creciente. Ahora si se elige un radio a con densidad de
probabilidad f(a), la probabilidad de encontrar conductos de radios superiores a a en el medio
poroso, F(a), es una variable aleatoria que ocurre con una densidad de probabilidad uniforme
comprendida en el intervalo [0,1]. Si escogemos un valor arbitrario de probabilidad u en este
intervalo,
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
100
u = F (r )
(5.9)
entonces podemos encontrar un valor de radio único asociado a esta probabilidad como
(5.10)
r = F −1 (u )
de este modo, si se muestrea el recorrido de la función de distribución acumulada F(r) con un
generador de números aleatorios, se obtiene una secuencia uniforme {ui} que puede ser
asociada en forma biunívoca con una secuencia de valores de radios {ri} que sigue la función
de distribución f(r) a partir de la Ecuación (5.10) (ver demostración de esta afirmación en el
Apéndice C). Finalmente, con la secuencia {ri} y la definición de conductancia, se calculan los
valores de conductancia {g(ri)} que son asignados en forma aleatoria a los elementos de la red
subyacente. Común es utilizar una función de distribución de tamaño para las gargantas de
poro y una función de distribución de tamaño para los cuerpos de poro.
Supongamos ahora que la distribución de radio de poros de un medio poroso es una
densidad de probabilidad dada por una suma de funciones exponenciales con parámetros α , λ1
y λ 2 , esto es,
(
)
f (r ) = α e − λ1r − e − λ2 r , r ∈ [0, ∞[
(5.11)
y que se desea obtener una representación de red de poros para estudiar el problema de flujo a
su través. En primer lugar se normaliza la función de densidad de probabilidad para acotar la
función de distribución acumulada al intervalo [0,1]
f (r ) norm =
f (r )
∞
∫
0
f (u )du
=
λ1λ2
(e −λ r − e −λ r )
(λ2 − λ1 )
1
2
(5.12)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
101
Luego, la función de distribución acumulada de f es
λ1 (1 − e − λ r ) − λ 2 (1 − e − λ r )
F (r ) = ∫ f (r ) norm dr =
λ1 − λ 2
0
r
2
1
(5.13)
A continuación se muestrea el recorrido de esta función de distribución acumulada con
una secuencia uniforme {ui} de números comprendidos en el intervalo [0,1]. Para cada punto
de muestreo se obtiene ri como la inversa de F en ui, ri = F −1 (u i ) . En este caso, como en la
mayoría de las funciones de distribución, la inversa de la función F no es explícita sino que
está determinada por la solución numérica de la Ecuación (5.13). El cálculo de la inversa de la
función F presenta un comportamiento asintótico horizontal cerca del límite de probabilidad 1.
Para lograr una búsqueda convergente de la inversa de F es necesario definir un valor único en
el dominio de F asociado a la probabilidad acumulada en este punto, este valor corresponde al
valor máximo de radio del material poroso. La distribución de números lograda para la
simulación es una réplica discreta aproximada de la función de distribución original. La Figura
5.2 ilustra el procedimiento. Con esta secuencia de radios se calculan los valores de
conductancia de los poros del modelo de acuerdo a su forma y dimensión, esto es,
g i = g (ri )
(5.14)
Aquí se utiliza la definición de conductancia para cilindros circulares y planos.
Para constatar la universalidad de la relación de permeabilidad propuesta en este
trabajo se utilizan cuatro funciones distintas de distribución de tamaños de poro; dos
uniformes de distinta amplitud y valor medio, U(r;1,2) y U(r;1,20), esto es,
U ( r ; a, b) =
1
, ∀ r ∈[a, b ]
b−a
(5.15)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
102
y dos logarítmicas de distinto valor medio y desviación estándar, L(r;1.5,0.1) y L(r;1.5,0.8),
esto es,
 1  ln(r ) − A  2 
L( r ; a , b ) =
exp − 
 
B
Br 2π
 
 2 
1

B2 
2
2
a = exp A +
 ; b = exp (2 A + B ) / (exp(B ) − 1)
2 

(5.16)
Figura 5.2 Procedimiento de muestreo Monte Carlo. Función de distribución continua de una variable
aleatoria r (Izquierda) que se desea muestrear. Muestreo uniforme del recorrido de la función de
distribución acumulada y cálculo de la función inversa (centro). Función de distribución obtenida
mediante el muestreo (derecha).
En medios que presentan anisotropía, esto es, en aquellos que presentan propiedades
que varían direccionalmente, se puede utilizar una decoración independiente en cada una de
las direcciones del medio poroso,
( )
riθ = F θ
−1
(u ) , θ = x, y ó z .
(5.17)
El modelo de red así definido es capaz de capturar la heterogeneidad que presentan los
materiales porosos, esto es, la disposición de poros de diverso tamaño e índice de coordinación
que varía espacialmente.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
103
5.4 Modelo de compactación
El modelo de compactación utilizado en las simulaciones desarrolladas en este trabajo
fue propuesto por Wong et al. (1984), este se inspira en los procesos de formación de las rocas
sedimentarias. Inicialmente las rocas se encuentran como empaquetamientos de partículas no
consolidadas, análogas a una red completamente conexa. En el transcurso del tiempo la
sección transversal de cada conducto se reduce debido a la acción de carga externa, depósito
de partículas u otros mecanismos geofísicos y geoquímicos. Como resultado de estos procesos
la porosidad y la conductividad del medio disminuyen simultáneamente.
Para modelar cualitativamente el comportamiento de compactación que exhiben los
medios porosos naturales se escoge aleatoriamente un poro de la red y se le reduce su radio de
acuerdo a un cierto factor que representa la fuerza externa, tal como se ilustra en la Figura 5.3.
La reducción del radio de cada conducto deformado es proporcional a su tamaño presente,
ri
( k +1)
= ri
(k )
x
(5.18)
O de otro modo, la deformación de un poro es proporcional a su tamaño,
∆ri k
= x −1
ri k
(5.19)
El factor x ∈ [0,1[ es una medida de la intensidad de la compactación. El caso límite x = 0
equivale a un mecanismo de bloqueo de poros y es consistente con el problema clásico de
percolación.
En capilares cilíndricos la conductancia hidráulica es proporcional a la cuarta potencia
del radio del conducto y la sección transversal es proporcional al cuadrado del radio, por lo
tanto cada vez que se deforma un conducto, la conductancia decrece en un factor x4 y la
sección transversal en un factor x2. Mediante la repetición finita de este procedimiento,
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
104
escogiendo otros poros aleatoriamente, con un valor fijo del factor x, se hace un seguimiento
de la evolución de las variables macroscópicas de la red de poros, como la permeabilidad, la
conductividad eléctrica, la superficie específica de los poros, longitudes características del
medio, la evolución de la distribución del tamaño de poros, etc. Los métodos utilizados se
describen en las siguientes secciones.
Figura 5.3 Modelo de compactación de poros de Wong et al. (1984). Izquierda: compactación severa
de un capilar cilíndrico (x = 0.5). Derecha: compactación débil (x = 0.8)
Al incorporar la ecuación constitutiva que rige la deformación de un poro, sometido a
la una presión externa Pe , el factor de compactación x puede ser expresado en términos de las
propiedades elásticas del poro tales como el módulo de Young (E) y el módulo de Poisson
( υ ). Para un poro de sección cilíndrica una ecuación de elasticidad típica es
x=
(
r ( k +1)
2Pe 1 − υ 2
=
1
−
r (k )
E
)
(5.20)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
105
Wong et al. (1984) desarrollaron la solución analítica de este modelo en una red lineal
(1D). De acuerdo al trabajo de estos autores, el exponente de la ley k-φ en el límite de alta
porosidad obedece la relación k α φ ν , donde
ν=
1 
1 
1+ 2 
2 
x 
x 
(5.21)
Aunque se trata de un caso trivial, que puede cambiar al utilizar redes de dimensión
superior (2D, 3D) esta ley nos indica que el exponente es mayor en procesos de compactación
intensos. En una dimensión resulta ν (x = 0 ) → ∞ , esto se debe a que el bloqueo de cualquier
enlace escogido aleatoriamente produce en forma inmediata la transición de conductor a
aislante en una red lineal.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
106
5.5 Determinación de la porosidad
La porosidad de un medio corresponde a la fracción de volumen ocupada por el
espacio poroso. En redes es simple calcular estas cantidades en forma directa.
Experimentalmente, es algo más complejo determinarla debido principalmente a la presencia
de porosidad aislada o bien de regiones de poros que sólo conectan con la trama de poros
conductores a través de unos pocos poros de sección pequeña.
En la simulación se determina la porosidad en la etapa inicial cuando el medio aún no
es compactado. Luego, cuando el medio se compacta sólo se actualiza de acuerdo al cálculo de
la reducción de volumen que sufrieron los poros aleatoriamente escogidos.
En la red cuadrada bidimensional de capilares rectangulares la porosidad corresponde
en términos rigurosos a una razón entre la superficie de poros y la superficie total del medio,
esto es,
nx
φ=
Vp
VT
≈
ny
(
2∑ ∑ ri ,x j + ri ,yj
)
(5.22)
i =1 j =1
nx n y l
Esta definición es consistente con el desarrollo de las expresiones de conductancia para poros
cilíndricos planos.
En la red cúbica de capilares cilíndricos, la porosidad del medio es aproximada como
la razón entre el volumen total de los poros cilíndricos y el volumen de la red mediante la
siguiente expresión
nx
φ=
Vp
VT
≈
ny
nz
(
π ∑∑∑ ri ,x j , k + ri ,yj , k + ri ,z j , k
i =1 j =1 k = 1
2
nx n y nz l 2
2
2
)
(5.23)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
107
En ambas aproximaciones se desprecia el espacio formado en las intersecciones de los
cilindros. La inclusión de un cuerpo de poro en cada nodo de la red subyacente no afecta las
conclusiones que se derivan de este trabajo, como se verá en el capítulo de resultados. Al
compactar algunos poros de la red la porosidad se actualiza de acuerdo a
φ ( k +1) = φ ( k ) − ∆φ ( k ) = φ ( k ) −
∆V p( k )
(5.24)
VT
donde el volumen total del medio poroso permanece fijo durante la compactación y k y k + 1
son dos pasos consecutivos de compactación.
En la red cuadrada la disminución del volumen poroso al compactar un poro i es
∆V p
(k )
(
)
= 2l ri( k ) − ri( k +1) = 2lri( k ) (1 − x ) = V p(,ki ) (1 − x )
(5.25)
En la red cúbica de poros cilíndricos
∆V p
(k )
(
2
2
)
2
(
)
(
= πl ri( k ) − ri( k +1) = πlri( k ) 1 − x 2 = V p(,ki ) 1 − x 2
)
(5.26)
En las simulaciones desarrolladas se efectúa una normalización de la porosidad con
respecto a la porosidad inicial. La porosidad normalizada corresponde a la razón entre el
volumen de poros en una etapa de la compactación sobre el volumen inicial de poros en la red.
Por otro lado, el cálculo de todas las propiedades macroscópicas se realiza con un intervalo
fijo, igual a 0.01, de diferencia en la porosidad normalizada.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
108
5.6 Determinación de las propiedades de transporte
En las simulaciones realizadas se hizo un seguimiento de dos propiedades de transporte
durante la compactación, esto es, la permeabilidad y la conductividad eléctrica de redes de
poros completamente saturadas con fluido conductor. La estimación de estas propiedades de
transporte en un medio heterogéneo puede llevarse a cabo en forma exacta mediante un
método numérico como Monte Carlo, que consiste en la solución numérica del campo de
presiones y de la distribución de flujo en la red, o bien, mediante técnicas de homogeneización
como renormalización y aproximación de medio efectivo, que prescinden de la solución
rigurosa de las ecuaciones de conservación. En esta sección se describe la implementación
realizada en este trabajo de estos métodos para el modelo de redes de poros.
5.6.1 Método Monte Carlo
El método Monte Carlo consiste en determinar la solución del sistema lineal de
ecuaciones resultante de los balances de materia, o de carga en el caso de la conductividad
eléctrica, nodales en estado estacionario, la Figura 5.4 ilustra la situación de nodos genéricos
en dos y tres dimensiones. Los balances nodales en una red de N nodos conducen a
dml
=0
dt
⇔
∑δ J
l ,l + δ
= 0 , l = 1, N
(5.27)
donde l representa la posición en la red del nodo donde se aplica el balance y δ es la posición
relativa de los nodos primeros vecinos al nodo l. Para una red cuadrada,
l = (i, j ) y δ = {(−1,0), (1,0), (0,−1), (0,1)}
y para una red cúbica
l = (i, j , k ) y δ = {(−1,0,0), (1,0,0), (0,−1,0), (0,1,0), (−1,0,0), (1,0,0)}.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
109
Figura 5.4 Izquierda: nodo genérico (i,j) de una red cuadrada. Derecha: nodo genérico (i,j,k) de una red
cúbica simple.
La ley de transporte aplicada a los enlaces indica que
J l ,l +δ = g l ,l +δ (ϕ l − ϕ l +δ )
(5.28)
Así, el balance desarrollado para un nodo en la red cuadrada resulta,
ϕ i , j g ip, j − ϕ i −1, j g ix−1, j − ϕ i +1, j g ix, j − ϕ i , j −1 g iy, j −1 − ϕ i , j +1 g iy, j = 0
(5.29)
donde los elementos del tensor g p se definen como,
g ip, j = g ix−1, j + g ix, j + g iy, j −1 + g iy, j
(5.30)
Del mismo modo, en la red cúbica el balance nodal conduce a
ϕ i , j , k g ip, j ,k − ϕ i −1, j ,k g ix−1, j ,k − ϕ i +1, j ,k g ix, j , k − ϕ i , j −1, k g iy, j −1, k − ϕ i , j +1,k g iy, j ,k −
− ϕ i , j , k −1 g iz, j , k −1 − ϕ i , j , k +1 g iz, j ,k = 0
(5.31)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
110
en este caso los elementos de g p son,
g ip, j ,k = g ix−1, j ,k + g ix, j , k + g iy, j −1,k + g iy, j ,k + g iz, j , k −1 + g iz, j ,k +1
(5.32)
El sistema lineal posee la forma G ⋅ ϕ = b , donde G es la matriz de conductancias, ϕ el
vector de potenciales de nodo y b el vector posición, de magnitud determinada por la
diferencia de potencial impuesta sobre los contornos permeables de la red. En el transporte
eléctrico los elementos de G corresponden a la definición de conductancia eléctrica, Ecuación
(5.6), y el vector ϕ es el vector de voltaje en los nodos V. En el transporte hidrodinámico los
elementos de G contienen la definición de conductancia hidráulica, Ecuación (5.7), y el vector
de potenciales ϕ corresponde al vector de presiones nodales P.
La matriz de conductancias en redes regulares presenta una estructura definida, es una
matriz simétrica formada por bandas diagonales de elementos no-nulos. Bajo condiciones de
contorno impermeables en las fronteras paralelas al flujo, el número de estas bandas n b es
igual a z + 1 y con condiciones de borde periódicas igual a z + 2d − 1 , donde d es la dimensión
de la red. Cada entrada en la banda diagonal central corresponde a la sumatoria de
conductancias que confluyen en un determinado nodo de la red y las entradas en diagonales
vecinas, leídas horizontalmente respecto de ese nodo, a las conductancias que unen este nodo
con cada uno de sus vecinos. Consideremos como ejemplo una red cuadrada con n = 3, ver
Figura 5.5, la matriz de conductancias de esta red es
 g1p,1

 − g1x,1

 0
 − g1y,1

G = 0
 0

 0
 0

 0

− g 1x,1
g 2p,1
− g 2x,1
0
− g 2y,1
0
0
0
0
0
− g 2x,1
g 3p,1
0
0
− g 3y,1
0
0
0
− g1y,1
0
0
g1p, 2
− g1x, 2
0
− g1y, 2
0
0
0
− g 2y,1
0
− g1x, 2
g 2p, 2
− g 2x, 2
0
− g 2y, 2
0
0
0
− g 3y,1
0
− g 2x, 2
g 3p, 2
0
0
− g 3y, 2
0
0
0
− g1y, 2
0
0
g 1p,3
− g 1x,3
0
0
0
0
0
− g 2y, 2
0
− g 1x,3
g 2p,3
− g 2x,3
0 

0 

0 
0 

0 
− g 3y, 2 

0 
− g 2x,3 
g 3p,3 
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
111
Figura 5.5 Notación de índices i, j y decoración de una red cuadrada de 3×3 nodos.
De acuerdo a la teoría de percolación para obtener un resultado macróscopico
independiente del tamaño de red empleado es necesario utilizar una población de elementos
suficientemente grande para que el tamaño de la red sea superior a la longitud de correlación
del medio. En las simulaciones desarrolladas en esta tesis esta longitud fue determinada
empíricamente a partir de un análisis de sensibilidad de las propiedades macroscópicas al
tamaño de la red en 5 realizaciones, es decir, usando 5 semillas distintas en el muestreo de
Monte Carlo de la distribución de radio de poros. El análisis se realiza sobre la simulación que
exige el mayor tamaño de red, esto es, la determinación de permeabilidad en las cercanías de
la región crítica ( x → 0 , φ → φ c ) de una red decorada con la distribución de radios de mayor
amplitud, esto es, L(r;1.5,0.8).
Los resultados del análisis indican que al utilizar redes cuadradas de 200×200 nodos, y
redes cúbicas de 50×50×50 nodos se obtiene una dispersión menor al 1% en los resultados de
permeabilidad. Si n es la cantidad de nodos ubicados en cada dirección de la red, la cantidad
de memoria necesaria para almacenar la matriz de conductancias es n2 en dos dimensiones y
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
112
n3 en tres dimensiones. Las redes cuadradas de 200×200 nodos conducen a 4×104 filas y 4×104
columnas y las redes cúbicas de 50×50×50 nodos conducen a 1.25×105 filas y 1.25×105
columnas. Así, el requerimiento de memoria convencional resulta prohibitivo en un ordenador
común, por lo que resulta indispensable emplear un almacenamiento más eficiente de los
sistemas lineales. La forma más eficiente de utilizar la memoria del computador es utilizar un
almacenamiento ralo simétrico de la matriz de conductancias.
El almacenamiento de matrices ralas consiste en guardar sólo los elementos no nulos
de la matriz en tres vectores, A , JA e IA . El vector A contiene los valores de los elementos
no nulos que se leen de izquierda a derecha en orden descendente en la matriz. El vector JA
contiene la posición columna de los elementos de A . El vector IA almacena la sumatoria de
elementos que ocurren hasta la fila i-ésima, comenzando con un 1, por defecto, como primer
elemento.
Como ejemplo, consideremos el almacenamiento ralo de la matriz M
1

0
M = 7

0
0

7
1
0
0
8
0
0
5
2
3
0
0
0
0
6
2

9
0

7
0 
Para la matriz M los tres vectores A , JA e IA son
A = {1,7,2,1,9,7,5,2,7,8,3,6}
JA = {1,2,5,2,5,1,3,3,5,2,3,4}
IA = {1,4,6,8,10,13}
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
113
Estos tres vectores almacenan la misma información que la matriz original. Para
recuperar la matriz original a partir del almacenamiento vectorial basta con determinar en
número de elementos que ocurre en una fila i-ésima,
nel ,i = IA i +1 − IA i
(5.33)
y luego determinar el valor y la ubicación de cada uno de esos elementos, que denominamos s,
como
M i ,JA s = A s , s ∈ [IA i , IA i +1 − 1]
(5.34)
En el caso de matrices simétricas, como es el caso de la matriz de conductancias, el
almacenamiento puede ser aún más eficiente pues solo es necesario almacenar los elementos
no-nulos que se encuentran en y sobre la diagonal. Esta técnica se conoce como
almacenamiento ralo simétrico. Consideremos como ejemplo el almacenamiento ralo de la
matriz simétrica del ejemplo anterior, que repetimos por conveniencia,
1

7
M = 0

0
2

7
3
0
0
9
0
0
5
2
0
0
0
2
0
7
2

9
0

7
8 
con vectores de almacenamiento ralo,
A = {1,7,2,3,9,5,2,7,8}
JA = {1,2,5,2,5,3,4,5,5}
IA = {1,4,6,8,9,10}
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
114
Cabe notar que en este caso se lee sólo la parte diagonal superior de la matriz M. El proceso
inverso en este caso para reconstruir la matriz M a partir de los vectores A, JA e IA consiste
en construir primero la parte superior de la matriz y luego completar la parte inferior haciendo
reflexión con respecto a la diagonal,
nelS ,i = IA i +1 − IA i
M i ,JA s = A s , s ∈ [IA i , IA i +1 − 1]
(5.35)
M = M + MT − I ⊗ M
Ahora, el almacenamiento ralo se utiliza para evitar almacenar la matriz de
conductancias en su forma original, en su forma original, esto implica que la matriz original se
debe recuperar directamente o a través de una matriz intermedia. El método empleado en esta
tesis se basa en el siguiente esquema: las bandas diagonales central y superiores de la matriz
de conductancias G se giran en 45º en sentido horario y se ubican en columnas de una nueva
matriz G'. Para la red cuadrada considerada anteriormente esta matriz tiene la siguiente forma,
 g1p,1
 p
 g 2,1
 p
 g 3,1
 g1p, 2

G ' =  g 2p, 2
 g 2p,3
 p
 g 3,1
gp
 3p, 2
g
 3, 3
− g1x,1
− g 2x,1
0
− g1x, 2
− g 2x, 2
0
− g 3x,1
− g 3x, 2
0
− g1y,1 

− g 2y,1 
− g 3y,1 
− g1y, 2 

− g 2y, 2 
− g 2y,3 

0 
0 

0 
En general, el número de columnas de G' es nc = z / 2 + 1 en redes con condición de
contorno impermeable y nc = z / 2 + d bajo condición de borde periódica. Si se recorre esta
matriz de izquierda a derecha en forma descendente leyendo sólo los elementos no-nulos, se
obtiene el vector A requerido en el almacenamiento ralo simétrico. Si se cuentan los elementos
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
115
no-nulos que aparecen en G' se obtiene la información necesaria para construir el vector IA.
Pero no existe información alguna en G' que indique la posición columna de cada elemento en
la matriz original G. Sin embargo una inspección más detallada de G' indica que la primera
columna de esta matriz corresponde a la diagonal central de G, y que el índice de la fila
corresponde al nodo en donde se realiza el balance, la segunda columna corresponde a la
banda diagonal inmediatamente superior a la central de G, y en la red equivale al enlace que
conecta al nodo, donde se realiza el balance, con su vecino horizontal, y la segunda columna
de G' corresponde a la siguiente banda diagonal superior que en la red corresponde al enlace
que lo conecta con su vecino vertical inferior. De este modo, si se numeran los nodos en la red
de izquierda a derecha en forma descendente a partir de 1, ocurre que el vecino horizontal se
encuentra a una distancia de 1 enlace del nodo donde se realiza el balance, y el vecino vertical
a una distancia nx. Estas distancias entre nodos vecinos equivalen a la distancia entre las
bandas diagonales en G. La siguiente transformación de índices en la red cuadrada resume
estas observaciones,
si , j = ( j − 1)nx + i
(5.36)
ver Figura 5.6 para notación y ejemplo.
Luego, las distancias de las bandas con respecto a la diagonal central equivalen a las
distancias que separan al nodo donde se realiza el balance de sus nodos primeros vecinos,
distancias medidas en la numeración s,
d1 = (i, j ) − (i, j ) = 0
d 2 = (i + 1, j ) − (i, j ) = si +1, j − si , j = ( j − 1)nx + i + 1 − ( j − 1)nx − i = 1
(5.37)
d 3 = (i, j + 1) − (i, j ) = si , j +1 − si , j = ( j − 1)nx + i − ( j − 2)nx − i = nx
La transformación s i , j establece la siguiente correspondencia entre los elementos de la
matriz intermedia G' y las matrices de decoración de enlaces en la red,
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
116
Figura 5.6 Notación de índices s i , j y decoración de la red cuadrada de 3×3 nodos.
[ ]
∀ i ∈ [1, n − 1], j ∈ [1, n ]
∀ i ∈ [1, n ], j ∈[1, n − 1].
G1' , si , j = g ip, j , ∀ i ∈ [1, nx ], j ∈ 1, n y
G '2, si , j = −g ix, j ,
G 3' , si , j = −g iy, j ,
x
x
y
(5.38)
y
La matriz G' requiere una cantidad de memoria igual a 3nxny, que en comparación a los
n x2 n y2 elementos que requiere el almacenamiento de G resulta notoriamente menor para los
valores de n requeridos en una simulación típica.
Ahora, el vector A se obtiene leyendo los elementos no-nulos de G' de izquierda a
derecha en forma descendente,
A t = G 's ,k
(5.39)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
117
donde s es el índice fila de la matriz G', k es el índice columna de G' y t es el índice de
aparición del t-ésimo elemento no-nulo de G' recorrida del modo antes indicado.
Los elementos de JA correspondientes a los elementos de A se calculan a partir del
índice fila s de G' y de la distancia dk a la diagonal central,
JA t = s + d k
(5.40)
Finalmente, el vector IA se obtiene sumando en orden descendente la cantidad de
elementos que aparecen en cada fila de G',
IA s +1 = IA s + nel , s , IA 1 = 1
(5.41)
De acuerdo a este algoritmo, los vectores del almacenamiento ralo del ejemplo anterior
resultan ser
A = {g1p,1 ,− g1x,1 ,− g1y,1 , g 2p,1 ,− g 2x,1 ,− g 2y,1 , g 3p,1 ,− g 3y,1 , g1p, 2 ,− g1x, 2 ,− g1y, 2 , g 2p, 2 ,− g 2x, 2 ,− g 2y, 2 , g 2p,3 ,− g 2y,3 , g 3p,1 ,..
− g 3x,1 , g 3p, 2 ,− g 3x, 2 , g 3p,3 }
JA = {1,2,4,2,3,5,3,6,4,5,7,5,6,8,6,9,7,8,8,9,9}
IA = {1,4,7,9,12,15,17,19,21,22}
Una vez definidos los vectores A, JA e IA se elimina G' de la memoria, es sólo un
recurso intermedio para obtener el almacenamiento ralo de la matriz de conductancias.
En simulaciones de flujo en redes de poros que en la práctica son de tamaño infinito,
porque exigen al máximo la memoria del computador, es aconsejable utilizar condiciones de
contorno periódicas en las fronteras paralelas al flujo. El objetivo de esta elección es eliminar
el indeseable ‘efecto de borde’ que origina la condición de borde impermeable, esto es, la
perturbación que produce sobre el campo de flujo la abrupta discontinuidad de la conectividad
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
118
local en los contornos de la red. En términos prácticos el efecto de borde se minimiza
utilizando un mayor tamaño de red, promediando sobre una mayor cantidad de realizaciones o
bien utilizando una condición de borde periódica.
La condición periódica aumenta la conectividad de los nodos de borde. En el ejemplo
anterior de la red cuadrada de 3×3 nodos mostrada en las Figuras 5.5 y 5.6, la adición de borde
periódico conduce a la red que se muestra en Figura 5.7. En el caso de la Figura 5.7, la matriz
de conductancias G es
 g1p,1

 − g1x,1
− g x
 0,1
 − g1y,1

G = 0
 0

 0
 0

 0

− g1x,1
g 2p,1
− g 2x,1
0
− g 2y,1
0
0
0
0
− g 0x,1
− g 2x,1
g 3p,1
0
0
− g 3y,1
0
0
0
− g 1y,1
0
0
g1p, 2
− g1x, 2
− g 0x, 2
− g1y, 2
0
0
0
− g 2y,1
0
− g1x, 2
g 2p, 2
− g 2x, 2
0
− g 2y, 2
0
0
0
− g 3y,1
− g 0x, 2
− g 2x, 2
g 3p, 2
0
0
− g 3y, 2
0
0
0
− g1y, 2
0
0
g1p,3
− g1x,3
− g 0x,3
0
0
0
0
− g 2y, 2
0
− g1x,3
g 2p,3
− g 2x,3
0 

0 
0 
0 

0 
− g 3y, 2 

− g 0x,3 
− g 2x,3 

g 3p,3 
Es decir, aparecen bandas diagonales adicionales en G; los elementos nuevos ocurren
precisamente en las filas correspondientes a los nodos de la frontera. Así también aumenta el
número de columnas de G’. En el caso particular del ejemplo, G' contiene cuatro columnas,
 g1p,1
 p
 g 2,1
gp
 3,1
 g1p, 2

G ' =  g 2p, 2
 g 2p,3
 p
 g 3,1
gp
 3p, 2
g
 3, 3
− g1x,1
− g 2x,1
0
− g1x, 2
− g 2x, 2
0
− g 3x,1
− g 3x, 2
0
− g 0x,1
0
0
− g 0x, 2
0
0
− g 0x,3
0
0
− g1y,1 

− g 2y,1 

− g 3y,1 
− g1y, 2 

− g 2y, 2 
− g 2y,3 

0 
0 

0 
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
119
Figura 5.7 Red cuadrada de 3×3 nodos con condición de borde lateral, horizontal, periódica.
De lo anterior se desprende la necesidad de introducir modificaciones a G' para obtener
la representación matricial rala del arreglo cuadrado periódico. Las modificaciones son dos:
1. Conectar los contornos impermeables de la red y aumentar la dimensión de G’ que ahora
contiene una nueva columna en la posición columna tres, esto es,
rnxx , j = r0x, j
⇒
[ ]
g nxx , j = g 0x, j , ∀ j ∈ 1, n y
[ ]
G 3' , snx , j = −g nx x , j , ∀ j ∈ 1, n y
(5.42)
[
]
G '4, si , j = −g iy, j , ∀ i ∈ [1, nx ], j ∈ 1, n y − 1 .
2. Establecer en G' las distancias entre los nodos del borde conectados periódicamente y el
nodo donde se realiza el balance, que a su vez equivalen a las distancias entre la diagonal
central y las bandas modificadas de G, esto es,
d 3 = (n x , j ) − (1, j ) = s nx , j − s1, j = ( j − 1)n x + n x − ( j − 1)n x − 1 = n x − 1
d 4 = (i, j + 1) − (i, j ) = si , j +1 − si , j = ( j − 1)n x + i − ( j − 2)n x − i = n x
(5.43)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
120
A continuación se presenta el algoritmo de cálculo de G' en una red cúbica simple. El
índice de coordinación es 6 y bajo condición de borde impermeable G presenta nb = z + 1 = 7
bandas diagonales. La transformación de índices que resulta al recorrer el arreglo cúbico de
izquierda a derecha en x, luego en y y descendiendo luego por los planos z es,
si , j , k = (k − 1)nx n y + ( j − 1)nx + i
(5.44)
Luego, las distancias entre los nodos vecinos al nodo s en cada una de las direcciones,
en el orden descrito, equivalen a las distancias entre la diagonal central y cada una de las
bandas superiores de G, y son,
d1 = (i, j , k ) − (i, j , k ) = 0
d 2 = (i + 1, j , k ) − (i, j , k ) = s i +1, j ,k − si , j ,k = 1
(5.45)
d 3 = (i, j + 1, k ) − (i, j , k ) = si , j +1,k − si , j ,k = n x
d 4 = (i, j , k + 1) − (i, j , k ) = s i , j , k +1 − s i , j , k = n x n y
Así, la transformación s i , j ,k permite, al igual que en la red cuadrada antes revisada,
establecer una correspondencia simple entre los elementos de las matrices de decoración g p ,
g x , y los elementos de la matriz intermedia G’, esto es,
[ ]
∀ i ∈ [1, n − 1], j ∈ [1, n ], k ∈ [1, n ]
∀ i ∈ [1, n ], j ∈[1, n − 1], k ∈ [1, n ]
∀ i ∈ [1, n ], j ∈[1, n ], k ∈ [1, n − 1]
G1' , si , j ,k = g ip, j , k , ∀ i ∈ [1, nx ], j ∈ 1, n y , k ∈ [1, nz ]
G '2, si , j ,k = −g ix, j , k ,
G
'
3, s i , j , k
= −g
y
i, j,k
,
G '4, si , j ,k = −g iz, j , k ,
x
y
x
y
x
y
z
z
z
(5.46)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
121
Si la condición impuesta a las caras paralelas al flujo es periódica, entonces aparecen 4
bandas diagonales adicionales en G correspondientes a los nodos frontera. Para obtener el
almacenamiento ralo de G es necesario realizar los siguientes cambios,
d 3 = (n x , j , k ) − (1, j , k ) = s nx , j ,k − s1, j ,k = n x − 1
d 4 = (i, j + 1, k ) − (i, j , k ) = s i , j +1,k − si , j ,k = n x
d 5 = (i, n y , k ) − (i,1, k ) = si ,n y ,k − si ,1,k = n x (n y − 1)
(5.47)
d 6 = (i, j , k + 1) − (i, j , k ) = si , j ,k +1 − si , j ,k = n x n y
[ ]
rnxx , j ,k = r0x, j ,k
⇒
g nxx , j ,k = g 0x, j ,k , ∀ j ∈ 1, n y , k ∈ [1, nz ]
ri ,yn y ,k = ri ,y0,k
⇒
g ix,n y ,k = g ix,0,k , ∀ i ∈ [1, nx ], k ∈ [1, nz ]
[ ]
G 3' , s nx , j ,k = −g nx x , j , k , ∀ j ∈ 1, n y , k ∈ [1, nz ]
[
]
G '4, si , j ,k = −g iy, j , k , ∀ i ∈ [1, nx ], j ∈ 1, n y − 1 , k ∈ [1, nz ]
(5.48)
G '4, si ,n y ,k = −g iy, n y , k , ∀ i ∈ [1, nx ], k ∈ [1, nz ]
[ ]
G '6, si , j ,k = −g iz, j , k , ∀ i ∈ [1, nx ], j ∈ 1, n y , k ∈ [1, nz − 1]
La obtención de los vectores A, JA e IA procede igual que en el caso de la red
cuadrada.
En la Tabla 5.2 se presenta una comparación entre el requerimiento de memoria para el
almacenamiento convencional y para el almacenamiento ralo simétrico de la matriz de
conductancias intermedia para la red cuadrada y cúbica simple. Al comparar gráficamente el
requerimiento de memoria de ambos tipos de almacenamiento se aprecian diferencias de
varios órdenes de magnitud, ver Figura 5.8, incluso en el caso de redes pequeñas (n<10).
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
122
Tabla 5.2 Requerimiento de memoria para el almacenamiento de la matriz de conductancias en redes
cuadradas y cúbicas.
Red
Condición de
Almacenamiento
Almacenamiento
Contorno
Convencional
Ralo Simétrico
[
]
Cuadrada
Impermeable
N2
2 ⋅ 3N − (n x + n y ) + N + 1
Cuadrada
Periódica
N2
2 ⋅ [3N − n x ] + N + 1
Cúbica
Impermeable
N2
2 ⋅ 4 N − (n x n y + n y n z + n x n z ) + N + 1
Cúbica
Periódica
N2
[
2 ⋅ [4 N − n n ] + N + 1
x
]
y
N es el número total de nodos en la red;
Para la red cuadrada N = n x n y ; para la red cúbica simple N = n x n y n z .
Figura 5.8 Comparación de memoria de computador requerida para almacenar la matriz de
conductancias en el modo convencional y en el ralo periódico para distintos tamaños de red.
Red cuadrada (izquierda). Red cúbica simple (derecha).
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
123
El algoritmo de almacenamiento presentado anteriormente puede ser aplicado en redes
regulares que presentan conectividad fija. En la simulación, esta situación corresponde a
factores de compactación distintos de cero.
Los elementos no-nulos del vector posición b del sistema de ecuaciones de los
balances nodales aparecen en los nodos ubicados en los contornos permeables de la red. En la
red cuadrada estas caras corresponden a los nodos,
s i ,1 = i
s i ,n y = (n y − 1)n x + i , ∀ i ∈ [1, n x ]
(5.49)
Los elementos del vector b en las ubicaciones s son respectivamente,
bsi ,1 = g iy,0ϕ si , 0
bsi , n y = g iy,n y ϕ si , n y , ∀ i ∈ [1, n x ]
(5.50)
donde ϕ si , 0 es el potencial impuesto en los nodos del contorno superior y ϕ si , n y es el potencial
impuesto en los nodos del contorno inferior. La diferencia de estos potenciales es igual a la
diferencia de potencial macroscópica impuesta a la red, esto es,
∆ϕ = ϕ si , 0 −ϕ si , n y
(5.51)
Como las propiedades de transporte son independientes de la diferencia de potencial
impuesta, siempre que no alteren la naturaleza del flujo, el valor del potencial en los contornos
permeables puede ser elegido arbitrariamente. Si se impone un potencial unitario en el borde
superior y nulo en el extremo inferior, entonces sólo es necesario definir los elementos de b
que corresponden a los nodos superiores, esto es,
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
bsi ,1 = g iy,0 , ∀ i ∈ [1, n x ]
124
(5.52)
En la red cúbica se emplea un procedimiento similar para definir el vector posición b
del sistema lineal. En este caso se definen los elementos de b que corresponden a los nodos
ubicados en el plano z superior de la red,
[ ]
bsi , j ,1 = g iz, j , 0 , ∀ i ∈ [1, n x ], j ∈ 1, n y
(5.53)
Cuando el mecanismo de reducción de porosidad se lleva a cabo mediante un bloqueo
aleatorio de los poros, las redes presentan una conectividad que varía localmente. Estas redes,
denominadas percolativas, se caracterizan por la presencia de enlaces de conductancia nula.
En estas redes aparecen grupos de nodos interconexos que se denominan racimos (clusters).
No todos estos racimos soportan flujo. Sólo lo hacen aquellos que conectan los extremos
permeables de la red, y por tal razón se denominan racimos infinitos, los restantes se
encuentran como islas que no aportan a la conducción y se denominan por tanto racimos
aislados. La Figura 5.9 ilustra racimos aislados e infinitos para una red cuadrada.
Si se intenta resolver la distribución de flujo en una red percolativa a partir del balance
de materia de todos los nodos de la red, se obtiene un sistema indeterminado. Esto porque en
las filas, y por tanto en la diagonal central, de la matriz de conductancias correspondientes a
los nodos aislados aparecen elementos nulos; en otras palabras la sumatoria de las
conductancias que inciden en estos nodos se anula,
g sp = ∑ g s ,s +δ = 0
δ
(5.54)
Por otro lado, resulta inconsistente tratar de obtener el campo de flujo en zonas que se
encuentran aisladas. Así, es necesario realizar un reconocimiento de los racimos infinitos en
estas redes previo al planteamiento de los balances nodales. El reconocimiento de racimos
utilizado en este trabajo se basa en el algoritmo HK76 propuesto por Hoshen y Kopelman
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
125
(1976). Este es hasta ahora el método más eficiente para este objetivo. En términos generales,
el método consiste en asignar las mismas etiquetas a los nodos que pertenecen a un mismo
racimo, examinando la red una vez solamente.
Figura 5.9 Red percolativa. Racimos aislados aparecen en gris. Racimo infinito en negro. En gris claro
aparecen nodos aislados que producen la indeterminación del sistema de ecuaciones de los balances
nodales.
En la secuencia de Figuras 5.10 se ilustra las distintas etapas del procedimiento de
reconocimiento de racimos en una red cuadrada. La Figura 5.10a muestra la red original con
algunos de sus nodos y enlaces declarados como conductores. En la Figura 5.10b, la red se
recorre de izquierda a derecha en forma descendente. En la primera fila de nodos interiores se
asigna la etiqueta 1 al primer nodo ocupado (Figura 5.10b), esto es, al primero que posee una
conexión (enlace ocupado). Si el nodo vecino a la derecha se encuentra ocupado y es conexo
con el nodo etiquetado, entonces es rotulado con la misma etiqueta; caso contrario, si presenta
una sola conexión pero no es conexo al nodo etiquetado, entonces se le asigna una etiqueta
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
126
distinta, y si no se encuentra ocupado se pasa al nodo siguiente. Los rótulos e de cada nodo se
almacenan en un vector e,
e si , j = e
(5.55)
Desde la segunda fila hasta la última, se recorren los nodos examinando las conexiones
izquierda y superior (Figura 5.10b). Si presenta conexión izquierda, y no superior, entonces se
rotula con la misma etiqueta del nodo al que conecta. Si presenta conexión superior e
izquierda entonces se produce un conflicto en la rotulación puesto que el nodo a la izquierda
posee un rótulo distinto al nodo superior. En el ejemplo, el conflicto ocurre en el nodo
marcado ‘?’ (Figura 5.10b); por un lado el nodo a la izquierda indica que el nodo ‘?’
pertenece al racimo de los nodos con etiqueta 5, y por otro lado el nodo que se encuentra
arriba del nodo ‘?’ indica que pertenece al racimo de los nodos etiquetados con 2. Lo que
ocurre en verdad es que tanto los nodos rotulados con 5 como los rotulados con 2 pertenecen
al mismo racimo, por esto cualquiera de las dos etiquetas es válida. Convencionalmente, se
toma la mínima de las etiquetas para el nodo. Ahora surge la pregunta ¿se debe corregir
inmediatamente hacia atrás la etiqueta de todos aquellos nodos etiquetados erróneamente? Si
la respuesta es afirmativa, el proceso de rotulación es altamente ineficiente, puesto que cada
vez que ocurra un conflicto de etiquetas se debe volver a rotular los nodos de la red hasta el
nodo con conflicto. En el algoritmo HK76 se evita el retroceso mediante un vector de
etiquetas et que almacena todas las etiquetas utilizadas y los cambios que se registran en estas
cuando ocurre un conflicto. Cuando se produce un conflicto de etiquetas, el rótulo del nodo en
conflicto y el elemento del vector de etiquetas correspondiente a la etiqueta errónea adopta el
valor del elemento del vector de etiquetas correspondiente a la etiqueta más pequeña. De este
modo, la etiqueta correcta para el nodo ‘?’ es 2 y el quinto elemento del vector de etiquetas
pasa a ser 2. El proceso se ilustra en la Figura 5.10c. Al presentarse el conflicto de etiquetas
en el nodo ‘?, el vector de etiquetas se ve modificado de la siguiente manera
et = {1,2,3,4,5}
→ et = {1,2,3,4,2}
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
127
Al pasar de una fila a otra, se debe hacer una reasignación completa de etiquetas en el
vector de etiquetas,
et i = et (et i )
(5.56)
Se repite el procedimiento desde la segunda hasta la última fila (Figura 5.10c). Al final
del recorrido el vector de etiquetas del ejemplo es
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12
13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
et = {1, 2, 3, 4, 2, 3, 7, 3, 3,10,11, 4,4 4, 4,11,11, 4, 4,11, 4 ,11,11, 4 , 24, 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 ..
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
, 4, 4 , 4, 4 , 4, 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4, 4 , 43}
Finalmente, se asignan las etiquetas correctas de cada nodo de acuerdo a la
información almacenada en el vector de etiquetas
e si , j = et (e si , j )
(5.57)
El conjunto de etiquetas de racimos infinitos, que pueden ser más de uno, e∞, se obtiene
intersectando el conjunto de etiquetas de los nodos de la cara superior conectados al borde,
esup, y el conjunto de etiquetas de los nodos de la cara inferior conectados al borde, einf, esto es,
e ∞ = e sup ∩ e inf
(5.58)
En la red ejemplo, el racimo infinito, existe uno solamente, corresponde a los nodos
etiquetados con ‘4’
et ∞ = e sup ∩ e inf = {1,2,3,4} ∩ {43,4} = {4}
La asignación definitiva de etiquetas en el ejemplo se ilustra en la Figura 5.10d.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
(a)
128
(b)
Figura 5.10 Algoritmo de Hoshen y Kopelman. (a) Red cuadrada percolativa y (b) asignación de
etiquetas hasta la aparición de un conflicto de rotulación en el nodo ‘?’.
(c)
(d)
Figura 5.10 Algoritmo de Hoshen y Kopelman. (c) Primera etapa de rotulación completa y
(d) asignación de etiquetas definitivas.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
129
Una vez realizado el reconocimiento de los nodos que pertenecen a los racimos
infinitos es posible, en teoría, resolver el campo de flujo en la subred del o los racimos a partir
de la solución de los balances nodales de materia. Sin embargo, en los racimos infinitos
existen nodos que no soportan flujo; son aquellos que poseen índice de coordinación unitario o
terminales. Es fácil distinguirlos examinando la coordinación de cada nodo en los racimos y su
eliminación reduce notoriamente la cantidad de iteraciones necesaria para la convergencia del
sistema de balances nodales. El método consiste en eliminar en varias etapas los enlaces de los
nodos con índice de coordinación unitario; es decir, anular los radios y conductancias de los
enlaces que inciden en estos nodos terminales.
Por otro lado, si existe más de un racimo infinito la solución del campo de cada racimo
es independiente, esto significa que pueden plantearse sistemas de ecuaciones independientes
para cada racimo o, como alternativa, un sistema lineal único de los balances nodales de los
nodos que pertenecen a él/los racimos infinitos. Esta última alternativa fue utilizada en este
trabajo.
Para construir la matriz de conductancias G de una red percolativa es necesario
emplear una numeración distinta a la que corresponde a la transformación de índices s, usada
en redes de conectividad fija. Esta numeración debe ser tal que exista una correspondencia
entre el índice del nodo donde se realiza el balance y el índice fila en la matriz de
conductancias. Si los nodos conductores se numeran de izquierda a derecha en forma
descendente se obtiene una nueva notación indicial que denominamos s'. Resulta
imprescindible relacionar esta numeración con la posición del nodo en la red para interpretar
los resultados del sistema de ecuaciones, esta relación se almacena en un vector rs
s ij = rs( sij' )
(5.59)
Consideremos una red percolativa como ejemplo para ilustrar la obtención de la matriz
de conductancias G, ver Figura 5.11.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
130
En simulaciones de procesos de percolación, la matriz de conductancias se construye,
al igual que en simulaciones en redes regulares, indirectamente en forma rala simétrica a
través de una matriz intermedia de conductancias G' que corresponde a las bandas diagonales
y central de la matriz G giradas en 45º en sentido horario. En una red cuadrada esta matriz de
conductancias G' se define como
[ ]
G1', s ' = g ip, j , ∀ i ∈[1, n x ], j ∈ 1, n y
i, j
[ ]
G2p, s ' = − g ix, j , ∀ i ∈[1, n x − 1], j ∈ 1, n y
i, j
G
p
3, si' , j
[
]
= − g , ∀ i ∈[1, n x ], j ∈ 1, n y − 1
y
i, j
(5.60)
∃ s i' , j ≠ 0
Figura 5.11 Tipos de enlaces en una red percolativa. Los enlaces aislantes, de conductancia nula, no
aparecen en la red. Los enlaces gris oscuro corresponden a racimos de enlaces que no son conductores
pues no conectan con el racimo infinito. En gris claro, se indican los enlaces terminales que son
eliminados en una etapa previa a la numeración s’ de los nodos del racimo infinito. En negro y
rotulados aparecen los enlaces y nodos del racimo infinito que son potenciales conductores y que
intervienen en la determinación de las propiedades de transporte de la red.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
131
Cabe indicar que la diferencia con el método empleado en redes regulares radica en la
última ecuación en (5.60), que implica que sólo se recorren los nodos conductores de la red
que han sido numerados de acuerdo a la notación indicial s'. Esta observación es importante al
extender el método de representación matricial rala indirecta a redes percolativas. En la red
del ejemplo, la matriz G y la matriz intermedia G’ (en su forma transpuesta) son,
 g 2p,1

 − g 2x,1
 0

 0

 0
 0
G=
 0
 0

 0
 0

 0

 0
 0

T
G' =  − g 2x,1
 p
 g 2,1
− g 2x,1
0
p
3,1
x
3,1
g
−g
0
0
0
0
0
0
0
0
−g
g
0
− g 4x,1
0
0
0
− g 4y,1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−g
0
g 5p,1
0
0
g 3p, 2
0
− g 3x, 2
0
0
0
− g 3y, 2
0
0
0
0
0
0
0
− g 4y,1
0
− g 3x, 2
g 4p, 2
− g 4x, 2
0
0
0
0
0
0
x
3,1
p
4 ,1
x
4,1
0
0
0
0
0
0
0
− g 3y, 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
− g 3y, 2
0
−g
0
−g
g
x
3,1
p
3,1
− g 4y,1
−g
g
x
4 ,1
p
4 ,1
g
p
5,1
g
x
3, 2
p
3, 2
−g
0
g
0
0
g 3p,3
0
− g 3x,3
−g
0
0
0
0
− g 5y, 2
− g 3x,3
0
g 4p,3
− g 4x,3
− g 4x,3
g 5p,3
− g 4y,3
0
0
0
0
0
0
0
− g 4y,3
0
0
− g 5y,3
g 4p, 4
− g 4x, 4
x
4, 2
0
−g
g
x
4, 2
p
4, 2
p
5, 2
− g 5y, 2
0
g
p
5, 2
0
−g
g
x
3, 3
p
3, 3
− g 4y,3
−g
g
x
4,3
p
4,3
y
5, 2
− g 5y,3
0
g
p
5, 3
0
−g
g
x
4, 4
p
4, 4
0 

0 
0 
0 

0 
0 

0 
0 

0 
− g 5y,3 

− g 4x, 4 

g 5p, 4 
0 

0 

g 5p, 4 
La obtención de los vectores A e IA procede de la misma manera que en las redes
regulares no percolativas. Sin embargo, las distancias entre bandas diagonales, necesarias para
la obtención de JA, deben ser calculadas como la mínimas distancias entre nodos vecinos
medidas en el espacio s', es decir, la diferencia de índices en s’,
d1' = (i, j ) − (i, j ) ' = 0
d 2' = (i + 1, j ) − (i, j ) ' = si' +1, j − si' , j
d 3' = (i, j + 1) − (i, j ) ' = s i' , j +1 − s i' , j
(5.61)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
132
Estas distancias, a diferencia de las redes regulares, no pueden ser definidas a priori, sino que
se obtienen de la inspección de la numeración s’ de los nodos conductores en la red.
Ahora, el vector posición b en el caso percolativo se obtiene en forma análoga al caso
de redes regulares, pero recorriendo sólo los nodos conductores de la cara superior. En la red
cuadrada,
bs ' = g iy,0 , ∀ i ∈ [1, n x ]
i ,1
(5.62)
∃ s i' , j ≠ 0
En el caso particular del ejemplo sólo aparecen elementos no-nulos en b en las
posiciones 1, 2 y 4, que corresponden a los nodos conductores que conectan con el borde
superior permeable de la red. Así el vector b de este sistema es
{
}
b = g 2y,1 , g 3y,1 ,0, g 5y,1 ,0,0,0,0,0,0,0,0
(5.63)
En una red cúbica,
bs '
i , j ,1
[ ]
= g iz, j , 0 , ∀ i ∈ [1, n x ], j ∈ 1, n y
∃ s i' , j ≠ 0
(5.64)
Una vez almacenado el sistema de balances nodales para la red de poros, se calcula el
campo de potenciales de nodo mediante la solución iterativa del sistema de ecuaciones
resultante. Para este propósito, en este trabajo, se utiliza el método del gradiente conjugado
precondicionado con sobrerrelajación sucesiva simétrica, SSORCG. Este se encuentra en las
rutinas de cálculo iterativo de sistemas lineales ITPACK desarrolladas por Kincaid et al.
(1982). El criterio de elección del método, y de los parámetros de relajación, en este trabajo es
empírico; se basa en comparaciones del número de iteraciones y tiempos necesarios para la
convergencia a una tolerancia dada ε, esto es,
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
G ⋅ϕ − b < ε
133
(5.65)
Algunos alcances son importantes de señalar en este punto, la convergencia de un
sistema de gran dimensión se acelera al comienzo de la simulación al utilizar un parámetro de
relajación cercano a 2, sin embargo, esto produce un aumento excesivo de la cantidad de
iteraciones cerca de las condiciones críticas de las variables de simulación. Existe la opción de
usar un parámetro de relajación adaptativo en la simulación, pero en todas las pruebas
realizadas la búsqueda de este parámetro óptimo aumenta el tiempo total de cálculo. Por estas
razones se utilizó un valor fijo del parámetro de relajación igual a 1.5. En todos los casos la
convergencia mejora cuando se aprovecha la solución del campo de flujo de una etapa
anterior.
Una vez resuelto el campo de potenciales se calculan las propiedades de transporte
mediante el uso de las leyes de transporte macróscopicas. En el caso del flujo hidrodinámico la
permeabilidad se calcula según la ecuación de Darcy, esto es,
k
µ
=−
Q
A∇P
(5.66)
En una red cuadrada regular, el caudal neto que atraviesa la red se calcula como el
caudal que pasa por cualquier sección transversal al flujo, esto porque el caudal neto es
estacionario. En particular, el caudal neto en la cara superior es
nx
(
Q = ∑ g iy,0,h 1 − p si ,1
i =1
)
(5.67)
El área transversal al flujo en esta red bidimensional es el área de la sección transversal
A = nx l
(5.68)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
134
Y, como el diferencial de presión aplicado es unitario el gradiente de presión es
∇P = −
∆P
1
=−
L
(n y + 1)l
(5.69)
De este modo la expresión resultante para la permeabilidad hidráulica de la red
cuadrada regular es
k
µ
=
(n y + 1)
nx
∑ g (1 − P )
nx
i =1
y,h
i,0
(5.70)
s i ,1
Aplicando el mismo procedimiento en la red cúbica regular resulta la siguiente
expresión para la permeabilidad,
n
(
(n + 1) n x y z , h
= z
∑∑ gi, j ,0 1 − Psi , j ,1
nx n y l i =1 j =1
µ
k
)
(5.71)
En redes percolativas el caudal neto se calcula sumando sólo los caudales individuales
de los nodos conductores que pertenecen al contorno superior. Esta sumatoria condicional se
logra en forma simple reemplazando s por s' en las expresiones anteriores. Por ejemplo, en la
red cúbica
k
µ
n
=
(
(nz + 1) n x y z , h
∑∑ gi, j ,0 1 − Psi' , j ,1
nx n y l i =1 j =1
)
(5.72)
Para calcular la conductividad de la red se sigue un procedimiento similar basado en la
analogía existente entre los diversos fenómenos de transporte. La conductividad eléctrica de la
red saturada con fluido conductor queda dada por la ley de Ohm,
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
σe =
I
A∇V
135
(5.73)
El flujo eléctrico neto en la red cuadrada es
(
nx
I = ∑ g iy,0,e 1 − Vsi ,1
i =1
)
(5.74)
El área transversal total queda dada por la misma Ecuación (5.68) y el gradiente de
voltaje impuesto en la red, para un diferencial unitario, por
∇V = −
∆V
1
=−
L
(n y + 1)l
(5.75)
El reemplazo de las Ecuaciones (5.74), (5.68) y (5.75) en (5.73) conduce a la siguiente
expresión para la conductividad eléctrica de una red cuadrada
σe =
(n y + 1)
nx
∑ g (1 − V )
nx
i =1
y ,e
i ,0
(5.76)
si , 1
Y para una red cúbica
σe =
n
(
(n z + 1) nx y z ,e
∑∑ g i, j ,0 1 − Vsi , j ,1
n x n y l i =1 j =1
)
(5.77)
Finalmente, en redes percolativas el cálculo del flujo eléctrico neto se debe realizar
considerando solamente los flujos en los nodos conductores que pertenecen al contorno
superior. Es decir, la sumatoria se lleva a cabo sobre los índices s' que pertenecen a ese
contorno.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
136
5.6.2 Aproximación de medio efectivo (EMA)
Otra alternativa para la determinación de las propiedades de transporte se basa en la
aplicación de aproximaciones de la teoría de campo medio. A continuación se describe el
método en redes de conductores.
De acuerdo a la aproximación de medio efectivo es posible establecer un medio
homogéneo macroscópico que presente la misma propiedad de transporte que un medio
heterogéneo a partir de la ecuación autoconsistente (4.97). En el modelo de redes esto equivale
a decorar los enlaces con un valor único de conductancia denominado conductancia efectiva.
El resultado es una red homogénea que presenta la misma propiedad de transporte que la red
heterogénea original. Como se indica más arriba, la decoración Monte Carlo en redes finitas se
lleva a cabo mediante un muestreo discreto de la distribución de conductancias continua del
medio. Por lo tanto, la ecuación autoconsistente en redes es la expresión discreta de la
Ecuación (4.97), esto es,
g ef − g i
∆ϕ i = ∑
=0
∑
ef
i =1 g i + g ( z / 2 − 1)
i =1
Ne
Ne
(5.78)
donde Ne es el número total de enlaces en la red. Es decir, la sumatoria de las fluctuaciones
originadas por la heterogeneidad del medio sobre todos los enlaces de la red se anula para un
valor de conductancia efectiva.
La unicidad de la solución de la Ecuación (5.78) se demuestra considerando que la
función (5.78) presenta una raíz única en el intervalo comprendido entre el valor mínimo y el
máximo de las conductancias de la red. Esto equivale a demostrar que la función
Ne
h( g ef ) = ∑
i =1
g ef − g i
g i + g ef (z / 2 − 1)
(5.79)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
137
es monótona en ese intervalo. Esta última afirmación es válida pues como todos los términos
de la sumatoria que corresponden a la derivada de h son positivos para cualquier valor de
conductancia de poro, h es monótona creciente, esto es,
Ne
g i (z / 2)
dh
=∑
>0
ef
2
ef
dg
i =1 (g + g ( z / 2 − 1))
i
(5.80)
Esta propiedad de la función h define una estrategia simple y segura de cálculo de la
conductancia efectiva en una red decorada, un método de reducción del intervalo de búsqueda
de la solución que comienza con el valor mínimo y máximo de las conductancias de poro. En
las simulaciones aquí se utilizó el método de bisección. El proceso se ilustra en la Figura 5.12.
Figura 5.12 Comportamiento monótono y creciente de la función objetivo h que define la conductancia
efectiva de redes de poros heterogéneas. Las curvas corresponden a diferentes valores de porosidad de
redes cuadradas de 200×200 nodos decoradas con distribución inicial uniforme de radios U(r;1,2)
compactadas bajo un factor x = 0.1.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
138
El valor de conductancia efectiva de una red heterogénea en un estado determinado de
porosidad se encuentra como una raíz de la función h. A medida que una red de poros es
compactada, la decoración de la red cambia de acuerdo al mecanismo de reducción de tamaño
de los poros. El conjunto de soluciones de h de la red a distintos valores de porosidad define la
evolución de la conductancia efectiva de la red a medida que avanza el proceso de
compactación, esto es,
h( g ef * , φ / φ 0 ) = 0
→
g ef * = g ef (φ / φ 0 )
(5.81)
La conductancia efectiva se encuentra directamente relacionada con la propiedad de
transporte macroscópica de la red, o conductividad. Esta relación se encuentra mediante la
comparación de la solución del campo de flujo de la red efectiva y la ley de transporte
macroscópica de la red. La solución del campo de flujo en la red efectiva es simple y analítica.
Dado que todos los poros de la red poseen la misma conductancia efectiva, la distribución del
flujo es homogénea, esto significa que la caída de potencial es constante a lo largo de los poros
orientados en la dirección del flujo y nula en los enlaces transversales a la dirección del
potencial. En la red cuadrada esto es,
∇ϕ iy = −
∆ϕ
1
=−
L
(n y + 1)l
(5.82)
∆ϕ ix = 0
Así el flujo neto que atraviesa el contorno superior de la red es
nx
J = ∑ g iy,0 ∆ϕ iy =
i =1
n x g ef
(n y + 1)l
(5.83)
La ley de transporte que relaciona el flujo neto con la diferencia de potencial impuesto
en la red es
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
χ =−
J
A∇ϕ
139
(5.84)
donde χ representa la propiedad de transporte de la red; la permeabilidad hidráulica k/µ.en el
transporte hidrodinámico y la conductividad eléctrica σe en el transporte eléctrico. Así
reemplazando las Ecuaciones (5.82), (5.82) y (5.68) para A en la Ecuación (5.84) la
propiedad de transporte de la red cuadrada resulta
χ=
g ef
l
(5.85)
En la red efectiva cúbica simple las diferencias de potenciales entre nodos son,
∆ϕ iz =
1
(n z + 1)l
(5.86)
∆ϕ = ∆ϕ = 0
x
i
y
i
El flujo neto, calculado en el plano z superior, es
nx
ny
J = ∑∑ g
i =1 j =1
z
i , j ,0
∆ϕ =
z
i
n x n y g ef
(n z + 1)l
(5.87)
Por lo tanto, la relación entre la propiedad de transporte y la conductancia efectiva en
esta red resulta
χ=
g ef
l2
(5.88)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
140
5.6.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PRSG)
El método de renormalización aplicado a la determinación de las propiedades de
transporte de redes heterogéneas consiste en subdividir la red en celdas de menor tamaño,
donde cada celda posee una conductancia definida por las conductancias de los enlaces que
contiene. La red renormalizada, queda
conformada por nuevos enlaces que a escala
macroscópica producen una réplica casi exacta de la red original. Cada etapa de
renormalización produce una nueva red de menor cantidad de enlaces y una nueva decoración
o función de distribución de conductancias. En la última etapa de la renormalización, la red
queda reducida a una sola celda con un enlace con conductancia efectiva por dirección del
espacio en que se encuentra la red. Si la decoración de conductancias es isotrópica, entonces
las conductancias efectivas obtenidas por renormalización son equivalentes. Si la decoración
es anisotrópica las conductancias efectivas serán distintas.
En renormalización es posible elegir arbitrariamente el tamaño de la celda. Un tamaño
de celda más grande mejora la predicción de las propiedades de transporte de la red, pues se
incluye mayor cantidad de información de la red original. Sin embargo, a medida que la celda
crece las expresiones analíticas de conductancia de celda resultan más complejas y difíciles de
deducir. En particular, la elección de un tamaño de celda igual al tamaño de la red equivale a
resolver analíticamente el inverso de la matriz de conductancias de la red.
A continuación se describe el algoritmo de renormalización de una red cuadrada con
tamaño de celda 2×2. La Figura 5.13 ilustra el procedimiento. La Figura 5.14 ilustra el
procedimiento de para una red cúbica con una celda de renormalización 2×2×2.
La aplicación de las ecuaciones de conservación de materia, balances nodales,
aplicados a los elementos de una celda definen la conductancia efectiva de la celda en una
determinada dirección. En el caso particular de la celda de 2×2 en la red cuadrada estos
balances son aplicados a los nodos internos de la celda donde el potencial es desconocido,
nodos (i,j) e (i+1,j), esto es,
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
141
ϕ i , j g ip, j − ϕ i +1, j g ix, j − ϕ i , j −1 g iy, j −1 − ϕ i , j +1 g iy, j = 0
ϕ i +1, j g ip+1, j − ϕ i , j g ix, j − ϕ i +1, j −1 g iy+1, j −1 − ϕ i +1, j +1 g iy+1, j = 0
(5.89)
Como la elección de la diferencia de potencial impuesta sobre la celda no afecta su
conductancia, el potencial en los nodos de borde puede asignarse en forma arbitraria, una
elección particular y simple es
ϕ i , j −1 = ϕ i +1, j −1 = 1
(5.90)
ϕ i , j +1 = ϕ i +1, j +1 = 0
Luego, los balances nodales de los nodos internos de la celda se reducen a un sistema
lineal de ecuaciones de 2×2, esto es,
ϕ i , j g ip, j − ϕ i +1, j g ix, j = g iy, j −1
− ϕ i , j g ix, j + ϕ i +1, j g ip+1, j = g iy+1, j −1
(5.91)
La solución del sistema de ecuaciones (5.91) permite conocer los potenciales de los
nodos internos en la celda, esto es,
ϕ i, j =
− g ix, j
g ip+1, j
g iy, j −1
g iy+1, j −1
D
ϕ i +1, j =
g ip, j
− g ix, j
=
g iy, j −1
g iy+1, j −1
D
g ip, j
D=
− g ix, j
g iy, j −1 g ip+1, j + g ix, j g iy+1, j −1
D
=
g ip, j g iy+1, j −1 + g ix, j g iy, j −1
D
− g ix, j
2
= g ip, j g ip+1 + g ix, j
p
g i +1, j
(5.92)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
(b)
(a)
(c)
142
(d)
(e)
Figura 5.13 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cuadrada con una celda
de renormalización de tamaño 2×2. En este caso la renormalización se muestra para la dirección
vertical, en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
143
A partir de estos potenciales se calcula el flujo neto que atraviesa la celda en la
dirección y
J = g iy, jϕ i , j + g iy+1, jϕ i +1, j
(5.93)
Ahora, la ecuación de transporte aplicada a la celda es
R
J = g iy, j ⋅ (1 − 0)
(5.94)
Finalmente, al comparar las Ecuaciones (5.93) y (5.94) se obtiene la expresión de la
conductancia de la celda (en la dirección vertical) en términos de las conductancias en una
etapa anterior de renormalización de la red, esto es,
R
g iy, j =
(
B = (g
A+ B
C
)
)g
A = g ix, j g iy, j −1 + g ix, j g iy+1, j −1 + g iy, j −1 g iy+1, j −1 + g iy, j g iy+1, j −1 g iy+1, j
y
i , j −1
g iy+1, j −1 + g ix, j g iy, j −1 + g ix, j g iy+1, j −1 + g iy, j −1 g iy+1, j
y
i, j
(5.95)
C = g iy, j −1 g iy+1, j −1 + g ix, j g iy, j −1 + g iy, j −1 g iy+1, j + g ix, j g iy+1, j −1 + g iy, j −1 g iy+1, j + g iy, j g iy+1, j −1 + ..
+ g iy, j g ix, j + g iy, j g iy+1, j
R
El mismo procedimiento aplicado en la dirección x conduce a una expresión para g ix, j .
En general, el orden del sistema de ecuaciones resultante es igual a la cantidad de
nodos que contiene la celda de renormalización. Esto implica que en la renormalización de
redes cúbicas mediante una celda de renormalización de 2×2×2 se necesita encontrar la
solución analítica de la conductancia de la celda a partir de un sistema lineal de orden 8. La
Figura 5.14 ilustra el procedimiento de renormalización de una red cúbica con la celda de
renormalización más pequeña, las deducciones de conductancias de celda se pueden encontrar
en el Apéndice D.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
144
Como se señaló anteriormente, existe un método, denominado grupo de
renormalización de espacio real (PRSG), que resulta de la combinación de etapas de
renormalización con la aplicación de la aproximación de medio efectivo en la última de etapa.
La idea consiste en realizar una cantidad k de etapas de renormalización, menor que las
necesarias para renormalizar completamente la red, tal que la distribución de conductancias
renormalizada muestre una menor dispersión que antes de renormalizar. Finalmente, la
ecuación autoconsistente de la aproximación de medio efectivo en su forma discreta es
resuelta para estimar la conductancia efectiva de la red renormalizada en k etapas, esto es,
N e'
g ef − g ik
=0
∑
k
ef
i =1 g i + g ( z / 2 − 1)
(5.96)
donde el superíndice k representa los valores de conductancia renormalizados de los enlaces
de la red.
Figura 5.14 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cúbica simple con una
celda de renormalización de tamaño 2×2×2. En este caso la renormalización se muestra para la
dirección vertical, en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
145
5.7 Determinación de longitudes características
La más simple de las longitudes características estudiadas en este trabajo se basa en la
definición de diámetro hidráulico, y puede ser calculada en forma directa en el modelo de
redes. La longitud hidráulica se define como el inverso de la superficie específica de los poros,
es decir, como la razón entre el volumen y la superficie de los poros (Scheidegger, 1974; ver
Capítulo 3). En redes, la expresión discreta que define esta longitud es,
Ne
lh =
∑V
p,s
∑S
p,s
s =1
Ne
s =1
(5.97)
En la red cuadrada de poros cilíndricos planos, el volumen de cada poro corresponde a
su área y la superficie es igual a su perímetro mojado, por lo tanto la longitud hidráulica de la
red cuadrada es,
Ne
lh =
∑ 2r l
s s
s =1
Ne
∑ 2l
s =1
Ne
(5.98)
= ∑ rs = rs
s =1
s
En la red cúbica decorada con poros cilíndricos la longitud hidráulica resulta ser
Ne
lh =
∑ πrs2 l s
s =1
Ne
∑ 2πr l
s =1
s s
Ne
=
∑r
1
2
s =1
Ne
2
s
∑r
i =1
=
rs2
(5.99)
2 rs
s
Otra longitud característica es la definida por Λ (Johnson et al., 1986; ver Capítulo 3).
Esta longitud requiere conocer la distribución del flujo eléctrico en la red de poros pues se
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
146
basa en un experimento de conducción eléctrica en la red completamente saturada con fluido
conductor. La distribución del flujo eléctrico en la red es determinada a partir de la misma
simulación de Monte Carlo usada para estimar la conductividad eléctrica de la red. La
expresión discreta que define Λ en una red es,
2
Ne
Λ=
∑∑δ V (V − V δ )
s =1
p,s
l
l+
(5.100)
2
Ne
∑∑δ S (V − V δ )
s =1
p, s
l
l+
donde s representa el índice del enlace que conecta al nodo l con su vecino l + δ. La sumatoria
en δ se extiende sólo hacia los vecinos en un determinado sentido. En la red cuadrada las
posiciones relativas de los nodos vecinos a l = (i, j ) sobre los que se extiende la sumatoria en
δ son δ = {(1,0), (0,1)}. En la red cúbica, l = (i, j , k ) y δ = {(1,0,0), (0,1,0), (1,0,0)} .
En la red cuadrada de capilares planos la definición de esta longitud conduce a
nx
Λ=
ny
∑∑ r (V
i =1 j =1
nx
x
i, j
i, j
ny
∑∑ (V
i =1 j =1
i, j
− Vi +1, j ) + ri ,yj (Vi , j − Vi , j +1 )
2
2
(5.101)
− Vi +1, j ) + (Vi , j − Vi , j +1 )
2
2
En la red cúbica con capilares cilíndricos la definición de esta longitud conduce a
nx
Λ=
ny
nz
∑∑∑ r (V
i =1 j =1 k =1
nx
ny
nz
x,2
i , j ,k
i , j ,k
∑∑∑ r (V
i =1 j =1 k =1
x
i , j ,k
i , j ,k
− Vi +1, j ,k ) + ri ,yj,,2k (Vi , j ,k − Vi , j +1,k ) + ri ,zj, 2,k (Vi , j ,k − Vi , j ,k +1 )
2
2
2
(5.102)
− Vi +1, j ,k ) + ri ,yj ,k (Vi , j ,k − Vi , j +1,k ) + ri ,zj ,k (Vi , j ,k − Vi , j ,k +1 )
2
2
2
La longitud característica definida a partir del análisis de trayectoria crítica de
Ambegaokar et al. (1971) no puede ser calculada en forma directa pues requiere de la
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
147
simulación de un experimento de inyección de un fluido no mojante en una red de poros. El
proceso se conoce como porosimetría y cuando el fluido no mojante es mercurio se conoce
como porosimetría de mercurio (Toledo et al., 1994a). A continuación se presenta la
simulación del proceso de porosimetría desarrollada en este trabajo y la forma como se
determina la longitud característica de una red de poros.
5.7.1 Simulación de porosimetría
La simulación que se describe a continuación consiste en el seguimiento del avance
progresivo y ordenado de un fluido incompresible y no-mojante en una red estática de poros,
de porosidad fija, que inicialmente se encuentra vacía o bien saturada de un fluido de
compresibilidad infinita.
Este experimento se utiliza comúnmente para determinar la
distribución de tamaño de poros de un medio poroso. Naturalmente que el experimento real
esta limitado a poros relativamente grandes; una presión excesiva, para penetrar microporos,
puede producir deformación del material poroso. El asunto es de discusión frecuente en la
literatura (Toledo et al., 1994a,b; para una revisión reciente ver Yortsos, 1999). En este
trabajo, el experimento, y su simulación, es concebido como un método indirecto para
determinar la longitud característica crítica de una red de poros. El método consiste en
determinar la presión a la que el fluido no-mojante forma un camino conductor en el medio
real a partir de la simulación en una red decorada con la misma conectividad y distribución de
tamaños de poro experimental (Katz y Thompson, 1986).
Para ilustrar el algoritmo de invasión consideremos las distintas etapas de la simulación
en una pequeña red cuadrada decorada con una distribución de radios uniforme U[r;1,2]
(Figura 5.15). La decoración de la red, esto es, los radios de poro son almacenados en una
matriz R de tamaño s×z, donde s, el número de filas de esta matriz, es igual al número de
nodos de la red y z es el índice de coordinación de la red. No se consideran los cuerpos de
poro, que podrían agregarse fácilmente. La matriz R para el ejemplo se muestra a
continuación.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
148
En la matriz se establecen correspondencias entre el índice fila de R y la numeración s
de los nodos y entre el índice columna de R y los z enlaces incidentes en el nodo s.
0

0
0

0
1.524

 1.413
1.507

 1.871
1.067

1.287
R=
1.929
1.935

1.297
1.845

1.297
1.569

1.690
1.590

1.472

1.135


0


0

0

1.400 
1.853 
1.558 

1.931 
1.299 

1.957 

1.476 
1.590 

1.900 
1.273 

1.635 
1.391 

1.050 
1.977 
1.583 

1.679 
0
1.524 0
0
1.413
0
1.507
0
1.871
1.853 1.067
1.558 1.287
1.931 1.929
1.299 1.935
1.957 1.297
1.476 1.845
1.590 1.297
1.900 1.569
1.273 1.690
1.635 1.590
1.391 1.472
1.050 1.135
1.977 1.226
1.583 1.377
1.679 1.168
1.511 1.933
Al comienzo de la simulación el fluido invasor se encuentra en contacto con una de las
caras permeables de la red, este estado de la red se almacena en una lista que contiene todos
los nodos en contacto con el fluido invasor, es decir, la lista define el frente de avance del
fluido. Así, en la red del ejemplo el estado inicial de la lista corresponde al conjunto de nodos
exteriores en la cara superior, esto es,
lst ( 0) = {si ,0 } = {− n x + 1,− n x ,..,0} = {− 4,−3,−2,−1,0}
(5.103)
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
149
Figura 5.15 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante en una red cuadrada de poros
con distribución de radios. Los contornos laterales se conectan en forma periódica, aunque desplazados
en una unidad de red. La inyección del fluido ocurre desde arriba. La Figura a la derecha muestra la red
con el tamaño proporcional de sus poros en su estado inicial, libre de fluido no mojante.
El primer enlace, o garganta de poro, es inundado cuando la presión en el fluido no
mojante es igual a la presión capilar umbral del poro de mayor tamaño que se encuentra en el
frente de avance. La presión capilar umbral es aquella necesaria para penetrar un poro. El
diámetro de este poro dmáx define, de acuerdo a la ecuación de Laplace, la presión del fluido
invasor durante una etapa de presión fija. En el ejemplo de la Figura 5.15 el capilar de mayor
radio en la cara superior es 1.871 y corresponde al enlace que conecta el poro 0 con el nodo 4,
la presión mínima, referida también como umbral, necesaria para inundar este poro es,
Pc =
c
(0)
d máx
(5.104)
En las simulaciones la constante c se estableció unitaria, pues la elección arbitraria del valor
de esta constante no altera la trayectoria del fluido invasor en la red de poros.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
150
Cuando un capilar es inundado se anexa el nodo destino del fluido no mojante a la lista
lst y se anulan los elementos de R ubicados en las filas correspondientes a los dos nodos en
que el enlace inundado incide y en las columnas correspondientes al enlace para cada filanodo. Para el primer enlace inundado se anulan los elementos R(0,3) y R(4,1).
A la misma presión establecida, el fluido penetra todos los poros accesibles de mayor o
igual diámetro que el poro recién inundado. Las condiciones necesarias para que un poro sea
accesible son tener un radio mayor o igual que el poro inundado y estar conectado a un poro
saturado, en términos de la simulación todos los enlaces de diámetro mayor a dmáx que inciden
en alguno de los nodos de la lista lst. En el ejemplo, una vez inundado el primer enlace, el
proceso de inundación continúa a la misma presión en los enlaces vecinos de tamaño igual o
mayor al primero, esto es, 4→3, 4→8, 8→9 (por condición de borde periódica) y 3→7, como
muestra la Figura 5.16.
Figura 5.16 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante, en gris oscuro, en la red de
la Figura 5.15. La presión requerida para inundar el primer poro de la red (izquierda) es suficiente para
inundar todos los poros, de mayor tamaño que éste, que se encuentran accesibles desde los poros
inundados (derecha).
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
151
El avance que logra el fluido a una presión fija termina cuando ningún poro adicional
puede ser inundado a esa presión. En un experimento real de porosimetría el proceso se realiza
en condiciones cuasi-estáticas. Después de cada incremento de presión se espera un tiempo
suficiente para que el fluido no mojante inunde todo el espacio poroso accesible.
En la primera etapa de avance a presión constante la matriz R y la lista de los nodos del
frente de invasión son
0

0
0

0
1.524

 1.413
1.507

 0
1.067

1.287
R=
 0
 0

1.297
1.845

1.297
1.569

1.690
1.590

1.472

1.135


0


0

0

1.400 
1.853 
1.558 

0 
1.299 

1.957 

1.476 
1.590 

0 
1.273 

1.635 
1.391 

1.050 
1.977 
1.583 

1.679 
0
1.524 0
0
1.413
0
1.507
0
0
1.853 1.067
1.558 1.287
0
0
1.299
0
1.957 1.297
1.476 1.845
1.590 1.297
0
1.569
1.273 1.690
1.635 1.590
1.391 1.472
1.050 1.135
1.977 1.226
1.583 1.377
1.679 1.168
1.511 1.933
lst = {−3,−2,−1,0,4,3,8,7,9}
Si no existen más enlaces accesibles de diámetro superior a dmáx entonces se pasa a una
etapa de búsqueda del enlace de mayor diámetro entre los enlaces incidentes a los nodos
inundados, esto es, entre los elementos de la matriz R ubicados en las filas de los elementos de
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
152
la lista lst. Este enlace siempre tiene un diámetro menor que el máximo anterior, debido a que
la búsqueda de los enlaces de diámetro mayor se agota en la etapa previa de avance de fluido a
presión constante. Esto implica que la presión debe aumentar para que sea posible un nuevo
avance de la fase no-mojante hacia el nuevo enlace de mayor diámetro. El nuevo valor de
presión se encuentra determinado por el nuevo valor de diámetro máximo y definido de
acuerdo a la ecuación de Laplace. La Figura 5.17 ilustra los poros inundados a la nueva
presión.
Figura 5.17 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (en gris oscuro) ilustrado en
la red cuadrada de la Figura 5.16.
La simulación completa corresponde a la repetición de dos etapas: un avance masivo
de fluido invasor a presión fija y una etapa de avance hacia un poro individual que va
acompañada de un incremento en la presión del fluido.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
153
Figura 5.18 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (gris oscuro) en la red de la
Figura 5.17. La figura a la derecha muestra el momento en que el fluido invasor forma una fase conexa
a través de la red.
Cuando el fluido alcanza el extremo inferior de la red se establece un camino
conductor a su través, la Figura 5.18 ilustra la situación. La presión que permite la formación
de un camino conductor se denomina crítica y queda determinada por el diámetro del poro que
define la presión en la última etapa de avance. El tamaño de este poro se denomina crítico. La
longitud característica de la red, en el sentido de Ambegaokar et al. (1971), es equivalente al
diámetro del poro crítico. En este punto finaliza el algoritmo de determinación de la longitud
característica definida mediante un experimento, simulado en este caso, de inyección de
fluido no mojante en una red de poros.
El llenado de la red a partir del momento en que se establece el camino conductor es
mucho más lento que en las etapas previas porque involucra invasión poro a poro. Sin
embargo, si se desea conocer la curva de saturación completa de la red de poros, a una
porosidad dada, el algoritmo simplemente se continúa hasta que el volumen accesible de poros
se encuentre totalmente saturado de fluido no mojante. Una curva de saturación, o curva de
presión capilar, es la colección de pares de puntos de saturación de fase no mojante y presión
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
154
capilar en distintas etapas del experimento de inyección. La presión capilar en cada etapa del
experimento es determinada mediante la ecuación de Laplace y la saturación es calculada
como la razón entre el volumen de poros ocupado por el fluido invasor y el volumen de poros
conexo de la red, esto es,
S nw =
V pi
V pc
(5.105)
En una red no-percolativa el volumen conexo de poros es idéntico al volumen total de
poros y puede ser calculado una vez conocida la decoración de la red,
S nw =
V pi
Vp
(5.106)
En una red percolativa no todo el volumen de poros es conexo, lo que implica que el
fluido invasor no llega a las zonas aisladas en ninguna etapa de la porosimetría. Luego, el
cálculo de saturación en las distintas etapas del experimento requiere el reconocimiento previo
de los nodos y enlaces del racimo infinito. El cálculo puede realizarse en forma más eficiente
al final del experimento cuando el fluido inunda todas las zonas accesibles de la red
percolativa calculando para ello el volumen de poros inundado en cada etapa y
normalizándolos finalmente por el volumen total inundado, que equivale al volumen de poros
conexo.
Como veremos en el capítulo de resultados, la curva de saturación completa del
sistema puede aportar información relevante respecto del régimen de conducción del medio y
de su distribución de tamaño de poros. La Figura 5.19 muestra curvas de saturación o presión
capilar obtenidas mediante la simulación de Monte Carlo de porosimetría presentada aquí en
redes cúbicas de 50×50×50 nodos. Los resultados corresponden a dos tipos de
comportamiento observados durante la invasión forzada del fluido no mojante cuando las
redes son sometidas a compactación intensa y débil.
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
155
Figura 5.19 Curvas de saturación o presión capilar obtenidas mediante simulación de Monte Carlo en
redes cúbicas de 50×50×50 nodos y distribución inicial de tamaño de poros U(r;1,2). Los resultados
corresponden a dos tipos de comportamiento observados durante la invasión forzada de un fluido no
mojante cuando las redes son sometidas a compactación severa, izquierda, y débil, derecha. Cada curva
corresponde al experimento a una porosidad fija (φ disminuye de 1 hasta 0.1). Los círculos abiertos
corresponden al estado en que el fluido no mojante atraviesa la red.
Todos los algoritmos descritos en este capítulo y que se utilizan para obtener los
resultados que se presentan en el capítulo siguiente se han dispuesto en un programa al que se
puede acceder desde una ventana interfaz amigable con menú de opciones. El programa y su
forma de uso se describen en forma detallada en el Apéndice E. Para las simulaciones en este
trabajo se utilizó en forma paralela 3 computadores personales con procesador Pentium III.
Tiempos típicos de cálculo para una red cuadrada de 250×250 nodos: una curva de
porosimetría a una porosidad fija 2.5 horas, una curva de permeabilidad-porosidad 45 minutos,
una curva de conductividad-porosidad 45 minutos, una curva de longitud crítica 1 hora.
Tiempos típicos de cálculo para una red cúbica de 50×50×50 nodos: una curva de porosimetría
a una porosidad fija 3 horas, una curva de permeabilidad-porosidad 1 hora, una curva de
conductividad-porosidad 1 hora, una curva de longitud crítica 1.5 horas. Los tiempos
indicados para las permeabilidades y conductividades son válidos para la tolerancia utilizada
en el algoritmo de cálculo (10-8).
Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización
156
5.8 Resumen
En este capítulo se ha presentado con gran detalle y ejemplos los algoritmos utilizados
para determinar la permeabilidad y conductividad eléctrica de redes de poros deformables
completamente saturadas de fluido. Las redes de poros empleadas son bi y tridimensionales.
El fluido es incompresible y fluye en estado estacionario en régimen laminar. Los métodos
desarrollados para estimar la permeabilidad y la conductividad eléctrica son Simulación de
Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización. En este capítulo se han presentado también
los métodos, y los algoritmos cuando corresponde, utilizados en este trabajo para estimar la
longitud característica de una red de poros, esto es, la longitud que fija la escala de la
permeabilidad. Los algoritmos desarrollados en el curso de esta tesis y descritos en este
capítulo han sido ensamblados en un programa, que denominamos PROTRAN, al que se
accede desde una ventana interfaz amigable con menú de opciones. El programa y su forma de
uso se describen en forma detallada en el Apéndice E de esta tesis. En el siguiente capítulo se
presentan y discuten los resultados obtenidos con las herramientas desarrolladas aquí.
Capítulo 6
Resultados y Discusión
A continuación se presentan y discuten los resultados obtenidos con el modelo de
compactación de encogimiento de poros en redes cuadradas y cúbicas decoradas con
distribuciones de tamaño de poro angostas y anchas. Especial atención se presta a la variación
de propiedades tales como permeabilidad, conductividad eléctrica y longitud característica de
espacio poroso con la porosidad. Los resultados de simulación de Monte Carlo son explicados
a la luz de un desarrollo teórico nuevo producto de este trabajo de tesis.
Partes de este capítulo han sido publicadas como: R. Rozas, J.R. Quispe y P.G. Toledo, On the porositypermeability relationship of porous media with evolving porosity. En XXI IMPC International Mineral
Processing Congress, Massacci, P. (Ed.), Elsevier B. V., Amsterdam, Volumen D, pp. 5-12, 2000 y L. Seminario,
R. Rozas, R. Bórquez y P.G. Toledo, Pore blocking and permeability reduction in cross-flow microfiltration. J.
Membrane Sci., aceptado 28 Mayo 2002 [en prensa].
Resultados y Discusión
158
6.1 Efecto de la compactación sobre la función de distribución de tamaño de poros
Experimentos Numéricos
La distribución de tamaño de poros y la conectividad del espacio poroso son las
variables fundamentales para una representación adecuada de un medio poroso. La
conectividad no debería ser muy sensible a procesos de compactación a menos que estos sean
severos. En este trabajo se utiliza la idealización que la conectividad se mantiene constante
excepto cuando la compactación conduce al cierre de poros. Así, para una conectividad fija,
las propiedades de transporte y todas las cantidades macroscópicas en un estado particular del
sistema dependen y se definen a partir de la función de distribución de tamaño. Aquí descansa
el interés por estudiar la evolución de esta función en diversas redes de poros sometidas a
procesos de compactación de intensidad controlada.
Los materiales porosos pueden ser clasificados de acuerdo a las características de su
población de poros al comienzo y durante la compactación. Algunos materiales presentan una
distribución de tamaño de poros marcadamente ancha, son heterogéneos; otros en cambio
poseen una distribución angosta, o sea, presentan un grado relativo menor de heterogeneidad.
Otra característica es el grado de asimetría de la distribución que revela coexistencia de
poblaciones de poros con tamaño marcadamente distinto. Una de estas poblaciones, la
mayoritaria generalmente, controla las propiedades macroscópicas del material. Algunos
materiales en cambio exhiben una distribución más uniforme; en estos casos es difícil
establecer un tamaño característico de poro que controle las propiedades macroscópicas de
material pues coexisten fracciones de poro idénticas de cada tamaño. Obviamente, lo que aquí
denominamos tamaño medio, ancho y asimetría de una distribución corresponde formalmente
a sus tres primeros momentos; la media, la desviación estándar y la asimetría o skewness.
En preparación: R. Rozas y P.G. Toledo, Pore space microstructure transitions as revealed by critical lengths, y
R. Rozas and P. G. Toledo, How universal is the relationship between permeability and porosity?
Resultados y Discusión
159
Las distribuciones de tamaño de poros empleadas en este estudio para decorar redes
cuadradas y cúbicas fueron dos uniformes U(r;1,2) y U(r;1,20) y dos log-normal L(r;1.5,0.1)
y L(r;1.5,0.8). En adelante serán referidas simplemente como U(1,2), U(1,20), L(1.5,0.1) y
L(1.5,0.8). Las distribuciones de tamaño de poros se muestran en las Figuras 6.1 a 6.8 para
una porosidad normalizada unitaria. Las distribuciones uniformes raramente ocurren en
materiales naturales, su elección en este estudio se justifica por la importancia que tienen para
estudiar el efecto del ancho de la distribución sobre la evolución de las propiedades de redes
sometidas a compactación. Las distribuciones log-normal son características de medios
naturales; su elección en las simulaciones desarrolladas aquí permite estudiar el efecto de la
asimetría de la población sobre la evolución de las propiedades de transporte. De acuerdo a
esta clasificación las distribuciones más angostas U(1,2) y L(1.5,0.1) son propias de medios
más homogéneos, en comparación a las distribuciones más anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) que
pertenecen a materiales más heterogéneos. De acuerdo a la composición de la población de
poros, los materiales que presentan distribuciones asimétricas como L(1.5,0.1) y L(1.5,0.8)
presentan poblaciones marcadamente mayoritarias de poros pequeños en comparación con las
distribuciones uniformes. De las distribuciones señaladas, la log-normal L(1.5,0.8) muestra la
mayor asimetría.
La evolución de una distribución depende principalmente de las propiedades elásticas
del material y de la intensidad del proceso de compactación. En las simulaciones desarrolladas
aquí el factor de compactación x regula ambos efectos. En las Figuras 6.1 a 6.8 se aprecia la
evolución de las funciones de distribución de tamaño de poros a medida que la porosidad
disminuye como resultado de procesos de compactación de diversa intensidad. Las Figuras 6.1
a 6.4 corresponden a redes cuadradas y las Figuras 6.5 a 6.8 a redes cúbicas. Es importante
notar aquí que la porosidad en redes cúbicas y cuadradas es distinta debido a la naturaleza
diferente de los poros que las constituyen; en redes cuadradas los poros son planos en tanto
que en redes cúbicas los poros son cilíndricos. Sin embargo, de acuerdo a los resultados
obtenidos, se aprecia que esta diferencia no provoca cambios importantes en la evolución de
las distribuciones. Así, el análisis de resultados de evolución de distribuciones de tamaño de
poros para redes cuadradas resulta idéntico al de redes cúbicas.
Resultados y Discusión
160
Todas las distribuciones muestran una evolución suave cuando la red de poros es
sometida procesos de compactación suaves, esto es, con x = 0.99, como revelan las Figuras
6.1e, 6.2e, 6.3e y 6.4e para redes cuadradas y las Figuras 6.5e, 6.6e, 6.7e y 6.8e para redes
cúbicas. Las distribuciones conservan su unimodalidad pero aumentan su asimetría debido a
que la compactación provoca un aumento preferencial de la población de poros de tamaño
pequeño.
Resultados similares se obtienen para la distribución ancha L(1.5,0.8) no sólo para
procesos de compactación suave, x = 0.99, sino también para procesos de intensidad
intermedia, x = 0.5 y 0.3, como muestran las Figuras 6.4c y 6.4d para redes cuadradas y las
Figuras 6.8c y 6.8d para redes cúbicas. La distribución permanece unimodal y centrada
asimétricamente alrededor de una media de tamaño que disminuye a medida que avanza la
compactación. Al inicio del proceso la asimetría de la distribución aumenta para disminuir
notablemente hacia el final del proceso. Este efecto es más pronunciado para el caso de
compactación con x = 0.3. Estos resultados parecen indicar que los materiales porosos
conservan sus características estructurales originales al sufrir procesos de compactación como
los señalados. Es altamente probable que materiales porosos sometidos a compactaciones de
esta naturaleza no muestren diferencias más allá de la porosidad en dos etapas distintas de su
historia, sin embargo la sola observación de la evolución de la distribución no es suficiente
para establecer conclusiones definitivas al respecto. Como veremos más adelante la longitud
característica de cada medio, que fija la escala de la permeabilidad, es la propiedad clave para
determinar la existencia de transiciones de una microestructura porosa a otra a medida que el
proceso de compactación avanza.
La situación cambia significativamente cuando el proceso de compactación ocurre a
mayor intensidad, caracterizada por valores de x pequeños. Las Figuras 6.1a-c y 6.3a-d para
redes cuadradas y las Figuras 6.5a-c y 6.7a-d para redes cúbicas muestran que las
distribuciones U(1,2) y L(1.5,0.1) que inicialmente son unimodales evolucionan hacia un
comportamiento multimodal. La multimodalidad es la aparición de nuevas poblaciones de
poros de menor tamaño, que coexisten con parte de la población de poros primitiva del
Resultados y Discusión
161
material. La población de poros inicial disminuye a medida que avanza la compactación
conservando la forma de la distribución original. La distribución de tamaño de estos poros
permanece unimodal y centrada simétricamente alrededor de la media de tamaño inicial; su
desviación estándar aumenta al inicio de la compactación para disminuir hacia el final del
proceso. Las nuevas poblaciones de poros crecen a expensas de las poblaciones de poros de
mayor tamaño y la forma de estos modos son una réplica a menor escala del modo que los
alimenta. Una población de poros, o modo de la distribución de tamaño, aparece, crece,
alcanza un tamaño máximo, decrece y desaparece a medida que el proceso de compactación
avanza. La separación de poblaciones de poros es más pronunciada para el caso de
compactación con x = 0.1. El caso extremo lo constituye el proceso de percolación clásica que
equivale a una compactación con x = 0; el efecto neto es separar la población de poros inicial
en dos poblaciones, una de poros abiertos y otra de poros cerrados. Las Figuras 6.1a, 6.2a,
6.3a y 6.4a muestran la situación para redes cuadradas y las Figuras 6.5a, 6.6a, 6.7a y 6.8a
para redes cúbicas.
Resultados similares, aunque menos pronunciados, se obtienen para las distribuciones
anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) con un factor de compactación x = 0.1, como muestran las Figuras
6.2b y 6.4b para redes cuadradas y las Figuras 6.6b y 6.8b para redes cúbicas. La población de
poros inicial disminuye a medida que avanza la compactación. La distribución de tamaño de
estos poros permanece unimodal y centrada asimétricamente alrededor de la media de tamaño
inicial; su asimetría aumenta al inicio de la compactación para disminuir hacia el final del
proceso. Al igual que en los casos de distribuciones angostas, nuevas poblaciones de poros
crecen a expensas de poblaciones de poros de tamaño más grandes.
Estos resultados sugieren en principio que los materiales porosos estudiados no
conservan sus características estructurales originales al sufrir procesos de compactación
intensos como los señalados. Materiales porosos a dos niveles o etapas de compactación de
este tipo podrían mostrar diferencias adicionales a la porosidad si poblaciones distintas
dominan sus distribuciones de tamaño de poros, la respuesta definitiva se obtiene de la
Resultados y Discusión
162
evolución de la longitud característica de cada red de poros a medida que avanza el proceso de
compactación.
Se dice que una compactación es intensa cuando provoca cambios radicales en la
microestructura porosa de un material. Como muestran las Figuras 6.2a-c y 6.4a-c para redes
cuadradas y las Figuras 6.6a-c y 6.8a-c para redes cúbicas, el comportamiento de las
distribuciones más anchas es distinto al que exhiben las distribuciones más angostas para un
mismo factor de compactación cuando este es pequeño. De aquí se deduce que el valor del
factor de compactación es insuficiente para concluir respecto de la intensidad de un proceso de
compactación.
Las Figuras 6.3c, 6.3d, 6.4c y 6.4d para redes cuadradas y las Figuras 6.7c, 6.7d, 6.8c y
6.8d para redes cúbicas muestran que el efecto de compactación a x = 0.5 y x=0.3 es distinto
para la distribución L(1.5,0.1) que para L(1.5,0.8). Análogamente, la diferencia también se
observa a x = 0.3 para las distribuciones U(1,2) y U(1,20), comparar Figuras 6.1c y 6.2c para
redes cuadradas y Figuras 6.5c y 6.6c para redes cúbicas. Para las distribuciones L(1.5,0.1) y
U(1,2) la compactación es suficientemente intensa como para producir la aparición de modos
separados, que denominamos multimodalidad; para las distribuciones L(1.5,0.8) y U(1,20) no
lo es. Un argumento simple permite explicar este hecho. Cuando el poro de máximo tamaño
de una distribución se compacta existen dos alternativas: el tamaño resultante del poro es
menor o mayor que el poro de mínimo tamaño de la distribución. Si el poro resulta más
pequeño que el de mínimo tamaño, la compactación origina nuevos modos en la distribución
puesto que el tamaño de poro se ubica fuera del dominio de la distribución original. Cuando
ocurre la otra posibilidad el poro al ser encogido es transferido a una celda de poros más
pequeños pero comprendida en el dominio de la distribución original, el efecto neto de la
compactación en este caso es aumentar la asimetría de la distribución, hacia los poros más
pequeños, pero no generar nuevas poblaciones o modos separados.
Así la intensidad de un proceso de compactación en un material queda definida
principalmente por dos aspectos: las propiedades elásticas del material y la fuerza aplicada
Resultados y Discusión
163
sobre el medio que definen el factor de compactación x y la amplitud de la distribución inicial
de tamaño de poros. Así para dos materiales que presentan distribuciones de distinta amplitud,
pero de igual tamaño mínimo de poro, es más probable que la compactación produzca nuevos
modos en la distribución más angosta para un mismo factor de compactación. Este efecto tiene
consecuencias importantes sobre el comportamiento de las propiedades de transporte de redes
de poros ya que si alguno de estos nuevos modos con poros de menor tamaño domina la
población total de poros entonces el medio puede sufrir una transición en su microestructura
porosa.
Resultados y Discusión
164
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.1 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cuadrada para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
165
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.2 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cuadrada para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
166
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.3 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cuadrada para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
167
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.4 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cuadrada para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
168
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.5 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cúbica para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
169
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.6 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cúbica para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
170
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.7 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cúbica para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
171
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.8 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cúbica para distintas
intensidades de compactación. (a) x = 0 (b) x = 0.1 (c) x = 0.3 (d) x = 0.5 (e) x = 0.99 .
Resultados y Discusión
172
Teoría
A continuación se presenta un desarrollo teórico que explica en forma cualitativa y
cuantitativa la evolución de los modos de la distribución de tamaño de poros observada en los
resultados de simulación de Monte Carlo cuando una red de poros es sometida a
compactación. Supongamos que cada modo k puede ser representado como una celda k que
contiene una cantidad de poros de tamaño comprendido entre rmín y rmáx. Luego, la fracción de
poros contenida en la celda k queda definida por
p
(k )
=
(k )
rmáx
∫ f (r )dr
(6.1)
(k )
rmín
En una compactación intensa, el proceso de encogimiento de un poro de la celda k
implica su transferencia a otra celda correspondiente al modo que contiene poros de tamaño
comprendido entre rmín x y rmáx x . Este modo es una nueva celda numerada como k + 1 . Si uno
de los elementos de la celda k + 1 es encogido, entonces es transferido a la celda siguiente
k + 2 que corresponde a poros de tamaño comprendido entre rmín x 2 y rmáx x 2 . Por inducción, si
un poro de la celda k es deformado n veces, entonces al final del proceso pertenece a la celda
k + n de poros de tamaño en el dominio [ rmín x n , rmáx x n ]. Si el número n de deformaciones
sobre un elemento es elevado, es decir, si un mismo poro es compactado en repetidas
ocasiones, como resultado se ubicará finalmente en la celda de tamaños de poro nulo, lo que
corresponde a un límite matemático, no necesariamente físico.
Ahora, cuando se analiza lo que ocurre en las celdas, se encuentra que inicialmente hay
una celda que contiene todos los poros, esta celda corresponde a la distribución original que es
unimodal. Cuando se ha efectuado una cantidad finita de etapas de compactación, una fracción
de poros han salido de la celda inicial para alimentar a la celda vecina de poros más pequeños.
El primer encogimiento de poro necesariamente ocurre en uno que pertenece a la celda
primitiva, pues todos los poros existentes se encuentran allí. No ocurre necesariamente así en
Resultados y Discusión
173
las compactaciones siguientes ya que como existen poros en otras celdas y la elección del poro
a ser encogido es completamente aleatoria entonces puede ocurrir que la siguiente
deformación ocurra sobre un poro de una celda k-ésima. Como todos los poros tienen la
misma probabilidad de ser encogidos se puede establecer que la probabilidad de encoger un
poro de una celda k-ésima es proporcional a la población de esa celda en el instante de la
compactación. En términos matemáticos el flujo de salida de poros de una celda k es
proporcional a la fracción de elementos en la misma celda k, esto es,
p& s( k ) = α ( k ) p ( k )
(6.2)
El flujo de entrada de poros a la celda k es igual al flujo de salida de poros de la celda
k-1 que la alimenta, así
p& e( k ) = p& s( k −1) = α ( k −1) p ( k −1)
(6.3)
Un balance de las poblaciones de poro de una de las celdas intermedias indica que
dp
dξ
(k )
= p& e( k ) − p& s( k ) = α ( k −1) p ( k −1) − α ( k ) p ( k )
(6.4)
donde ξ es una variable de avance del proceso de compactación, que pertenece al dominio
real positivo cuando el medio es infinito. Cuando la compactación se lleva a cabo sobre una
distribución unimodal, la fracción de poros del modo original es unitaria y la de cualquier otro
modo es obviamente nula. Así las condiciones iniciales del problema son ( ξ = 0 ),
p (1) (0) = 1
p (0) = 0 , ∀ i ≠ 1 .
(i )
(6.5)
Resultados y Discusión
174
La facción de poros de la celda (ficticia) que antecede a la primera, es decir, la
población de la celda 0, es nula durante toda la compactación. Por otra parte, el flujo de poros
que sale de la última celda, que numeramos N, es nulo. Físicamente, en el primer modo sólo
salen poros y en la celda que contiene los poros de tamaño mínimo sólo entran nuevos poros.
Así, las condiciones de contorno del problema son
p ( 0) = 0 ⇔
p& s( N ) = 0 ⇔
dp (1)
= −α (1) p (1)
dξ
(N)
(6.6)
dp
= α ( N −1) p ( N −1)
dξ
La equiprobabilidad de elección de poros permite establecer que las constantes de
proporcionalidad α son iguales para todas las celdas. Más adelante se demostrará que el valor
de esta constante es arbitrario. Ahora, si pensamos en las celdas como recipientes de
elementos, en este caso de poros, la celda primitiva es un recipiente que se vacía transfiriendo
sus elementos a un recipiente vecino, las celdas intermedias son recipientes que tienen un flujo
de entrada y uno de salida, y la última celda, de poros de tamaño nulo, es un recipiente que
acumula en todo instante. Es decir, la evolución de una distribución durante un proceso de
compactación es análoga a un problema conocido, esto es, la dinámica de un sistema de vasos
comunicantes. Se puede resolver este sistema de ecuaciones (6.4), sujeto a las condiciones
iniciales (6.5) y de borde (6.6), en forma simple en el espacio de Laplace. La solución es
p (1) ( s ) =
p ( k ) ( s) =
p
(N)
1
s +α
α k −1
, ∀ k ∈ [2, N ]
(s + α )k
α N −1
( s) =
N −1
s (s + α )
(6.7)
Resultados y Discusión
175
Analicemos un caso particular de distribución que presente un comportamiento
multimodal durante su evolución por compactación y que presente un desarrollo algebraico
simple y analítico, por ejemplo la distribución uniforme U(1,2) bajo una compactación intensa
en una red cúbica para x = 0.3 . La Figura 6.5c muestra la evolución de esta distribución
según predice la simulación de Monte Carlo, cuatro modos son claramente distinguibles. En
teoría hay muchos más pero no son apreciables.
De acuerdo al sistema de ecuaciones (6.4), (6.5) y (6.6) la evolución de las poblaciones
de poros de los modos distinguibles en términos del parámetro de avance es
p (1) (ξ ) = e −αξ
p ( 2 ) (ξ ) = αξe −αξ
1
p ( 3) (ξ ) = α 2ξ 2 e −αξ
2
p ( 4) (ξ ) =
(
(
1
2 − e −αξ 2 + 2αξ + α 2ξ 2
2
(6.8)
))
La condición de normalización de la distribución impone que la suma de estas
probabilidades sea unitaria, esto es,
N
∑p
(i )
=1
i =1
(6.9)
Por otro lado, la población de cada uno de los modos resulta dependiente del término de
avance αξ . Así la elección de α es arbitraria.
Como p(k) representa a la fracción de poros que pertenecen al modo k, y en el caso de la
distribución uniforme cada uno de los modos es también una función uniforme, se puede
Resultados y Discusión
176
establecer que el área de cada uno de los modos es p ( k ) = f ( k ) ∆r ( k ) y como ∆r ( k +1) = ∆r ( k ) x ,
entonces la densidad de probabilidad máxima de cada uno de los modos es
f
(k )
p (k )
=
∆rx k −1
(6.10)
Así, para el caso estudiado se tiene que
f (1) =
f ( 2) =
f
( 3)
e −αξ
∆r
αξe −αξ
∆r ⋅ x
(6.11)
1 α 2ξ 2 e −αξ
=
2 ∆r ⋅ x 2
f ( 4) =
(
(
1 2 − e −αξ 2 + 2αξ + α 2ξ 2
2
∆r ⋅ x 3
))
Dado que la variable de avance natural de un proceso de compactación es la porosidad,
es fundamental relacionarla con el término αξ . La definición de porosidad normalizada en
una red cúbica de elementos cilíndricos es
∞
φ
=
φ0
∫r
2
f (r )dr
0
∞
∫r
2
(6.12)
f ( 0) dr
0
donde f ( 0 ) es la función de distribución de tamaños y φ 0 la porosidad al comienzo de la
compactación.
Resultados y Discusión
177
En el caso particular estudiado, la porosidad normalizada en términos explícitos del
factor de compactación y del término de avance αξ resulta
∞
φ
=
φ0
∫r
2
f (r )dr
0
∞
∫ r U (1, 2)dr
2
4
4
k =1
k =1
= ∑ f ( k ) (αξ ) x 3( k −1) = ∑ p ( k ) (αξ ) x 2(k −1)
(6.13)
0
En la Figura 6.9 se reiteran resultados de Monte Carlo para la distribución U(1,2) en
una red cúbica y la predicción teórica. La predicción de la topología de la función de tamaño
de poros en función del parámetro de compactación y de la porosidad es prácticamente exacta.
Lo sería totalmente si se consideraran todos los términos de la serie que define la porosidad.
Revisemos otro caso en forma teórica, la evolución de la distribución uniforme U(1,2)
bajo una compactación intensa x = 0.1 en una red cuadrada. La Figura 6.1b muestra los
resultados de Monte Carlo. Para los tres modos observables las ecuaciones de evolución son
p (1) (ξ ) = e −αξ
p ( 2 ) (ξ ) = αξe −αξ
(6.14)
p ( 3) (ξ ) = 1 − e −αξ (1 + αξ )
La densidad de probabilidad de cada uno de estos modos es
f (1) =
f ( 2) =
e −αξ
∆r
αξe −αξ
∆r ⋅ x
f ( 3) (ξ ) =
1 − e −αξ (1 + αξ )
∆r ⋅ x 2
(6.15)
Resultados y Discusión
178
(a)
(b)
Figura 6.9 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a x = 0.3 en una red cúbica.
(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.
Resultados y Discusión
179
La porosidad normalizada de la red cuadrada de elementos conductores planos queda
definida como
∞
φ
=
φ0
∫ rf (r )dr
0
∞
∫ rU (1, 2)dr
3
3
k =1
k =1
= ∑ f ( k ) (αξ ) x 2 ( k −1) = ∑ p ( k ) (αξ ) x k −1
(6.16)
0
La evolución de la distribución de tamaños tanto en la red cúbica como en la cuadrada,
determinada mediante ecuaciones de balances poblaciones de poros, ajusta bastante bien el
observado en los resultados de simulación, al parecer las suposiciones del desarrollo teórico
formal presentado aquí son correctas.
Hasta este punto hemos establecido con éxito las ecuaciones que gobiernan la dinámica
de las poblaciones de un medio sometido a compactaciones intensas, esto es, el caso en que los
modos originados evolucionan en forma separada. Pero ¿qué pasa con aquellas situaciones de
compactación en que solo una fracción de los poros compactados de una cierta celda o modo
es transferida a nuevas celdas de poros de tamaño más pequeño y la fracción complementaria
simplemente realimenta ese mismo cierto modo? Más aun, ¿qué pasa con aquellas situaciones
en que no se crean nuevos modos, donde el efecto de la compactación es reducir el límite
inferior del intervalo de tamaño de poros de la red? A continuación se muestra que estos casos
son también susceptibles a análisis teórico.
Cuando la compactación origina nuevas poblaciones de poros pero estas no se separan,
lo que ocurre cuando un poro al ser encogido es transferido a una celda de poros de menor
tamaño pero que se ubica en el dominio del modo original, entonces se solapan con los modos
que las originan. En términos matemáticos,
[r
(1)
mín
(1) n
x n , rmáx
x
]
∩
[r
(1)
mín
]
(1) n −1
x n −1 , rmáx
x
≠0
(6.17)
Resultados y Discusión
180
(a)
(b)
Figura 6.10 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a x = 0.1 en una red cuadrada.
(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.
Resultados y Discusión
181
Por ejemplo, en un medio que presenta una distribución ancha como la U(1,20) bajo
una compactación con x = 0.1 , el encogimiento de poros comprendido en el rango r ∈ [10, 20]
origina un nuevo modo en el dominio [1, 2] , es decir, un modo dentro del modo original. Tal
vez no sea del todo correcto seguir refiriéndose a estas nuevas poblaciones como modos,
ciertamente no lo es del punto de vista de la estadística, pero es práctico si no se confunde.
En casos como el anterior, los balances de poblaciones (6.4) no pueden ser utilizados
para seguir la evolución de una distribución de tamaño ya que una de las suposiciones para
derivar (6.4) es que el encogimiento de un poro de un modo k produce su transferencia hacia
un modo separado k + 1 . Este aspecto es corregido aquí si consideramos que los submodos son
en sí nuevos modos, en el caso de ejemplo,
Modo 1; r ∈ [2, 20]
Modo 2; r ∈ [1, 2]
(6.18)
Sin embargo, la suposición que el modo k + 1 es alimentado por cualquiera de los
poros que pertenecen al modo k deja de ser válida. Es fácil observar que esto es así en el
ejemplo de la distribución U(1,20) con x = 0.1 . En este caso el modo 2 con r ∈ [1, 2] es
alimentado por un subconjunto de poros que pertenecen al modo original [1,20] . El modo 2 es
originado por el encogimiento de poros de tamaño comprendido en el domino [10, 20] . Así
una forma más general de los balances (6.4) debe considerar los efectos de solapamiento y de
transferencia parcial entre los modos. Cuando existe solapamiento los submodos generados
son considerados como modos, como elemento de control para establecer el balance de
poblaciones. La velocidad a la que un submodo i es alimentado es proporcional a una fracción
w(ik) de la población del modo k que lo alimenta en un instante dado de la evolución de la
distribución, así
p& e( i ) = αw ( ik ) p ( k )
(6.19)
Resultados y Discusión
182
La fracción w(ik) es la razón entre el área de la distribución en el dominio que alimenta
al modo i y el área de la distribución en todo el dominio del modo fuente k, esto es,
(i )
rmáx
x
∫f
w
( ik )
=
(k )
dr
(i)
rmín
x
(6.20)
(k )
rmáx
∫f
(k )
dr
(k )
rmín
Así, el balance general de población para los modos intermedios es
dp ( i )
= αw(ik ) p ( k ) − αp ( i )
dξ
(6.21)
El caso anteriormente estudiado de distribuciones que presentan modos separados
resulta ser un caso particular que puede ser explicado por estas ecuaciones con todas las
fracciones de transferencia iguales a 1 ( w( ik ) = 1 ).
Para todo modo k que alimenta simultáneamente n modos se satisface
∑
n
i =1
w( ik ) = 1 ,
esta propiedad indica que los n flujos de elementos que salen del modo k suman el flujo total
de salida desde ese modo.
A partir de las ecuaciones (6.21) podemos deducir ahora la evolución de los modos de
la distribución U(1,20) con x = 0.1 del ejemplo. En la Tabla 6.1 se resumen el dominio de los
modos observados, el dominio de las poblaciones que alimentan a cada uno de estos modos, el
o los modos al que pertenecen estos dominios y el rango total del dominio fuente. En la
analogía con el sistema de vasos comunicantes el modo 1 corresponde a un recipiente con dos
salidas paralelas, una dirigida al modo 2, la otra al modo 3. El modo 4 actúa como capacitor,
esto es, acumula los elementos transferidos desde los modos 2 y 3. La situación queda
ilustrada en los esquemáticos a continuación.
Resultados y Discusión
183
Tabla 6.1 Evolución de modos de la distribución U(1,20) con x = 0.1
Modo
receptor i
Modo
fuente k
Dominio del
modo receptor i
Dominio que
transfiere al modo
Dominio del
modo fuente
Fracción de
(ik)
transferencia w
1
0
[2, 20]
--
--
--
2
1
[1, 2]
[10, 20]
[2,20]
10/18
3
1
[0.2, 1]
[2,10]
[2,20]
8/18
4
2-3
[0, 0.2]
[0.2,2]
[0.2,1]-[1,2]
1
Las ecuaciones de evolución son por lo tanto
p (1) (ξ ) = p (1) (0)e −αξ
p ( 2) (ξ ) = p ( 2 ) (0)e −αξ + αξ
p ( 3) (ξ ) = αξ
p ( 4) (ξ ) =
10 (1)
p (0)e −αξ
18
(6.22)
8 (1)
p (0)e −αξ
18
(
(
)
(
))
1 −αξ
e 9 p ( 2 ) (0) 1 − eαξ + 10 p (1) (0) − αξ + eαξ − 1
9
Ahora, como cada modo generado en una distribución uniforme es también una
distribución uniforme, la probabilidad de cada modo se encuentra relacionada con su densidad
de probabilidad en términos simples como,
p ( i ) = f (i ) ∆r ( i )
(6.23)
Resultados y Discusión
184
Luego, la densidad de probabilidad de cada uno de los modos es
f (1) (ξ ) =
1 −αξ
e
19
f ( 2 ) (ξ ) =
1 −αξ 10
e + αξe −αξ
19
19
f
( 3)
(6.24)
10
(ξ ) = αξe −αξ
19
f ( 4 ) (ξ ) =
(
)
5
21 − e −αξ (21 + 20αξ )
19
La porosidad normalizada en términos explícitos del parámetro de avance αξ es
∞
φ
=
φ0
∫ rf (r )dr
0
∞
∫ rU (1, 20)dr
=
(
19 4 ( k )
(k ) 2
(k ) 2
f (αξ ) rmáx
− rmín
∑
399 k =1
)
(6.25)
0
Cabe hacer notar que los radios máximo y mínimo de cada modo en esta expresión
dependen del factor de compactación x. En la Figura 6.11 se comparan los resultados de
simulación de Monte Carlo con la predicción basada en las Ecuaciones (6.24) y (6.25). En este
desarrollo se consideraron sólo los modos observables en los resultados de Monte Carlo de
esta distribución en una red cuadrada a fin de establecer una comparación (ver Figura 6.2b),
aunque en teoría existen infinitos modos en el intervalo [0,0.2].
Un aspecto no estudiado aún es la distribución espacial de poros a medida que la
compactación avanza. ¿Cómo se distribuye espacialmente la multitud de poblaciones de poro
que se genera en una compactación fuerte? ¿Se entremezclan o segregan? ¿Cuántos modos de
la distribución dominan las propiedades del material? ¿Sólo uno, o puede haber competencia?.
Resultados y Discusión
185
Los resultados de esta sección tienen consecuencias importantes sobre la evolución de
las propiedades de transporte de materiales porosos sometidos a compactación, especialmente
en la permeabilidad como se discute más adelante.
(a)
(b)
Figura 6.11 Evolución de la distribución uniforme U(1,20) a x=0.1 en una red cuadrada.
(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.
Resultados y Discusión
186
6.2 Evolución de las propiedades de transporte durante compactación
A continuación se presentan resultados de la evolución que experimentan la
permeabilidad y la conductividad eléctrica de redes de poros a medida que el espacio poroso
es compactado. El tamaño de red utilizado es 250×250 nodos en dos dimensiones y 50×50×50
nodos en tres dimensiones.
En los casos estudiados se comparan los resultados de simulación de Monte Carlo con
estimaciones basadas en aproximación de campo medio (EMA). Ambos métodos son
revisados en detalle en el Capítulo 4. La implementación computacional de estos métodos
utilizada en este trabajo se presenta en el Capítulo 5. Como es bien conocido, EMA provee
una solución aproximada del problema de transporte en redes de conductores, exacta en el
caso bidimensional del problema clásico de percolación, precisa en redes cúbicas lejos de las
condiciones críticas de flujo, siempre única y de carácter físico. Por estos motivos la solución
EMA resulta clave al momento de decidir sobre la validez de los resultados de simulación de
Monte Carlo que se encuentran afectados por problemas de mal condicionamiento del sistema
lineal de balances nodales en la proximidad de las condiciones críticas.
Las Figuras 6.12 a 6.15 muestran la conductividad eléctrica en función de la porosidad
para una red cuadrada y las Figuras 6.16 a 6.19 para una red cúbica, para cuatro funciones de
distribución y para cinco factores de compactación, esto es, x = 0, 0.1, 0.3, 0.5 y 0.99. Las
Figuras 6.12-14 muestran la conductividad eléctrica de redes cuadradas de 250×250 nodos con
distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1) respectivamente; las Figuras 6.13-15
corresponden a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) respectivamente. Las
Figuras 6.16-18 muestran la conductividad eléctrica de redes cúbicas de 50×50×50 nodos con
distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1) respectivamente; las Figuras 6.17-19
corresponden a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) respectivamente. Para
facilitar el análisis, los resultados en las figuras se muestran en coordenadas aritméticas y
logarítmicas.
Resultados y Discusión
187
Los resultados para la red cuadrada, ver Figuras 6.12 a 6.15, revelan que la evolución
de la conductividad eléctrica en esta red depende de la intensidad con que se compactan los
poros, tal como predice la teoría en la Sección 6.1. A mayor intensidad de compactación, más
rápido es el descenso de conductividad a medida que la porosidad disminuye. En todos los
gráficos en escala logarítmica se aprecia que una ley de potencia simple rige la disminución de
conductividad, es decir, un valor único del exponente de la ley es necesario para describir la
relación en todo el rango de porosidad. El exponente de esta ley depende de la intensidad de la
compactación, la cota inferior m = 1 corresponde a una compactación débil. En el caso de
percolación, x = 0 , el comportamiento de las curvas de conductividad resulta lineal hasta las
cercanías de la región crítica, donde el exponente aumenta; el comportamiento de la
conductividad es idéntico al que presenta una propiedad de transporte en función de la
fracción de enlaces conductores en un problema de percolación clásico. El límite crítico en
porosidad normalizada resulta idéntico a la probabilidad crítica de percolación en dos
dimensiones, igual a 1/2. Esto indica que la porosidad normalizada juega el rol de la fracción
de enlaces en el problema de transporte en redes.
La estimación de EMA de la conductividad eléctrica en la red cuadrada resulta en
concordancia cuantitativa con los resultados de Monte Carlo en todo el rango de porosidad
para todos los casos estudiados.
En tres dimensiones el comportamiento es similar al caso de la red cuadrada, con la
diferencia que a valores de x debajo de 0.3 las curvas en coordenadas logarítmicas presentan
puntos de inflexión como se puede ver en las Figuras 6.16 a 6.19. A simple vista una ley tipo
Archie (ver Capítulo 4) es válida en materiales débilmente deformables, para los que el
exponente de esta ley de potencia entre el factor de formación y la porosidad es único. La cota
inferior del exponente de la ley de potencia entre la conductividad eléctrica y la porosidad, es
m =1 .06, y ocurre en una compactación débil para x=0.99.
Por otro lado, en esta red los resultados de EMA concuerdan cuantitativamente con los
resultados de Monte Carlo sólo para compactaciones débiles. Sin embargo, los resultados son
Resultados y Discusión
188
cualitativamente similares en todos los casos. La diferencia entre los resultados de EMA y los
de Monte Carlo es siempre negativa, esto es, la estimación de conductividad de EMA resulta
subpredictiva, este comportamiento no es novedoso de acuerdo a las falencias conocidas del
método en el problema de percolación en redes distintas de la cuadrada. EMA no es capaz de
predecir el pie de la curva de conductividad en la red cúbica.
En el caso x = 0, el límite crítico en porosidad normalizada según Monte Carlo resulta
~0.259, prácticamente idéntico a la probabilidad crítica de percolación en tres dimensiones
( p c = 0.248 ). Según EMA el límite crítico resulta igual a 0.333 lo que a pesar de ser erróneo
es consistente con la probabilidad crítica de percolación calculada mediante este método en el
problema de percolación clásico ( p c = 1 / 3 ).
La coincidencia entre la porosidad normalizada y la probabilidad de percolación en el
límite crítico de conducción corrobora la idea de la independencia de las propiedades de
transporte en las cercanías de la región crítica de los detalles del medio, tales como la
distribución de las propiedades de los enlaces o poros. La dependencia es exclusiva de la
dimensión de la red.
Es probable que las inflexiones observadas en las curvas de conductividad eléctrica a
valores de x característicos de compactaciones intensas ocurran también en otros casos, por
ejemplo a x mayores, pero no es posible inferir una conclusión basándose en el examen visual
de los resultados de simulación. Más adelante en este capítulo se analiza la existencia y
significado de estas inflexiones sobre la base de un modelo teórico.
Resultados y Discusión
189
(a)
(b)
Figura 6.12 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
190
(a)
(b)
Figura 6.13 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
191
(a)
(b)
Figura 6.14 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
192
(a)
(b)
Figura 6.15 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
193
(a)
(b)
Figura 6.16 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
194
(a)
(b)
Figura 6.17 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
195
(a)
(b)
Figura 6.18 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
196
(a)
(b)
Figura 6.19 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de
compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
197
Las Figuras 6.20 a 6.23 muestran la permeabilidad en función de la porosidad para una
red cuadrada y las Figuras 6.24 a 6.27 para una red cúbica, para cuatro funciones de
distribución y para cinco factores de compactación, esto es, x = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.99. Las
Figuras 6.20-22 muestran respectivamente la permeabilidad de redes cuadradas de 250×250
nodos con distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1), las Figuras 6.21-23
respectivamente la correspondiente a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8). Las
Figuras 6.24-26 muestran respectivamente la permeabilidad de redes cúbicas de 50×50×50
nodos con distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1), las Figuras 6.25-27
respectivamente la correspondiente a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8). Para
facilitar el análisis los resultados se presentan en coordenadas aritméticas y logarítmicas.
Las Figuras 6.20-23 muestran que para x = 0.99 y x = 0.5 la permeabilidad de la red
cuadrada muestra una dependencia simple con la porosidad, del tipo ley de potencia, esto es,
k ∝ φ m . En estos casos los resultados EMA son similares a los de Monte Carlo en todo el
rango de porosidad. Un solo valor de m es suficiente para describir la relación k vs. φ para
todo φ en este tipo de compactación. La cota inferior para este exponente es m = 3 y ocurre
cuando x tiende a 1.
Las mismas Figuras 6.20-23 muestran que la permeabilidad de redes cuadradas para
x = 0.3 , sigue dependencias tipo ley de potencia con la porosidad. Sin embargo, a diferencia
de los casos anteriores se observa una leve inflexión a porosidad intermedia. No es posible
determinar por inspección de los resultados numéricos de permeabilidad si esta inflexión
existe también en los casos anteriores, x = 0.5 y 0.99. Antes del punto de inflexión un solo
valor de m es suficiente para describir la relación k vs. φ. Para el rango de porosidad bajo el
punto de inflexión otro valor de m parece necesario. Es importante notar que las distribuciones
angostas L(1.5,0.1) y U(1,2) muestran multiplicidad de modos o poblaciones de poros para x
menores o iguales a 0.3 como indican las Figuras 6.1 y 6.3, esto explicaría en principio la
aparición del punto de inflexión que revela microestructuras porosas distintas antes y después
del punto de inflexión.
Resultados y Discusión
198
Para x = 0.1 es más notorio el comportamiento no-lineal de las curvas de permeabilidad
que para x = 0.3 en coordenadas logarítmicas. La curva de permeabilidad presenta claros
puntos de inflexión, reflejo de poblaciones de poros distintas que controlan la permeabilidad
en distintas etapas del proceso de compactación. Más de un valor de m es necesario para
describir la relación k vs. φ.
A x = 0 el comportamiento de la permeabilidad, es similar al que presentan las
propiedades de transporte en percolación clásica, lo novedoso es que el punto crítico para
todos los casos estudiados en la red cuadrada ocurre a una porosidad normalizada, φ / φ 0 , igual
a 0.5, idéntica a la probabilidad crítica de percolación de enlaces en la misma red. Lo mismo
ocurría en el caso de la conductividad eléctrica que es otra propiedad de transporte. Este
resultado indica que cuando el volumen de poros de la red se ha reducido en un 50% respecto
al inicial no existe un camino que conecte los extremos de la red, e implica necesariamente
que se ha eliminado la mitad de los enlaces. Más adelante se demostrará que cuando x = 0, en
este modelo la porosidad normalizada resulta exactamente igual a la fracción de enlaces p en
la red cuadrada. Cualitativamente, cuando x = 0 la compactación equivale a eliminar
aleatoriamente enlaces de la red, es un proceso de percolación, y por lo tanto el estado de
transición conductor-aislante de la red no depende de la distribución de tamaño de los poros,
ni de la definición de los elementos de conductancia, ni de otros detalles, sino que depende
exclusivamente de la dimensión de la red.
En todos los resultados para la red cuadrada la predicción de EMA resulta en
concordancia cuantitativa con los resultados precisos de simulación de Monte Carlo, sólo en
coordenadas logarítmicas es posible apreciar leves diferencias en las zonas de transición que
en términos de convergencia son las que presentan mayor dificultad para el método de Monte
Carlo.
En la red cúbica los resultados son cualitativamente similares a los de la red cuadrada.
Las Figuras 6.24-27 muestran que para x = 0.99, esto es, para compactaciones leves de poro, la
Resultados y Discusión
199
permeabilidad muestra una dependencia tipo ley de potencia simple con la porosidad para
todas las distribuciones estudiadas. La cota mínima del exponente de esta ley ocurre en estas
compactaciones débiles, x tiende a 1, y resulta igual a 2. Los resultados EMA se encuentran en
excelente acuerdo con los de Monte Carlo en todo el rango de porosidad. Un solo valor de m
es suficiente para describir la relación k vs. φ para todo φ en estas compactaciones débiles.
Las mismas Figuras 6.24-27 muestran también que la permeabilidad de la red cúbica
para x = 0.5 sigue dependencias tipo ley de potencia con la porosidad. Sin embargo, al igual
que en el caso de la red cuadrada, los resultados Monte Carlo y EMA insinúan al menos un
punto de inflexión. En esta zona que corresponde a una compactación de poros intermedia el
punto de inflexión es notorio sólo para la distribución L(1.5,01), ver Figura 6.25, en las
restantes distribuciones sólo se insinúa como una no linealidad de la curva logarítmica de
permeabilidad. En este rango de porosidad alta un solo valor de m es suficiente para describir
la relación k vs. φ. Para el rango de porosidad bajo el punto de inflexión otro valor de m parece
necesario. Es importante notar que de todas las distribuciones iniciales la L(1.5,0.1) es la única
que muestra modos separados durante su evolución a x = 0.5 (ver Figura 6.6), las restantes a
pesar de mantener un solo modo o población de poros en todo el rango de porosidad, generan
medios estructuralmente distintos a medida que la compactación avanza. Una explicación es
que la distribución a pesar de mantenerse unimodal, se desplaza hacia poros muy pequeños los
que eventualmente controlan la permeabilidad del medio; al inicio del proceso de
compactación la red posee una microestructura compuesta por una mezcla de poros de distinto
tamaño pero todos conductores, hacia el final del proceso la microestructura porosa se
encuentra compuesta por una mezcla de poros cuyos tamaños difieren en varios ordenes de
magnitud, una fracción importante de ellos simplemente no constituye pasos efectivos de
flujo, sino más bien lo resisten. Es fácil imaginar que en los extremos de un proceso de
compactación, que mantenga la distribución unimodal pero que genere muchos poros
pequeños, las microestructuras sean radicalmente distintas unas de otras. Esto explicaría el
punto de inflexión en la curvas de permeabilidad para L(1.5,0.1).
Resultados y Discusión
200
Las Figuras 6.24-27 muestran que la permeabilidad de la red cúbica sigue
dependencias muy complejas con la porosidad a valores bajos del factor de compactación, x =
0.1 y 0.3. La permeabilidad muestra puntos de inflexión, lo que refleja que poblaciones de
poros distintas, ver Figuras 6.5 a 6.8, controlan la permeabilidad en distintas etapas del
proceso de compactación. Evidentemente, más de un valor de m es necesario para describir la
relación k vs. φ.
El acuerdo entre EMA y datos precisos de Monte Carlo es sólo cualitativo en todo el
rango de porosidad. Ambos muestran las zonas de inflexión, pero las curvas calculadas
mediante EMA muestra un desplazamiento respecto de la curva Monte Carlo. EMA siempre
subpredice la permeabilidad. En relación con este punto es importante señalar que para
mejorar la predicción de EMA de las propiedades de transporte para x > 0, se encuentra en
progreso la aplicación de etapas previas de renormalización sobre la distribución de tamaño de
poros antes de aplicar campo medio y la incorporación de un término correctivo a la expresión
de las fluctuaciones en la aproximación de medio efectivo tal como sugiere la aproximación de
enlace simple SBA (ver Capítulo 4) para el caso de percolación.
A x = 0 ocurre lo mismo que en la red cuadrada, el comportamiento de la
permeabilidad corresponde a un proceso de percolación. De acuerdo a Monte Carlo el punto
crítico en la red cúbica, para todas las distribuciones, resulta igual a 0.259 en porosidad
normalizada, φ / φ 0 , que resulta prácticamente idéntico a la probabilidad crítica de percolación
en esta red (pc = 0.248). Como se indicó anteriormente, aunque la aproximación de medio
efectivo en la red cúbica sólo posee un carácter cualitativo, señala un resultado interesante, la
porosidad normalizada crítica estimada mediante este método resulta idéntica a la probabilidad
crítica de percolación que provee esta teoría en el problema de percolación clásico. Esto
corrobora la independencia de las propiedades críticas, tales como la fracción crítica de
percolación, de los detalles no topológicos de la red en las cercanías del punto crítico.
Existe un cuerpo importante de datos experimentales de permeabilidad en diversas
clases materiales porosos que sometidos a compactación muestran el inicio de una transición
Resultados y Discusión
201
de régimen de transporte, esto es, el cambio que ocurre cuando una microestructura porosa que
controla la permeabilidad deja de hacerlo para que otra nueva asuma esta función. El lector es
referido por ejemplos a los datos de Bourbié et al. (1987) para permeabilidad de arena de
Fontainebleau, de Ken y Winkler (citados por Mavko y Nur 1997) para permeabilidad de
esferas de vidrio fundidas, y de Bernabe et al. (1982) para permeabilidad de calcita prensada
en caliente. En general, la literatura ha negado sentido físico al abrupto descenso de la
permeabilidad en la proximidad de un punto de inflexión. En la mayoría de los casos los datos
son medidos pero no son reportados, y cuando lo son se explica que corresponden a la zona
donde las medidas no son válidas. En el afán de ajustar una relación de potencia, k ∝ φ m , los
datos en la zona de decaimiento rápido de la permeabilidad son simplemente descartados. En
algunos casos se ajusta la relación k ∝ φ m por tramos. Recientemente Mavko y Nur (1997)
ajustaron la relación k ∝ (φ − φc ) a los datos mencionados con notable éxito, φc es una
3
porosidad pseudocrítica que cumple la función de parámetro de ajuste. Mavko y Nur, sin
embargo, no explican el significado físico de φc , no reconocen la existencia de una longitud
característica del espacio poroso y menos insinúan la posible existencia de un punto de
inflexión a porosidades más bajas que φc en las curvas de permeabilidad examinadas. A modo
anecdótico cabe mencionar que en el desarrollo del trabajo teórico de Wong et al. (1984) para
el modelo de encogimiento de poros, en un pasaje del trabajo menciona que no fue posible
calcular permeabilidades para factores compactación x < 0.25 por problemas numéricos. A la
luz de los resultados presentados en este trabajo cabe preguntarse si la sinuosidad que exhiben
las curvas de permeabilidad vs porosidad a bajos valores de x en coordenadas logarítmicas
pudo confundir a Wong y colaboradores.
Resultados y Discusión
202
(a)
(b)
Figura 6.20 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
203
(a)
(b)
Figura 6.21 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
204
(a)
(b)
Figura 6.22 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
205
(a)
(b)
Figura 6.23 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
206
(a)
(b)
Figura 6.24 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con
una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
207
(a)
(b)
Figura 6.25 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica
decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
208
(a)
(b)
Figura 6.26 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con
una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
209
(a)
(b)
Figura 6.27 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con
una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de compactación.
(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.
Resultados y Discusión
210
Teoría
A continuación se demuestra que los puntos de inflexión en compactaciones intensas
existen en la solución del modelo de transporte propuesto, es decir, que no son un efecto
numérico como supusieron Wong et al. (1984). El significado de estos puntos de inflexión se
encuentra a la luz de la teoría de percolación extendida al caso más general x ∈ ]0, xc ] , lo que
de aquí en adelante se denomina proceso de semi-percolación.
En el modelo de compactación, es posible en principio determinar expresiones
analíticas de las propiedades de transporte en términos de las restantes variables del modelo;
porosidad, intensidad de compactación y conectividad de la red. El desarrollo se obtiene
mediante teoría de campo medio aplicada sobre la evolución de la distribución de tamaño de
poros a lo largo del proceso de compactación. En la Sección 6.1 se demostró que la evolución
de la distribución puede ser deducida a partir de balances diferenciales de poblaciones de
poros en la distribución.
La ecuación autoconsistente que define la conductancia efectiva de una red es
(i)
N g ( rmáx )
 g ef − g
∑
ef
∫ 
i =1 g ( r ( i ) )  g + ηg
mín
 (i )
 f ( g ; φ )dg = 0

(6.26)
donde f ( i ) (r ; φ ) es la definición analítica de la distribución f sobre el dominio en r del modo
i-ésimo a un valor dado de porosidad, η = z / 2 − 1 es un término que depende de la
conectividad de la red. Resulta imposible expresar la evolución de los modos en términos
explícitos de la porosidad normalizada, pero sí es posible hacerlo en términos de la variable de
avance ξ . De cualquier forma, aunque la variable ξ simplifica el problema, la ecuación sólo
define implícitamente la conductancia efectiva en el caso simple de una distribución uniforme
con dos modos, y por lo tanto su solución es numérica.
Resultados y Discusión
211
Sin embargo, podemos estudiar en forma completa un modelo más simple de
compactación. Consideremos un espacio poroso compuesto por elementos de igual tamaño,
aleatoriamente se compactan de acuerdo a un factor de compactación x y los elementos son
compactados sólo una vez. Es decir una vez compactados alcanzan su radio mínimo. Este
problema genera la transferencia de elementos entre dos modos, es decir, corresponde al
problema de conducción en una distribución binaria. La distribución de tamaño de poros es
f (r ) = p1δ (r − r1 ) + p2δ (r − r1 x)
(6.27)
Y la distribución de conductancias es
f ( g ) = p1δ ( g − g1 ) + p 2δ ( g − g 2 )
(6.28)
g1 = g (r1 ) ; g 2 = g (r1 x) .
De acuerdo a la condición de normalización de la distribución, la sumatoria de las
probabilidades de los dos modos es unitaria. En la distribución binaria esto es
p 2 = 1 − p1
(6.29)
En este caso no son necesarios los balances de población, ya que este es un problema
univariante en donde puede ser elegida como variable de avance p1 para definir la
distribución y las propiedades macroscópicas del sistema en cualquier etapa del proceso de
compactación. La aplicación de la aproximación de medio efectivo resulta en la siguiente
ecuación cuadrática que define la conductancia efectiva
ηg ef + (( g 2 − ηg1 ) p1 + (g1 − ηg 2 ) p 2 )g ef − g1 g 2 = 0
2
(6.30)
Resultados y Discusión
212
Cuya la solución es
g ef =
(6.31)
− b + b 2 + 4ηg1 g 2
2η
b = ( g 2 − ηg1 ) p1 + (g1 − ηg 2 ) p 2
La permeabilidad y la conductividad eléctrica en el modelo son múltiplos de la
conductancia efectiva. Por lo tanto el punto de inflexión ocurre a la misma porosidad para la
conductancia efectiva y para otras propiedades de transporte.
La porosidad normalizada en la red cuadrada queda definida como
(6.32)
∞
φ
=
φ0
∫ r ( p δ (r − r ) + p δ (r − r x))dr
1
1
2
1
0
∞
∫ rδ (r − r )dr
= p1 + p 2 x
1
0
Y en la red cúbica como
(6.33)
∞
φ
=
φ0
2
∫ r ( p1δ (r − r1 ) + p 2δ (r − r1 x))dr
0
∞
∫ r δ (r − r )dr
= p1 + p 2 x 2
2
1
0
Cabe notar que en el caso x = 0, que es el proceso de percolación, la porosidad
normalizada en ambas redes equivale exactamente a la fracción de conductores p1.
Resultados y Discusión
213
El exponente de la relación de potencia entre la propiedad de transporte y la porosidad
queda definido como
d ln g e
m=
d ln φ
(6.34)
El punto de inflexión queda definido como el estado en que la derivada con respecto a
la porosidad del exponente de la relación de potencia entre la propiedad de transporte y la
porosidad se anula, esto es,
dm
=0
dφ
(6.35)
Una forma equivalente y más simple de determinar este punto es
d 2 ln g ef
=0
dp12
(6.36)
que en la ecuación de conductancia define la condición equivalente del punto de inflexión
− bb' 2 + (4ηg1 g 2 + b 2 )b" = 0
(6.37)
⇔ ( g1 − g 2 ) 2 (1 + η ) 2 (− g1 + g 2η + ( g1 − g 2 )(1 + η ) p1 ) = 0
Al desarrollar esta expresión la probabilidad a la que ocurre la transición resulta igual a
p* =
g1 − g 2η
( g 1 − g 2 )(1 + η )
(6.38)
Resultados y Discusión
214
Ahora para la permeabilidad en la red cuadrada (ver Capítulo 4)
g1 = g (r1 ) = αr13
(6.39)
g 2 = g (r1 x) = αr13 x 3 = g1 x 3
η =1
Reemplazando en la Ecuación (6.38) resulta
p* = 1/ 2
(6.40)
que es invariante e idéntico al umbral crítico de percolación de la red cuadrada. Este resultado
implica que para cualquier factor de compactación existe un punto de inflexión en la curva de
evolución de la propiedad de transporte y que ocurre siempre a un valor fijo de p e igual a la
probabilidad de percolación crítica. La Figura 6.28 muestra la permeabilidad normalizada
EMA del modelo binario versus la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red
cuadrada para distintos factores de compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de
puntos de inflexión en p1 mediante la Ecuación (6.40).
Por otro lado, la porosidad a la que ocurre la inflexión resulta dependiente de la
intensidad de compactación de acuerdo a la Ecuación (6.32). La inflexión de las curvas de
permeabilidad en la red cuadrada es
φ * 1+ x
=
φ0
2
(6.41)
La Figura 6.29 muestra la permeabilidad normalizada EMA del modelo binario versus
porosidad normalizada para el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de
compactación x. La Ecuación (6.41) y la Figura 6.29 indican que el punto de inflexión no es
un límite único sino que resulta dependiente de la intensidad del proceso de compactación.
Resultados y Discusión
Figura 6.28 Permeabilidad normalizada vs fracción de enlaces de alta conductancia p1 para el
modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos
corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.29 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada para el modelo binario en una
red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos corresponden a la predicción
de puntos de inflexión.
215
Resultados y Discusión
216
De acuerdo a la Ecuación (6.38) la transición en conductividad eléctrica ocurre a una
fracción p1 igual a
p* =
g1 − g1 x
1
=
2( g1 − g1 x) 2
(6.42)
Es decir, los puntos de inflexión en las curvas de conductividad eléctrica en la red
cuadrada existen y ocurren a una fracción de enlaces de alta conductancia p1 idéntica a la del
caso de la permeabilidad e igual a la probabilidad de percolación crítica de esta red.
La porosidad normalizada a la que ocurre la transición se encuentra dada también por
la Ecuación (6.32), es decir, resulta dependiente a la intensidad del proceso de compactación.
La Figura 6.30 muestra la conductividad eléctrica normalizada EMA del modelo
binario versus la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red cuadrada para distintos
factores de compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de puntos de inflexión en p1
mediante la Ecuación (6.42). La Figura 6.31 muestra la conductividad eléctrica normalizada
EMA del modelo binario versus porosidad normalizada para el modelo binario en una red
cuadrada para distintos factores de compactación x. La Ecuación (6.41) y la Figura 6.31
indican que el punto de inflexión no es un límite único sino que resulta dependiente de la
intensidad del proceso de compactación.
Veamos que ocurre con la permeabilidad en una red cúbica,
g1 = g (r1 ) = αr14
g 2 = g (r1 x) = αr14 x 4 = g1 x 4
η=2
(6.43)
Resultados y Discusión
Figura 6.30 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductancia
p1 para el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los
círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.31 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el modelo
binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas
corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
217
Resultados y Discusión
218
Reemplazando en (6.38) resulta
p* =
1 − 2x4
3(1 − x 4 )
(6.44)
A diferencia de la red cuadrada, en la red cúbica este punto no ocurre a un valor fijo de
la fracción de enlaces p, sin embargo, como el término x4 es muy pequeño en la mayoría de los
casos ocurre que este límite es cercano a 1/3 que es la probabilidad de percolación crítica de la
red cúbica de acuerdo a la teoría de campo medio. Cuando x = 0 la transición de régimen de
acuerdo a (6.44) ocurre exactamente a la probabilidad crítica de percolación de esta red.
Por otro lado, como la probabilidad p del punto de inflexión se encuentra contenida en
el dominio [0,1] podemos establecer que existe un límite para el factor de compactación sobre
el que la curva de permeabilidad no exhibe cambio en el exponente de la ley de transporte. En
el lenguaje de las transiciones de fase este factor de compactación xc corresponde a la curva de
compactación crítica, esto es la cota superior en x a la que puede ocurrir la transición
conductor-conductor débil existente en el modelo binario, esto es,
1
xc =  
2
1/ 4
= 0.8409
(6.45)
Para factores de compactación distintos de 0 la fracción de enlaces a la que ocurre la
transición de semipercolación resulta similar a pc = 1/3 para valores de x lejos del factor crítico
de compactación xc. Así, cuando la compactación es intensa, x tiende a 0, la probabilidad de
transición es distinta pero cercana a pc, sólo en las cercanías de xc la probabilidad de transición
muestra una dependencia fuerte de x pero aquí la inflexión es apenas notable en la evolución
de la propiedad de transporte. La Figura 6.32 muestra la fracción de enlaces en la transición de
permeabilidad versus el factor de compactación x para el modelo binario en una red cúbica.
Cuando x = 0 el proceso es percolativo y la fracción de enlaces en la transición coincide con la
Resultados y Discusión
219
probabilidad de percolación bajo el análisis de teoría de campo medio. La envolvente de
transiciones de semipercolación muestra un punto crítico en x.
Figura 6.32 Fracción de enlaces en la transición de permeabilidad vs factor de compactación x para
el modelo binario en una red cúbica.
En la red cúbica la porosidad normalizada a la que ocurre la inflexión en la curva de
permeabilidad también depende de la intensidad del proceso de compactación,
φ * 1 + 3x 2 + x 4
=
φ0
3 + 3x 2
(6.46)
La Figura 6.33 muestra la permeabilidad normalizada EMA del modelo binario versus
la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red cúbica para distintos factores de
compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de puntos de inflexión en p1 mediante la
Ecuación (6.44). La Figura 6.34 muestra la permeabilidad normalizada EMA del mismo
modelo. La Ecuación (6.46) y la Figura 6.34 indican que el punto de inflexión no es un límite
único sino que resulta dependiente de la intensidad del proceso de compactación.
Resultados y Discusión
220
Figura 6.33 Permeabilidad normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductancia p1 para el
modelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos en las
curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.34 Permeabilidad normalizada EMA vs porosidad normalizada en una red cúbica del
modelo binario para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas corresponden a
la predicción de puntos de inflexión
Resultados y Discusión
221
Siguiendo el mismo análisis, la conductividad eléctrica en la red cúbica presenta una
transición en
1 − 2x2
p =
3(1 − x 2 )
*
(6.47)
Es decir, presenta inflexiones a fracciones p1 cercanas a 1/3 igual que en el caso de la
permeabilidad.
También esta transición muestra un factor de compactación crítico sobre el que las
curvas de conductividad eléctrica no muestran inflexiones, esto es,
1/ 2
1
xc =  
2
= 0.7071
(6.48)
Luego la porosidad normalizada a la que ocurren los puntos de inflexión de las curvas
de conductividad eléctrica en la red cúbica es
φ * 1 + x2
=
φ0
3
(6.49)
La Figura 6.35 muestra la conductividad eléctrica normalizada EMA del modelo
binario versus la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red cúbica para distintos
factores de compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de puntos de inflexión en p1
mediante la Ecuación (6.47). La Figura 6.36 muestra la conductividad eléctrica normalizada
EMA del mismo modelo. La Ecuación (6.49) y la Figura 6.36 indican que el punto de
inflexión no es un límite único sino que resulta dependiente de la intensidad del proceso de
compactación.
Resultados y Discusión
Figura 6.35 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductancia
p1 para el modelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos
en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
Figura 6.36 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el modelo
binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas
corresponden a la predicción de puntos de inflexión.
222
Resultados y Discusión
223
Algunas conclusiones importantes se pueden extraer de este desarrollo analítico. La
inflexión observada en las curvas de evolución de las propiedades de transporte existe en el
modelo de compactación, estos puntos se encuentran relacionados con estados de transición de
régimen de transporte conductor-conductor débil. La transición de semipercolación ocurre a
fracciones de enlaces p del modo de alta conductancia bien definidos y cercanos a la
probabilidad de percolación clásica en ambas redes. En términos de la porosidad el punto de
transición no es único, en general, sino que resulta mucho más sensible a la intensidad del
proceso de compactación y a las características de cada medio particular pues esta propiedad
depende de la integración sobre la distribución de tamaño en las distintas etapas del proceso de
compactación.
Las transiciones de semipercolación son el producto de la existencia de modos
diferenciados en la evolución de la distribución de tamaño de poros. Resulta, sin embargo,
más difícil determinar criterios analíticos de transición sobre la base del desarrollo de
expresiones explícitas para la conductancia efectiva en distribuciones continuas como las
empleadas aquí en simulación de Monte Carlo.
Los puntos críticos determinados en la transición de semipercolación existen en el
modelo binario y tal vez también en el modelo de Wong et al. (1984). Los puntos críticos
definen zonas en el espacio de las propiedades elásticas de los materiales porosos y de la
intensidad de compactación de materiales que pueden presentar cambios en el régimen de
transporte durante su compactación.
Resultados y Discusión
224
6.3 Porosimetría en redes de poros
Las Figuras 6.37 a 6.44 muestran curvas de inyección de fluido no mojante, en este
caso mercurio, en redes de poros cuadradas y cúbicas, a distintos niveles de compactación que
van desde débil a severo. Los resultados en estas figuras fueron generados mediante el
algoritmo de simulación de Monte Carlo de inyección de mercurio en redes de poros
desarrollado en el Capítulo 5. Para cada presión aplicada externamente sobre el mercurio se
determina el diámetro del menisco mercurio-vacío que se forma mediante la ecuación de
capilaridad de Laplace, esto es, p c = −4σ cos θ / d , donde pc es la presión capilar, que es la
diferencia de presión a través de la interfase mercurio-vacío, σ es la tensión superficial (485
dyn/cm para mercurio), θ es el ángulo de contacto medido a través de la fase no mojante
(130° a través del mercurio), y d es el radio de curvatura del menisco hemisférico que se forma
en la boca de cada poro accesible al mercurio. Si el tamaño de un poro dado accesible al
mercurio es mayor que d, entonces el poro es inundado completamente de fase no mojante. Si
el tamaño de un poro dado accesible es menor a d, entonces el menisco se mantiene en la boca
del poro a la espera que la presión externa aumente.
Las figuras muestran variación de saturación de mercurio, esto es, volumen de
mercurio normalizado por el volumen total del espacio poroso, en función de presión aplicada
sobre mercurio. Las Figuras 6.37 a 6.40 muestran las curvas correspondientes a redes
cuadradas de 250×250 nodos con distribución de tamaño de poros U(1,2), U(1,20), L(1.5,0.1)
y L(1.5,0.8). Las Figuras 6.41 a 6.44 muestran las curvas correspondientes a simulaciones en
redes cúbicas de 40×40×40 nodos y las mismas distribuciones anteriores.
La compactación débil se obtiene con x = 0.99 y la severa con x = 0, el problema de
percolación. Los círculos blancos en las figuras son puntos de inflexión que indican la
formación de un racimo de mercurio que percola a través de la red de poros. En terminología
de teoría de percolación, en el punto de inflexión se forma un racimo conectado que atraviesa
la red de poros y que se califica como racimo infinito. En un punto de inflexión típico la
presión externa sobre el fluido no mojante es suficiente para penetrar el espacio poroso hasta
Resultados y Discusión
225
atravesar la red de poros completamente. Al igual que Katz y Thompson (1986) aquí
consideramos que el punto de inflexión en la curva de inyección de mercurio marca la presión
umbral p c,u para la formación de un racimo infinito. De la ecuación de Laplace se deduce que
los poros que forman el racimo infinito poseen tamaños l que satisfacen la relación
l ≥ −4σ cosθ / pc ,u . Por otra parte, no es posible formar un racimo infinito con poros de
tamaño estrictamente mayor que − 4σ cos θ / p c ,u . Así entonces, esta expresión define la
longitud característica l c que fija la escala de la permeabilidad como veremos más adelante.
Es importante notar en las Figuras 6.37 a 6.44 que las curvas de inyección de mercurio
en algunos casos muestran más de un punto de inflexión, especialmente aquellas curvas
correspondientes a regímenes de compactación mediana y fuerte donde la distribución de
tamaño de poros evoluciona de monomodal a multimodal (ver por ejemplo Figuras 6.1, 6.3,
6.5 y 6.7). Sin embargo, solo un punto de inflexión marca la presión umbral, esto es, la presión
mínima necesaria para formar un racimo de mercurio infinito. Tal punto de inflexión es
marcado con el círculo blanco antes referido en cada una de las curvas de inyección de
mercurio en las Figuras 6.37 a 6.44. En situaciones de compactación donde las distribuciones
desarrollan multimodos, por ejemplo las Figuras 6.1, 6.3, 6.5 y 6.7, cada meseta o plateau de
presión en las curvas de saturación corresponde a la presión mínima necesaria para comenzar a
invadir poros de una cierta población de tamaño. Mientras más alta es la meseta en términos
de presión menor es el tamaño de poros de la población invadida. Entonces, se puede concluir
que cada una de las inflexiones de la curva de saturación corresponde a la presión mínima
necesaria para invadir los poros de cada uno de los modos de la distribución. Adicionalmente,
como se discutió antes, la inflexión marcada con el punto blanco en las Figuras 6.37 a 6.44
corresponde a la invasión de la población de poros del modo de la distribución de tamaño que
controla la permeabilidad del medio.
Las curvas de porosimetría en redes de poros se utilizan a continuación para determinar
la longitud crítica de la microestructura porosa que controla la permeabilidad.
Resultados y Discusión
226
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.37 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros
cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).
La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,2). Círculos blancos indican la presión
umbral de la red.
Resultados y Discusión
227
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.38 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros
cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e). La
distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,20). Círculos blancos indican la presión
umbral de la red.
Resultados y Discusión
228
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.39 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros
cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).
La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.1). Círculos blancos indican la
presión umbral de la red.
Resultados y Discusión
229
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.40 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros
cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).
La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.8). Círculos blancos indican la
presión umbral de la red.
Resultados y Discusión
230
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.41 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros cúbica
de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).
La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,2). Círculos blancos indican la presión
umbral de la red.
Resultados y Discusión
231
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.42 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros cúbica
de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).
La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,20). Círculos blancos indican la
presión umbral de la red.
Resultados y Discusión
232
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.43 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros cúbica
de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).
La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.1). Círculos blancos indican la
presión umbral de la red.
Resultados y Discusión
233
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 6.44 Evolución de curvas de saturación ( S nw ) o presión capilar ( Pc ) de una red de poros cúbica
de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).
La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.8). Círculos blancos indican la
presión umbral de la red.
Resultados y Diuscusión
234
6.4 Longitudes de escala y sus evoluciones en redes sometidas a compactación
Diversas longitudes de escala han sido sugeridas a fin de relacionar la conductividad
eléctrica de un medio poroso saturado con su permeabilidad. En este trabajo se calcularon tres
longitudes de escala: el diámetro hidráulico, d c , la longitud lambda, Λ , y la longitud crítica
l c . El diámetro hidráulico corresponde a la razón entre el volumen de poros y su área
superficial, la longitud lambda considera el espacio poroso conectado dinámicamente en un
experimento de flujo eléctrico, y la longitud crítica queda determinada mediante un
experimento de porosimetría y corresponde al tamaño de poro que una vez invadido por fluido
no mojante no se puede impedir que atraviese el medio completamente sin ayuda adicional. En
esta sección se presentan resultados para d h y Λ en redes cúbicas solamente. La sección
siguiente se dedica a l c para redes cúbicas y cuadradas. La literatura ha mostrado una y otra
vez que el diámetro hidráulico no es un buen predictor de la permeabilidad. La falla se debe a
que no representa adecuadamente el espacio poroso conectado dinámicamente en situaciones
de flujo de fluidos. Los resultados de diámetro hidráulico se informan aquí como mera
formalidad y se limitan a redes cúbicas. La longitud lambda ha sido ofrecida en el mismo nivel
que la longitud crítica. La literatura señala que ambas longitudes son buenas predictoras de la
permeabilidad. Sin embargo, los estudios se han limitado a rangos modestos de porosidad.
Aparentemente, la longitud lambda no es tan buen predictor en todo el rango de porosidad si
se consideran intervalos amplios. Las razones deben quedar claras después de analizar los
resultados de longitud crítica en la siguiente sección. La longitud lambda se calcula aquí para
redes cúbicas solamente.
Longitud hidráulica
La Figura 6.45 muestra el diámetro hidráulico normalizado versus la porosidad
normalizada para una red cúbica decorada con diversas distribuciones de tamaño de poros a
distintas intensidades de compactación.
Resultados y Diuscusión
235
El resultado para x = 0, a primera vista extraño, se puede explicar fácilmente. El
diámetro hidráulico permanece constante dado que el efecto neto de cerrar poros simplemente
empobrece el muestreo de la distribución pero la mantiene prácticamente inalterada. La curva
para x = 0 tiene sentido sólo hasta la porosidad que marca el punto de percolación. Para
valores de x mayores a 0, la compactación modifica la distribución inicial de tamaño de poros.
Así, el diámetro hidráulico disminuye a medida que la porosidad disminuye, un resultado
esperado. Un análisis más detallado de los resultados en la Figura 6.45 muestra la
insensibilidad del diámetro hidráulico a la rica y compleja evolución de la distribución de
tamaño a medida que la red de poros es compactada.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 6.45 Diámetro hidráulico normalizado vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada
con distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y (d) L(1.5,0.8) a
distintas intensidades de compactación dadas por el factor x.
Resultados y Diuscusión
236
Longitud lambda
La Figura 6.46 muestra la longitud lambda normalizada versus la porosidad
normalizada para una red cúbica decorada con diversas distribuciones de tamaño de poros a
distintas intensidades de compactación. El resultado es sorprendente, la longitud lambda
normalizada no es sensible a cambios en el factor de compactación. Un análisis más detallado
de los resultados en la Figura 6.46 muestra que la longitud lambda, al igual que el diámetro
hidráulico, es insensible a la rica y compleja evolución de la distribución de tamaño de poros a
medida que la red es compactada.
(a)
(c)
(b)
(d)
Figura 6.46 Longitud lambda normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica con
distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y (d) L(1.5,0.8) a
distintas intensidades de compactación x. La ampliación muestra Λ a baja porosidad.
Resultados y Discusión
237
6.5 Longitud característica y su evolución en redes sometidas a compactación
Experimentos Numéricos
Las Figuras 6.47 a 6.54 muestran la evolución de la longitud característica o crítica de
redes de poros a distintos niveles de compactación, o porosidad, a regímenes de compactación
que abarcan el espectro completo de débil a fuerte. La longitud característica se calcula a partir
de simulaciones de Monte Carlo del proceso de inyección de mercurio en redes de poros tal
como se indica en la Sección 6.3. Tanto la longitud característica como la porosidad se
despliegan normalizadas por los respectivos valores que estas propiedades poseen en la red de
poros original sin compactar, es decir, por los valores al comienzo de cada simulación. La
Figuras 6.47 a 6.50 muestran las curvas de longitud característica vs. porosidad normalizada
correspondientes a redes cuadradas de 600×600 nodos con distribuciones de tamaño de poros
U(1,2), U(1,20), L(1.5,0.1) y L(1.5,0.8). La Figuras 6.51 a 6.54 muestran las curvas
correspondientes a redes cúbicas de 50×50×50 nodos con las mismas distribuciones de tamaño
de poros que en el caso anterior. Los regímenes de compactación considerados son x = 0.99,
0.5, 0.3, 0.1 y 0.
Los resultados revelan que compactaciones débiles producen medios que se parecen al
material poroso original, esto es, todos los detalles importantes del medio permanecen; la
longitud característica evoluciona continuamente a medida que la porosidad decrece debido al
proceso de compactación. Un observador del medio poroso a cualquier nivel de porosidad,
mas allá de la obvia reducción de porosidad, no percibiría cambios geométricos-topológicos
significativos en el espacio poroso respecto del espacio original al inicio del proceso de
compactación. La microestructura porosa retiene sus características durante todo el proceso de
compactación. En otras palabras, la microestructura porosa “recuerda” su forma primitiva.
Desde un punto de vista geofísico lo que aquí denominamos compactación débil no es otra
cosa que un proceso diagenético suave que reduce la porosidad del medio poroso pero que no
cambia su clase; una arena de Berea sigue siendo una arena de Berea aunque con menor
porosidad, una dolomita sigue siendo una dolomita aunque con menor porosidad. Cabe
Resultados y Discusión
238
mencionar aquí que la reducción de porosidad de 1 a 0 para el régimen de compactación suave
(x=0.99) es posible en el marco del modelo de compactación propuesto. En la práctica un
régimen de compactación suave puede reducir la porosidad de un material hasta un límite
finito distinto de cero, pero en el proceso la microestructura porosa retendrá las características
del material primitivo.
Los resultados expuestos para los regímenes de compactación severos revelan claras
transiciones en la longitud característica de redes de poros a medida que la porosidad decrece
como consecuencia del proceso de compactación. La longitud característica es continua por
partes solamente, exhibiendo transiciones a porosidades críticas, pseudo críticas en rigor,
finitas. Estas transiciones se asocian a cambios fuertes en la distribución de tamaño de poros,
que incluyen la aparición de nuevos modos en la distribución. Los tramos continuos de
longitud característica corresponden a medios porosos estructuralmente diferentes. Una
discontinuidad marca una transición de una microestructura porosa a otra, el tamaño de los
poros que controlan las propiedades de transporte del medio disminuye abruptamente. La
nueva microestructura “olvida” su origen, su “memoria” es suficiente sólo para recordar la
microestructura al inicio del pedazo continuo de longitud característica al que pertenece.
Desde un punto de vista geofísico lo que aquí denominamos compactación fuerte se puede
asociar a procesos diagenéticos fuertes que no sólo reducen la porosidad sino que transforman
una microestructua porosa en otra, a tal punto que cambia su clase. Por ejemplo la
transformación geofísica y geoquímica de una arena limpia débilmente cementada en una
arena fuertemente cementada y con inclusiones minerales transforma una microestructura
porosa en otra radicalmente distinta. Al igual que en el caso de compactación débil es
necesario indicar que la reducción de porosidad de 1 a 0 y las múltiples transiciones
microestructurales de espacio poroso para el régimen de compactación fuerte es sólo posible
en el marco del modelo de compactación propuesto. En la práctica un régimen de
compactación fuerte puede reducir la porosidad de un material hasta un límite finito distinto
de cero, pero en el proceso puede producir una o más transformaciones de microestructuras.
La compactación fuerte produce espacios porosos ricamente conectados a alta porosidad y
pobremente conectados a baja porosidad.
Resultados y Discusión
239
La longitud característica de un material y sus transiciones durante un proceso de
compactación se encuentran estrechamente relacionadas con la permeabilidad del material, y
su seguimiento permite establecer una clara distinción entre aquellos materiales que son
altamente deformables y los que lo son débilmente.
Es importante señalar que esta nueva transición, aparentemente de primer orden, que
encuentra respaldo en datos experimentales en la literatura, es identificada por primera vez en
este trabajo de tesis. Observando por ejemplo las Figuras 6.47 y 6.49 es fácil establecer una
analogía entre la transición de microestructuras porosas y la transición de primer orden en
fases fluidas.
Finalmente, después de observar el comportamiento no trivial de la longitud crítica
durante un proceso de compactación de redes de poros, especialmente su capacidad para
responder a cambios microestructurales, se puede concluir que es la longitud de escala
apropiada para predecir la permeabilidad y otras propiedades de transporte. A la luz de estos
resultados es imposible que el diámetro hidráulico o la longitud lambda (ver Sección 6.4) sean
capaces de capturar la riqueza y complejidad de espacios porosos que sufren transiciones a
medida que se compactan.
Resultados y Discusión
Figura 6.47 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial U(1,2) a distintas intensidades de compactación.
240
Resultados y Discusión
Figura 6.48 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.
241
Resultados y Discusión
Figura 6.49 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de compactación.
242
Resultados y Discusión
Figura 6.50 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada
con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de compactación.
243
Resultados y Discusión
244
Figura 6.51 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con
una distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
245
Figura 6.52 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con
una distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
246
Figura 6.53 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con
una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
247
Figura 6.54 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con
una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
248
Teoría
Para encontrar una explicación satisfactoria al fenómeno descrito de transición de
microestructuras porosas pensemos por un momento en el problema clásico de percolación,
inicialmente el medio presenta una buena distribución del flujo, todos los conductos aportan al
transporte y se ubican en el modo de los elementos conductores. La estructura conductora
disminuye progresivamente a medida que parte de los poros contenidos en la celda de
conductores son transferidos aleatoriamente a la celda de elementos aislantes. La transición
conductor-aislante ocurre cuando la cantidad de enlaces existentes corresponde a la mínima
necesaria que permite la formación de un camino, esta fracción corresponde a la probabilidad
crítica de percolación que es única para una red determinada y sólo depende de la
conectividad. Ahora, en el problema más general, esto es, durante una compactación intensa
que origina transiciones de régimen conductor-conductor débil observadas como puntos
singulares en las curvas de longitud característica, podemos imaginar que inicialmente cuando
la porosidad es alta y la distribución es unimodal el flujo se distribuye a través de una masa de
conductores de alta conductancia y similar, pero a medida que algunos conductores son
transferidos aleatoriamente hacia modos de menor conductancia se forman patrones de flujo
distinguibles, la conectividad entre los elementos de alta conductividad se empobrece, es
decir, se forman racimos infinitos semipercolativos de elementos de alta conductancia en un
mar de elementos de baja conductancia. Los conductores que pertenecen a estos racimos
satisfacen las siguientes condiciones,
(k )
g sδ ≥ g (rmín
)
δ ∈ Γ (k )
(6.50)
donde δ representa un nodo de la red, sδ uno de los enlaces/poros del nodo δ , k el índice del
modo de los conductores de alta conductancia y Γ (k ) el conjunto de enlaces en el modo k que
forma un racimo infinito.
Resultados y Discusión
249
Si la fracción mínima de enlaces que permite la formación de un racimo conexo es fija,
única para una red determinada e igual a la probabilidad crítica de percolación, podemos
suponer que cuando la fracción de enlaces de alta conductancia es mayor que esta probabilidad
crítica existe un camino de alta conductividad y que cuando esta fracción es menor que la
mínima este camino desaparece o no puede formarse. Esto implica que la primera transición
de régimen de conducción (ver por ejemplo las Figuras 6.47 y 6.51), observada como un
descenso abrupto de la longitud característica que domina el transporte en la red es
determinado por la siguiente condición de equilibrio,
p (1),eq = p c
(6.51)
Aún más, el hecho que la porosidad y la fracción de enlaces conductores jueguen roles
análogos en el problema de percolación clásico y en la compactación con x = 0 puede ser
explicado mediante la Ecuación (6.16) para redes cuadradas y la Ecuación (6.13) para redes
cúbicas. Para x = 0, sólo son apreciables dos modos en la distribución durante su evolución por
compactación, independientemente de la decoración de la red, uno de conductores y otro de
aislantes. De acuerdo a las expresiones, obtenidas mediante la transformada inversa de
Laplace de las Ecuaciones (6.7), la evolución de los modos de la distribución percolativa en
cualquier red es
p (1) = exp(−ξ )
p ( 2) = 1 − exp(−ξ )
(6.52)
La porosidad normalizada de la red cuadrada en el caso x = 0 queda definida como
2
φ / φ 0 = ∑ p ( k ) x k −1 = exp(−ξ ) + x ⋅ (1 − exp(−ξ ) ) = exp(−ξ ) = p (1)
k =1
(6.53)
Resultados y Discusión
250
Del mismo modo la porosidad normalizada en la red cúbica para x = 0 es
2
φ / φ 0 = ∑ p ( k ) x 2(k −1) = exp(−ξ ) + x 2 ⋅ (1 − exp(−ξ ) ) = exp(−ξ ) = p (1)
(6.54)
k =1
Así en ambas redes, cuadrada y cúbica, para el caso x = 0 la fracción de conductores p
resulta exactamente igual a la porosidad normalizada, y por lo tanto en el estado de transición
conductor-aislante ambas resultan igual a la probabilidad crítica de percolación de cada red.
En general, como la definición de la porosidad depende de la definición algebraica de
la distribución de tamaño de poros, de la dimensión y forma de los conductos y de la
intensidad de la compactación, el límite de transición ocurre a distintos valores de porosidad
en los diferentes casos estudiados. Es decir, aunque la porosidad es una variable de estado
natural de los medios porosos y simple de determinar experimentalmente, resulta imposible
definir la condición de equilibrio en forma única en términos de porosidad. Es necesario
recurrir a una variable más fundamental del problema de transporte como es la fracción
semipercolativa de conductores. A fin de probar la validez de la Ecuación (6.51) se presenta la
predicción de la primera transición observada en una red cuadrada y en una cúbica para la
distribución U(1,2) a distintos factores de compactación.
En la red cuadrada la probabilidad crítica de percolación es p c = 0.5 , la condición de
equilibrio (6.51) establece que
exp(−ξ ) = 0.5 ⇒ ξ = 0.6931
(6.55)
Para x = 0, la porosidad normalizada a la que ocurre la transición es (ver Figura 6.1a)
φ / φ 0 = exp(−0.6931) + 0 ⋅ (1 − exp(−0.6931) ) = 0.5
(6.56)
Resultados y Discusión
251
Para x = 0.1, el desarrollo de la expresión de porosidad considerando los tres modos
observados en la evolución de la distribución (ver Figura 6.1b)
φ / φ 0 = exp(−0.6931) + 0.1 ⋅ 0.6931 ⋅ exp(−0.6931) + K
K + (1 − exp(−0.6931) ⋅ (1 + 0.6931)) ⋅ 0.12 = 0.5362
(6.57)
Para x = 0.3, considerando los cuatro términos de la serie que corresponden a los
distintos modos observados en la evolución de la distribución (ver Figura 6.1c)
φ / φ 0 = exp(−0.6931) + 0.3 ⋅ 0.6931 ⋅ exp(−0.6931) + K
K + 0.5 ⋅ 0.3 2 ⋅ 0.69312 exp(−0.6931) + K
(
(
))
(6.58)
K + 0.5 ⋅ 0.33 2 − exp(−0.6931) 2 + 2 ⋅ 0.6931 + 0.69312 = 0.6157
Para x = 0.5, el caso límite de factor de compactación para la red cuadrada que origina
la multimodalidad de la distribución (ver Figura 6.1d), la transición ocurre a una porosidad
normalizada igual a
φ / φ 0 = exp(−0.6931) + 0.5 ⋅ 0.6931 ⋅ exp(−0.6931) + K
K + 0.5 ⋅ 0.5 2 ⋅ 0.69312 exp(−0.6931) + 0.1667 ⋅ 0.5 3 ⋅ 0.69313 ⋅ exp(− 0.6931) + K
(6.59)
K + 0.042 ⋅ 0.5 4 0.69314 ⋅ exp(−0.6931) = 0.7071
Es decir, los puntos de quiebre o puntos de discontinuidad de la primera derivada en la
curva de longitud crítica (ver Figura 6.1d) corresponden también a transiciones como las antes
señaladas.
Un aspecto no estudiado de esta transición de semipercolación es el criterio que
satisface el punto crítico de la primera transición en el modelo de compactación, esto es, el
máximo valor del factor de compactación al que ocurren puntos singulares en la curva de
Resultados y Discusión
252
longitud característica. Sin embargo, este aspecto sí fue estudiado en el caso mas simple de
una distribución binaria (ver Sección 6.2).
Ahora, en la red cúbica la Ecuación (6.51) establece la siguiente condición de
equilibrio
exp(−ξ ) ≈ 0.2488 ⇒ ξ = 1.3911
(6.60)
Para x = 0 (ver Figura 6.5a), la porosidad de transición normalizada es igual a la
probabilidad crítica de percolación en la red cúbica,
φ / φ 0 = exp(−1.3911) + 0 2 ⋅ (1 − exp(−0.6931) ) = 0.2488
(6.61)
Para x = 0.1 se observan tres modos en la evolución de la distribución (ver Figura
6.5b), luego la porosidad de transición es
φ / φ 0 = exp(−1.3911) + 0.12 ⋅ 1.3911 ⋅ exp(−1.3911) + K
K + 0.14 ⋅ (1 − exp(−1.3911)(1 + 1.3911)) = 0.2523
(6.62)
A x = 0.3 se aprecian cuatro modos (ver Figura 6.5c), así
φ / φ 0 = exp(−1.3911) + 0.3 2 ⋅ 1.3911 ⋅ exp(−1.3911) + K
K + 0.5 ⋅ 0.3 4 ⋅ 1.39112 exp(−1.3911) + K
(6.63)
K + 0.5 ⋅ 0.36 (2 − exp(−1.3911)(2 + 2 ⋅ 1.3911 + 1.39112 )) = 0.2820
Es notorio que los términos superiores de la serie que definen la porosidad aportan muy
poco a la porosidad, pues acompañan potencias altas del factor de compactación que siempre
es menor que la unidad.
Resultados y Discusión
253
El caso x = 0.5 también corresponde a una evolución multimodal de la distribución (ver
Figura 6.5d), es el caso límite en que se satisface que los nuevos modos generados en la
distribución quedan fuera del dominio del modo original. La predicción aproximada
considerando sólo los términos correspondientes a cuatro de los modos observados es,
φ / φ 0 = exp(−1.3911) + 0.5 2 ⋅ 1.3911 ⋅ exp(−1.3911) + K
K + 0.5 ⋅ 0.5 4 ⋅ 1.39112 exp(−1.3911) + K
(6.64)
K + 0.1667 ⋅ 0.5 6 ⋅ 1.39113 ⋅ exp(−1.3911) ≈ 0.3556
En las Figuras 6.47 y 6.54 se aprecia la concordancia entre estas predicciones y los
resultados de longitud crítica obtenidos mediante simulación de Monte Carlo de porosimetría.
La interrogante inmediata que surge es si es posible predecir la segunda transición
(k )
empleando argumentos similares. Cuando la fracción de poros con tamaño superior a rmín
es
menor que la probabilidad crítica de percolación de la red es imposible la formación de un
(k )
, por lo tanto el nuevo racimo que domina el
racimo infinito de poros que satisfagan r ≥ rmín
transporte corresponde al conjunto de poros de tamaño mayor que el mínimo tamaño del modo
(k )
)
siguiente k + 1 , así los poros que antes formaban un racimo infinito Γ (k ) tal que g sδ ≥ g (rmín
bajo la fracción crítica pasan a formar parte de un nuevo racimo Γ ( k +1) de enlaces de tamaño
( k +1)
r ≥ rmín
. Es decir, en la segunda transición se satisface que
p (1),eq + p ( 2 ),eq = p c
(6.65)
El caso x = 0 presenta una transición única que es la de percolación. No así el caso
x = 0.1 en una red cuadrada, en la Figura 6.47 se observan al menos dos discontinuidades en
la longitud crítica para este factor de compactación.
Resultados y Discusión
254
De acuerdo a la Ecuación (6.65) la segunda transición en la red cuadrada satisface
exp(−ξ ) + ξ exp(−ξ ) = 0.5 ⇒ ξ = 1.67835
(6.66)
Luego la porosidad normalizada a la que ocurre esta segunda transición en la red
cuadrada para x = 0.1 es
φ / φ 0 = exp(−1.6783) + 0.1 ⋅ 1.6783 ⋅ exp(−1.6783) + K
K + (1 − exp(−1.6783) ⋅ (1 + 1.6783)) ⋅ 0.12 = 0.2230
(6.67)
El caso x = 0.3 resulta interesante en este análisis puesto que permite extender el
criterio a las cuatro transiciones observadas en los resultados de simulación (ver Figura 6.47).
De acuerdo a la Ecuación (6.65), la segunda transición ocurre en
φ / φ 0 = exp(−1.6783) + 0.3 ⋅ 1.6783 ⋅ exp(−1.6783) + K
K + 0.5 ⋅ 0.3 2 ⋅ 1.6783 2 exp(−1.6783) + K
K + 0.5 ⋅ 0.3 (2 − exp(−1.6783)(2 + 2 ⋅ 1.6783 + 1.6783
3
2
)) = 0.3107
(6.68)
La tercera transición satisface la siguiente condición de equilibrio
p (1),eq + p ( 2),eq + p ( 3),eq = p c
(6.69)
Es decir, en la red cuadrada
exp(−ξ ) + ξ exp(−ξ ) + 0.5ξ 2 exp(−ξ ) = 0.5 ⇒ ξ = 2.67406
(6.70)
Resultados y Discusión
255
Lo que para la distribución U(1,2) en la red cuadrada para x = 0.3 ocurre a una
porosidad normalizada igual a
φ / φ 0 = exp(−2.6741) + 0.3 ⋅ 2.6741 ⋅ exp(−2.6741) + K
(6.71)
K + 0.5 ⋅ 0.3 2 ⋅ 2.67412 exp(−2.6741) + K
K + 0.5 ⋅ 0.33 (2 − exp(−2.6741)(2 + 2 ⋅ 2.6741 + 2.67412 )) = 0.1600
La predicción de la cuarta transición requiere desarrollar la expresión de evolución del
cuarto modo intermedio. Esta satisface, de acuerdo al análisis anterior, la siguiente expresión
p (1),eq + p ( 2),eq + p ( 3),eq + p ( 4 ),eq = p c
(6.72)
exp(−ξ ) + ξ exp(−ξ ) + 0.5ξ 2 exp(−ξ ) + 0.1667ξ 3 exp(−ξ ) = 0.5 ⇒ ξ = 3.67206
(6.73)
Entonces
El cálculo de la porosidad normalizada a la que ocurre esta transición considerando los
primeros cuatro términos de la serie indica que es igual a
φ / φ 0 = exp(−3.6721) + 0.3 ⋅ 3.6721 ⋅ exp(−3.6721) + K
K + 0.5 ⋅ 0.3 2 ⋅ 3.67212 exp(−3.6721) + K
(6.74)
K + 0.1667 ⋅ 0.33 ⋅ 3.67213 ⋅ exp(−3.6721) = 0.075
Las Tablas 6.2 y 6.3 resumen los límites de transición en porosidad calculados
mediante el desarrollo indicado para la distribución U(1,2) en redes cuadrada y cúbica. La
predicción resulta prácticamente exacta en todos los casos calculados. El análisis presentado
es válido también para otras distribuciones más complejas que presentan la misma evolución
Resultados y Discusión
256
multimodal en compactaciones intensas, por ejemplo para la distribución L(1.5,0.1), por las
siguientes razones:
1. Al definir el criterio de equilibrio interesa la evolución de las poblaciones de los modos,
esto es, la fracción de enlaces que pertenece a cada modo y no la distribución dentro de
cada uno, así las ecuaciones de evolución de p (6.4, 6.5 y 6.6) son válidas también para la
distribución L(1.5,0.1) cuando presenta modos separados.
2. La porosidad en estas distribuciones sigue también las Ecuaciones (6.13) para redes
cúbicas y (6.16) para redes cuadradas.
3. El criterio de transición es el mismo.
Ahora si se observan las Figuras 6.49 para red cuadrada y 6.53 para red cúbica es
notorio que los puntos de transición en porosidad normalizada de la longitud crítica para la
distribución L(1.5,0.1) ocurren a los mismos valores que en la distribución U(1,2) para cada
red lo que resulta una prueba de lo señalado.
Tabla 6.2 Predicción de puntos de inflexión en red cuadrada con distribución U(1,2).
Factor de
1ra
2da
3ra
4ta
compactación x
ξ=0.6931
ξ=1.67835
ξ=2.67406
ξ=3.67206
0
0.5
--
--
--
0.1
0.5362
0.2230
0.0924
0.042
0.3
0.6157
0.3107
0.1600
0.075
0.5
0.7071
0.4322
0.2637
0.1628
Resultados y Discusión
257
Tabla 6.3 Predicción de puntos de inflexión en red cúbica con distribución U(1,2).
Factor de
1ra
2da
3ra
4ta
compactación x
ξ=1.3911
ξ=2.6992
ξ=3.9283
ξ=5.1184
0
0.2488
--
--
--
0.1
0.2523
0.0690
0.0205
0.0063
0.3
0.2820
0.0858
0.0280
0.0095
0.5
0.3556
0.1321
0.0527
0.0219
Para las distribuciones anchas que no presentan modos separados durante su evolución,
por ejemplo la distribución U(1,20), la condición de equilibrio continúa siendo válida, sin
embargo, para lograr una predicción correcta de las transiciones en longitud característica se
deben emplear las ecuaciones de evolución de distribuciones que presentan solapamiento de
modos y la definición de porosidad normalizada respectiva.
A continuación se ilustra el método para la distribución U(1,20) en una red cuadrada
con x = 0.1, caso que fuera desarrollado en la Sección 6.1. La primera transición ocurre
cuando la fracción de elementos que pertenece al primer modo es igual a la probabilidad
crítica de percolación de esta red, esto es,
p (1) = p c ⇒ 0.9474 exp(−ξ ) = 0.5
ξ = 0.6391
(6.75)
De acuerdo a la expresión de porosidad normalizada (6.16) reemplazando x y ξ resulta
φ / φ 0 = 0.5627
(6.76)
Resultados y Discusión
258
En concordancia con el resultado de Monte Carlo (ver Figura 6.48). La segunda
transición debería ocurrir cuando la suma de las fracciones de elementos que pertenecen a los
dos primeros modos es igual a la probabilidad crítica de percolación de la red, esto es,
p (1) + p ( 2 ) = p c ⇒ exp(−ξ )(1 + 0.5263ξ ) = 0.5
ξ = 1.1744 , φ / φ 0 = 0.3483
(6.77)
Sin embargo, de acuerdo a los resultados de Monte Carlo esta predicción es errónea, a
esta porosidad no se observa ningún punto singular en la curva de longitud característica
respectiva. Tal vez las poblaciones que se ubican en submodos no controlan el transporte en la
red en ninguna etapa de la compactación.
Veamos que ocurre si consideramos que la fracción de los elementos de los tres
primeros modos es igual a pc, esto es,
p (1) + p ( 2) + p ( 3) = p c ⇒ exp(−ξ )(1 + 0.9474ξ ) = 0.5
ξ = 1.6252 , φ / φ 0 = 0.2317
(6.78)
Efectivamente, el modo 3 se encuentra separado de los modos 1 y 2, cuando la suma de
los tres modos es considerada el método predice la transición observada en los resultados de
simulación de la evolución de la longitud crítica. Podemos inferir de esta evidencia
experimental que en distribuciones que muestran solapamiento, durante su evolución por
compactación, el transporte es gobernado por las poblaciones de elementos que se encuentran
en los modos separados de la distribución y no por aquellos que se ubican en los dominios de
solapamiento de modos.
En las Tablas 6.6 y 6.7 se resumen los resultados de las transiciones calculadas de
acuerdo a este criterio para la distribución U(1,20) en las redes cuadrada y cúbica.
Resultados y Discusión
259
Tabla 6.6 Predicción de puntos de inflexión en red cuadrada con distribución U(1,20).
Factor x
1ra
2da
3ra
0
0.5
--
--
0.1
0.5627
0.2127
0.0924
0.3
0.7732
0.3851
0.4130
0.5
0.8123
0.6458
0.4130
Tabla 6.7 Predicción de puntos de inflexión en red cúbica con distribución U(1,20).
Factor x
1ra
2da
3ra
0
0.2488
--
--
0.1
0.2805
0.075
--
0.3
0.3817
0.1322
0.0406
0.5
0.5811
0.2230
0.1102
Resultados y Discusión
260
6.6 Relaciones de escalamiento entre la permeabilidad y otras propiedades
A continuación se relacionan las propiedades macroscópicas de medios porosos
mediante relaciones de escalamiento. La primera de ellas es la relación de Katz y
Thompson (1986) entre la permeabilidad k, el factor de formación F y la longitud crítica lc,
esto es,
l c2
k =c
F
(6.79)
El factor de formación es proporcional al inverso de la conductividad eléctrica de un
medio poroso inundado con fluido conductor, esto
es, F ≡ σ 0 / σ . Esta relación fue
deducida para medios tridimensionales, concretamente rocas y arenas consolidadas. Por
este motivo, la relación (6.79) es probada aquí sólo en redes cúbica de poros cilíndricos.
Las Figuras 6.55 a 6.58 de k vs cl c2 / F para redes cúbicas decoradas con diversas
distribuciones de tamaño de poros muestran que la relación (6.79) ajusta bastante bien los
resultados de simulación de Monte Carlo. El resultado es una curva única con pendiente
unitaria para todas las distribuciones estudiadas y para factores de compactación en un
amplio rango. Como los resultados se presentan normalizados es útil indicar el prefactor de
la relación, esto es,
c=
k0 1
lc20 F0
(6.80)
Los resultados en las Figuras 6.55 a 6.58 son importantes a nuestro juicio porque
señalan por primera vez el carácter universal de la relación (6.79). La importancia práctica
de este resultado es fácil de prever. El único parámetro de esta relación tiene significado
físico y puede ser determinado con un punto experimental.
Resultados y Discusión
261
Según se discutió en la Sección 6.5, cada tramo continuo de la longitud
característica corresponde a una misma microestructura porosa que sólo ve reducida su
porosidad durante la compactación. Esta microestructura controla la permeabilidad del
material. En la transición, el control de la permeabilidad pasa de una microestructura a otra
distinta, en otras palabras de un medio poroso de una clase geológica a otra.
Cuando los resultados se representan en la forma k / l c2 vs φ , como en el esquema
de la Figura 6.59, se observa un comportamiento lineal en los tramos que corresponden a
cada régimen de permeabilidad, con leves desviaciones cerca de las regiones de transición.
Es decir, la siguiente relación es válida para cada tramo de porosidad,
k
= α ( φ + b)
l c2
(6.81)
donde b es el coeficiente de posición de esta función de prueba lineal. Ahora, si se
extrapola el régimen lineal hasta un estado hipotético de porosidad en que la permeabilidad
se anula resulta que
φc' + b = 0 ⇒ b = −φc'
(6.82)
Es decir, el término φc' , que en este trabajo denominamos porosidad pseudocrítica,
corresponde a la porosidad de una transición hipotética conductor-aislante que resulta de la
extrapolación de un régimen de permeabilidad. En la Figura 6.59 se ilustra el método de
determinación de este parámetro.
Luego, la segunda relación de prueba o ansatz que se postula en este trabajo es,
(
k
= α φ − φ c'
2
lc
)
(6.83)
Resultados y Discusión
262
Como se muestra en las Figuras 6.60 a 6.67 la forma propuesta es de carácter
universal y resulta adecuada para el ajuste de datos experimentales a lo largo de cada
régimen o tramo de permeabilidad, correspondiente a una cierta microestructura, hasta una
región cercana a la transición a una microestructura diferente y por ende a otro régimen de
permeabilidad.
La relación (6.83), resulta válida en cada uno de los tramos de porosidad que
corresponden a distintos regímenes de transporte en un material sometido a ompactación,
se muestra así como una alternativa a la relación de Katz y Thompson para extrapolar e
interpolar con certeza la permeabilidad a partir de datos experimentales. Los parámetros de
la relación pueden ser inferidos partir de tres puntos experimentales.
Estos resultados muestran que la antigua teoría de Kozeny-Carman, derivada para
medios porosos sobresimplificados, contiene algunos elementos de esta nueva relación
universal. El problema es que las limitaciones intrínsecas de la relación de Kozeny-Carman
han sido aumentadas por el afán de ajustar datos experimentales escasos con fines de
interpolar y extrapolar información. Este afán se ha mantenido por más de 5 décadas, y
continúa en la actualidad a pesar de los trabajos aclaratorios de Katz y Thompson (1986),
Roberts y Schwartz (1985) y Wong et al. (1984) a fines de los 80 y comienzos de los 90.
Prácticas riesgosas en el tratamiento de datos de permeabilidad incluyen (1) el uso de la
teoría de Kozeny-Carman con una longitud característica constante durante todo el proceso
de reducción de porosidad y (2) el simple reemplazo de la longitud característica asociada
al espacio poroso por el tamaño medio de partículas o granos que conforman el material
sólido si es granular o de pseudogranos si el material sólido es consolidado sin grano
definido (3) la extrapolación de permeabilidad obviando la existencia de transiciones de
microestructura.
Respecto a este último punto Mavko y Nur (1997) logran un ajuste satisfactorio de
datos de permeabilidad-porosidad según una modificación a la relación de Kozeny-Carman
reconociendo la existencia de una porosidad pseudocrítica que actúa como parámetro de
ajuste. Sin embargo, en los ajustes que presentan se usa una longitud característica
Resultados y Discusión
263
constante e igual al tamaño de grano. La dependencia de la permeabilidad con la porosidad
resulta en una ley de potencia con exponente 3 como en Kozeny-Carman, en oposición a la
dependencia que muestra la relación k/lc2 ∝ φ . Resultados en la literatura son variados,
pero en general, cuando el ajuste de datos permeabilidad-porosidad se lleva a cabo
mediante relaciones de potencia utilizando una longitud característica constante y
obviando un parámetro de porosidad de transición se observa la sensibilidad del exponente
a la porosidad. En algunos casos se requiere exponentes que varían de 3 a 8 para un mismo
material (ver Bourbié et al. 1987). El análisis de estos resultados a la luz de los resultados
del modelo presentado en este trabajo revela que estos exponentes altos son necesarios
porque los datos que se ajustan se encuentran en la vecindad de un punto de transición de
régimen de transporte. Esta situación es especialmente peligrosa porque se intenta
extrapolar datos de permeabilidad, controlada por un tipo de microestructura, a una zona
donde la permeabilidad es controlada por una microestructura diferente.
Resultados y Discusión
264
Figura 6.55 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radios
inicial U(1,2) para distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
265
Figura 6.56 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radios
inicial U(1,20) para distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
266
Figura 6.57 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radios
inicial L(1.5,0.1) para distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
267
Figura 6.58 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radios
inicial L(1.5,0.8) para distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
268
Figura 6.59 Representación esquemática del método de cálculo de la porosidad pseudo-crítica φc' .
Resultados y Discusión
269
Figura 6.60 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada con
distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
270
Figura 6.61 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada con
distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
271
Figura 6.62 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada con
distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
272
Figura 6.63 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada con
distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
273
Figura 6.64 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada con
distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
274
Figura 6.65 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada con
distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
275
Figura 6.66 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada con
distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.
Resultados y Discusión
276
Figura 6.67 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada con
distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.
Capítulo 7
Conclusiones
En este trabajo se ha estudiado mediante simulaciones numéricas y en forma teórica un
modelo simple de representación de un material poroso que es deformado de acuerdo a un
mecanismo aleatorio de compactación. El valor físico de esta solución es analizado en
términos de la selección de las variables que se han utilizado para describir el problema de
transporte. Estas variables son la distribución de tamaño de poros, el mecanismo de
compactación, la intensidad de compactación, y la conectividad del espacio poroso. Los
métodos y algoritmos desarrollados en el curso de esta tesis han sido ensamblados en un
programa, denominado PROTRAN, al que se puede acceder desde una ventana interfaz
amigable con menú de opciones.
Conclusiones
278
Sobre transiciones de microestructuras porosas
El modelo describe cualitativamente el comportamiento de las propiedades
macroscópicas de materiales porosos sometidos a carga, esto es, la reproducción de los puntos
de inflexión y de los fenómenos críticos observados en los resultados experimentales
disponibles de permeabilidad. La predicción cuantitativa de las propiedades estudiadas es
posible en la medida que se utilice una caracterización adecuada del material de interés y
modelos mecánicos específicos para describir la compactación de segmentos de poro.
El resultado más importante de este trabajo es la demostración de la existencia de
transiciones en el régimen de transporte que ocurren en límites de porosidad que dependen
fundamentalmente de la conectividad promedio del espacio poroso de materiales, de la
intensidad de la compactación y en menor grado de los detalles tales como la distribución
inicial de tamaño de poros.
Las transiciones que ocurren durante compactaciones intensas generan una
diferenciación marcada de las poblaciones de poros, esto es, la aparición de multimodalidad en
la función de distribución de tamaño de poros. A escala macroscópica este fenómeno tiene
consecuencias importantes sobre las propiedades de transporte.
La extensión de la teoría de percolación permite determinar la condición que satisface
un sistema poroso en un cambio de régimen de transporte. La probabilidad crítica de
percolación es la fracción mínima de enlaces necesaria para formar un camino conexo a lo
largo de una red. Cuando en un material existe una población de poros que en proporción es
mayor que la probabilidad crítica de percolación de la red que lo representa, el tamaño
característico de esta población domina las propiedades de transporte del material. Ahora,
durante una compactación, las fracciones de las poblaciones de distinto tamaño varían
permanentemente, la fracción de los poros ubicados en los modos de menor tamaño aumenta a
expensas de las poblaciones de poros de mayor tamaño. Así cuando los poros más grandes se
encuentran en una proporción igual a la probabilidad crítica de percolación existe un camino
Conclusiones
279
crítico conexo de estos poros a través del medio, un avance diferencial en este estado hacia
una porosidad más baja implica, en una muestra representativa, la desaparición del camino
conexo de poros de alta conductancia. Esto se manifiesta como un descenso abrupto en las
propiedades macroscópicas del material tales como la conductividad eléctrica, permeabilidad,
difusividad, etc. En términos precisos las curvas de evolución de las propiedades de transporte
muestran una alta sensibilidad a la porosidad en las cercanías de la transición. Los puntos de
inflexión observados en resultados de permeabilidad experimentales representados en escala
logarítmica no son más que la evidencia de transiciones de régimen de conducción. En el caso
límite de una compactación con bloqueo de poros, la transición es del tipo conductor-aislante,
y ocurre entre dos modos, uno de poros conductores y otro de poros bloqueados. En el caso
más general, cuando el factor de compactación es mayor que cero, la transición ocurre entre
los modos que gobiernan el transporte antes y después del punto de transición.
Aunque la porosidad resulta una variable de avance natural en un proceso de
compactación, resulta difícil determinar un criterio general de transición en términos de ella,
ya que la porosidad es una variable bulto que pondera los poros de una red de acuerdo a su
tamaño y cantidad, no de acuerdo a su aporte efectivo al transporte que depende mas bien de la
accesibilidad de los poros. En el problema de percolación clásico, esta misma diferencia
ocurre entre la fracción de enlaces conductores y la fracción de enlaces del esqueleto
conductor de la red. Por este motivo, es necesario establecer la condición de transición en
función de una variable más fundamental, la fracción de poros de tamaño superior al que
domina las propiedades de transporte del sistema. El criterio general establecido es que la
transición ocurre cuando esta fracción es igual a la probabilidad crítica de percolación de la
red que tiene la misma conectividad promedio que el espacio poroso del material.
La porosidad depende de la forma de la distribución de tamaño de poros y de la
dimensión y forma de los conductos, por lo tanto la predicción de los puntos de transición en
esta variable debe ser determinada en cada caso particular sobre la base del desarrollo de las
ecuaciones de evolución de los modos de la distribución en una compactación. Estas últimas
pueden ser deducidas analíticamente, cuando se conoce el mecanismo de deformación de los
Conclusiones
280
poros, mediante balances diferenciales de las poblaciones de los modos de distinto tamaño. El
desarrollo de estas ecuaciones permite demostrar que en el caso particular de una
compactación intensa, el modelo de compactación aleatorio equivale al problema clásico de
percolación y la porosidad normalizada juega el mismo rol que la fracción de poros
conductores en la red.
El desarrollo de modelos simples, como el sistema binario de conductancias ilustrado
en este trabajo, permitió constatar la validez general de las ideas anteriores. Esto es, la
demostración de la presencia de inflexiones en las curvas de evolución de las propiedades de
transporte en un medio que presenta modos diferenciados durante una compactación. Las
transiciones del modelo binario ocurren cuando una población de poros de mayor tamaño se
encuentra en proporción mayor que la fracción mínima que permite la formación de un
conjunto conexo de estos elementos. Como esta fracción mínima, o probabilidad de
percolación, sólo depende de la conectividad promedio de la red, la definición de los estados
de transición es de carácter estrictamente topológico, es decir, insensible a detalles tales como
las formas y tamaños de los poros. Respecto a este punto, el desarrollo de las expresiones de
porosidad en el modelo binario y en el modelo de Wong et al. (1984) revelan que el límite de
transición en esta variable resulta distinto para cada material poroso particular debido a la
dependencia de esta variable de la dimensionalidad, tamaño y forma de los conductos y a la
intensidad del proceso de compactación. Finalmente, la teoría de campo medio predice un
punto crítico en el factor de compactación que es sugerido en los resultados de simulación,
esto es, el límite de intensidad de compactación bajo el que los materiales porosos no sufren
transiciones de régimen de transporte y pueden ser representados por leyes de potencia simple
o ecuaciones del tipo Carman-Kozeny.
La longitud característica, o longitud crítica, determinada mediante porosimetría fija la
magnitud del tamaño de poro que controla el transporte en un medio heterogéneo. Así esta
longitud fija la escala de las propiedades de transporte.
Conclusiones
281
Durante una compactación débil, la longitud crítica y las propiedades de transporte
disminuyen en forma suave y continua, el medio evoluciona a través de estados que se parecen
al original. Un observador del medio poroso a cualquier nivel de porosidad, mas allá de la
obvia reducción de porosidad, no percibiría cambios geométricos-topológicos significativos en
el espacio poroso respecto del espacio original al inicio del proceso de compactación. La
microestructura porosa retiene sus características durante todo el proceso de compactación. En
otras palabras, la microestructura porosa “recuerda” su forma primitiva. Desde un punto de
vista geológico lo que aquí denominamos compactación débil no es otra cosa que un proceso
diagenético suave que reduce la porosidad del medio poroso pero que no cambia su clase; una
arena de Berea sigue siendo una arena de Berea aunque con menor porosidad, una dolomita
sigue siendo una dolomita aunque con menor porosidad.
Durante una compactación intensa la longitud crítica revela puntos singulares que se
observan a los mismos valores de porosidad en que ocurre una transición de régimen de
transporte. Los tramos suaves y continuos de longitud crítica corresponden a medios porosos
estructuralmente diferentes. Un punto singular en la longitud crítica marca una transición de
una microestructura porosa a otra. La nueva microestructura “olvida” su origen, su “memoria”
es suficiente sólo para recordar la microestructura al inicio del tramo de longitud característica
al que pertenece. Desde un punto de vista geológico lo que aquí denominamos compactación
fuerte se puede asociar a procesos diagenéticos fuertes que no sólo reducen la porosidad sino
que transforman una microestructua porosa en otra, a tal punto que cambia su clase. Por
ejemplo la transformación geofísica y geoquímica de una arena limpia débilmente cementada
en una arena fuertemente cementada y con inclusiones minerales transforma una
microestructura porosa en otra radicalmente distinta.
Las transiciones pueden ser clasificadas de acuerdo a las condiciones que satisfacen
las singularidades observadas en las curvas de evolución de la longitud crítica. En
compactaciones intensas, que generan modos segregados en la distribución, las transiciones se
observan como una discontinuidad de la longitud crítica. En compactaciones que generan
Conclusiones
282
modos solapados las transiciones ocurren como puntos de discontinuidad de la derivada de la
longitud característica.
Aunque la longitud característica se muestra como una variable experimental sensible
a los cambios de microestructura que sufre un medio poroso al ser compactado resulta
imposible determinar experimentalmente en forma directa esta propiedad en materiales
deformables, ya que la presión necesaria para inundar los poros en un estado particular de
porosidad modificaría la estructura del espacio poroso. Una alternativa consiste en realizar
simulaciones del experimento de porosimetría en una red representativa del espacio poroso.
Técnicas experimentales sofisticadas como la resonancia nuclear magnética ofrecen
actualmente la posibilidad de determinar la conectividad y la distribución de tamaño de poros
que son las variables necesarias para alimentar la simulación.
Sobre la relación de la permeabilidad y otras propiedades del espacio poroso
Sobre la base del estudio de los efectos que imprime un proceso de compactación sobre
el espacio poroso de un material es posible postular una relación de carácter universal entre la
permeabilidad y la porosidad para este modelo, esto es, una ley que no cambia en forma para
los distintos materiales estudiados en distintas condiciones de deformación. La ley adopta la
forma k/l c2 ∝ (φ − φ c' ) , donde k es la permeabilidad, lc es la longitud crítica del espacio poroso,
φ la porosidad y φ c' una porosidad pseudo-crítica. La relación es válida en todos los tramos de
porosidad correspondientes a los diferentes regímenes de transporte de un material sometido a
procesos de compactación como los descritos en este trabajo. La ley se simplifica
notoriamente en dos casos, cuando el mecanismo de reducción de porosidad es percolativo y
cuando el proceso de deformación es débil, en el primer caso la porosidad normalizada
pseudocrítica es igual a la probabilidad de percolación de una red representativa del espacio
poroso del material, entonces k / lc2 α (φ − pcφ0 ) ; en el segundo caso no ocurren transiciones de
régimen de transporte, la porosidad pseudocrítica es nula y la ley se reduce a k / l c2 α φ .
Conclusiones
283
Por otro lado, los resultados de simulación en medios tridimensionales muestran que la
relación de Katz y Thompson (1986) es de carácter universal y válida hasta límites de
conductividad muy baja. Es decir, la relación entre la permeabilidad, la longitud característica
y el factor de formación es la misma para materiales que presentan distribuciones de tamaño
muy diferentes. El único parámetro que aparece en la relación es de carácter físico y puede ser
determinado en forma experimental a través de la medición de la conductividad eléctrica, la
permeabilidad y la longitud característica de un material en un estado dado de porosidad.
Es posible que estas leyes sufran modificaciones si la física a escala de poros se
enriquece, sin embargo lo importante es que la ley que emerja tendrá características
universales. Por ejemplo en este trabajo se consideró que la conductancia hidráulica de poros
es proporcional a la cuarta potencia del radio, ley tipo Poiseuille, y que el largo de poros es
constante. Este puede ser un buen modelo para material no consolidado donde el tamaño de
grano no cambia y por tanto tampoco lo hace la longitud de poros entre granos.
Alternativamente se puede considerar que la conductancia hidráulica de poros sea
proporcional a la tercera potencia del radio, la ley sigue siendo Poiseuille, solo que el largo de
poro se reduce a la misma velocidad que el diámetro de poro y por tanto se pierde un radio en
la conductancia. Un modelo de estas características puede ser adecuado para materiales
consolidados.
Sobre la utilidad práctica de los resultados
La necesidad de extrapolar permeabilidades de materiales porosos a partir de datos
escasos es una constante, por ejemplo en la industria petrolera y del gas, en actividades que
involucran suelos, en remediación de suelos. En gran modo la capacidad predictiva de los
simuladores depende de la calidad de estas permeabilidades.
Las leyes derivadas en este trabajo para la permeabilidad, y el reconocimiento de
longitudes características del espacio poroso que controlan la escala de la permeabilidad,
debería constituirse en una herramienta útil para la extrapolación confiable de datos escasos.
Conclusiones
284
En este sentido la relación de Katz y Thompson (1986), permite predecir
permeabilidad a partir del factor de formación, que es fácilmente medible en campo. Esta
posibilidad se utiliza en la industria aunque sin atender la variación no trivial de la longitud
característica con la compactación.
Adicionalmente, si se dispone de una caracterización adecuada del medio, esto es,
información geométrica y topológica del medio, distribución de formas y tamaños de poros
que lo constituyen y las propiedades de deformación del material, las simulaciones del modelo
propuesto aquí permitirían predecir la permeabilidad, y también la conductividad eléctrica o
factor de formación como se conoce en la industria petrolera.
Los resultados aquí no sólo son relevantes al quehacer de la industria petrolera y de gas
sino también al de otras actividades industriales, como lixiviación, sedimentación, hidráulica
en suelos, percolación en catalizadores y cerámicos; y de cuidado medioambiental, como flujo
y transporte de contaminantes en subsuelo y diseño de cubiertas para basureros a rajo abierto.
Sobre la eficiencia de los métodos y sus implementaciones
Los aspectos más relevantes que inciden sobre la eficiencia de una simulación, en
particular, en el cálculo de propiedades de transporte mediante Monte Carlo son la selección
adecuada de un algoritmo de solución de sistemas lineales de gran dimensión, los parámetros
del algoritmo seleccionado y el método de almacenamiento de matrices. El sistema lineal que
define la distribución del flujo en una red de conductores de tamaño estadístico representativo
contiene una cantidad de ecuaciones del orden 105, los elementos que se ubican en la diagonal
de la matriz del sistema, o matriz de conductancias, pueden diferir en varios ordenes de
magnitud en redes heterogéneas que presentan una distribución amplia de valores de
conductancia lo que resulta en un sistema mal condicionado. Por otro lado, la estructura de la
matriz es rala, presenta bandas diagonales y es simétrica. Dadas estas características del
sistema se optó por el uso de un método de sobrerrelajación sucesiva simétrica
Conclusiones
285
precondicionado con el método del gradiente conjugado SSORCG que se encuentra
implementado en rutinas ITPACK. Este se ha empleado en forma satisfactoria en problemas
similares como la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.
La tolerancia empleada se fijó como la mínima que permite el procesador. El
parámetro de relajación del método se eligió sobre la base de pruebas preliminares. El uso de
un parámetro de relajación fijo resulta en una cantidad menor de tiempo de cómputo, este se
fijó en 1.7 para todas las simulaciones. Cabe destacar que la determinación de un criterio
riguroso para su elección resultó compleja, ya que es sensible a muchas variables, por ejemplo
tamaño de la red, amplitud de la distribución de los elementos de conductancia de la red (y por
lo tanto de su evolución) y valor inicial del campo de potencial. Respecto a este último punto,
el uso de la solución de una etapa anterior de compactación como solución inicial mejora
notoriamente el desempeño de la simulación y por lo tanto el tamaño del paso en porosidad
incide sobre el número de iteraciones necesarias para la convergencia.
El tamaño de la matriz de conductancias impide un almacenamiento convencional en
un ordenador personal, en las simulaciones se optó por una alternativa equivalente y mucho
más eficiente, esto es, el almacenamiento ralo simétrico. La reducción del uso de memoria
necesario es notable, de varios ordenes de magnitud en los sistemas que se necesitan en una
simulación estocástica. Dada la relación que muestra la aparición de los elementos en la matriz
con el índice de nodos en la red, se desarrolló un algoritmo de almacenamiento directo en la
forma rala final en redes de conectividad fija y variable.
La solución numérica de la aproximación de medio efectivo en el cálculo de
propiedades de transporte se muestra como un algoritmo robusto y eficiente para la valoración
física de los resultados de una simulación de Monte Carlo. Dado que la ecuación
autoconsistente de EMA tiene solución única, el método de bisección (que no requiere
información diferencial) implementado resultó ser el más adecuado; el intervalo en el que se
encuentra la solución es acotado y la función objetivo presenta un comportamiento monótono.
Conclusiones
286
El algoritmo de porosimetría desarrollado resulta eficiente en la búsqueda de los poros
que pueden ser inundados debido al uso de una lista dinámica que contiene los elementos que
se encuentran en el frente de avance de la fase no mojante. Esta simulación utilizada en
conjunto con microtomografía electrónica de rayos X y algoritmos de análisis de imágenes se
muestra como una alternativa indirecta para la determinación de la longitud crítica pues
permite simular una situación hipotética, esto es, el avance de fluido invasor hasta poros de
dimensión muy pequeña a alta presión sin la deformación de la estructura porosa, que en la
práctica resulta imposible mediante experimentos de porosimetría convencional.
Sobre líneas futuras de investigación y desarrollo
Una línea nueva que se sugiere seguir desarrollando tiene que ver con las transiciones
de microestructuras porosas descubiertas en este trabajo. Para ello se propone estudiar las
transiciones en el marco de la teoría formal de transiciones de fases, que en el caso de fluidos,
espines y semiconductores se encuentra bien elaborada. La teoría de transiciones de fase ha
permitido el desarrollo de ecuaciones de estado que actualmente se utilizan en aplicaciones de
ingeniería.
Para la validación experimental de los resultados de simulación, que se encuentran
respaldados por la teoría desarrollada en esta tesis, se propone el empleo de experimentos de
flujo en micromodelos bidimensionales transparentes de poros impresos de acuerdo a
imágenes de secciones de un medio poroso en distintas etapas de compactación.
Otro aspecto interesante que debiera ser explorado es el efecto de la forma de
segmentos de poro y de mecanismos de compactación sobre la evolución de las propiedades
macroscópicas del medio y, por ende, sobre las relaciones de escalamiento entre estas
propiedades. Para este efecto se dispone de ecuaciones constitutivas que incorporan los
parámetros materiales elásticos para medios con poros de formas especiales como esferoides,
elipsoides, agujas y discos planos.
Conclusiones
287
También se sugiere realizar experimentos de compactación en muestras de materiales
porosos en un equipo de física de rocas en un rango amplio de porosidad. El experimento debe
ser diseñado para que en otros experimentos dispuestos en serie se pueda caracterizar el
material y medir su porosidad, permeabilidad, conductividad eléctrica y longitud crítica. La
caracterización del material alimentada al simulador PROTRAN proporcionaría resultados de
simulación que se podrían validar confrontándolos con los experimentales.
Otra línea de investigación que se recomienda iniciar a la luz de los resultados
expuestos en este trabajo es la extensión a flujo multifásico en medios sometidos a
compactación. El objetivo aquí sería explorar el impacto de compactación sobre
permeabilidades relativas en procesos de drenaje y embebido.
Algunos problemas puntuales de fácil implementación son:
Determinación del coeficiente de difusión de materiales porosos sometidos a
compactación. Las rutinas en el programa PROTRAN pueden ser modificadas fácilmente para
incluir la definición de conductancia en procesos difusivos. El ancho de la distribución de
tamaño de poros es un aspecto interesante a estudiar. En un mismo material pueden coexistir
poros extremadamente pequeños que aceptan difusión balística solamente, poros muy
pequeños que aceptan difusión Knudsen solamente y poros grandes que aceptan difusión
Gaussiana solamente. Esto, que en continuo puede ser muy difícil de simular, en escala
microscópica y con la ayuda de PROTRAN debe ser muy sencillo.
Determinación de un criterio de elección de tamaño óptimo de celda de
renormalización para una función de distribución dada y sus parámetros. La elección se puede
realizar sobre la base de una comparación de resultados de Monte Carlo con la predicción del
método REMA en redes cúbicas de elementos tridimensionales. El impacto de este estudio es
el desarrollo de un simulador que reporte datos confiables de permeabilidad en tiempo real.
Referencias
[Los números en paréntesis cuadrados indican el(los) capítulo(s) donde se realiza la cita]
Ambegaokar, V., Halperin, B. I., y Langer, J. S., 1971, Hopping conductivity in disordered
systems, Phys. Rev. B, 4: 2612-2620. [2,5]
Bear, J., 1972, Dynamics of Fluids in Porous Media, Elsevier Publ. Co., Inc. [1]
Bernabe, Y., Brace, W. F. y Evans, B., 1982, Permeability, porosity, and pore geometry of
hot-pressed calcite, Mechanics of Materials, 1: 173-183. [1]
Referencias
289
Bosl, W. J., Dvorkin, J. y Nur A., 1998, A study of porosity and permeability using a lattice
Boltzmann simulation, Geophys. Res. Lett., 25(9): 1475-1478. [1]
Bourbié, T., Coussy, O. y Zinszner, B., 1987, Acoustics of Porous Media, Gulf Publ. Co.
[1,2,6]
Broadbent, S. R. y Hammersley, J. M., 1957, Percolation processes. I. Crystals and mazes,
Proc. Camb. Phil. Soc., 53: 629-641. [3]
Bustos, C. y Toledo P. G., 2002a, Pore-level modeling of gas and condensate flow in two- and
three-dimensional pore networks. Pore size distribution, pore shape, wettability and
interfacial tension effects on relative permeabilities, Transport in Porous Media,
aceptado. [4]
Bustos, C. y Toledo P. G., 2002b, Interfacial tension effects on the relative permeability of gas
and condensate in three-dimensional pore networks, Latin American Applied Research,
en prensa. [4]
Bustos, C. y Toledo P. G., 2002c, Critical condensate saturation in gas-condensate systems in
three-dimensional pore networks, Latin American Applied Research, sometido. [4]
Bustos, C. y Toledo P. G., 2002d, Pore-level modeling of two-phase flow in three-dimensional
pore networks, en preparación. [4]
Carman, P. C., 1938, Fluid flow through a granular bed, Trans. Inst. Chem. Eng. London, 15:
150-156. [1,2]
Darcy, H., 1856, Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon, Victor Dalmot,
Paris. [1,2]
Referencias
290
Dullien, F. A. L., 1992, Porous Media: Fluid Transport and Pore Structure, 2a. Edición,
Academic Press, USA. [1]
Erdös, P., Haley, S. B., 1976, Random-network models of the conductance of disordered
condensed matter, Phys. Rev. B, 13(4): 1720-1727. [2,4]
Fisch, R. y Harris, A. B., 1978, Critical behavior of random resistor networks near the
percolation threshold, Phys. Rev. B, 18: 416-420. [3]
Fischer, M. E., 1971, Critical phenomena, en Enrico Fermi Summer School, Varenna, Italy,
Course 51, editado por M. S. Green, Academic Press, New York, pp. 1-19. [3]
Flory, P. J., 1941, Molecular size distribution in 3-dimensional polymers: I. Gelation, J. Am.
Chem. Soc., 63: 3083-3090. [3]
Hoshen, J., Kopelman, R., 1976, Percolation and cluster distribution. I. Cluster multiple
labeling technique and critical concentration algorithm, Phys. Rev. B., 1(14): 34383445. [4]
Jackson, G. W. y James, D. F., 1986, The permeability of fibrous porous media, Can. J. Chem.
Eng., 64: 364-374. [1]
Johnson, D. L., Koplik, J. y Schwartz, L. M., 1986, New pore size parameter characterizing
transport in porous media, Phys. Rev. Lett., 57: 2564. [3,5]
Kadanoff, L. P., 1966, Physics, 2: 263. [4]
Katz,A. J. y Thompson, A. H., 1986, Quantitative prediction of permeability in porous rock,
Phys. Rev. B, 34: 8179-8181. [1,2,3,5,6]
Referencias
291
Kincaid, D.R., Respess, J. R., Young, D. M. y Grimes, R. G., 1982, ITPACK 2C: A
FORTRAN package for solving large sparse linear systems by adaptive accelerated
iterative methods, ACM Transactions on Mathematical Software, 8(3): 302-322. (para
referencias relacionadas http://www.ma.utexas.edu/CNA/ITPACK) [4]
Kirkpatrick, S., 1979, Models of disordered materials, en Ill-Condensed Matter, editado por R.
Balian, R. Maynard, y G. Toulouse, pp. 323-403, North-Holland, Amsterdam. [3]
Kirkpatrick, S., 1973, Percolation and conduction, Rev. Mod. Phys., 45: 574-588. [4]
Koponen A., Kandhai, D., Hellén, E., Alava, M., Hoekstra, A., Kataja, M. y Niskanen, K.,
1998, Permeability of three-dimensional random fiber webs, Phys. Rev. Lett., 80(4):
716-719. [1]
Kozeny, J., 1927, Über kapillare Leitung des Wassers im Boden, Sitzungsber. Akad. Wiss.
Wien, 136: 271-306. [1,2]
Landau, L. O. y Lifshitz, E. M., 1959, Fluid Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass. [3]
Learmonth, G.P. y Lewis, P.A.W., 1973, Naval postgraduate school random number
generation package LLRANDOM, NPS55LW73061A. Naval Postgraduate School,
Monterey, California. [4]
Martys, N. y Garboczy, E. J., 1992, Length scales relating fluid permeability and electrical
conductivity in random 2-D model porous media, Phys. Rev. B, 46: 6080-6090. [3]
Mavko, G. y Nur, A., 1997, The effect of a percolation threshold in the Kozeny-Carman
relation, Geophys., 62(5): 1480-1482. [1,2,6]
Moore, P.G., 1953, A sequential test for randomness, Biometrika, 40: 111-115. [4]
Referencias
292
Patzek, T. W. y Silin, D. B., 2001, Shape factor and hydraulic conductance in noncircular
capillaries. I. One-phase creeping flow, J. Colloid Interface Sci., 236, 295-304. [4]
Quispe, J. R. y Toledo, P. G, 2002, Lattice-Boltzmann simulations of flow through twodimensional particle sediments. International Journal of Mineral Processing, en
revisión. [1]
Rozas, R., Quispe, J. y Toledo, P. G., 2000, On the porosity-permeability relationship of
porous media with evolving porosity, en XXI IMPC International Mineral Processing
Congress, editado por P. Massacci, Elsevier B. V., Amsterdam, Volumen D, pp. 5-12.
[6]
Rozas, R. y Toledo, P. G., Pore space microstructure transitions as revealed by critical lengths,
en preparación. [6]
Rozas, R. y Toledo, P. G., How universal is the relationship between permeability and
porosity?, en preparación. [6]
Sahimi, M., 1995, Flow and Transport in Porous Media and Fractured Rock: From Classical
Methods to Modern Approaches, VCH, Alemania. [1,3]
Sahimi, M., 1993, Flow phenomena in rocks: from continuum models to fractals, percolation,
cellular automata, and simulated annealing, Rev. Mod. Phys., 65(4):1393-1534. [1]
Sahimi, M., Hughes, B. D., Scriven, L. E. y Davis, H. T., 1983, Real-space renormalization
and effective-medium approximation to the percolation conductivity problem, Phys.
Rev. B, 28: 307-311 [4]
Scheidegger, A. E., 1974, The Physics of Flow Through Porous Media, 2a Edición, University
of Toronto Press. [3,5]
Referencias
293
Sen, P. N., Scala, C. y Cohen, M., 1981, A self-similar model for sedimentary rocks with
applications to the dielectric constant of fused glass beads, Geophys., 46: 781-795. [2]
Seminario, L., Rozas, R., Bórquez, R. y Toledo, P.G., 2002, Pore blocking and permeability
reduction in cross-flow microfiltration, J. Membrane Sci., en prensa. [3,6]
Shante, V. K. S., 1977, Hopping conduction in quasi-one-dimensional disordered compounds,
Phys. Rev. B, 16: 2597-2612. [3]
Stockmayer, W. H., 1943, Theory of molecular size distribution and gel formation in branched
chain polymers, J. Chem. Phys., 11: 45-55. [3]
Toledo, P. G., Scriven, L. E. y Davis, H. T., 1994a, Pore-space statistics and capillary pressure
curves from volume-controlled porosimetry, SPE Formation Evaluation, March, 4654. [5]
Toledo, P. G., Scriven, L. E. y Davis, H. T., 1994b, Supplement to pore-space statistics and
capillary pressure curves from volume-controlled porosimetry: mechanisms of mercury
injection and withdrawal, SPE 27950. [5]
Tritton, D. J. J., 1988, Physical Fluid Dynamics, Oxford University Press. [1]
Wong, P.-z., 1999, Methods in the Physics of Porous Media, Vol. 35, Academic Press,
Londres. [1]
Wong, P.-z., 1994, Flow in porous media: Permeability and displacement patterns, Mater. Res.
Soc. Bull., XIX(5):32. [3,4,5]
Wong, P.-z., Koplik, J. y Tomanic, J. P., 1984, Conductivity and permeability of rocks, Phys.
Rev. B, 30(11): 6606-6614. [1,2,3,5,6]
Referencias
294
Yortsos, Y. C., 1999, Probing pore structures by sorption isotherms and mercury porosimetry,
en Methods in the Physics of Porous Media, editado por P.-z. Wong, Academic Press,
USA, 69-117. [5]
Apéndices
A. Aproximación de enlace simple (SBA)
Erdös y Haley (1975) dedujeron expresiones aproximadas para la desviación de
conductividad y de impedancia de un colectivo de redes topológicamente idénticas
decoradas con
elementos de conductancia que siguen una determinada función de
distribución.
Consideremos una red finita n-dimensional de N nodos donde los nodos han sido
numerados en orden arbitrario pero fijo l = 1K N . Si el índice de coordinación de esta red
es z entonces el nodo l es conexo con sus nodos vecinos l + δ a través de elementos de
conductancia gl ,l +δ . De acuerdo a la ley de transporte genérica, el flujo entre dos nodos a
través de un conductor es proporcional a la diferencia de potencial entre ellos
J l ,l +δ = g l ,l +δ (ϕ l − ϕ l +δ )
(A.1)
La corriente externa neta que entra o sale del nodo l es igual a la suma de los flujos
entre l y sus nodos vecinos l + δ
J l = ∑ J l ,l +δ = ∑ g l ,l +δ (ϕ l − ϕ l +δ ) ; l = 1..N
δ
δ
(A.2)
Estas ecuaciones pueden ser expresadas en forma matricial como
J l = ∑ Glmϕ m ; l = 1..N ⇔ J = G ⋅ ϕ
m
(A.3)
Apéndices
296
donde los elementos de la matriz de conductancias Glm , están definidos como
Glm = ∑ (δ l ,m − δ l +δ ,m )g l ,l +δ
δ
(A.4)
con δ i , j la función delta de Kronecker, que se define como
δ i , j = 1 si i = j
(A.5)
δ i , j = 0 si i ≠ j
Por simple intercambio de índices en la ecuación (A.4), se deduce que la matriz de
conductancias es simétrica. Adicionalmente, esta matriz es singular, ya que,
rang (G ) = N − 1 < dim(G ) = N , lo que puede probarse añadiendo las ecuaciones de
corriente externa de cada nodo, esto es,
N
N
 N

J n = ∑ J l = ∑  ∑ Glm ϕ m
l =1
m =1  l =1

(A.6)
Como no existe generación de materia en la red, la corriente neta es nula, en
términos matemáticos ésto se traduce en que uno de los potenciales de nodo puede ser
escrito como una combinación lineal de los N − 1 nodos restantes. Así,
 N

 ∑ Glm ϕ m = 0
∑
m =1  l =1

N
⇒ − Gij ϕ j = ∑∑ Glmϕ m
m ≠ j l ≠i
(A.7)
Si se escoge arbitrariamente el nodo N como nodo de referencia de potenciales
ϕ N = 0 , el sistema de ecuaciones puede ser reducido a un sistema no-singular,
N −1 N −1
∑∑ G
l =1 m =1
lm
ϕm = 0
(A.8)
Apéndices
297
Como este sistema es no-singular, existe la inversa de G y se define como
G :℘ = J
(A.9)
Esta matriz ℘ es conocida como el operador de Green de la red. A través de este
operador es posible expresar los potenciales de nodo en término de las corrientes externas,
N −1
ϕ l = ∑℘lm J m ; l = 1..N − 1 ⇔ ϕ = ℘⋅ J
m =1
(A.10)
Para aclarar la notación se presenta el desarrollo de estas expresiones en una red
unidimensional (Figura A.1)
Figura A.1 Red unidimensional. l representa un nodo genérico en la red, 1 es el nodo de entrada de
flujo y m el nodo de salida de flujo J.
De acuerdo a la ecuación (A.6) la corriente que circula por uno de los nodos de la
red es
J l = Gl ,1ϕ 1 + Gl , 2ϕ 2 + ... + Gl ,l −1ϕ l −1 + Gl ,l +1ϕ l +1 + ....Gl , N −1ϕ N −1
(A.11)
Los coeficientes que acompañan a los potenciales son elementos de la matriz G que
corresponden a conductancias
Apéndices
298
Gl ,l +1 = ∑ (δ l ,l +1 − δ l +δ ,l +1 )g l ,l +δ = − g l ,l +1
δ
Gl ,l = ∑ (δ l ,l − δ l +δ ,l )g l ,l +δ = g l ,l +1 + g l ,l −1
δ
(A.12)
Gl ,l −1 = ∑ (δ l ,l −1 − δ l +δ ,l −1 )g l ,l +δ = − g l ,l −1
δ
Gl ,l ± n = ∑ (δ l ,l ± n − δ l +δ ,l ± n )g l ,l +δ = 0 ;
∀n > 1
δ
La matriz de conductancias G presenta una estructura bandeada y simétrica, cada
fila de la matriz es el balance de materia de un nodo, en cada fila el elemento ubicado en la
banda diagonal central es igual a la suma de las conductancias de los enlaces que inciden en
el nodo donde se realiza el balance, los elementos no-nulos ubicados en las bandas restantes
son iguales a las conductancias de los enlaces que inciden en el nodo donde se realiza el
balance. Estas propiedades se aprecian claramente al desarrollar las expresiones anteriores
para l = 1K N − 1 y cuando se ordenan estas ecuaciones en forma matricial, esto es,
 g1, 2 + g1, 0
 −g
1, 2


0

0
G=

0

0


0

− g1, 2
g 2,3 + g 2,1
− g 2,3
0
0
0
0
0
− g 2,3
...
0
0
0
...
0
0
g l ,l +1 + g l ,l −1
0
− g l ,l −1
0
0
0
0
...
...
0
0
0
0
... g N −1, N
...


0


0

0


0

...

+ g N −1, N − 2 
0
− g l ,l +1 0
...
...
Ahora, la corriente externa que atraviesa el nodo l de esta red lineal es
J l = Gl ,l −1ϕ l −1 + Gl ,l ϕ l + Gl ,l +1ϕ l +1 = − g l ,l −1ϕ l −1 + g l ,l +1ϕ l + g l ,l −1ϕ l − g l ,l +1ϕ l +1
(A.13)
Al agrupar términos se obtiene nuevamente las leyes de conservación de materia,
J l = g l ,l −1 (ϕ l − ϕ l −1 ) + g l ,l +1 (ϕ l − ϕ l +1 ) = ∑ g l ,l +δ (ϕ l − ϕ l +δ ) = ∑ J l ,l +δ
δ
δ
(A.14)
Apéndices
299
Consideremos ahora que toda la corriente externa entra por un solo nodo y
abandona la red a través de otro. Denotemos nodo 1 al punto de entrada de la corriente total
J y m al punto de salida de esta misma cantidad de corriente. Se deduce a partir de (A.4) y
la ley de Ohm que la impedancia de la red Z m y la conductividad S m entre esos nodos está
dada por
Sm
−1
= Zm =
ϕ1 − ϕ m
J
(A.15)
Los potenciales de nodo según la ecuación (A.10),
ϕ 1 = ℘1,1 J 1 + ℘1, 2 J 2 + ℘1,3 J 3 + ... + ℘1,m J m + ... + ℘1, N −1 J N −1
ϕ m = ℘m,1 J 1 + ℘m, 2 J 2 + ℘m ,3 J 3 + ... + ℘m,m J m + ... + ℘m, N −1 J N −1
(A.16)
Como hay corriente externa sólo en los nodos 1 y m, las expresiones de voltaje en
ellos se reducen a
ϕ 1 = ℘1,1 J 1 + ℘1,m J m
ϕ m = ℘m,1 J 1 + ℘m,m J m
(A.17)
Y como la corriente que entra en 1 es la misma que sale por m, esto es, J 1 = − J m = J ,
entonces
ϕ 1 = (℘1,1 −℘1,m )J
ϕ m = (℘m,1 −℘m.m )J
(A.18)
Apéndices
300
Reemplazando las ecuaciones (A.18) en las ecuaciones (A.17) se llega a
Sm
−1
= Zm =
[(℘
1,1
−℘1,m ) − (℘m ,1 −℘m ,m )]J
J
= ℘1,1 − 2℘1,m + ℘m ,m
(A.19)
Se definen las siguientes cantidades para el colectivo de redes topológicamente
idénticas decoradas con elementos de conductancia distribuida según f (g ) .
Impedancia promedio Z m , es el promedio aritmético de las impedancias medido a través
de la diferencia de potencial entre los nodos 1 y m cuando se hace pasar una corriente
constante J a través de estos nodos.
Conductancia promedio S m : es el promedio aritmético de las conductancias medido a
través de la corriente externa que entra o sale de la red cuando se mantiene una diferencia
de potencial constante entre los nodos 1 y m.
Red efectiva de impedancias, es una red topológicamente idéntica a la red de conductancias
aleatorias, con una decoración homogénea en que todos los enlaces tienen la misma
conductancia g Zef . La conductancia efectiva posee un valor tal que la impedancia de la red
efectiva Z m
ef
iguala a la impedancia promedio del conjunto de redes considerado, esto es,
Zm
ef
= Zm
(A.20)
Red efectiva de conductividades, es una red topológicamente idéntica a los miembros del
conjunto y de enlaces de conductancia igual a g Sef .
Cabe hacer notar que, de acuerdo a la definición anterior, g Xef ( X = S ó Z ) depende
de la topología de la red y de la función de distribución de conductancias f (g ) , y en
general g Zef ≠ g Sef .
Apéndices
301
A partir de las definiciones anteriores, la desviación de conductancias de la red
aleatoria con respecto a la conductancia efectiva (o conductancia del medio efectivo) queda
dada por
∆g l ,l +δ = g l ,l + δ − g Xef
(A.21)
La desviación de impedancia de una red aleatoria con respecto a la impedancia de la
red efectiva es
∆Z m = Z m − Z m
ef
(A.22)
Y del mismo modo, la desviación de conductividad de una red aleatoria con
respecto a la conductividad de una red efectiva es
∆S m = S m − S m
ef
(A.23)
Así la ecuación fundamental que determina a g Zef es
Y la que determina a g S
∆Z m ( g Zef ) = 0
(A.24)
∆S m ( g Sef ) = 0
(A.25)
ef
Apéndices
302
Deducción de g Sef y g Zef
Como en el medio efectivo todos los enlaces poseen la misma conductancia g efX , se
puede obtener una expresión analítica para el operador de Green E de un medio efectivo
infinito. Se define el operador adimensional de Green de medio efectivo dividiendo los
elementos de ℘ef por la conductancia efectiva de red g Xef , esto es,
E a = (g efX )E
(A.26)
El objetivo de buscar una representación de ℘ y E , los operadores de Green de las
redes aleatoria y efectiva, respectivamente, es deducir expresiones para g Xef que dependan
de los elementos de esas matrices.
Si se descompone la matriz de conductancias G en una matriz homogénea H y una
de términos aleatorios U
G = H−U
(A.27)
donde H es la parte de la matriz de conductancias G que caracteriza a la red efectiva de
conductancias g efX y U es la parte aleatoria de la matriz que depende de los términos de
desviación de conductancias ∆g l ,l + δ , entonces
Glm = ∑ (δ lm − δ l +δ ,m )g l ,l +δ = ∑ (δ lm − δ l +δ ,m )g Xef − ∑ α lm ∆g l ,l +δ
(A.28)
H lm = ∑ (δ lm − δ l +δ ,m )g efX
(A.29)
δ
δ
δ
δ
Apéndices
303
Para satisfacer (A.27) se requiere que U lm = −(G − H )lm . Por lo tanto
(
)
U l ,m = −∑ (δ lm − δ l +δ ,m ) g l ,l +δ − g eff
= −∑ (δ lm − δ l +δ ,m )∆g l ,l +δ
X
δ
δ
(A.30)
Se introduce el operador T, que se define como
℘= E + E⋅T⋅E
(A.31)
∞
⇒ T = (1 − U ⋅ E ) U = ∑ (U ⋅ E ) U
−1
T = U + U⋅E⋅T
n
(A.32)
n=0
Luego, la desviación de conductancias expresada en términos de los operadores de
Green de la red aleatoria y de la red efectiva es
∆Z m = Z m − Z m = (℘1,1 + ℘m , m − 2℘1, m ) − (E1,1 + Em , m − 2 E1, m )
ef
= (℘1,1 − E1,1 ) + (℘m , m − E m , m ) − 2(℘1, m − E1, m )
(A.33)
Empleando la ecuación (A.31)
℘− E = E ⋅ T ⋅ E
(A.34)
∆Z m = E ⋅ T ⋅ E1,1 + E ⋅ T ⋅ E m ,m − 2E ⋅ T ⋅ E1,m
(A.35)
A partir del álgebra de tensores (o bien del álgebra de matrices), se obtiene una
expresión general para los términos E ⋅ T ⋅ E i , j
( )
E = g efX
−1
Eia, j e i e j , T = Ti , j e i e j
(A.36)
Apéndices
304
( )
= (g )
( )
= (g ) E
E ⋅ T ⋅ E = g efX
−2
E a e i e j ⋅ Tl ,m e l e m ⋅ Eua,v e u e v = g efX
ef
X
−2
Eia, j Tl ,m Eua,v δ j ,l δ m,u e i e v
ef
X
−2
−2
Eia, j Tl ,m Eua,v e i (e j ⋅ e l )(e m ⋅ e u )e v
a
v, j
T j ,m E ma ,v e i e v
(A.37)
Así,
( ) ∑∑ E
ETE i , j = g Xef
−2
N −1 N −1
a
i ,k
n =1 k =1
E na, j Tk ,n
(A.38)
Desarrollando los términos que aparecen en (A.35)
(
) ∑∑ E
a
1, k
E na,1Tk ,n
(A.39)
( ) ∑∑ E
a
m ,k
E na,mTk ,n
(A.40)
E na,mTk ,n
(A.41)
ETE1,1 = g X
ef
ETE m ,m = g efX
−2
N −1 N −1
n =1 k =1
−2
N −1 N −1
n =1 k =1
( ) ∑∑ E
ETE1,m = g Xef
−2
N −1 N −1
n =1 k =1
a
1, k
Reemplazando (A.33) en la ecuación que determina a g Zef es
(g ) ∑∑ (g
ef
Z
−2
N −1 N −1
k =1 n =1
1, k
g n ,1 + g m.k g n ,m − 2 g1,k g n ,m ) Tk ,n = 0
(A.42)
Siguiendo el mismo desarrollo para g Sef
(
∆S m = (Z m ) − Z m
−1
=
(E
(E
1,1
(E
1,1
)
−1
=
1
℘1,1 + ℘m,m − 2℘1,m
−
1
E1,1 + E m ,m − 2 E1,m
+ E m ,m − 2 E1,m ) − (℘1,1 + ℘m ,m − 2℘1,m )
1,1
=
ef
+ E m ,m − 2 E1,m )(℘1,1 + ℘m ,m − 2℘1,m )
ETE1,1 + ETE m ,m − 2 ETE1,m
+ E m ,m − 2 E1,m ) ⋅ (E1,1 + ETE1,1 + Gm ,m + ETE m ,m − 2 ⋅ (E1,m + ETE1,m ))
(A.43)
Apéndices
305
La ecuación que determina a g Sef es
∑∑ (E
N −1 N −1
k =1 n =1
(
2 E1a,1 − E1a,m
)
a
1, k
)
E na,1 + E ma ,k E na,m − 2 E1a,k E na,m Tk ,n

⋅  2 E1a,1 E1a,m + g Sef

( ) ∑∑ (E
−1
N −1 N −1
k =1 n =1
a
1, k
E na,1 + E ma ,k E na,m − 2 E1a,k E na, m

Tk , n 

)
=0
(A.44)
En la aproximación del enlace simple se resuelven estas ecuaciones para g efX en el
caso simplificado en que sólo uno de los enlaces de la red sea aleatorio y el resto de la
decoración es homogénea.
Apéndices
306
Aproximación del enlace simple
En las redes del ensamble en que sólo una cantidad fija de los enlaces tiene
conductancia aleatoria y el resto tiene una conductancia fija igual a g efX , se tiene que
∆gl ,l +δ = 0 excepto para una cantidad de enlaces n escogida. Si etiquetamos los enlaces
como l , l + 1,...l + n'−1 , con n' < 2n , la matrices T y U resultan cuadradas de rango n' . Los
elementos de T pueden ser calculados a partir de la solución del sistema lineal de
ecuaciones de n'×n' , esto es,
n ' −1 n ' −1
Ti , j = U i , j + ∑∑ U i ,l + q E la+ q ,l + r Tl + r , j ; i = l ,..., l + n'−1 ; j = 1,..., l + n'−1
q =0 r =0
(A.45)
La aproximación más sencilla de este tipo corresponde a variar sólo un enlace, este
está ubicado entre los nodos l y l + 1 (Figura A.2). Esta variación obedece a la función de
distribución f ( g ) .
Figura A.2 Representación de la red utilizada en la formulación de la aproximación del enlace simple.
Apéndices
307
Desarrollando los términos del sistema de ecuaciones (A.45)
1
1
Tl ,l = U l ,l + ∑∑ U l ,l + q E la+ q ,l + r Tl + r ,l
q =0 r =0
Tl ,l = U l ,l + U l ,l Ela,l Tl ,l + U l ,l Ela,l +1Tl +1,l + U l ,l +1 E la+1,l Tl ,l + U l ,l +1 E la+1,l +1Tl +1,l
(
)
(
(A.46)
)
Tl ,l 1 − U l ,l E la,l − U l ,l +1 E la+1,l + Tl +1,l − U l ,l E la,l +1 − U l ,l +1 E la+1,l +1 = U l ,l
1
1
Tl ,l +1 = U l ,l +1 + ∑∑ U l ,l + q E la+ q ,l + r Tl + r ,l +1
q =0 r =0
Tl ,l +1 = U l ,l +1 + U l ,l E la,l Tl ,l +1 + U l ,l Ela,l +1Tl +1,l +1 + U l ,l +1 E la+1,l Tl ,l +1 + U l ,l +1 Ela+1,l +1Tl +1,l +1
(
)
(
(A.47)
)
Tl ,l +1 1 − U l ,l E la,l − U l ,l +1 E la+1,l + Tl +1,l +1 − U l ,l E la,l +1 − U l ,l +1 E la+1,l +1 = U l ,l +1
1
1
Tl +1,l = U l +1,l + ∑∑ U l +1,l + q Ela+ q ,l + r Tl + r ,l
q =0 r =0
Tl +1,l = U l +1,l + U l +1,l Ela,l Tl ,l + U l +1,l E la,l +1Tl +1,l + U l +1,l +1 E la+1,l Tl ,l + U l +1,l +1 E la+1,l +1Tl +1,l
(
)
(
(A.48)
)
Tl +1,l 1 − U l +1,l E la,l +1 − U l +1,l +1 Ela+1,l +1 + Tl ,l − U l +1,l Ela,l − U l +1,l +1 E la+1,l = U l +1,l
1
1
Tl +1,l +1 = U l +1,l +1 + ∑∑ U l +1,l + q Ela+ q ,l + r Tl + r ,l +1
q =0 r =0
Tl +1,l +1 = U l +1,l +1 + U l +1,l Ela,lTl ,l +1 + U l +1,l Ela,l +1Tl +1,l +1 + U l +1,l +1Ela+1,lTl ,l +1 + K
K + U l +1,l +1E
a
l +1, l +1 l +1, l +1
(
T
(
+ Tl +1,l +1 1 − U l +1,l E
a
l , l +1
)
K + Tl ,l +1 − U l +1,l Ela,l − U l +1,l +1Ela+1,l = U l +1,l +1
− U l +1,l +1E
a
l +1, l +1
)+ K
(A.49)
Apéndices
308
Sea
A = 1 − U l ,l Ela,l − U l ,l +1 E la+1,l
B = −U l ,l E la,l +1 − U l ,l +1 E la+1,l +1
(A.50)
C = 1 − U l +1,l E la,l +1 − U l +1,l +1 Ela+1,l +1
D = −U l +1,l E la,l − U l +1,l +1 E la+1,l
el sistema lineal a resolver es
A B
0 0

D C

0 0
0   Tl ,l   U l ,l 
A B
T
 U


D C
A B   l +1,l   l ,l +1 
=
⇔ 
0 0
0 0   Tl ,l +1   U l +1,l 
 



D C  Tl +1,l +1  U l +1,l +1 
0 0
0
0   Tl ,l   U l ,l 

 

0 0   Tl ,l +1   U l +1,l 
=
A B   Tl +1,l   U l ,l +1 
 


D C  Tl +1,l +1  U l +1,l +1 
0
donde las expresiones algebraicas para los términos U i , j se obtiene a partir de (A.30)
U l ,l = −∑ (δ l ,l − δ l +δ ,l )∆g l ,l +δ = − z (g − g efX
δ
)
U l ,l +1 = −∑ (δ l ,l +1 − δ l +δ ,l +1 )∆g l ,l +δ = g − g Xef
δ
U l +1,l = −∑ (δ l +1,l − δ l +1+δ ,l )∆g l ,l +δ = g − g Xef
(A.51)
δ
U l +1,l +1 = −∑ (δ l +1,l +1 − δ l +1+δ ,l +1 )∆g l ,l +1+δ = − z (g − g efX
δ
)
La solución de los términos de la matriz de trasnformación Ti , j es
Tl ,l = Tl +1,l +1 = −Tl ,l +1 = −Tl +1,l =
zg Xef (g efX − g )
(z − 2)g Xef + 2 g
(A.52)
Apéndices
309
Luego, para promediar impedancias se reemplaza (A.52) en (A.42)
∞
(
∞
)
ef
∫ F g , g Z f ( g )dg =∫
0
0
(
)
zg Zef g Zef − g f ( g )
dg = 0
(z − 2)g Zef + 2 g
(A.53)
y para promediar conductividades, se reemplaza (A.52) en (A.44) y en combinación con la
identidad Ela,l − Ela,l +δ = 1 / z , se obtiene
− g )f (g)
∫ F (g , g )⋅ f ( g )dg = ∫ (z − 2 + a z )g + (2 − a z )g dg = 0
∞
(g
∞
ef
S
0
ef
S
ef
S
ml
0
(A.54)
ml
El término aml se calcula mediante la expresión
a ml =
(
1 a
E1,l − E1a,l +1 − E ma ,l + E ma ,l +1
2
) (E
2
a
1,1
− E1a,m
)
−1
(A.55)
Los subíndices m y l corresponden a las distancias de enlace del enlace perturbado
y del nodo de salida de corriente respecto del nodo de entrada de corriente. Los términos
Eia, j corresponden a los elementos del operador de Green de la red. En una red cúbica
simple en d n dimensiones ( d n = 2 red cuadrada, d n = 3 red cúbica simple) el operador de
Green se determina como
∞
E
a
i, j
1
 1  d
= E (m1 , m2 .., md ) = − ∫ exp − tz ∏ I mi (t )dt
20
 2  i =1
a
(A.56)
Con I m la función de Bessel modificada de orden m. Esta se define como
I m (t ) =
1
π
π
∫ cos(mϕ )exp(t cosϕ )dϕ
0
(A.57)
Apéndices
310
En la expresión para el operador de Green se ha designado arbitrariamente, y sin
pérdida de generalidad, las coordenadas relativas de los nodos i y j en la red como
i = (0,0,...0) y j = (m1 , m2 ,...md ) , luego, la distancia entre estos nodos, medida en
longitudes de enlace, es i − j = m1 + m2 + ... + md .
En una red de infinitos nodos podemos suponer que el nodo en donde se extrae la
corriente se encuentra a una distancia (en longitudes de enlace) infinita. La distancia del
enlace perturbado con respecto al nodo de entrada de corriente l = l − 1 , es determinada
por la correlación propuesta por Ërdos y Haley
l ( p) = (1 − P( p) )
−1
(A.58)
La correlación se basa en una de las cantidades de percolación definidas
anteriormente, la probabilidad de percolación P( p ) . De acuerdo a esta correlación, la
distancia l no es otra cosa que la razón entre el número total de nodos y la cantidad de
nodos que no participan de la conducción (nodos que no pertenecen al racimo infinito).
Apéndices
311
B. Definición de conductancia en capilares bidimensionales
Para flujo hidrodinámico laminar en estado estacionario de un fluido incompresible
en un ducto plano rectangular de longitud l y radio r el siguiente balance de fuerzas es
válido en un elemento de control plano al despreciar los efectos de finales (de entrada y
salida),
2lτ rz
r
− 2lτ rz
r + ∆r
+ 2∆rρv z2
z =0
− 2∆rρv z2
z =l
+ 2∆rlρΓz + 2∆rp 0 − 2∆rpl = 0
(A.59)
donde τ rz son los esfuerzos de corte entre capas de fluido paralelas a las paredes del ducto,
p0 y pl son las presiones del fluido a la entrada y a la salida del ducto, respectivamente, Γz
es la suma de las fuerzas de campo específicas en la dirección del flujo z y ρ es la
densidad del fluido. La Figura A.3 muestra una representación gráfica del sistema.
Figura A.3 Perfil de velocidades en un conducto rectangular de longitud l y radio R.
Si el fluido es incompresible la velocidad a un radio dado es la misma a lo largo de
toda línea paralela al flujo,
vz
z =l
= vz
z =0
(A.60)
Apéndices
312
En el caso de flujo monofásico es simple incluir las fuerzas de campo en los
términos de presión
P = p + ρlΓz
(A.61)
Luego, el balance de fuerzas en un elemento de control diferencial se reduce a
dτ rz ∆P
=
dr
l
(A.62)
El perfil de velocidades es simétrico con respecto al eje central del ducto, esto
define una de las condiciones de contorno del problema, en el centro del ducto los esfuerzos
de corte entre capas de fluido son nulos, esto es,
τ rz
r =0
=0
(A.63)
Así el perfil de esfuerzo de corte se puede obtener por integración de la ecuación
(A.62)
τ rz
r
∆P
∆P
∫0 dτ = l ∫0 dr ⇒ τ rz = l r
(A.64)
Si el fluido es Newtoniano, la ecuación reológica del fluido es
τ rz = − µ
dv z
dr
(A.65)
En términos de la velocidad, la ecuación puede escribirse como
dv z
1 ∆P
r
=−
dr
µ l
(A.66)
Apéndices
313
Otra condición de contorno del problema es la condición de no-deslizamiento en las
paredes del ducto, esto es,
vz
r=R
(A.67)
=0
Luego, a partir de (A.66) se puede obtener el perfil de velocidades mediante
integración
vz
r
∆P 2
1 ∆P
2
∫0 dv z = − µ l ∫R rdr ⇒ v z = 2µl R − r
(
)
(A.68)
La velocidad media seccional es
R
vz =
∫v
z
(r )dr
0
R
=
∫ dr
∆P 2
R
3µ l
(A.69)
0
Y la velocidad máxima se obtiene como
dv z
dr
v z , máx
= 0 ⇒ v z ,máx =
∆P 2
R
2 µl
(A.70)
Ahora, la razón entre la velocidad máxima y la velocidad media seccional es igual a
3/2, esto es, el perfil en el ducto plano rectangular es más pronunciado que en un capilar
cilíndrico tridimensional.
La conductancia hidráulica de un capilar plano se obtiene como
Q = v z A = g h ∆P
(A.71)
Apéndices
314
El área transversal de un ducto rectangular es igual al diámetro del ducto A = 2 R ,
es decir, la sección transversal es una línea no una superficie. Así, a partir de (A.69) y
(A.71) la conductancia hidráulica es
gh =
2R 3
3µ l
(A.72)
Apéndices
315
C. Muestreo Monte Carlo
La técnica de muestreo que se describe a continuación es el punto de partida de toda
simulación Monte Carlo. En términos generales el muestreo Monte Carlo consiste en
obtener, a partir de un generador de números pseudo-aleatorios, una secuencia de valores
que obedece la misma densidad de probabilidad que un evento físico estocástico. Los
valores generados constituyen un conjunto equivalente al total de observaciones del evento
físico.
Un generador de números aleatorios es un algoritmo capaz de generar una secuencia
uniforme de valores comprendidos en el intervalo [0,1] de periodo infinito. En la práctica
el método de generación siempre produce una secuencia periódica. Por este motivo se habla
de generadores de números pseudo-aleatorios. En simulaciones la repetición es indeseada,
sin embargo, basta que el algoritmo presente un periodo superior al número de elementos
de la secuencia necesaria en la simulación. En general las variables estocásticas de una
simulación obedecen distribuciones distintas de la uniforme. En particular, los medios
porosos naturales exhiben distribución de tamaño de poros muy distinta a la uniforme, más
bien log-normal. El método Monte Carlo de muestreo permite reproducir cualquier
distribución.
A continuación se presentan propiedades de las funciones de probabilidad y
demostraciones en que se sustenta el método de muestreo y luego se ilustra el método con
un ejemplo, la obtención de una secuencia de valores de radio de poro que sigue una
función de distribución dada, es decir, el muestreo de una de las variables aleatorias de las
simulaciones implementadas.
Sea f la función de densidad de probabilidad, o función de distribución, de una
variable aleatoria r. La probabilidad de encontrar un elemento r de valor comprendido en el
intervalo [rmín, rmáx] es
Apéndices
316
P (r ∈ [rmín , rmáx ]) =
rmáx
∫ f ( x)dx
(A.73)
rmín
Una función directamente relacionada con la probabilidad de encontrar r en un
intervalo dado es la función de distribución acumulada F de f, esta se define como
r
F (r ) =
∫ f ( x)dx
(A.74)
−∞
La ecuación (A.73) escrita en términos de (A.74) es
P (r ∈ [rmín , rmáx ]) =
rmáx
∫
f ( x)dx −
−∞
rmín
∫ f ( x)dx = F (r
máx
) − F (rmín )
(A.75)
−∞
La función de distribución acumulada F satisface las siguientes condiciones: tiene
recorrido en el intervalo [0,1] y es monótona creciente. La primera condición se satisface
siempre que la función de distribución f se encuentre correctamente definida, esto es, que
esté normalizada. La segunda condición se satisface dado que la función f es definida
positiva y el área bajo la curva se encuentra acotada. Si la primera propiedad no se satisface
se debe normalizar la función de distribución original, de modo que cumpla
f norm (r ) =
f ( x)
∞
∫ f ( x)dx
(A.76)
−∞
Así, el muestreo uniforme del recorrido de la función F origina una secuencia
aleatoria que sigue una función de distribución g uniforme, o bien, F es una variable
aleatoria distribuida uniformemente
g ( F ) = U (0,1) = a
(A.77)
Apéndices
317
Con a una constante determinada por la condición de normalización de la función de
densidad de probabilidad g.
Esto es,
∞
∫ g ( F )dF = 1
(A.78)
−∞
De este modo se tiene
∞
1
−∞
−∞
∫ U (0,1)dF = ∫ adF = 1 ⇒ a = 1
(A.79)
Ahora, los valores muestreados en el recorrido de F siguen la siguiente distribución
g (F ) = 1
(A.80)
Esta última ecuación debe interpretarse del modo siguiente, todo valor en el
recorrido de F, [0,1], tiene la misma probabilidad de ser muestreado con un generador de
números aleatorios.
Resultaría interesante conocer qué función de distribución siguen los valores en el
dominio de F al muestrear uniformemente el recorrido de F. Para ello se recurre al teorema
de igualdad de probabilidades diferenciales, este permite realizar transformaciones entre
funciones de distribución. El contenido de este teorema es el siguiente: si x es una variable
aleatoria que sigue una función de distribución X (x ) y si y es otra variable aleatoria que
sigue una función de distribución Y ( y ) , tal que y se encuentra relacionada con la variable x
a través de la función y = h(x) , y si se satisface dy / dx > 0, ∀x entonces se cumple que
X ( x)dx = Y ( y )dy
(A.81)
Apéndices
318
A partir de esta ecuación se puede deducir la función de distribución de la variable
aleatoria x conociendo sólo la función de distribución de la variable aleatoria y y la
relación funcional h entre las dos variables x e y, esto es,
 ∂h 
X ( x) = Y ( y ) 
 ∂x 
(A.82)
De acuerdo a este teorema, si conocemos la distribución g que siguen los elementos
muestreados en el dominio de F podemos conocer que distribución que siguen los
elementos r en el dominio de F si conocemos la relación funcional entre F y r. Esta relación
es conocida, pues sabemos que F es la función de distribución acumulada de f
r
F = F (r ) =
∫ f ( x)dx
(A.83)
−∞
Para aplicar el teorema además debe cumplirse que
dF
>0
dr
(A.84)
esto es así, ya que la función de distribución acumulada F es una función monótona
creciente de r. Luego, si denotamos como w a la función de distribución que siguen los
elementos r en el dominio de F la ecuación (A.81) establece que
g ( F )dF = w(r )dr ⇒ w(r ) = g ( F )
dF
dr
(A.85)
Apéndices
319
Reemplazando (A.80) y (A.83) en (A.85) y aplicando el teorema de L’Hôpital para
la derivación de la integral con variable en el límite superior de integración
w(r ) =
r

d 
 ∫ f ( x)dx  = f (r ) − lím f (r )

r → −∞
dr  −∞

(A.86)
Ahora, como toda función de distribución tiene área acotada se satisface que
lím f (r ) = 0
r → −∞
(A.87)
Finalmente, se logra demostrar que
w(r ) ≡ f (r )
(A.88)
es decir, los valores en el dominio de F, que se obtienen mediante la aplicación de la
función inversa de F a los elementos del muestreo uniforme del recorrido de F, siguen la
función de distribución f.
Este resultado es importante, ya que provee un algoritmo de asignación de valores
de acuerdo a una función de distribución específica cuando se dispone de un generador de
números pseudo-aleatorios en el intervalo [0,1] y de la definición de una función de
distribución de una variable física aleatoria. El algoritmo se denomina muestreo Monte
Carlo.
Las etapas del algoritmo de obtención de las matrices de decoración empleadas en la
simulación de flujo en medios porosos, consisten en aplicar el muestreo Monte Carlo para
obtener valores de radio de los enlaces de la red y calcular a partir de estos valores el resto
de las propiedades de los enlaces tales como las conductancias. Estas etapas se detallan a
continución.
Apéndices
•
320
Caracterizar adecuadamente la distribución experimental, esto es, determinar los
parámetros estadísticos de ésta; media, varianza, etc. y normalizarla si es necesario.
•
Determinar la función de distribución acumulada F a partir de la integración de f.
•
Generar una secuencia uniforme de valores {u i }en el intervalo [0,1]. Esto se consigue
con el generador de números pseudo-aleatorios. La secuencia debe una cantidad de
elementos igual al número de enlaces de la red.
•
Aplicar a cada elemento de la secuencia uniforme la función inversa de F , esto es,
encontrar ri = F −1 (u i ) . De acuerdo a la demostración anterior, la secuencia {ri } sigue
la distribución f.
•
Calcular las conductancias, eléctrica e hidrodinámica, para cada uno de los elementos
de la secuencia de radios; g ix = g x (ri ) .
•
Asignar cada valor de conductancia a un enlace. En un medio que no exhibe correlación
espacial no interesa el orden de asignación, sino sólo que el conjunto de conductancias
sigue la distribución experimental. Una forma simple de realizar la asignación es en
forma ordenada, siguiendo la numeración indicial de los nodos de la red.
Otra variable aleatoria de la simulación es la ubicación del nodo que es deformado
en cada etapa de compactación, como todos los enlaces tienen la misma probabilidad de
ser compactados en una etapa la ubicación del nodo sigue una distribución uniforme. En
una primera aproximación, en una red cúbica dn-dimensional de coordinación z, son
necesarias dn + 1 variables aleatorias uniformes para establecer la ubicación de un enlace
en la red, las dn corresponden a las coordenadas en cada una de las direcciones para ubicar
un nodo en esta red, la variable adicional es el índice del enlace en el nodo que es
compactado, esta variable puede adoptar z valores posibles. De este modo serían necesarias
dn + 1 secuencias uniformes independientes, esto es, en cada secuencia no existe repetición
de elementos y las secuencias no presentan correlación entre sí. Una forma de lograr ésto
es eligiendo adecuadamente el algoritmo de generación y las semillas de cada secuencia, la
semilla determina el punto de comienzo de generación de una secuencia.
Apéndices
321
Sin embargo, una forma más simple y correcta de muestrear aleatoriamente la
ubicación de un enlace en la red consiste en utilizar la notación de un índice, esto es, cada
conjunto de coordenadas en la red dn-dimensional puede ser asociado en forma biunívoca
con un sólo nodo de la red y por lo tanto con un sólo índice. A modo de ejemplo, en una
red cúbica con nx nodos en el eje X, ny nodos en el eje Y y nz nodos en el eje Z, la relación
entre las coordenadas i, j, k de un nodo se relaciona con la notación de un solo índice si,j,k
mediante la siguiente relación
s i , j ,k = (k − 1)n x n y + ( j − 1)n x + i
(A.89)
la relación entre ambas notaciones de índices es biyectiva, es decir, en el sentido inverso se
puede asignar una terna única a un índice dado de la red cúbica. Así sólo son necesarias dos
secuencias uniformes independientes para elegir el enlace a ser compactado en cada etapa
de la simulación, una para determinar la ubicación del nodo en la red si,j,k y otra para elegir
cuál de los z enlaces del nodo es compactado.
Apéndices
322
D. Conductancia de la celda de renormalización 2×2×2
A continuación se presentan las ecuaciones que definen la conductancia efectiva de
una celda de renormalización, esto es, la conductancia equivalente de una porción de la red.
1
1
1
1
c
d
a
b
0
0
0
0
1
d
c
b
a
0
Figura A.4 Celda de renormalización 2×2×2 en una red cúbica (Arriba). En una primera etapa a los
nodos superiores e inferiores (gris claro) de la celda se les impone el mismo potencial (Abajo).
Apéndices
323
Los balances de materia en los nodos principales de esta celda (en gris oscuro) son
gapϕ a − g abϕ b − g acϕ c − g a 0ϕ 0 − g a1ϕ 1 = 0
gbpϕb − g abϕ a − g bd ϕ d − g b 0ϕ 0 − g b1ϕ 1 = 0
gcp ϕc − g cd ϕ d − g acϕ a − g c 0ϕ 0 − g c1ϕ 1 = 0
(A.90)
gdpϕ d − g cd ϕ c − g bd ϕ b − g d 0ϕ 0 − g d 1ϕ 1 = 0
Es un sistema lineal de 4×4, las variables a resolver son los potenciales de los nodos
principales de la celda. La forma matricial de este sistema de ecuaciones es G ⋅ ϕ = b ,
donde,
 g ap

 − g ab
− g
ac

 0

− g ab
g
p
b
− g ac
0
0
g cp
− g bd
− g cd
0  ϕ a   g a 0ϕ 0
  
− g bd  ϕ b   g b 0ϕ 0
=
− g cdx  ϕ c   g c 0ϕ 0
  
g dp  ϕ d   g d 0ϕ 0
+ g a1ϕ 1 

+ g b1ϕ 1 
+ g c1ϕ 1 

+ g d 1ϕ 1 
(A.91)
Los elementos con subíndice p que aparecen en la diagonal de la matriz de
conductancias de la celda corresponden a la sumatoria de las conductancias de los enlaces
que inciden en cada uno de los elementos,
g ap = g ab + g ac + g a1 + g a 0
g bp = g ab + g bd + g b1 + g b 0
g cp = g cd + g ac + g c1 + g c 0
(A.92)
g dp = g cd + g bd + g d 1 + g d 0
Ahora, la conductancia efectiva de la celda no depende de la diferencia de potencial
impuesta entre sus bordes permeables al flujo, por lo tanto, arbitrariamente se eligen los
potenciales de los nodos superiores y de los nodos inferiores
Apéndices
324
ϕ1 = 1
ϕ0 = 0
(A.93)
Así el vector libre del sistema se reduce a
 g a1 


 g b1 
b=
g 
 c1 
g 
 d1 
(A.94)
luego la solución analítica del vector de potenciales de nodo se obtiene mediante la
inversión de la matriz G. Se omite aquí la solución de cada potencial pues las expresiones
resultantes son extensas, se adjunta a continuación las líneas de código Mathematica que
otorgan la solución de cada potencial.
G = {{gpa, -gab, -gac, 0}, {-gab, gpb, 0, -gbd}, {-gac, 0, gpc, -gcd}, {0, -gbd, -gcd, gpd}};
b = {ga1, gb1, gc1, gd1};
p=FullSimplify(LinearSolve(G, b))
pa=FullSimplify(Extract(p,1))
pb=FullSimplify(Extract(p,2))
pc=FullSimplify(Extract(p,3))
pd=FullSimplify(Extract(p,4))
El flujo neto a través de la celda en la dirección nodo 1 a nodo 0 es
J = g a 0ϕ a + g b 0ϕ b + g c 0ϕ c + g d 0ϕ d
(A.95)
y la ecuación de transporte macroscópica de la celda es
J = g R (ϕ 1 − ϕ 0 ) = g R
(A.96)
Apéndices
325
Al igualar las expresiones (A.95) y (A.96) se obtiene una expresión para la
conductancia efectiva de la celda en la dirección 1 a 0. Si se reemplazan los potenciales de
los nodos principales en esta expresión se obtiene una expresión para la conductancia
efectiva de la celda en la dirección 1 a 0. Las siguientes líneas deben incluirse al final del
código anterior para obtener una expresión de conductancia efectiva de celda de
renormalización 2×2×2.
gpa=gab+gac+ga1+ga0;
gpb=gab+gbd+gb1+gb0;
gpc=gcd+gac+gc1+gc0;
gpd=gcd+gbd+gd1+gd0;
gr=ga0*pa+gb0*pb+gc0*pc+gd0*pd
La notación de nodos y enlaces introducida permite aplicar el mismo desarrollo en
la red cúbica para las direcciones X, Y y Z. Las siguientes asignaciones de variables son
necesarias para aplicar el resultado anterior a cada una de las direcciones de la red y
relacionar la expresión de conductancia efectiva con las conductancias de los enlaces de la
celda que se encuentran almacenadas en las matrices de decoración.
En la dirección Z las asignaciones son
a → i, j , k ; b → i + 1, j , k ;
c → i, j + 1, k ; d → i + 1, j + 1, k
g ab = g ix, j ,k ; g cd = g ix, j +1,k ; g bd = g iy+1, j ,k ; g ac = g iy, j ,k
g a1 = g iz, j ,k −1 ; g b1 = g iz+1, j ,k −1 ; g c1 = g iz, j +1,k −1 ; g d 1 = g iz+1, j +1,k −1
g a 0 = g iz, j ,k ; g b 0 = g iz+1, j ,k ; g c 0 = g iz, j +1,k ; g d 0 = g iz+1, j +1,k
(A.97)
Apéndices
326
En la dirección Y
a → i, j , k ; b → i + 1, j , k ;
c → i, j , k + 1 ; d → i + 1, j , k + 1
g ab = g ix, j ,k ; g cd = g ix, j ,k +1 ; g bd = g iz+1, j ,k ; g ac = g iz, j ,k
(A.98)
g a1 = g iy, j −1,k ; g b1 = g iy+1, j −1,k ; g c1 = g iy, j −1,k +1 ; g d 1 = g iy+1, j −1,k +1
g a 0 = g iy, j ,k ; g b 0 = g iy+1, j ,k ; g c 0 = g iy, j ,k +1 ; g d 0 = g iy+1, j ,k +1
Finalmente en la dirección X
a → i, j , k ; b → i, j , k + 1 ;
c → i, j + 1, k ; d → i, j + 1, k + 1
g ab = g iz, j ,k ; g cd = g iz, j +1,k ; g bd = g iy, j ,k +1 ; g ac = g iy, j ,k
g a1 = g ix−1, j ,k ; g b1 = g ix−1, j ,k +1 ; g c1 = g ix−1, j +1,k ; g d 1 = g ix−1, j +1,k +1
g a 0 = g ix, j ,k ; g b 0 = g ix, j ,k +1 ; g c 0 = g ix, j +1,k ; g d 0 = g ix, j +1,k +1
(A.99)
Apéndices
327
E. Programa PROTRAN para la estimación de propiedades de medios porosos
Descripción de las rutinas
compact2d.for
Rutina principal de cálculo de propiedades macroscópicas en una red cuadrada de
capilares rectangulares, desde este programa se llama a las subrutinas de decoración,
cálculo de propiedades macroscópicas y actualización de la red en distintas etapas de
compactación.
Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las
propiedades a ser calculadas se definen a partir de variables booleanas indicadas en estos
archivos. Las opciones de distribución de tamaño de poros, factor de compactación, la
porosidad inicial y final de simulación, el paso en porosidad y método de cálculo, en el caso
de las propiedades de transporte, se leen también desde los archivos nombre.par.
Archivo(s) de entrada: nombre.par.
Archivo(s)
de
salida:
nombrege.dat,
nombregh.dat,
nombredc.dat,
nombredl.dat,
nombredh.dat.
Subrutinas anexas: conduct2d.for, diamcrit2d.for, diamhidr2d.for, diamlamb2d.for,
distrib2d.for,
dmatrixloadpack.for,
dsrc2c.f,
emag2d.for,
mc2dg.for,
mc2dgp.for,
shrink2d.for, volpor2d.for.
conduct2d.for
Calcula las conductancias, eléctrica e hidráulica, de los enlaces de una red cuadrada
de acuerdo a las ecuaciones (5.6b) y (5.7b) válidas para conductos rectangulares. Los radios
de los enlaces se encuentran en las matrices de decoración de radios, las conductancias
calculadas son almacenadas en matrices de decoración de conductancias.
Apéndices
328
diamcrit2d.for
Calcula la longitud crítica de una red cuadrada en un estado determinado de
porosidad. El algoritmo se basa en la determinación del tamaño de poro crítico mediante la
simulación de un experimento de porosimetría hasta el estado en que se forma un racimo
conductor en la red.
diamhidr2d.for
Calcula la longitud característica hidrodinámica de una red cuadrada de capilares
rectangulares en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre
el área y el diámetro de poros. Para el cálculo se utilizan las matrices de decoración de
radio de poros.
diamlamb2d.for
Calcula la longitud característica lambda de una red cuadrada de capilares
rectangulares en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre
la sumatoria de las áreas de poros ponderadas por el campo eléctrico en ellos y la sumatoria
de los diámetros de poros ponderados por el campo eléctrico en ellos. Para realizar el
cálculo se utilizan las matrices de decoración de radios y el vector de potenciales nodales
eléctricos.
distrib2d.for
Subrutina de muestreo Monte Carlo de una distribución. Genera dos secuencias de
valores de radio que siguen una función de distribución determinada. La secuencias
generadas son almacenadas en matrices denominadas matrices de decoración de radios, que
no son más que arreglos donde se almacenan los valores de radio en posiciones que
guardan una correspondencia con la posición de los enlaces en la red. En la red cuadrada
cada arreglo corresponde a una de las direcciones de la red.
Apéndices
329
Hasta ahora esta rutina permite elegir entre cinco diferentes tipos de distribución,
esto es, Uniforme, Normal, Log-Normal, Cauchy y Weibull.
dmatrixloadpack.for
Rutina de construcción del sistema lineal que define el transporte estacionario en
redes no-percolativas cuadradas y cúbicas. Esta rutina dimensiona y construye la matriz de
conductancia en forma rala simétrica y el vector libre del sistema de balances nodales de
una red regular a partir de las matrices de decoración de conductancias.
Esta rutina se puede utilizar para redes cuadradas y cúbicas, de cordinación
completa, con condición de frontera impermeable o periódica.
dsrc2c.f
Rutinas de doble precisión para la solución de sistemas lineales de gran dimensión
mediante métodos iterativos (ITPACK). Se encuentran disponibles cinco diferentes
métodos de solución. En las simulaciones implementadas se utiliza el método de
sobrerelajación sucesiva simétrica precondicionada con el método de gradiente conjugado
(SSORCG). La matriz del sistema debe almacenarse en forma rala simétrica para el uso de
estas rutinas.
Información completa respecto del uso de estas rutinas se encuentra en
http://www.ma.utexas.edu/CNA/ITPACK.
emag2d.for
Determina la conductancia efectiva de una red cuadrada mediante aproximación de
medio efectivo EMA. Esta rutina calcula numéricamente la solución de la ecuación
autoconsistente (5.78) mediante el método de bisección. Para el cálculo se utilizan las
matrices de decoración de conductancias.
Apéndices
330
graphdistr2d.for
Esta subrutina determina el histograma de radios de una red cuadrada en cualquier
etapa de compactación, es decir, cuando se alcanza una porosidad dada. Para el cálculo se
determina el valor máximo y mínimo de radio que ocurre en la matriz de decoración de
radios, luego se divide en celdas el intervalo [rmín, rmáx] y se calcula la cantidad de
elementos que ocurren en cada celda, esto es, la frecuencia con que ocurren elementos en
cada celda.
Si la población muestreada es grande y el tamaño de celda suficientemente pequeño
el histograma se aproxima bastante a la función de distribución continua de tamaños de
poro.
mc2dg.for
Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cuadrada
no-percolativa mediante la solución del sistema de balances nodales. Se definen los
parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el parámetro de relajación
y la tolerancia. Desde la rutina se llama a las subrutinas dmatrixloadpack.for y dsrc2c.f. La
primera carga el sistema de ecuaciones, la segunda lo resuelve. La conductividad eléctrica y
la permeabilidad son calculadas a partir de los potenciales de nodo mediante las ecuaciones
(5.70) y (5.76).
mc2dgp.for
Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cuadrada
percolativa mediante la solución numérica del sistema de balances nodales. En esta rutina
se definen los parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el
parámetro de relajación, la tolerancia, el vector inicial de potenciales, etc. A diferencia de la
rutina mc2dg.for, en esta rutina se realiza un reconocimiento previo de los nodos que
participan en forma efectiva de la conducción, esto se realiza mediante el algoritmo HK76
Apéndices
331
incorporado en la rutina. El almacenamiento ralo de la matriz de conductancias y del vector
libre se lleva a cabo en la rutina, de este modo, sólo se llama a la rutina dsrc2c.f para
resolver el sistema. La conductividad eléctrica y la permeabilidad son calculadas a partir de
los potenciales de nodo mediante las ecuaciones (5.70) y (5.76) (sumando sobre los índices
de los nodos que participan en forma efectiva de la conducción s').
mercury2d.for
Simula el experimento de porosimetría en una red bidimensional de capilares planos
y establece las coordenadas cartesianas en píxeles de los nodos inundados. La simulación se
detiene en el estado crítico. Las coordenadas son almacenadas en un archivo nombre.dat
que es interpretado por el programa para la visualización de patrón de flujo en redes
bidimensionales PROTRAN FPV.
pattern2d.for
Es el programa principal para la visulaización de patrones de avance de fluido
durante un experimento de porosimetría en una red bidimensional. Los parámetros de
simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las opciones de distribución de tamaño
de poros, factor de compactación y la porosidad se leen también desde los archivos
nombre.par.
Archivo(s) de entrada: nombre.par.
Archivo(s) de salida: nombre.dat, nombrecp.dat, nombreijr.dat, nombrergb.dat.
Subrutinas anexas: distrib2d.for, mercury2d.for, shrink2d.for, volpor2d.for.
porosim2d.for
Rutina principal de simulación del experimento de porosimetría en una red cuadrada
de capilares rectangulares a una porosidad determinada fija. Desde este programa se llama a
Apéndices
332
las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y simulación de avance de fluido
invasor a presión controlada.
Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las
opciones de distribución de tamaño de poros, el factor de compactación y la porosidad a la
que se realiza el experimento se leen también desde los archivos nombre.par.
Archivo(s) de entrada: nombre.par.
Archivo(s) de salida: nombre.dat, nombrecp.dat, nombredc.tm, nombre.tmp.
Subrutinas anexas: distrib2d.for, shrink2d.for, satvspc2d.for, volpor2d.for.
satvspc2d.for
Simula el avance bajo presión controlada de un fluido a través de una red cuadrada.
Dos estados de un enlace son posibles durante la simulación; el enlace se encuentra
inundado o no lo está, esta información se almacena en un arreglo. El avance se denota por
un vector que almacena el rótulo de los nodos que se encuentran en el frente de avance de
fluido.
La saturación de la red en cada etapa de la simulación es calculada como el área
total de poros inundados sobre el área total de poros, la presión es calculada mediante la
ecuación de Laplace para capilares rectangulares en las etapas de aumento de presión.
La rutina determina la curva de saturación vs presión capilar, y el punto crítico del
sistema, esto es, la presión que permite la formación de un racimo conductor de fluido
invasor y la saturación en este estado de la red.
scandst2d.for
Rutina principal para la determinación del histograma de radios de una red cuadrada
sometida a compactación en un estado dado de porosidad. Desde este programa se llama a
las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y determinación del histograma de
radios.
Apéndices
333
Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las
opciones de distribución de tamaño de poros inicial, el factor de compactación y la
porosidad a la que se desea determinar el histograma se leen también desde los archivos
nombre.par.
Archivo(s) de entrada: nombre.par.
Archivo(s) de salida: nombre.dat.
Subrutinas anexas: distrib2d.for, graphdistr2d.for, shrink2d.for, volpor2d.for.
shrink2d.for
Reduce la porosidad de una red cuadrada de conductores rectangualres. La
compactación sigue el mecanismo de compactación aleatoria, esto es, los enlaces a ser
encogidos se eligen al azar. El algoritmo consiste en el muestreo uniforme del par de
variables que definen la posición de un enlace, al ser muestreada una posición se multiplica
por un factor fijo x el elemento de la matriz de decoración de radios que corresponde al
enlace escogido. El procedimiento se repite hasta lograr una porosidad determinada en la
red.
volpor2d.for
Calcula el área de poros de una red cuadrada de conductos rectangulares. El área de
poros es calculada como la suma de las áreas individuales de poro, se desprecia el área
formada en la intersección de los conductos. Para tal cálculo se utilizan las matrices de
decoración de radios. Esta rutina se llama una sola vez en la simulación de compactación
para determinar el área de poros una vez decorada la red. Cuando la red se compacta se
calcula la reducción de área en cada paso de compactación y se resta al área inicial de poros
de la red, esta forma disminuye notablemente la cantidad de cálculos necesarios para la
reducción de la porosidad.
Apéndices
334
compact3d.for
Rutina principal de cálculo de propiedades macroscópicas en una red cúbica de
capilares cilíndricos, desde este programa se llama a las subrutinas de decoración, cálculo
de propiedades macroscópicas y actualización de la red en distintas etapas de
compactación.
Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las
propiedades a ser calculadas se definen a partir de variables booleanas indicadas en estos
archivos. Las opciones de distribución de tamaño de poros, factor de compactación, la
porosidad inicial y final de simulación, el paso en porosidad y el método de cálculo a
utilizar, en el caso de las propiedades de transporte, se leen también desde los archivos
nombre.par.
Archivo(s) de entrada: nombre.par.
Archivo(s)
de
salida:
nombrege.dat,
nombregh.dat,
nombredc.dat,
nombredl.dat,
nombredh.dat.
Subrutinas anexas: conduct3d.for, diamcrit3d.for, diamhidr3d.for, diamlamb3d.for,
distrib3d.for,
dmatrixloadpack.for,
dsrc2c.f,
emag3d.for,
mc3dg.for,
mc3dgp.for,
shrink3d.for, volpor3d.for.
conduct3d.for
Calcula las conductancias, eléctrica e hidráulica, de los enlaces de una red cúbica
de acuerdo a las ecuaciones (5.6a) y (5.7a), válidas para capilares cilíndricos. Los radios de
los enlaces se encuentran en las matrices de decoración de radios, las conductancias
calculadas son almacenadas en matrices de decoración de conductancias.
diamcrit3d.for
Apéndices
335
Calcula la longitud crítica de una red cúbica en un estado determinado de porosidad.
El algoritmo se basa en la determinación del tamaño de poro crítico mediante la simulación
de un experimento de porosimetría hasta el estado en que se forma un racimo conductor en
la red.
diamhidr3d.for
Calcula la longitud característica hidrodinámica de una red cúbica de capilares
cilíndricos en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre el
volumen total de poros y la superficie total de éstos que pueden son calculadas a partir de
las matrices de decoración de radio de poros.
diamlamb3d.for
Calcula la longitud característica lambda de una red cúbica de capilares cilíndricos
en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre la sumatoria
de los volúmenes de poro ponderados por el campo eléctrico en éstos y la sumatoria de las
superficies de poro ponderadas por el campo eléctrico en éstos. Para realizar el cálculo se
utilizan las matrices de decoración de radios y el vector de potenciales nodales eléctricos.
distrib3d.for
Subrutina de muestreo Monte Carlo de una distribución. Genera tres secuencias de
valores de radio que sigue una función de distribución determinada. La secuencias
generadas son almacenadas en matrices denominadas matrices de decoración de radios, que
no son más que arreglos en que se almacenan los valores de radio en posiciones que
guardan una correspondencia con la posición de los enlaces en la red. En la red cúbica cada
arreglo corresponde a una de las direcciones de la red.
Apéndices
336
Hasta ahora esta rutina permite elegir entre cinco diferentes tipos de distribución;
Uniforme, Normal, Log-Normal, Cauchy y Weibull.
emag3d.for
Determina la conductancia efectiva de una red cúbica mediante aproximación de
medio efectivo EMA. Se calcula numéricamente la solución de la ecuación autoconsistente
(5.78) mediante el método de bisección. Para el cálculo se utilizan las matrices de
decoración de conductancias.
graphdistr3d.for
Esta subrutina determina el histograma de radios de una red cúbica en cualquier
etapa de compactación. Para el cálculo se determina el valor máximo y mínimo de radio
que ocurre en la matriz de decoración de radios, luego se divide en celdas el intervalo (rmín,
rmáx) y se calcula la cantidad de elementos que ocurren en cada celda, esto es, la frecuencia
con que ocurren elementos en cada celda.
Si la población muestreada es grande y el tamaño de celda suficientemente pequeño
el histograma se aproxima bastante a la función de distribución de tamaños de poro.
mc3dg.for
Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cúbica nopercolativa mediante la solución del sistema de balances nodales. En la rutina se definen los
parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el parámetro de relajación
y la tolerancia. Desde la rutina se llama a las subrutinas dmatrixloadpack.for y dsrc2c.f. La
primera permite cargar el sistema de ecuaciones, la segunda lo resuelve. La conductividad
eléctrica y la permeabilidad son calculadas a partir de los potenciales de nodo mediante las
ecuaciones (5.71) y (5.77) (sumando sobre los índices de los nodos que participan en
forma efectiva de la conducción s').
Apéndices
337
mc3dgp.for
Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cúbica
percolativa a partir de la solución numérica del sistema de balances nodales. En esta rutina
se definen los parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el
parámetro de relajación, la tolerancia, el vector inicial de potenciales, etc. A diferencia de la
rutina mc3dg.for, en esta rutina se realiza un reconocimiento previo de los nodos que
participan en forma efectiva de la conducción, esto se logra mediante el algoritmo HK76
incorporado en la rutina. El almacenamiento ralo de la matriz de conductancias y del vector
libre se lleva a cabo en la rutina, de este modo, sólo se llama a la rutina dsrc2c.f para
resolver el sistema. La conductividad eléctrica y la permeabilidad son calculadas a partir de
los potenciales de nodo mediante las ecuaciones (5.71) y (5.77) (sumando sobre los índices
de los nodos que participan en forma efectiva de la conducción s').
porosim3d.for
Rutina principal de simulación del experimento de porosimetría en una red cúbica
de capilares cilíndricos a una porosidad determinada fija. Desde este programa se llama a
las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y simulación de avance de fluido
invasor a presión controlada.
Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las
opciones de distribución de tamaños de poro, el factor de compactación y la porosidad a la
que se realiza el experimento se leen también desde los archivos nombre.par.
Archivo(s) de entrada: nombre.par.
Archivo(s) de salida: nombre.dat, nombrecp.dat, nombredc.tm, nombre.tmp.
Subrutinas anexas: distrib3d.for, shrink3d.for, satvspc3d.for, volpor3d.for.
satvspc3d.for
Apéndices
338
Simula el avance bajo presión controlada de un fluido a través de una red cúbica.
Dos estados de un enlace son posibles durante la simulación; el enlace se encuentra
inundado o no lo está, esta información se almacena en un arreglo. El avance se denota por
un vector que almacena el rótulo de los nodos que se encuentran el frente del fluido.
La saturación de la red en cada etapa de la simulación es calculada como el volumen
total de poros inundados sobre el volumen total de poros, la presión es calculada mediante
la ecuación de Laplace para capilares cilíndricos en las etapas de aumento de presión.
La rutina determina la curva de saturación vs presión capilar, y el punto crítico del
sistema, esto es, la presión que permite la formación de un racimo conductor de fluido
invasor y la saturación en este estado de la red.
scandst3d.for
Rutina principal para la determinación del histograma de radios de una red cúbica
sometida a compactación en un estado dado de porosidad. Desde este programa se llama a
las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y determinación del histograma de
radios. Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las
opciones de distribución de tamaños de poro inicial, el factor de compactación y la
porosidad a la que se desea determinar el histograma se leen también desde los archivos
nombre.par.
Archivo(s) de entrada: nombre.par.
Archivo(s) de salida: nombre.dat.
Subrutinas anexas: distrib3d.for, graphdistr3d.for, shrink3d.for, volpor3d.for.
Apéndices
339
shrink3d.for
Reduce la porosidad de una red cúbica de conductores cilíndricos. La compactación
sigue el mecanismo de compactación aleatoria, esto es, los enlaces a ser encogidos se eligen
al azar. El algoritmo consiste en el muestreo uniforme del par de variables que definen la
posición de un enlace, al ser muestreada una posición se multiplica por un factor fijo x el
elemento de la matriz de decoración de radios que corresponde al enlace escogido. El
procedimiento se repite hasta lograr una porosidad determinada en la red.
volpor3d.for
Calcula el volumen de poros de una red cúbica de conductos cilíndricos. El volumen
de poros es calculado como la suma de los volúmenes individuales de poro, se desprecia el
volumen formado en la intersección de los conductos. Para tal cálculo se utilizan las
matrices de decoración de radios. Esta rutina se llama una sola vez en la simulación de
compactación para determinar el volumen de poros una vez decorada la red. Cuando la red
se compacta se calcula la reducción de volumen en cada paso de compactación y se resta al
volumen inicial de poros, esta forma disminuye notablemente la cantidad de cálculos
necesarios para la reducción de la porosidad.
Apéndices
340
Interfaz de usuario
El programa PROTRAN puede ser ejecutado en entorno Windows. La Figura
muestra la interfaz de usuario que se despliega al ejecutar el programa.
Descripción de las opciones de PROTRAN
Network: Selecciona la red a utilizar en la simulación. 2D es la red cuadrada de conductos
rectangulares, 3D la red cúbica de conductos cilíndricos.
Apéndices
341
En esta ventana se define el tamaño de red a utilizar y la intensidad de la compactación. n
es el número de nodos de la red en cada una de las dimensiones de la red, es una variable
que adopta valores enteros. x es el factor de compactación, éste debe estar comprendido en
el intervalo (0,1).
En los recuadros Distribution y Parameters se define la distribución con que es decorada la
red en el estado inicial, esto es, antes de ser compactada. En Distribution se selecciona uno
de los cinco tipos de distribución disponibles en el programa (uniforme, normal, lognormal, Cauchy y Weibull). En los campos a y b de Parameters se indican los parámetros
de la distribución seleccionada.
En Simulation se define que simulación se llevará a cabo. Compaction corresponde al
cálculo de alguna de las propiedades macroscópicas de la red a distintos valores de
porosidad. Porosimetry es la simulación de porosimetría, desde esta opción se obtiene las
curvas de saturación vs presión capilar a un valor dado de porosidad. Histogram construye
el histograma de radios de la red en una etapa de porosidad dada, esto es una tabla de
frecuencia vs radio. Flow Pattern crea un gráfico del mapa de avance de un fluido invasor
durante un experimento de porosimetría en el punto en que el fluido forma un racimo
Apéndices
342
conducto, los distintos colores del mapa señalan la presión necesaria para inundar los poros
(esta opción se encuentra disponible sólo para la red cuadrada).
Method establece el método con que se calculan las propiedades de transporte
(permeabilidad y conductividad eléctrica). Monte Carlo calcula las propiedades de
transporte en base a la solución rigurosa de los balances nodales en la red. EMA calcula en
forma aproximada las propiedades de transporte en base a la aproximación de medio
efectivo.
Este recuadro es utilizado por las opciones Porosimetry, Histogram y Flow Pattern, en éste
se indica la porosidad φ a la que se desea determinar una curva de saturación, un
histograma de radios o un mapa de avance de fluido durante una simulación de
porosimetría
.
Este recuadro es utilizado por la opción Compaction, en éste se establece la porosidad
inicial φ0, la porosidad final φ, el paso en porosidad ∆φ y las propiedades que serán
calculadas durante la simulación de compactación de una red.
Apéndices
343
En este listado de simulaciones se despliega el conjunto de simulaciones que ejecutará el
programa. En esta se aparecen todos los parámetros y opciones con que se ejecutará cada
una de ellas. Por ejemplo; en la simulación Nº2 de este recuadro se calculará la
conductividad eléctrica, la permeabilidad y la longitud característica lambda de una red
cúbica de capilares cilíndricos de 50×50×50 nodos decorada con una función de
distribución inicial de radios log-normal de parámetros a=1.5 y b=0.1 sometida a una
compactación de intensidad x=0.3 a distintas porosidades comprendidas en el intervalo 0.2
a 1 con un paso de porosidad igual a 0.01.
Descripción de las funciones de PROTRAN
Botón
Función
Añade una simulación al listado de simulaciones con los parámetros y
opciones indicadas en los recuadros antes descritos.
Elimina la última simulación que aparece en el listado de
simulaciones.
Crea un archivo batch con el conjunto de simulaciones indicada en el
listado y los archivos con todos los parámetros y opciones de las
simulaciones, archivos nombre.par. El archivo batch y los archivos
nombre.par sirven para ejecutar las simulaciones en distintos
computadores que tengan los archivos ejecutables del programa
PROTRAN sin necesidad de la interfaz.
Apéndices
344
Ejecuta desde la interfaz de usuario el conjunto de simulaciones
indicada en el listado a momento de presionar este botón. Los
resultados
quedan
almacenados
en
archivos
nombre.dat
y
nombre.bmp. Los resultados son identificables ya que los nombres de
los archivos de resultados se encuentran en correspondencia con los
nombres de los archivos de parámetros y opciones.
Programa PROTRAN FPV
El programa PROTRAN FPV es un intérprete de archivos de mapas de avance de
fluido durante porosimetría. La interfaz de usuario de este programa permite abrir archivos
nombre.dat que contiene las coordenadas cartesianas de los nodos inundados de una red
cuadrada durante un experimento de porosimetría, estos archivos son generados desde la
interfaz de PROTRAN.
Ilustraremos el modo de uso con un ejemplo, se desea obtener el patrón de avance
de fluido en una red cuadrada de 300×300 nodos decorada inicialmente con una función de
distribución uniforme de parámetros a=1 y b=2, la red se encuentra a una porosidad igual a
0.5 y ha sido compactada con una intensidad x=0.3. El primer paso es establecer los
parámetros de simulación desde la interfaz PROTRAN y ejecutar la simulación. Una vez
realizadas estas operaciones se ha generado el archivo pattern2DU1.dat en el mismo
directorio en que se encuentra los archivos ejecutables (*.exe) de PROTRAN. En nuestro
caso este es el directorio C:\prueba\.
A continuación desde la interfaz PROTRAN FPV se abre el archivo que contiene
las coordenadas del mapa de avance de fluido. El botón OPEN permite realizar esta
operación. Luego, al presionar DRAW se obtiene el gráfico deseado. Finalmente el gráfico
puede ser almacenado como archivo de mapa de bits (*.bmp) presionando el botón SAVE.
El archivo gráfico tiene el mismo nombre que el archivo de datos pero con extensión bmp y
se
encuentra
en
el
directorio
C:\prueba\pattern2DU1.bmp.
de
la
aplicación
PROTRAN,
en
este
caso,
Apéndices
345
Apéndices
346
Apéndices
347
Estructura del programa PROTRAN
distrib2d
compact2d
mc2dg(p)
ema2dg
2D
porosim2d
conduct2d
shrink2d
satvspc2d
scandst2d
Interfaz de
usuario
graphdistr2d
dsrc2d
dmatrixloadpack
distrib3d
compact3d
mc3dg(p)
ema3dg
3D
porosim3d
conduct3d
shrink3d
satvspc3d
scandst3d
Rutinas principales
graphdistr3d
Subrutinas