Capitulo 3

3
Materiales Compuestos
3.1 Introducción.
Este capítulo tiene como objetivo mostrar los conceptos básicos y la terminología
utilizada en el estudio de materiales compuestos.
La palabra compuesto (del latín compositu) significa de una forma general heterogéneo,
artificial, o a nivel técnico, formado por la mezcla de dos o más sustancias.
Un material compuesto es un material formado por diversos componentes, exhibiendo
múltiples y diferentes dominios de fase (no gaseosos) y por lo menos uno de los dominios de fase
es un dominio de fase sólido. Por dominio de fase se entiende una región material con
composición química y estado físico uniforme.
Un dominio de fase continuo consiste en un único dominio de esta fase en una mezcla
heterogénea a través de la cual podemos definir un camino continuo que une todas las zonas
fronterizas de los restantes dominios de fase presentes. El dominio de fase continuo es
comúnmente llamado en el contexto del material compuesto, matriz.
Figura 3.1. Fases materiales de un compuesto.
A veces es considerada una fase adicional denominada interfase entre la fase continua y
la discontinua, también denominada refuerzo.
3.2 Conceptos Preliminares.
Los materiales estructurales se dividen básicamente en cuatro categorías:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Metales,
Polímeros,
Cerámicos,
Compuestos.
8 9
Materiales Compuestos Los compuestos consisten en la combinación de uno, dos o más materiales de los
mencionados anteriormente, con el fin de mejorar las propiedades que tendrían dichos materiales
utilizados de manera aislada.
Los materiales compuestos presentan buena rigidez, resistencia a la corrosión, bajo peso,
buenas propiedades térmicas, mayor vida útil, etc. Esto hace que sea empleado en la industria
de la automoción en chasis de vehículos de altas prestaciones, en la industria aeroespacial para
aviones militares y civiles, entre otras aplicaciones. Según AIRBUS, el A-380, tiene un 30% de
su superficie externa en material compuesto. En la industria deportiva, los materiales
compuestos son ampliamente empleados en tenis. golf y componentes para bicicletas. En la
construcción civil se emplean en la fabricación de elementos estructurales.
La gran mayoría de los compuestos están hechos de dos materiales: la estructura,
llamada fibra, y la base, que se conoce como matriz. La fibra es el elemento que mejora las
características mecánicas del compuesto, como es la resistencia, rigidez, disminución del peso,
entre otros. Las fibras pueden ser cortas, generalmente inyectadas durante el moldeado o bien
pueden ser largas, con la longitud definida de acuerdo a la fabricación. También pueden ser
continuas o discontinuas, unidireccionales o bidireccionales, trenzadas o con distribución
aleatoria. Las fibras más comunes utilizadas son: gafito-carbono, boro, vidrio y aramida (kevlar),
La matriz es la responsable de transferir las solicitaciones mecánicas a las fibras además de
protegerlas del ambiente externo. Entre las matrices más usadas destacan: las resinas (poliéster
y epoxi), las minerales (carbono) y las metálicas (aleaciones de aluminio).
Para seleccionar el material es importante conocer la aplicación del material (resistencia
mecánica), el coste y la compatibilidad entre la fibra y la matriz (por ejemplo el coeficiente de
dilatación térmica de ambos materiales debe ser próximo).
Como la definición es bastante completa, los compuestos se caracterizan en tres tipos:
(i)
Compuestos fibrosos: Consiste en fibra de un material y matriz de otro. La orientación y
el número de fibras es la que determina la resistencia mecánica de los compuestos
reforzados con fibras.
(ii)
Compuestos con partículas: Están formados por partículas pequeñas de un material
suspendido en una matriz de otro material.
(iii)
Compuestos laminados: Son compuestos formados por diferentes capas de materiales,
incluyendo los dos primeros tipos de compuestos.
Será parte del ámbito de aplicación de este trabajo los compuestos laminados formados
por fibras unidireccionales, que es el material más ampliamente usado en la industria. La lámina
representa el bloque fundamental de la estructura y consiste en fibras envueltas por la matriz.
En el caso de fibras unidireccionales, la lámina presenta elevada resistencia y Módulo de
Elasticidad en la dirección de la fibra y valores más bajos en la dirección ortogonal a la fibra. El
laminado o conjunto de láminas apiladas en diversas direcciones presentará mejor resistencia
mecánica y propiedades físicas. A la secuencia de apilamiento de cada una de las láminas se le
llama Esquema de Laminación. La orientación de las fibras en varias direcciones y la secuencia
de apilamiento de cada una de las láminas optimizarán la resistencia del laminado de acuerdo a
la distribución de cargas.
Los compuestos laminados presentan la desventaja de la delaminación, que ocurre entre
otras cosas debido a la tensión de cizallamiento entre las láminas, especialmente en los bordes
del laminado. Por otro lado el mismo proceso de fabricación puede causar delaminación.
10
Materiales Compuestos 3.3 Estado de tensiones y deformaciones.
Cuando un cuerpo se deforma por la acción de una fuerza externa, un punto P de
coordenadas X=(X1, X2, X3) se desplazará al punto x=(x1, x2, x3), siendo el desplazamiento del
dicho punto P igual a
.
La deformación de un punto puede ser medida a través del tensor de Green-Lagrange,
E, cuyas componentes cartesianas vienen expresadas por:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(3.1)
Mediante la hipótesis de pequeñas deformaciones, podemos considerar despreciables los
términos infinitesimales de segundo orden, obteniéndose el tensor de deformaciones
infinitesimales ε, cuyas componentes son:
;
;
2
;
2
2
(3.2)
La notación ε y γ, fue introducida por van Kárman. Las deformaciones γ12, γ13 y γ23
son las deformaciones cortantes ingenieriles, γij, (i≠j) pueden ser vista como la deformación
angular en el plano ij, mientras que la deformación εij, es una media simple de las deformaciones
en el plano ij (ver Fig. 3.2).
2
Fig. 3.2. Deformación a cortante ε y deformación a cortante ingenieril γ.
11
Materiales Compuestos 3.4 Transformación de coordenadas.
Las relaciones constitutivas de un material ortótropo son escritas en términos de
componentes de tensión y deformación, que estarán referenciadas a un sistema de coordenadas.
Es importante destacar que los compuestos laminados poseen diferentes láminas cuyas fibras
estarán orientadas en diferentes ángulos. Dicho esto, normalmente el sistema de coordenadas del
material suele ser diferente del sistema de coordenadas del problema. De esta forma es necesario
establecer una relación de transformación entre las tensiones y deformaciones para los dos
sistemas coordenados.
Cuando el plano formado por los ejes x1x2 es paralelo al plano del laminado y la
dirección z normal a dicho plano y coincidebte con el eje coordenado del material x3, tenemos un
tipo de transformación especial entre las coordenadas materiales y las coordenadas del problema.
Sea xyz las coordenadas de la solución del problema y x1x2x3 las coordenadas principales
del material, donde x1x2x3 se obtiene de la rotación del plano xy un ángulo θ en torno al eje z,
ver Fig.3.3. La transformación de coordenadas de un punto cualquiera de un sistema en otro
punto del sistema con z=x3 viene dado por:
0
0
0
0
1
(3.3)
O en forma inversa, por:
0
0
0
1
0
(3.4)
Donde [A] representa la matriz de cosenos directores. Dicha matriz es ortogonal, por
tanto: [A]T = [A]-1.
Fig. 3.3. Sistema de coordenadas global y material.
Las relaciones de transformación dadas por las ecuaciones Eqs. (3.3) y (3.4) también son
válidas para los vectores unitarios asociados a los sistemas de coordenadas. De esta forma:
ê
ê
ê
ê
ê
ê
y
ê
ê
ê
ê
ê
ê
(3.5)
12
Materiales Compuestos donde {ê1,ê2,ê3}T son los vectores de la base ortonormal de las coordenadas materiales y
{êx,êy,êz}T son las componentes del mismo vector pero en las coordenadas del problema.
Observando la Eq. (3.5), las componentes de la matriz de los cosenos directores son obtenidos
por el producto interno entre las componentes de vectores ortonormales de ambos sistemas
coordenados.
Considerando que [σ] es el tensor de tensiones y que sus componentes σ11, τ12, τ13,…, σ33
se representan en el sistema de coordenadas del material, y que las componentes en el sistema de
coordenadas del problema sean σxx, σyy, σzz, τxy, τxz, τyz . O sea:
σ
σ
σ
σ
σ
σ
y
(3.6)
σ
σ
Aplicando la Eq.(3.5) para relacionar las tensiones de un sistema coordenado respecto al
otro, se obtiene:
σ
σ
σ
σ
y
(3.7a)(3.7b)
Por tanto la Eq.(3.7a) permite computar las componentes de tensión referidas a las
coordenadas del laminado en términos de las tensiones de la lámina, en tanto que la Eq.(3.7b)
hace lo contrario. Realizando el producto matricial en (3.7a) y (3.7b) y colocando los tensores de
tensión en notación vectorial, se tiene:
σ
σ
σ
0
·
0
0
0
0
1
0
0
0
0
·
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
(3.8)
o simplemente:
σ
σ
(3.9)
La relación inversa de la Eq.(3.8) viene dada por:
σ
σ
σ
0
·
0
0
0
0
1
0
0
0
0
·
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
(3.10)
o lo que es lo mismo:
σ
σ
(3.11)
Para las deformaciones, el procedimiento de transformación es análogo al realizado con
las tensiones, es decir, las expresiones de (3.5) también son válidas:
y
(3.12a)(3.12b)
donde [ε] se refiere al tensor de deformaciones. De esta manera, las deformaciones en el sistema
global de coordenadas tiene las componentes εxx, εyy, εzz, γxy, γxz, γyz dadas por:
13
Materiales Compuestos ε
ε
ε
0
·
0
0
0
·
0
0
0
0
1
0
0
0
0
·
0
0
0
0
1
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
ε
ε
ε
0
0
0
0
(3.13)
y, finalmente la relación inversa:
ε
ε
ε
0
·
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ε
ε
ε
(3.14)
3.5 Análisis Mecánico de una Lámina.
Para estudiar el comportamiento mecánico de una lámina, que es la estructura básica o
fundamental de un laminado, dos hipótesis deben ser consideradas.
(i)
La lámina es continua,
(ii)
El comportamiento de la lámina es lineal elástico.
Con esto el comportamiento de la lámina será presentado en las próximas secciones en el
marco de la micromecánica y la macromecánica.
3.5.1
Micromecánica de una Lámina.
La micromecánica es usada para estimar las propiedades mecánicas de los materiales
compuestos a partir de las propiedades conocidas de la fibra y de la matriz. El estudio de las
interacciones microscópicas entre los elementos constituyentes de una lámina también se
denomina micromecánica. Este análisis es utilizado para hallar las constantes ingenieriles del
material compuesto y está basada en las siguientes hipótesis:
(i)
Unión perfecta entre la fibra y la matriz,
(ii)
Las fibras son paralelas y uniformemente distribuidas en la matriz,
(iii)
La matriz está libre de tensiones residuales,
(iv)
Tanto la matriz como la fibra son isótropas y obedecen a la Ley de Hooke,
(v)
las cargas son paralelas o transversales a la dirección de las fibras.
La técnica más sencilla de homogeneización es la Ley de las Mezclas. Este tipo de
métodos sugieren la existencia de un elemento de volumen representativo RVE (Representative
Volume Element). Si la dispersión de la fibra es estadísticamente homogénea, cabe pensar en un
RVE estadísticamente igual para el compuesto.
14
Materiales Compuestos Fibras
Matriz
Homogeneización
Fig. 3.4. Elemento de Volumen Representativo, (RVE).
Ley de las Mezclas:
La Ley de las Mezclas fue propuesta por Voigt [1889] es la técnica de homogeneización
más simple que puede aplicarse en un material compuesto. Consideremos un elemento de
volumen V, constituido por fibras y una matriz, y cuyo volumen viene dado por:
(3.15)
donde los subíndices f y m representan fibra y matriz, respectivamente.
De forma análoga, la masa del elemento viene dada por:
(3.16)
Si ρm y ρf son las densidades de fibra y matriz, podemos escribir:
(3.17)
El cálculo del Módulo de Young Longitudinal E1 se puede realizar considerando la
acción de una fuerza F1 en la dirección de la fibra, según se observa en la figura siguiente:
·
donde σ es la tensión media normal a lo largo de la sección recta A=L2.
Figura 3.5 Elemento sujeto a una fuerza F1.
(3.18)
15
Materiales Compuestos Una parte de la fuerza es transmitida a la fibra y otra a la matriz. Sean Af y Am las
áreas de las secciones rectas de la fibra y de la matriz, podemos escribir:
(3.19)
y que representa el equilibrio de fuerzas en el elemento.
Mediante la Ley de Hooke, la tensión normal del elemento σ1, de las fibras σf1 y de la matriz σm1,
son expresadas mediante:
(3.20)
donde E1, Ef1 y Em1 son los Módulos de Young del compuesto, la fibra y la matriz,
respectivamente. Sustituyendo se obtiene:
(3.21)
También podemos escribir:
E2
Ef Em
Ef Vm Em Vf
(3.22a)
donde:
Ef : Módulo de Elasticidad Longitudinal de la fibra,
Em : Módulo de Elasticidad Longitudinal de la matriz,
νf : Coeficiente de Poisson de la fibra,
νm : Coeficiente de Poisson de la matriz,
Vf : Fracción de Volumen de fibras,
Vm : Fracción de Volumen de matriz,
Los Módulos de Elasticidad Transversal vienen dados por:
2 1
2 1
(3.22b)
16
Materiales Compuestos Gf y Gm representan el Módulo de Elasticidad Transversal de la fibra y de la matriz,
respectivamente. Otra manera de determinar las constantes ingenieriles E1, E2, G12 y ν12 es
experimentalmente.
3.5.2
Macromecánica de una Lámina.
El término comportamiento macromecánico, se refiere a cuando son consideradas las
propiedades mecánicas promedio.
Una restricción básica de la teoría es asumir el comportamiento lineal elástico para los
materiales tratados. El modelo lineal de comportamiento para una deformación infinitesimal fue
introducido por Cauchy [1828] siendo denominada Ley de Hooke generalizada, pudiendo ser
enunciada como:
(3.23)
donde Cijkl es el tensor de constantes elásticas del material.
(3.24)
Una manera de simplificar la matriz anterior es mediante la notación de Voigt [Voigt,
1928]. La notación de Voigt pretende representar un tensor simétrico reduciendo el orden del
mismo.
(3.25)
2
∑
Para conservar la norma ∑
representara las contribuciones de a12 y a21.
Kelvin introdujo el factor 2 de manera que
; , el
Como los tensores de tensiones y deformaciones son simétricos
número de constantes elásticas independientes se reduce a 21. En el caso de un material
anisótropo la ecuación anterior puede ser escrita de la forma:
(3.26)
o en forma matricial:
σ
σ
σ
τ
τ
τ
ε
ε
ε
γ
γ
γ
Siendo la matriz [C] simétrica, por tanto los términos Cij=Cji:
(3.27)
17
Materiales Compuestos σ
σ
σ
τ
τ
τ
ε
ε
ε
γ
γ
γ
(3.28)
Para un material anisótropo, se tiene por tanto 21 constantes elásticas independientes:
(3.29)
ó
Para un material monoclínico, es decir 1 plano de simetría, el número de constantes
elásticas se reducen a 13. Por ejemplo para un material con simetría en torno al plano 1-2:
0
0
0
0
0
0
í
0
0
(3.30)
En materiales que poseen dos planos ortogonales de simetría de propiedades del
material, existe necesariamente simetría del tercer plano mutuamente ortogonal a los otros dos.
En el caso de que esto ocurra, el material posee triple simetría y es llamado ortótropo, el número
de constantes elásticas se reduce a 9. La Eq. (3.31) muestra la matriz de constantes elásticas de
este material:
0
0
0
0
0
0
0
ó
0
0
0
0
0
(3.31)
Si el material tiene un plano de isotropía, se dice que es transversalmente isótropo y el
número de constantes elásticas se reduce a 5.
0
0
0
ó
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(3.32)
Para un material isótropo, es decir con infinitos planos de simetría, el número de
constantes se reduce a 2.
18
Materiales Compuestos 0
0
0
ó
0
0
0
0
0
0
0
0
(3.33)
0
En lo que sigue, este trabajo se referirá a materiales ortótropos, en donde las direcciones
principales del material son paralelas a las intersecciones de los tres planos ortogonales de
simetría del material. Con esto un material ortótropo posee un sistema de coordenadas en cada
punto donde las tensiones normales provocan sólo deformaciones normales y donde las tensiones
cortantes provocan sólo deformaciones cortantes en la dirección de la carga. Los coeficientes
elásticos de Cij de la Eq. (3.31) se relacionan con las constantes ingenieriles Ei, Gij y νij mediante:
ν ν
∆
ν
ν ν
ν
∆
ν
ν
; ν ν
ν
ν ν
ν ν
∆
; Δ
ν
ν ν
∆
∆
∆
ν ν
∆
ν ν
; ∆
ν ν
; ; (3.34) 2
1
∆
donde E1, E2 y E3 son los módulos de elasticidad longitudinal o de Young en las direcciones
principales 1-2-3; G12, G23 y G31 son los módulos de elasticidad transversal de los planos 1-2, 2-3
y 3-1, respectivamente; y νij son los coeficientes de Poisson obtenidos de la relación entre la
deformación j cuando un elemento diferencial de volumen es cargado sólo en la dirección i
(νij=-εj / εi), o sea:
,
1,2,3
(3.35)
La matriz [C] es no singular y por tanto existe su inversa, de manera que se define la
Matriz de Flexibilidad [S] = [C]-1, como:
(3.36)
Para materiales ortótropos esta relación se simplifica mediante:
19
Materiales Compuestos 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(3.37)
Los coeficientes Sij en la Eq. (3.20) también son obtenidos a partir de las constantes
ingenieriles Ei, Gij y νij mediante:
; ν
ν
; ν
ν
ν
; ; ν
; ; ; (3.38) 3.6 Relaciones Constitutivas en EPT.
El Estado Plano de Tensiones, EPT, se define como aquel en el que cada punto está
sometido a tensión en un solo plano. Esto ocurre en sólidos cuya dimensión en la dirección z es
muy pequeña. El ejemplo más común es el de una chapa o lámina solicitada en su plano medio,
sin cargas actuando perpendicularmente a este plano, Fig. 3.6.
Fig. 3.6. Lámina bajo estado plano de tensiones.
Bajo este estado, las tensiones σ11, σ22 y τ12 son distintos de cero. Mientras que las
tensiones τ23 y τ13 son nulas en la superficie media, en tanto que el hecho de que σ33=0, no
implica la nulidad de ε33, ya que para una lámina ortótropa:
20
Materiales Compuestos (3.39)
El hecho de que τ23 = τ13 = 0, implica que:
0 (3.40) 0
Con esto, la relación tensión-deformación en estado plano de tensiones se reduce a:
0
0
0
0
0
0
0
(3.41)
0
La Eq. (3.41) puede ser invertida para obtenerse la relación tensión deformación
0
0
0
(3.42)
0
donde Qij son los términos de la matriz de rigidez reducida, cuyos elementos en función de las
constantes ingenieriles vienen dados por:
1
1
1
1
(3.43) Es importante observar que la matriz reducida [Q], tiene sólo cuatro constantes
independientes del material: E1, E2, ν12 y G12.
Cuando la tensión normal (σ3=0), y las tensiones cortantes transversales son
consideradas (γ13≠γ23≠0), la ecuación Eq. (3.42) puede ser escrita mediante la siguiente relación
constitutiva:
0
0
Donde Q44=C44=G23 y Q55=C55=G13.
Podemos por tanto escribir:
(3.44)
21
Materiales Compuestos 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(3.45)
0
Como ya vimos en la sección 3.4, es más interesante para el análisis trabajar con las
coordenadas globales del problema. De esta manera, la relación tensión-deformación de una
lámina ortótropa bajo EPT en coordenadas globales viene dada por:
(3.46a)
y
(3.46b)
donde los términos
ij
viene dados por:
2 Q
Q
Q
Q
Q
2Q
2Q
4Q
Q
2 Q
Q
Q
2Q
Q
Q
2Q
Q
2Q
2Q
Q
Q
2Q
2Q
Q
Q
Q
Q
(3.46c)
La matriz [ ] es llamada matriz de rigidez transformada y está en el sistema global de
coordenadas. La Eq. (3.46a) define las tensiones normales y transversales en el plano, mientras
que las Eq. (3.46b) define las tensiones transversales fuera del plano.
3.7 Tipos de Laminado.
En general los laminados se construyen según determinados patrones de secuencia de
láminas, propiedades mecánicas, espesores y orientaciones de las fibras. En este sentido, esta
sección representa la terminología relacionada con el esquema de laminación y las condiciones de
simetría (simetría, antisimetría y asimetría) de un compuesto laminado.
Primeramente, la secuencia de apilamiento de las láminas, también llamado, esquema de
laminación, puede ser escrita como [α/ β/γ/ …/ω], donde α, β, γ, …, ω son las orientaciones en
grados de las fibras de la primera capa, segunda capa, etc… (ver Fig.3.7). Esta nomenclatura se
22
Materiales Compuestos emplea en el caso de láminas que poseen el mismo espesor. En el caso de que esto no suceda, la
nomenclatura empleada es: [t1,α/t2, β/t3,γ/ …/tN,ω], donde ti se refiere a los espesores de cada
una de las láminas. La enumeración de las láminas se realiza de la capa situada más abajo a la
capa situada más arriba, es decir en el sentido positivo de z.
En términos de la orientación de la fibra de un laminado, el ángulo está comprendido
entre -90º y 90º. Cuando sólo existen fibras orientadas a 0º o a 90º, el laminado es llamado
cruzado o cross-ply. Por ejemplo [0/90/90/0] es un laminado cruzado con 4 láminas. Por otro
lado cuando la fibra tiene cualquier orientación, incluida la mencionada para los laminados
cruzados, el laminado puede ser clasificado como angular o angle-ply, como por ejemplo la
configuración [-15/30/60/-90].
Figura 3.7. Secuencia de apilamiento de una laminado cualquiera.
Cuando el laminado se presenta en disposición simétrica respecto a la superficie media,
el compuesto es llamado laminado simétrico. Debido a esta simetría, no ocurre el acoplamiento
de membrana, este asunto lo trataremos en la sección 4.2. Para este tipo de laminado el número
de capas puede ser par o impar. Para indicar que un laminado es simétrico se utiliza el
subíndice s, como indicativo de la referencia de los ángulos. [0/90/0]s que es equivalente a
[0/90/0/0/90/0].
Otro tipo especial de laminado es el antisimétrico. Este tipo de simetría es muy útil
cuando se desea un laminado que trabaje a torsión. Una característica de este tipo de laminados
es presentar una secuencia alternada dos a dos, o bien láminas alternadas en 0º y 90º dos a dos,
Esto hace que los laminados antisimétricos tengan un número par de láminas. Por ejemplo
[0/90]2=[0/90/0/90] o [45/-45]3=[45/-45/45/-45/45/-45], donde el subíndice representa el
número de repeticiones del esquema mencionado. Una vez que
no ocurra simetría o
antisimetría, el compuesto se denomina asimétrico.