MA-150 PRINCIPIOS DE MATEM´ATICA. EJERCICIOS

MA-150 PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA.
EJERCICIOS ADICIONALES DE CONJUNTOS.
1. Sean A, B subconjuntos de E. Para X ⊂ E, X denota el complemento de X con
respecto a E. Demuestre que:
A4(B ∪ A) = A ∩ B.
2. Demuestre que para cualesquiera conjuntos A, B, C,
A ∪ B = A ∪ C ⇔ (B4C) − A = ∅
3. Para cada una de las siguientes proposiciones, determine si es verdadera o falsa.
(a) ∀A, B [P(A − B) ⊂ P(A) − P(B)].
(b) ∀A, B [P(A) − P(B) ⊂ P(A − B)].
(c) ∀A, B, C [A ∪ B = A ∪ C ⇔ (B4C) ⊂ A]
4. Demuestre que para cualesquiera conjuntos A, B, se tiene que
A 6= B ⇔ ∃x[(x ∈ A ∧ x ∈
/ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈
/ A)].
5. Sean A, B subconjuntos de E. Para X ⊂ E, X denota el complemento de X con
respecto a E. Demuestre que:
P(A4B) = P(A ∪ B) ∩ P(A ∪ B).
6. Demuestre que para cualesquiera conjuntos A, B, C,
A ⊂ B ∧ A ∩ C 6= ∅ ⇒ B ∩ C 6= ∅.
7. Sea E un conjunto y sean A, B, C subconjuntos de E. Demuestre que
E − ((A4C) − B) = B ∪ (A ∩ C) ∪ ((E − A) ∩ (E − C)).
8. Sean A, B conjuntos cualesquiera. Demuestre que
P(A ∪ B) = P(A ∩ B) ⇔ P(A) = P(B).
9. Sean A, B, C conjuntos cualesquiera. Demuestre que
(A4B ⊂ B ∪ C ∧ A − B 6= A ∩ C) ⇒ B ∩ C 6= ∅.
10. Sea E un conjunto y sean A, B, C subconjuntos de E. Para cada X ⊆ E, se denota
por X al complemento de X con respecto a E. Demuestre que
(A ∩ B)4C) = (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
11. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas para cualesquiera conjuntos
A, B.
(a) P(A ∩ B) ⊂ P(A) ∩ P(B).
(b) P(A) ∩ P(B) ⊂ P(A ∩ B).
12. Sean A, B, C conjuntos cualesquiera. Demuestre que
A ∩ B = ∅ ⇒ ((A4C) − (A ∪ B) 6= ∅ ∨ C − A = B ∩ C).
13. Sea E un conjunto y sean A, B, C subconjuntos de E. Para todo X ⊆ E, se denota
por X al complemento de X con respecto a E. Demuestre que
(A − B)4C = [(A ∩ C) − B] ∪ [(A ∪ B) − C]).
14. Sean A, B, C conjuntos cualesquiera. Demuestre que
A − (B ∪ C) = ∅ ⇒ [B ∩ C = ∅ ⇒ (A4B) ∩ (A4C) = ∅]
15. Sean A, B conjuntos cualesquiera.
(a) Demuestre que P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).
(b) Demuestre que en general no es cierto que P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B).
16. Sean A, B, C subconjuntos de E. Demuestre las siguientes proposiciones (X denota
el complemento de X en E):
(a) ((A4C) − B) = B ∪ (A ∩ C) ∪ (A ∩ C).
(b) (A ∩ B ∩ C = ∅ ∧ A ∩ B ⊆ C) ⇒ C ⊆ A4B.
17. Determine si la siguiente proposición es verdadera o falsa:
Para cualesquiera conjuntos A, B, E tales que A ⊂ E y B ⊂ E, se tiene que
Ac 4B c = A4B
donde Ac y B c son respectivamente los complementos de A y de B en E.
18. Sean A, B, C conjuntos cualesquiera. Demuestre que
[A ∩ C = ∅ ∧ (A4B) ∩ (B4C) 6= ∅] ⇒ B − (A ∪ C) 6= ∅.
19. Determine si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera o falsa :
(a) A ⊂ B ⇒ (C − A 6= ∅ ∨ A ∩ B = A ∪ C),
para cualesquiera conjuntos A, B, C.
(b) P(A4B) ⊂ P(A)4P(B), para cualesquiera conjuntos A, B.
20. Sean A, B, E conjuntos cualesquiera tales que A, B ⊆ E. Demuestre que
{E (A4B) = (A ∩ B) ∪ {E (A ∪ B).
21. Demuestre que para cualesquiera conjuntos A, B, C,
[(C ⊂ A ∧ C − B = ∅) ∨ (A ∪ B) − C = B ∪ A] ⇒ (A4B) ∩ C = ∅,
22. Sean A, B, C subconjuntos de E. Sean Ac , B c , C c , (A4B)c los complementos en E
de A, B, C y A4B, respectivamente. Demuestre la siguiente proposición:
(A4B)c = (Ac ∪ B) ∩ (A ∪ B c ).