HOJA Nº 11.CINEMÁTICA. COMPOSICIÓN DE MOVIMENTOS.

HOJA Nº 11. CINEMÁTICA. COMPOSICIÓN DE MOVIMENTOS.
1. Deseamos cruzar un río de 200 m de ancho. Si la velocidad de la corriente es de 4 m/s y
nuestra barca desarrolla una velocidad respecto al agua de 10 m/s perpendicular a la
corriente, calcula:
a. La velocidad de la barca con respecto a un sistema de referencia situado en la
orilla.
b. El tiempo que tarda en atravesar el río.
c. La distancia recorrida por la barca.
d. El desplazamiento horizontal que experimenta
Solución
a. La velocidad respecto a la orilla será la suma de la velocidad propia de la barca y
de la velocidad de la corriente. Como llevan direcciones perpendiculares esta suma es
muy simple
‫ݒ‬Ԧ= 4 · ሬ
‫ݑ‬ሬሬሬ
⃗ + 10 · ሬ
‫ݑ‬ሬሬሬ
௫
௬⃗
Si consideramos como eje X la dirección de la corriente y como eje Y la dirección
perpendicular a la corriente.
El ángulo con la orilla de la velocidad se calcula sabiendo que su tangnete es el
conciente entre la componente Y y la componente X de la velocidad total
10
ߙ = ܽ‫ ݃ݐܿݎ‬൬ ൰ = 68,2º
4
b.El tiempo empleado en cruzar el rio se calcula considerando que este es un MRU y
su ecuación es
△ ‫ݐ ·ݒ =ݔ‬
El espacio recorrido son 200 m (anchura del río) y la velocidad perpendicular a la orilla
es 9 m/s
depejamos t
‫=ݐ‬
△ ‫ ݔ‬200
=
= 20‫ݏ‬
‫ݒ‬
10
c. La distancia recorrida por la barca en total será la longitud de la hipotenusa del
tirángulo formado por el ancho del río y el avance de la barca mientras cruza
‫ = ݏ‬ට(‫ݒ‬௫ · ‫)ݐ‬ଶ + (‫ݒ‬௬ · ‫)ݐ‬ଶ = 20 · ඥ 4ଶ + 10ଶ = 215,4݉
d. La distancia recorrida rio abajo (horizontal) esla debida a un MRU de velocidad 4
m/s durante 20 s que dura el movimiento
△ ‫ =ݐ · ݒ = ݏ‬4 · 20 = 80݉
2. Un río fluye hacia el este con velocidad de c=3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con
una velocidad de v=4 m/s.
a. ¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla
opuesta enfrente de O?
b. Calcular la velocidad V del bote respecto de tierra.
c. Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y
regresar de nuevo al punto de partida O
El vector velocidad total V del barco respecto de tierra debe de apuntar hacia el norte,
o lo que es lo mismo su componente horizontal debe ser cero. Este vector será el
vector resultante de la velocidad del barco (v) más la de la corriente (c)
Componente horizontal del vector velocidad total V es cero
0 = c + v·cosθ
θ = arccos(-c/v)
Componente vertical del vector velocidad total
V= v·senθ
La velocidad del barco respecto de tierra V se calcula a partir de la segunda ecuación,
o bien, como el cateto V del triángulo rectángulo formado por la hipotenusa v y el otro
cateto c.
El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será
2·d por que se atraviesa el río 2 veces: ida y vuelta
Substituyendo los datos del problema obtenemos que,
La velocidad del bote respecto de tierra es de 2,64 m/s dirección perpendicular a la
orilla
El ángulo que forma la proa del bote con la dirección este-oeste es θ=138.6º.
El tiempo total de viaje será 75.6 s
3.
Un remero observa en la otra orilla del río, justo frente a su muelle, una torre; cruza el río
perpendicularmente a la orilla con una velocidad de 3 km/h y alcanza la otra orilla a 600 m de
la torre. Calcular la velocidad de la corriente si el ancho del río es de 200 m y el ángulo de su
trayectoria respecto a la orilla
Solución
La figura esquematiza el enunciado y el
planteamiento. Tenemos dos movimientos
barca perpendicular al rio y a lo largo del río.
Perpendicular (△p) recorre 200 m a
velocidad de la barca vb mientras que al
mismo tiempo río abajo (△d) recorre 600 m
a la velocidad de la corriente vc.
Resolvemos
por
movimientos
independientes. Si atraviesa el río de 200 m de ancho (0,2 km) a 3 km/h tardará
t = 0,2/3 = 0,067 h
En ese tiempo la corriente lo arrastra 600 m (o,6 Km) río abajo, por tanto aplicando la
definición de velocidad obtenemos que la corriente lo arrastra a
vc = 0,6/0,067 = 9 km/h
El ángulo lo podemos calcular por los espacios recorridos. El cociente entre el ancho
del río y espacio que avanza río abajo nos da la tangente del ángulo de la trayectoria
α = arctg(200/600) = 18,43º
4.
Una avioneta cuya velocidad respecto del aire es 100 km/h, pasa sobre Torre del Mar y se
dirige a Toledo, situado a 400 km al norte. La oficina meteorológica en tierra le informa que
sopla viento en dirección Oeste-Este de 45 km/h.
a. Determinar la dirección en que se desplaza la avioneta en esas condiciones.
b. Hallar el ángulo que debe desviar su rumbo, para desplazarse efectivamente hacia
B, suponiendo que se mantienen constantes las velocidades.
c. Hallar cuánto tardará en llegar.
Solución
a) Pues si se mueve hacia el norte con 100 km/h y hacia el este a 45
km/h el rumbo de la avioneta medio como el ángulo sobre el
meridiano Sur Norte se calcula a partir de la tangente de dicho ángulo,
el cociente entre la velocidad del viento (cateo opuesto) y la velocidad
del avión (cateto contiguo). en nuestro caso
α = arctg(Vv/Va) = arctg(45/100) = 24,22º
b) Si queremos que vaya realmente hacia el norte el avión deberá apuntar en
dirección noroeste para compensar el viento, pero ¿qué ángulo? Pues
aparentemente -24,33º, pero solo aparentemente. Lo que sabemos
con seguridad es que el avión vuela a 100 km/h respecto del aire y
que ahora tiene que compensar la velocidad del viento, es decir, su
velocidad debe tener una componente horizontal opuesta al viento y
otra componente apuntando hacia el norte, ambas componentes
juntas nos dan los 100 Km/h (también puedes plantearlo como en el
ejercicio 2). Pues usando este razonamiento el esquema del vuelo
será el de la figura. El ángulo lo calculamos ahora a partir de la razón trigonométrica
seno. Tenemos que el seno del ángulo será el cociente de -Vv y Va, ponemos -Vv
porque esa comonente de la velocidad va hacia la izquierda en sentido negativo,
opuesto al viento.
α = arcsen(-Vv/Va) = arcsen(-45/205) = -26,74º
Valores muy parecidos pero no iguales. El parecido es a causa de que el ángulo es
muy pequeño, seno y tangente son muy parecidos. Pero si la velocidad del vineto y
del avión fueran más cercanas estos ángulos serían muy diferentes.
c) Para saber el tiempo que tardará volvemos a considerar la independendica de los
movimientos. Debe recorrer 400 km dirección norte, debemos averiguar que velocidad
lleva en esa dirección Vr Usamos la razón coseno del ángulo 26,74º
Vr = Va·cosα = 100·cos(- 26,74) = 89,31 km/h
A esta velocidad empleará un tiempo que calculamos a partir de la definición de velocidad (espacio
recorrido dividido por el tiempo)
Va = △e / t ; t = △e / Va = 400/89,31 = 4,45 h
5.
Entre los muelles A y B que están en la misma orilla de un canal rectilíneo hay una distancia
de 400 m. Un bote de remos tarda 40 s en ir de A hasta B, y 50 s en regresar. Considerando
constantes los módulos de las velocidades del bote respecto del agua y de la corriente
respecto de la orilla, hallar los valores de los mismos.
Solución
Son dos movimientos
A→B la velocidad resultante es ‫= ݒ‬
△௫
B→A la velocidad resultante es ‫= ݒ‬
=
△௧
△௫
△௧
ସ଴଴
=
ସ଴
= 10݉ /‫ݏ‬
ସ଴଴
ହ଴
=8
௠
௦
La velocidad resultante es suma vectorial de la velocidad del río de la barca. Cojemos
signo positivo de A a B y negativo el contrario. La corriente va de A a B, es positiva.
La velocidad de la baca en el primer caso es positiva y en segundo negativa.
‫ݒ =ݒ‬௖ + ‫ݒ‬௕
El sistema de ecuaciones es
‫ݒ =ݒ‬௖ − ‫ݒ‬௕
10 = ‫ݒ‬௖ + ‫ݒ‬௕
8 = ‫ݒ‬௖ − ‫ݒ‬௕
Resolviendo este sistema tenemos que
࢜ࢉ = ૢ࢓ /࢙
࢜࢈ = ૚࢓ /࢙