Desigualdad con dos variables y Análisis Geométrico

PROGRAMACION LINEAL
DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES
Definición de Desigualdad Lineal: Una desigualdad lineal en las variables x y y
es una desigualdad que puede escribirse de la siguiente forma:
ax + by + c < 0 ( o bien 
en donde a, b y c son constantes y a y b no son cero.
En términos geométricos, la solución de una desigualdad lineal en x y y consiste
en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. En particular
la gráfica de una recta y = mx + b no vertical divide el plano en tres partes distintas.
(1) La recta misma que consiste en todos los puntos (x,y)
cuyas coordinas satisfacen y = mx + b.
(2) La región que se encuentra por encima de la recta y,
que consiste en todos los puntos (x,y) que satisfacen
y > mx + b.
(3) La región que se encuentra por debajo de la recta, y
que consiste en todos los puntos (x,y) que satisfacen
y < mx + b.
y = mx + b (1)
y > mx + b (2)
y < mx + b (1)
Por ejemplo: Resolver 2x + y < 5
Se traza la recta correspondiente 2x + y = 5, marcando dos puntos en ella, por
ejemplo las intersecciones con los ejes (5/2, 0) y (0,5).
Y
X
X
y < 5 – 2x
Y
Escribiendo la desigualdad de la forma equivalente y < 5 – 2x
se concluye que del punto (3) anterior que la solución consiste
en todos los puntos que se encuentran por debajo de la recta.
Por ejemplo (-2, -1) se encuentra en esta región y se cumple
que:
y < 5 – 2x
(-1) < 5 – 2(-2)
-1 < 5 – (- 4)
-1 < 5 + 4
-1<9
Si se hubiera requerido que y  5 – 2x la recta y = 5 – 2x
hubiera sido incluida también en la solución, como se indica en
la recta continua de la figura. Por ejemplo (0, 5)
X
y  5 – 2x
y  5 – 2x
(5)  5 – 2(0)
5  5 – (0)
55
Por consiguiente, se adoptan las convenciones de que LAS RECTAS DE TRAZO
LLENO SE INCLUYEN EN LA SOLUCION Y LAS RECTAS PUNTEADAS NO SE
INCLUYEN.
Por Ejemplo: Resolver 4x – 2y < 2x + 2y – 4
- 2y < - 4x + 2x + 2y – 4
-2y < -2x + 2y – 4
-2y – 2y < -2x – 4
-4y < -2x – 4
-y < -2x/4 – 1
-y < - x/2 – 1
Cambiando Signos: y > x/2 + 1
Agrupando x:
Simplificando:
Agrupando y:
Simplificando:
Despejando y:
Se traza la línea recta y = x/2 + 1, observando que sus intersecciones son con los
ejes (0,1) y (-2,0). Después se sombrea la región que esta por encima de ella. Cada uno
de estos puntos en esta región es una solución.
Y
X
y > x/2 + 1
X
SISTEMA DE DESIGUALDADES
La solución de un sistema de desigualdades consiste en todos los puntos cuyas
coordenadas satisfacen simultáneamente todas las desigualdades dadas. En términos
geométricos, es la región común a todas las regiones determinadas por cada una de las
desigualdades. Por ejemplo, revuélvase el siguiente sistema:
2x + y > 3
x 1
2y – 1 > 0
Despejando y en cada desigualdad, nos quedaría:
y > - 2x – 3
y x
y>½
Primeramente se trazan las rectas:
y = - 2x + 3
y=x
y=½
Y
y=x
De y = - 2x + 3, se pueden obtener los puntos (0,3) y (3/2,0).
De y = x, cualquier valor de x es igual a y.
De y = ½, puesto que x no aparece, se supone que la
desigualdad es cierta para cualquier valor de x.
Se sombrea la región que se encuentra simultáneamente por
encima de la primera recta, sobre o por debajo de la segunda
de ellas y por encima de la tercera.
y = 1/2
y = - 2x + 3 X
Al trazar las rectas, LO MEJOR ES USAR LA LINEA
PUNTEADA EN TODOS LOS CASOS HASTA QUE RESULTE
EVIDENTE QUE PORCIONES DE ELLAS SE DEBEN DE
INCLUIR EN LA SOLUCION.
TAREA:
Obtenga los puntos, grafique y sombree los siguientes sistemas de ecuaciones:
(1)
2x + y < -1
y > -x
2x + 6 < 0
(2)
4x + 3y > 12
y > x
2y 3x + 6
PROGRAMACION LINEAL (ANÁLISIS GEOMÉTRICO)
En ocasiones se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas
restricciones. Por ejemplo, un fabricante quizá desee maximizar una función de utilidad
sujeta a restricciones de producción impuestas por limitaciones en el uso de la maquinaria
y la mano de obra.
Ahora se considerará la forma en que pueden resolverse problemas de este tipo
cuando es LINEAL la función que se desea maximizar o minimizar. Una FUNCION
LINEAL EN x Y y tiene la forma:
Z = ax +by
En donde a y b son constantes. También se requerirá que las restricciones
correspondientes estén representadas mediante un sistema de desigualdades lineales
(que implican o bien >) o ecuaciones lineales en x y y, que todas las variables sean no
negativas. A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denomina
PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL.
En un problema de programación lineal a la función que se desea maximizar o
minimizar se le denomina FUNCION OBJETIVO. Aunque por lo general existe una
cantidad infinitamente grande de soluciones para el sistema de restricciones ( a las que se
les denomina SOLUCIONES FACTIBLES ), el objetivo consiste en encontrar una de esas
soluciones que represente una SOLUCION OPTIMA ( es decir, una solución que de el
valor máximo o mínimo de la función objetivo ).
Por ejemplo:
Supóngase que una compañía fabrica 2 tipos de artefactos, manuales y
eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación, el uso de tres máquinas: A, B y C.
Un artefacto manual requiere el empleo de la máquina A, durante 2 horas, de 1 hora en la
B y de 1 hora en la C. Un artefacto eléctrico requiere de 1 una hora en la máquina A, 2
horas en la B y 1 hora en la C. Supóngase, además, que el número máximo de horas
disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es de 180, 160 y 100
respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de $ 4.00 y de
$ 6.00 para los eléctricos. Si la compañía vende todos los artefactos que fabrica.
¿Cuántos de ellos de cada tipo se deben de elaborar con objeto de maximizar la utilidad
mensual ?.
Primeramente se resumen los datos en la siguiente tabla:
MANUAL
ELECTRICO
Horas Disponibles
A
2h
1h
180
B
1h
2h
160
C
1h
1h
100
Utilidad * Unidad
$ 4.00
$ 6.00
Ahora, x y y denotan los números de artefactos manuales y eléctricos,
respectivamente que se fabrican en el mes. Como el número de artefactos fabricados no
puede ser negativo, se tiene que:
x > 0, y > 0
Para la máquina A, el tiempo que se requiere para trabar en x artefactos manuales
es de 2x horas, y el tiempo necesario para trabajar en y artefactos eléctricos es 1y horas.
La suma de estos tiempos no puede ser superior a 180 horas, por lo que:
A) 2x + y 180
Lo mismo para las máquinas B y C, y nos da:
B) x +2 y 160
C) x + y 100
La utilidad ( o ganancia ) U es función de x y y, y esta dada por la FUNCION DE
UTILIDAD:
U = 4x + 6y
Resumiendo, se desea maximizar la FUNCION OBJETIVO:
U = 4x + 6y
Sujeta a la condición de que x y y deben ser una solución para el sistema de
restricciones, tenemos el siguiente sistema de desigualdades.
x>0
y>0
2x + y 180
x +2 y 160
x + y 100
Consecuentemente, se tiene un problema de PROGRAMACION LINEAL.
Solución:
Despejando y
x>0
y>0
2x + y 180
x +2 y 160
x + y 100
x>0
y>0
y 2x + 180
y  - ½ x + 160
y  - x + 100
(1) x = 0
(2) y = 0
(3) y = -2x + 180
(4) y = - ½ x + 160
(5) y = - x + 100
Para (1), x = 0
Para (2), y = 0
Para (3), se pueden obtener los puntos (0,180) y (90,0)
Para (4), se pueden obtener los puntos (0,80) y (160,0)
Para (5), se pueden obtener los puntos (0,100) y (100,0)
Graficando tenemos:
y (Eléctricos)
(3) y = - 2x + 180
E
(5) y = - x + 100
A
(4) y = - ½ x + 80
D
B
C
x (Manuales)
Ahora, se procede a buscar un miembro de la familia que contenga un
punto factible y cuyo valor de U sea máximo. SERA LA RECTA CUYA ORDENADA AL
ORIGEN SE ENCUENTRE LO MAS ALEJADO DE ESTE ( lo cual dará el valor máximo
de U ) Y QUE TENGA CUANDO MENOS UN PUNTO COMUN CON LA REGION
FACTIBLE.
En la gráfica no es difícil observar que esa recta contendrá un vértice en A. Este
queda tanto en la recta y = - x + 100, como en la recta y = - ½ x + 80. Por ello pueden
determinarse sus coordenadas, resolviendo el siguiente sistema:
y = - x + 100
y = - ½ x + 80
Esto resulta en x = 40 y y = 60. Sustituyendo estos valores en U = 4x + 6y, se
encuentra que la máxima utilidad sujeta a las restricciones es $ 520.00, que se obtiene de
fabricar 40 artefactos manuales y 60 eléctricos cada mes.
Para determinar el vértice B, se observa en la gráfica que debe resolverse el
siguiente sistema:
y = -2x +180
y = - x + 100
Haciendo esto, se encuentra el punto (80,20), de la misma manera se obtienen las
coordenadas de todos los vértices, así tenemos:
A = (40,60),
B = (80,20),
C = (90,0),
D = (0,0),
E = (0,80)
Ahora se evaluará la FUNCION OBJETIVO U = 4x + 6y en cada punto:
U(A) = 4(40) + 6(60) = 520
U(B) = 4(80) + 6(20) = 440
U(C) = 4(90) + 6(0) = 360
U(D) = 4(0) + 6(0) = 0
U(A) = 4(0) + 6(80) = 480
Por consiguiente, U tiene un máximo de 520 en A, en donde x = 40 y y = 60.