La transformada de Laplace - Canek

CAPÍTULO
6
La transformada de Laplace
6.3 Existencia de TL
Los resultados encontrados en las secciones anteriores nos podrían hacer pensar que bastará cuidar el rango
de la variable s para asegurar la existencia de la TL de una función; sin embargo, para algunas funciones
éste no es el caso. Consideremos el siguiente ejemplo para ilustrar esa posibilidad.
2
Ejemplo 6.3.1 Mostrar que no existe la TL de la función f .t/ D e t para ningún valor de s.
H
Por la definición de la TL, se tiene:
˚
L e
t2
D
Z
1
e
st t 2
e dt:
0
1. Primero veremos que la integral siguiente diverge:
Z 1
2
e v dv:
1
2
En efecto, puesto que e v > e v en .1; 1/, entonces:
Z 1
Z
2
e v dv 1
1
e v dv D 1:
1
2. Si s > 0,
L et 2 D
˚
Z
1
e
st t 2
e dt D
0
D
Z
0
1
e
“
t
s
2
”2
e
s2
4
Z 1
s2
2
dt D
e t st C 4 e
0
0
Z 1 “ s ”2
1
t
dt D 2
e 2 dt:
s
0
e4
Z
1
et
1. canek.azc.uam.mx: 24/ 9/ 2010
1
2
st
s2
4
dt D
2
Ecuaciones diferenciales
Si usamos v D t
˚
L e
t2
s=2,
1
D
s2
Z
1
e
e4
Z
1
e
s2
4
v2
1
dv D
s=2
s2
4
1
e
1
2
e v dv C
0
Z
1
Z
1
e
v2
dv C
s=2
Z
1
e
v2
dv 1
Z 1
Z 1
1
1
2
2
e v dv 2
e v dv 2
e v dv D 1:
s
s
1
1
e4
e4
El ejemplo anterior muestra que la TL de f .t/ D e no existe por el gran crecimiento que tiene esta función
2
cuando t ! 1, comparado con el decrecimiento de e st en la misma situación al infinito. La función e t
2
domina a e st para
cualquier valor de s, de modo que e t st será positiva y creciente cuando t ! 1. Por
Z
t2
ello la integral
1
1
et
2
st
2
dt diverge. Es importante recalcar que el gran crecimiento de e t cuando t ! 1
es la causa de la divergencia y no la función en un intervalo limitado. El siguiente ejemplo muestra que e t
puede tener TL, si se restringe a un intervalo finito.
( 2
ke t ;
Ejemplo 6.3.2 Mostrar que la función f .t/ D
10M ;
H
si t < B
si t B
2
sí tiene TL, donde k, M & B son constantes.
Usando la definición de la TL:
Lf f .t/g D
Z
1
st
e
f .t/ dt D
0
Z
B
st
e
t2
ke dt C
0
B
Z
st Ct 2
Z
1
e
st
.10M / dt D
B
Z
R
lím
e st dt D
R!1 B
0
Z B
2
e sB
e sR
Dk
e t st dt C 10M lím
D
C
R!1
0
s
s
Z B
s2
2
e sB
1
D 10M lím
C
k
e t st e 4 e
C
R!1 se sR
s
0
«
Z B „2
s2
s2
t st C 4
10M e sB
D
C ke 4
e
dt D
s
0
Z B “ s ”2
s2
10M e sB
t
D
C ke 4
e 2 dt:
s
0
Dk
e
dt C 10
M
s2
4
dt D
El valor obtenido así será finito y bien definido, sin importar cuán grandes puedan ser M , B o k, para
cualquier s > 0. La última integral, si bien no puede calcularse mediante funciones elementales, se puede
s 2
acotar: si m.s/ D máx t
para 0 t B, entonces:
2
Z
0
B
e
t
s
2
2
dt Z
B
e m.s/ dt D e m.s/ B:
0
De este modo, la TL de esta función existe para cualquier s > 0.
6.3 Existencia de TL
3
Ejemplo 6.3.3 Mostrar que la función f .t/ D
H


tan t;

0;
si t Hagamos una estimación de la TL. Sea m.s/ D mín
Z
1
e
st
f .t/ dt D
0
Z
2
0t 2
st
e
2
si 0 t <
st
e
tan t dt 0
2
Z
2
no tiene TL.
D mín
n
1; e
s
2
o
:
m.s/ tan t dt D
0
D m.s/
Z
2
0
R!
D m.s/ lím Œln.sec R/
R!
Z
tan t dt D m.s/ lím
2
Recuerde que la función tan t tiene una asíntota vertical en t D
2
R
tan t dt D
0
ln.sec 0/ D C1:
.
2
Los ejemplos anteriores nos llevan al cuestionamiento de las condiciones que podrían garantizar la existencia de la TL de una función. Un resultado en este sentido es el que se enuncia en el siguiente teorema cuya
demostración omitimos.
Teorema 6.1 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
Sea f una función que cumple las siguientes condiciones:
1. Es seccionalmente continua sobre el intervalo t A para cualquier A > 0, esto es, posee a lo más un número
finito de discontinuidades de salto en dicho intervalo.
2. Es de orden exponencial para t M , es decir,
j f .t/ j Ke at para t M dondeK; a & M son constantes.
(6.1)
Entonces Lf f .t/g D F .s/ existe para s > a.
Funciones f .t/ que satisfacen a las condiciones del teorema anterior se denominan funciones seccionalmente
continuas de orden exponencial.
El orden exponencial que se exige a la función sólo se requiere a partir de t M ; puede suceder que en el
intervalo t < M no se cumpla la desigualdad (6.1) para algunas t < M , sin embargo, esto no es importante
pues no afecta la existencia de Lf f .t/g.
La siguiente gráfica ilustra las dos condiciones anteriores.
f .t /
Ke at
M
t
Ke at
j f .t / j Ke at ,
Ke at f .t / Ke at
4
Ecuaciones diferenciales
Unicidad de la TL
1
Hemos escrito anteriormente f .t/ ! F .s/ para indicar que Lf f .t/g D F .s/ y también L f F .s/g D f .t/.
Esta práctica se apoya en la presunción de que la TL de funciones distintas debe dar como resultado funciones también diferentes.
Si dos funciones f .t/ y g.t/ tienen la misma TL, es decir, cumplen
Lf f .t/g D Lf g.t/g;
tenemos, por la linealidad de la TL, que:
Lf f .t/ g.t/g D 0:
Es decir, para que las funciones f .t/ y g.t/ tengan la misma TL se debe cumplir:
Z
1
e
st
Œf .t/
g.t/ dt D 0:
0
Dado que la función exponencial siempre es positiva, esta integral nos indica que f .t/ y g.t/ son esencialmente iguales. Un análisis más preciso de este concepto nos lleva al siguiente resultado:
Teorema 6.2 de Lerch sobre Unicidad
Sean f & g dos funciones seccionalmente continuas de orden exponencial con
f .t/
! F .s/
&
g.t/
! G.s/:
Supóngase que existe s0 2 R tal que las F .s/ D G.s/ para todo s > s0 . Entonces, f .t/
en el sentido de que
Z a
Œf .t/ g.t/ dt D 0 para todo a > 0I
g.t/ es una función nula,
0
en particular en los puntos de continuidad de ambas funciones se tiene f .t/ D g.t/.
La conclusión del teorema sobre la igualdad de f & g se enuncia a menudo diciendo que f & g son iguales
para casi todo t; esto es, para todo t, excepto posiblemente en los puntos de discontinuidad, que son una
cantidad finita o numerable. El teorema de Lerch asegura que dos funciones que tengan la misma TL son
1
esencialmente iguales. De esta forma, tiene sentido hablar de la transformada inversa L de una función,
teniendo en cuenta que hay una unicidad esencial.
Ejemplo 6.3.4 Observe que las funciones
1. f1 .t/ D t;
(
t;
2. f2 .t/ D
1;
si t ¤ 0I
si t D 0I
(
t;
3. f3 .t/ D
0;
si t no es entero;
si t D 0; 1; 2; 3; tienen todas la misma TL, a saber F .s/ D
1
.
s2
6.3 Existencia de TL
H
5
Las gráficas de estas funciones se presentan a continuación
y
y
y
y D f1 .t /
y D f2 .t /
t
y D f3 .t /
t
t
Ejercicios 6.3.1 Existencia de la TL. Soluciones en la página 6
1. ¿Cuáles de las siguientes funciones cumplen las condiciones suficientes para la existencia de la TL?
a. f .t/ D e 2t cos 3t.
R1
b. g.t/ D €.t/ D 0 ut
1
e
u
du.
c. h.t/ D cot t.

t csc t; si 0 t I
d. .t/ D
2
e t 1 ;
si t > :
2
(
te;
si t 1I
e. .t/ D
t2
e ; si t > 1:
f. .t/ D btc. Máximo entero menor o igual a t.
.t /
1
0
e
s2
1
! F .s/ & g.t/
s
C4
; con s > 0I
¿Qué se puede concluir acerca de f & g?
2
2. Suponga que dos funciones f & g cumplen que f .t/
F .s/ D
t
1
G.s/ D
e
s2
! G.s/, donde:
s
C4
; con s > 2:
6
Ecuaciones diferenciales
Ejercicios 6.3.1 Existencia de la TL. Página 5
1.
a.
b.
c.
d.
Sí;
no;
no;
sí;
e. no;
f. sí.
2. f .t / y g.t / son iguales casi dondequiera.