GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática

Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
Plan de Estudios:
Matemáticas
Semestre 1
Nº Créditos:
Intensidad horaria semanal: 4 Hrs T
Tema: Inecuaciones y desigualdades
de 20
Área: matemática
Hrs P
Total horas:
1. OBJETIVO
 Apropiar los conceptos de inecuaciones y desigualdades y establecer la importancia de
esta en la solución de problemas.
2. CONTENIDO
Definición y propiedades de las desigualdades, definición de inecuaciones, inecuaciones
lineales y cuadráticas, métodos de solución.
3. MARCO TEORICO
Definiciones:
Ley de la tricotomía:
"Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las
proposiciones:
Propiedades de las desigualdades
Teorema1-Propiedad transitiva:
Teorema2-Suma:
Ejemplo ilustrativo:
Ejemplo ilustrativo:
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Teorema3-Multiplicación por un número Teorema4:
positivo:
Ejemplo ilustrativo:
Ejemplo ilustrativo:
Los Teoremas 1 a 4 también son válidos si se cambia ">" por "<"
Teorema5:
Teorema6:
"Si se cambia el signo de ambos miembros
de una desigualdad, se cambia el sentido
de la desigualdad".
Teorema7:
Teorema8:
Teorema9:
Teorema10:
Teorema11:
Inecuaciones lineales:
Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita. Si el grado de la
inecuación es uno, se dice que la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar los
valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de una inecuación
es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para
resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente
las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con
una gráfica. Si la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos
dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo
representamos mediante un círculo blanco (transparente).
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Ejemplo:
Inecuaciones lineales que comprenden valores absolutos:
Inecuaciones cuadráticas:
Las inecuaciones cuadráticas presentan, o se pueden reducir a, las formas:
El
modo de solucionar estas inecuaciones es similar al utilizado para resolver Ecuaciones
cuadráticas.
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
Ejemplo:
de 20
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 6 resuelva las inecuaciones propuestas y de la solución en tres
formas diferentes: desigualdades, intervalos, gráfica.
Solu ciones
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Método gráfico: en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan
inecuaciones de la forma
La solución de esta inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido
coloquialmente como el "Método de las cruces o del cementerio". La eficacia del "Método de
las cruces" se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de grado n > 2, o sea,
cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Procedimiento en el método gráfico
1. Se factoriza el polinomio
2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la
parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo
3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el
resultado
4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor
5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso
anterior
6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz
7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con
un signo menos y a la derecha con un signo más
8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los
signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar
correspondiente de la recta real de resultados
9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos
los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si
el sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos
señalados con el signo menos.
Ejemplo ilustrativo:
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Inecuaciones que contienen fracciones:
El "Método de las cruces" se puede extender a la solución de inecuaciones que contienen
fracciones algebraicas. Lo primero que debemos hacer es excluir los números reales que hacen
que los denominadores se anulen. Luego, pasamos todas las fracciones y demás expresiones
algebraicas al miembro izquierdo de la desigualdad (en el miembro derecho queda, por
supuesto 0). El próximo paso consiste en reducir las expresiones algebraicas en el miembro
izquierdo a una sola fracción. Por último, después de factorizar tanto el numerador como el
denominador aplicamos el "Método del cementerio", pero teniendo en cuenta los factores del
numerador como los del denominador.
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Ejemplo:
Nota: en la representación gráfica de las soluciones se pueden emplear paréntesis para indicar
que el extremo del intervalo no está incluido en la solución; y se pueden usar corchetes para
indicar que el extremo si está incluido. En los ejercicios resueltos que presento a continuación
voy a representar gráficamente la solución usando paréntesis (, ); y corchetes [, ].
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
Ejercicios resueltos
Resolver las siguientes desigualdades aplicando el método gráfico
Soluciones
de 20
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
de 20
EJERCICIOS PROPUESTOS
Resuelva las inecuaciones propuestas y de la solución en tres formas diferentes: desigualdades,
intervalos, gráfica.
1. 3x + 6 > 2x + 12
2. 4x - 8 > 3x - 14
3. 10x + 24 < 16x + 12
4. - 2x + 3 > - 3x - 1
5. 5(x + 6) - 5 > - 10
6. 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1)
7. 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4
8. 2x - 3 - 4(x2 - 5) > 20 + 5x - 4x2
9. 7x(2x +5) - 5x(2x + 3) < (2x + 4)2
10. (4x + 2)(4x + 9) ≤ (4x + 6)2
11. x2 − 6x + 8 > 0
12. 2x2 + 2x +1 ≥ 0
13. 3x2 + x +1 > 0
14. 47x2 + 21x − 28 < 0
15. 5 –x2 + 4x − 7 < 0
Corporación Universitaria Minuto de Dios
Regional Bogotá – Sur
GUIA DE CATEDRA
Desarrollo de cátedra no Presencial
Materia Fundamentos de matemática
Guía N. ___1__ F. Elaboración __________ F. 1° Revisión___________ Pagina 1
4.
de 20
ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN
A partir de la entrega de la guía INECUACIONES Y DEIGUALDADES, el estudiante genera un
plan de acción con estrategias claras para mejorar y aclarar dudas sobre los conceptos
relacionados.
5.
CRITERIO E INSTRUMENTO DE EVALUACION
Desarrollo de la actividad presentada a partir de los siguientes criterios:
. Coherencia de la temática determinada.
. Participación de los estudiantes.
. Desarrollo de la prueba escrita.
. Desarrollo de guía para tiempo extra clase.
1. BIBLIOGRAFIA
- Pre cálculo James Stewart 5a Edición
- Calculo diferencial Larson-Spevak 3a ed.
Escrito
Lic. Diego Armando Sierra Ramírez
[email protected]