Desigualdades_y_valor_absoluto_880428

4. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
OBJETIVOS
OBJETIVOS
1. Interpretar el concepto de desigualdad, solucionar
desigualdades lineales y de orden superior y dar su
respuesta en intervalos.
2. Trabajar el concepto de valor absoluto y resolver
desigualdades que contengan valor absoluto.
3. Aplicar desigualdades a la solución de problemas de tipo
empresarial.
Fundamentos matemáticos
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Desigualdades
Las desigualdades se originan en las relaciones de orden y cuando se
comparan números reales diferentes que, además, cumplan una y sólo una
de las siguientes proposiciones:
a<b
a=b
a>b
Para resolverlas, se hace lo mismo que con las ecuaciones, pero utilizando
los símbolos <, =, >.
Antes de abordarlas, se requiere de la ayuda de los intervalos, útiles al dar la
respuesta.
Intervalos finitos
Abierto (a, b)
(xxxxxxxx)
a
Cerrado [a, b]
b
[xxxxxxxx]
a
b
Semiabierto (a, b]
(xxxxxxxx]
Semiabierto [a, b)
[xxxxxxxxx)
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3
Intervalos infinitos
(a, ∞)
(xxxxxxxxxxx
a
[a, ∞)
[xxxxxxxxxxx
a
(-∞, a) xxxxxxxxxxx)
a
(- ∞, a] xxxxxxxxxxx]
a
Ejercicios sobre desigualdades (se omite la escritura de las propiedades
pero se aplican).
Resolver
3x – 2 < 7
3x – 2 + 2 < 7+ 2
3x < 9
3x 9

3 3
x3
Solución (-∞, 3)
Resolver
5x – 7  2x – 3
5x – 7 + 7 – 2 x  2x – 3 + 7 – 2 x
3x4
3X 4

3
3
4
x
3
4 
Solución  ,  
3 
Resolver
4  2 x + 2 < 12
Fundamentos matemáticos
4
4 – 2  2 x + 2 – 2 < 12 – 2
2  2 x < 10
2 2 x 10
 
2 2 2
1  x 5
Solución: [1,5)
Desigualdad por factorización
Ejercicios:
x2 – 5x + 6 > 0
Resolver
(x – 3) (x – 2) > 20 Se resuelven por el método de las
cruces o cementerio así:
++++++++++
--------------
2
++++++++++ x
3
La solución es para los intervalos positivos porque la desigualdad dice > 0
Solución: (-∞, 2)  (3, ∞)
x2 + x – 2  0
Resolver
(x + 2) (x – 1)  0
-----------------
++++++++
-2
--------------- x
1
Se toma el intervalo positivo
Solución [-2,1]
 Desigualdad que posee un cociente se resuelve igual que las del paso
anterior.
Fundamentos matemáticos
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Resolver
x2
0
x3
-----------------
+++++++++
-3
--------------- x
2
Solución ( - ∞, -3)  [2, + ∞)
Aplicación
El producto interno bruto (PIB) de un país está proyectado en t 2 + 2t + 50
miles de millones de dólares, t se mide en años a partir del año en curso.
Determine en qué instante el PIB del país será igual o mayor de $58 mil
millones.
Solución:
t2 + 2t + 50  58
t2 + 2t + 50 – 58  0
t2 + 2t – 8  0
(t + 4) (t – 2)  0
++++++++++
---------------
-4
++++++++++ x
2
La solución es (2, ∞) porque t tiene que ser positivo, o sea, dentro de dos
años.
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Valor absoluto
El valor absoluto de un número x se denota con /X/ y se define como:
| x | = x si x  0
-x si x < 0
El valor absoluto de un número siempre es positivo. Así:
|7| = 7
|-5| = 5
Las desigualdades con valor absoluto son de tres formas así:
a.
b.
|x –a | = b equivale a:
x–a=b
ó x–a=-b
|x - a|  b
equivale a:
x–a  -b ó x–a  b
c.
|x - a|  b equivale a:
-b  x–a  b
Ejercicios:
 Resolver las desigualdades:
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7
a. |x - 3| = 5
x–3=5
x–3=-5
ó
x =5+3
x= -5+3
x=8
x=-2
Solución: {2,8}
b. |2x - 5| = 1
2x – 5 = 1
2x – 5 = -1
ó
2x = 1 + 5
2x = -1 + 5
x = 6/2
2x = 4
x=3
x = 4/2
x= 2
Solución: {2,3}
 Resolver la desigualdad:
|2x + 8|  4
2x + 8  - 4
ó
2x+8  4
2x  - 4- 8
x
2x  4 – 8
 12
2
x
4
2
x  2
x  6
Solución: (- ∞, - 6]  [- 2, + ∞)
 Resolver las desigualdades:
|3x - 5|  2 
- 2  3x – 5  2
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8
-2+5  3x  2+5
3  3x  7
3 3x 7


3 3
3
g
7
1 x 
3
Solución: [1, 7/3]
Aplicación
El diámetro (en pulgadas) de una pieza esférica, producido por una empresa
de partes, satisface la desigualdad
|x – 0.1|
 0.01. ¿Cuáles son los
diámetros mínimo y máximo que debe tener una de estas piezas?
|x – 0.1|  0.01  -0.001  x – 0.1  0.001
-0.01 + 0.1  x  0.01 + 0.1
0.09  x  0.11
Solución: [0.09,0.11] pulgadas
Fundamentos matemáticos
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Bibliografía
Dpto. de Matemáticas y Estadística. Recuperado de http://www.icesi.edu.co
/departamentos/matematicas/
Haeussler, E. & richard, P. (2003). Matemáticas para Administración y
Economía. Décima edición. México: Pearson Educación, 825 p.
Montoya, M. (2008). Fundamentos Matemáticos: Guía Didáctica y Módulo.
Medellín: Fundación universitaria Luis Amigó.
Revista didáctica de Matemáticas. Recuperado de http://www.sinewton.
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Tan, S. (2002). Matemáticas para Administración y Economía. Segunda
edición. México: Thomson Learning, 992 p.
Fundamentos matemáticos
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