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7. Interferencia y difracción
7. INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN
Fenómenos de singular importancia que distinguen las ondas de las partículas
son la interferencia y la difracción. La interferencia es la combinación por
superposición de dos ó más ondas que se encuentran en un punto del espacio. La
difracción es la desviación que sufren las ondas alrededor de los bordes y esquinas
que se produce cuando una porción de un frente de ondas se ve cortado ó
interrumpido por una barrera ó obstáculo. El esquema de la onda resultante puede
calcularse considerando cada punto del frente de onda original como una fuente
puntual de acuerdo con el principio de Huygens y calculando el diagrama de
interferencia que resulta de todas estas fuentes.
7.1 Condiciones de interferencia
En el capítulo 2, movimiento ondulatorio, analizamos el fenómeno de
superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia pero de
diferente fase en un punto del espacio llegando a la conclusión de que la onda
resultante es una onda armónica cuya amplitud depende de la diferencia de fase
según la ecuación
1
1
ξ = (2ξ 0 cos δ ) sen( kx − ωt + δ )
2
2
[7.1]
Si la diferencia de fase es un número entero de veces 2π, las ondas están en
fase y la interferencia es constructiva obteniéndose un máximo de amplitud. Si la
diferencia de fase es un número entero impar de veces π, las ondas están
desfasadas y la amplitud es un mínimo. Una causa común de diferencia de fase es
la diferencia en la longitud de camino recorrido por las dos ondas. Otra causa de
diferencia de fase es el cambio de fase en π que a veces sufre una onda cuando se
refleja en una superficie límite determinada
Siempre que se superponen dos ondas electromagnéticas, ondas luminosas,
se producen fenómenos de interacción; pero para que estos fenómenos
interferenciales sean permanentes, detectables y utilizables deben cumplirse ciertas
condiciones:
a) Las ondas que se superponen deben ser coherentes, la diferencia de fase
entre ellas debe ser constante e independiente del tiempo. Por ejemplo 2
bocinas próximas excitadas por un generador producen interferencia dado
que responden de igual forma al amplificador. En cambio, una bombilla es
una fuente de luz incoherente dado que existen variaciones al azar en la
fase de la luz emitida. Si δ varía al azar, la intensidad resultante de la
7-1
7. Interferencia y difracción
superposición de 2 bombillas es simplemente la suma de las intensidades
parciales. Para conseguir fuentes de luz coherentes en general se separan
dos partes de un mismo frente de ondas (división del frente de ondas) para
luego superponerlas ó se separa la amplitud de la onda incidente en
reflejada y refractada (división de amplitudes) para posteriormente
superponerlas.
b) Las ondas deben ser monocromáticas y tener la misma longitud de onda.
Esta condición está asociada a la constancia en la diferencia de fase con
el tiempo. Dos ondas de diferente frecuencia dan lugar a diferencias de
fase que dependen del tiempo y por tanto a patrones de interferencia que
dependen del tiempo con un periodo de variación del orden de la
frecuencia de la luz y por tanto no detectable
7.2 Diagrama de interferencia de dos rendijas
Este famoso experimento, ideado por Thomas Young en 1801, demostró la
naturaleza ondulatoria de la luz. Consideremos dos rendijas de anchura muy
pequeña, paralelas, separadas una
distancia d e iluminadas por una sola
fuente tal y como se muestra en la figura
7.1. Cada rendija actuará como fuente
puntual de ondas y además serán fuentes
de luz coherentes, dado que estos focos
secundarios son producidos por la onda
original, dando lugar al fenómeno de
interferencia observado en una pantalla
alejada una distancia grande L. Si está
distancia es grande, las líneas que van
desde las rendijas hasta un punto P en la
pantalla serán aproximadamente paralelas
con lo que la diferencia de camino óptico
como se observa en la figura 7.1 es
∆r = dsen θ
[7.2]
y la diferencia de fase
δ =
Figura 7.1.a) Interferencia de dos rendijas y b)
construcción geométrica
7-2
2π
2π
∆r =
dsenθ
λ
λ
[7.3]
Como vimos anteriormente, para tener
interferencia constructiva se deberá
cumplir que
7. Interferencia y difracción
dsen θ = nλ
n = 0,1,2,..
[7.4]
y si se cumple esta condición observaremos sobre la pantalla un máximo de
intensidad luminosa denominándose n número de orden interferencial. La
interferencia destructiva se da para
dsen θ = ( 2n + 1)
λ
2
n = 0,1,2,...
[7.5]
y observaremos en la pantalla un mínimo de intensidad. La distancia yn medida
sobre la pantalla desde el punto central hasta la franja brillante n-esima está
relacionada con la distancia L según la ecuación
tgθ =
yn
L
[7.6]
y para ángulos pequeños donde tangente y seno son iguales obtenemos
yn = n
λL
d
[7.7]
de forma que las franjas brillantes están
igualmente separadas entre si sobre la
pantalla. La amplitud de la onda resultante
viene dada por la ecuación [7.1] con lo que
la intensidad en el punto P, proporcional al
cuadrado de la intensidad, es igual a
I = 4 I 0 cos 2
1
δ
2
[7.8]
en donde I0 es la intensidad de luz que se
obtiene en la pantalla para cualquiera de
las rendijas por separado. La figura 7.2
muestra el diagrama de intensidades tal y
como se ve en la pantalla en un
experimento de interferencia de doble
rendija.
Figura 7.2.a) Intensidad y b) diagrama de
intensidades en pantalla en el experimento de
Young
7-3
7. Interferencia y difracción
7.3 Diagrama de interferencia de rendijas múltiples
Consideremos ahora el caso del diagrama de interferencia de N rendijas
igualmente separadas una distancia d como se ilustra en la figura 7.3. Cada rendija
es una fuente coherente de ondas
luminosas al igual que en el caso
anterior. Para simplificar el análisis
consideramos de nuevo que observamos
el movimiento ondulatorio resultante a
una distancia muy alejada de las fuentes
de modo que los rayos que interfieren se
pueden considerar paralelos. Entre rayos
sucesivos hay un defasaje constante,
justificado en el apartado anterior, dado
por
δ =
2π
dsenϑ
λ
[7.9]
Figura 7.3. Interferencia entre rendijas múltiples
Para obtener la amplitud resultante en la dirección de observación, dada por
el ángulo θ, en el punto P de la pantalla debemos evaluar la suma de las ondas
ξ P ( t ) = ξ 01 cos(ωt − ϕ1 ) + ξ 01 cos( ωt − ϕ1 − δ ) + ξ01 cos(ωt − ϕ1 − 2δ )
+ .... N tér min os
[7.10]
Utilizando los vectores rotantes
definidos en el capítulo 1, la amplitud
resultante en el punto P vendrá dada por
la suma de los N vectores rotantes, cada
uno de longitud igual ξ 01 y desfasados
sucesivamente δ tal y como se indica en la
figura 7.4. La suma vectorial da lugar a
una amplitud resultante igual a
ξ 0 = OP = 2QP = 2 ρsen
Figura 7.4. Amplitud resultante del proceso de
interferencia como suma de los vectores
rotantes
1
ξ 01 = 2 ρsen δ
2
7-4
1
Nδ
2
y del triángulo COR obtenemos
[7.12]
[7.11]
7. Interferencia y difracción
Eliminando ρ entre ambas ecuaciones obtenemos
ξ 0 = ξ 01
1
Nδ
2
1
sen δ
2
sen
[7.13]
1
Para N=2 obtenemos ξ 0 = ( 2ξ 01 cos δ ) de conformidad con los resultados del
2
apartado anterior para dos rendijas. La intensidad resultante, proporcional a la
amplitud al cuadrado vendrá dada por
1

 sen Nδ
2
I = I0
 sen 1 δ

2

2

2

 sen ( Nπdsenθ / λ ) 
 = I0 
sen (πdsenθ / λ 




[7.14]
donde I0 es la intensidad de cada fuente por separado. Evaluando la expresión [7.14]
para diferentes situaciones
1. Se obtiene un máximo de intensidad, máximo principal, para
δ = 2πn
dsen θ = nλ
I = N 2I0
[7.15]
senNα
= ± N para α=nπ. La posición de
sen α
estos máximos principales coincide con la del sistema de doble rendija.
recordando la identidad geométrica
2. Se obtiene un mínimo de intensidad para
1
Nδ = n´π
2
´
nλ
dsen θ =
N
I =0
[7.16]
donde n´ toma los valores 1 a N-1, N+1 a 2N-1, etc; los valores n´=0, N, 2N,..
se excluyen, ya que de lo contrario la ecuación [7.16] se convertiría en la
[7.15]. Por tanto entre dos máximos principales existen N-1 mínimos y
además, entre dos mínimos debe haber siempre un máximo, por
consiguiente, concluimos que también hay N-2 máximos adicionales, entre los
máximos principales dados por [7.15]. Sus amplitudes son, sin embargo,
relativamente pequeñas, especialmente si N es grande
7-5
7. Interferencia y difracción
El gráfico de intensidades en función de δ se muestra en la figura 7.5 para
N=2,4,8 y muy grande. Vemos que cuando N aumenta el sistema se hace altamente
direccional, porque el movimiento ondulatorio resultante es importante solo para
bandas estrechas de valores de δ, o lo que es lo mismo, para bandas estrechas de
valores del ángulo θ. Este resultado es ampliamente utilizado en las estaciones de
radiotransmisión ó recepción cuando se desea un efecto direccional. En este caso se
agrupan varias antenas de tal forma que la intensidad de la radiación emitida (o
recibida) sea máxima solo para ciertas direcciones dadas por [7.15].
Figura 7.5. Diagrama de intensidades en un proceso de interferencia de varias rendijas
7.4 Interferencia en películas delgadas
Todos hemos observado las bandas coloreadas que aparecen en las pompas
de jabón ó en las películas aceitosas que suelen cubrir el agua que se encuentra en
una calle mojada. Estas bandas se deben a la interferencia producida por la luz
reflejada en las superficies superior e inferior de la película y resultan diferentes
colores debido a las variaciones que existen en el espesor de la película, que
producen interferencias para distintas longitudes de onda, en diferentes puntos de la
misma. Consideremos una película de espesor a y ondas planas incidentes sobre
ella con un ángulo de incidencia θ I, figura 7.6. Parte del rayo AB se refleja según BG
y se refracta según BC. El rayo BC a su vez, se refleja parcialmente en C según CD
y se transmite parcialmente según CH. El rayo CD de nuevo se refleja parcialmente
en D según DK, superponiéndose con el rayo refractado en D del incidente FD. Este
mismo rayo CD se refracta en D y el rayo refractado se superpone con el reflejado
7-6
7. Interferencia y difracción
de FD. Análogamente el rayo reflejado BG
también contiene contribuciones de los
varios rayos a su izquierda. Por lo tanto
ocurrirán fenómenos de interferencia a lo
largo de los rayos reflejados y refractados
de una forma similar a lo analizado en el
apartado anterior pero con la importante
diferencia de que los rayos que interfieren
no tienen todos la misma intensidad dado
que en las sucesivas reflexiones y
refracciones la intensidad va disminuyendo.
Figura 7.6. Proceso de interferencia en una
película delgada
No considerando este cambio de intensidad
calculemos la diferencia de fase entre los
rayos AB y FD. El defasaje según DE se debe a que los caminos B´D y BCD
seguidos por los rayos que interfieren son recorridos en diferentes tiempos. De la
figura 7.6 se deduce que
BD = 2atgθ r
B´ D = BDsen θ i
B´ D = 2 atgθ r senθ i =
BCD =
2ansen 2θ r
cos θ r
2a
cos θ r
[7.17]
[7.18]
[7.19]
Por tanto los tiempos empleados en recorrer estas distancias por los dos
rayos serán
t1 =
B´ D 2ansen 2θ r
=
c
c cos θ r
BCD
2an
t2 =
=
v
c cos θ r
[7.20]
y la diferencia de tiempo es igual a
t 2 − t1 =
2 an cos θ r
c
[7.21]
Esta diferencia de tiempo provoca una diferencia de fase dada por
7-7
7. Interferencia y difracción
δ = ω (t 2 − t1 ) =
2 anω cos θ r 4πan cos θ r
=
c
λ
[7.22]
Nos falta por considerar las posibles diferencias de fase introducidas por el
fenómeno de reflexión. En capítulos pasados estudiamos como si la onda pasa de
un medio donde su velocidad es mayor a otro donde es menor, la onda reflejada
muestra una diferencia de fase de π. En el caso que nos ocupa, si n>1 hay un
cambio de fase de π para el rayo FD cuando se refleja en D, pero no lo hay para el
rayo BC cuando se refleja en C. De este modo podemos escribir que la diferencia de
fase es igual a
δ =
4πan cos θ r
+π
λ
[7.23]
Tendremos por tanto interferencia constructiva (δ=2πN, con N entero) y por
tanto reflexión máxima y transmisión mínima para
2 an cos θ r =
1
(2 N − 1)λ
2
[7.24]
y mediante cálculos similares obtenemos para reflexión mínima (δ=(2N+1)π, con N
entero) y transmisión máxima
2 an cos θ r = Nλ
[7.25]
Si la película delgada de por ejemplo agua (n≈1,33), estuviese sobre una
superficie de vidrio (n≈1,5), el rayo que se refleja en la superficie inferior agua-vidrio
sufriría también un cambio de fase de π. Esto implicaría que el cambio de fase total
vendría dado por [7.22]. Es interesante notar que el color observado por reflexión no
es el mismo que el observado por transmisión. Estos están determinados en cada
caso por las longitudes de onda que satisfacen [7.24] y [7.25]. Además, si el haz
incidente no es monocromático, las ecuaciones [7.24] y [7.25] dan diferentes valores
de θr y por lo tanto de θI para cada λ. Esto explica los colores que observamos en las
películas delgadas de aceite sobre agua.
7.4.1 Anillos de Newton. Cuando se observa con luz monocromática una
película delgada de espesor variable se ve por reflexión bandas ó líneas
alternativamente brillantes y oscuras denominadas franjas. Para el caso de
incidencia normal, la distancia entre una franja brillante y otra oscura inmediata, es la
distancia en que la película cambia de espesor de forma tal que la diferencia de
caminos de la luz es λ/2. La figura 7.7.a ilustra el diagrama de interferencia
observado cuando se refleja la luz en una película de aire encerrada entre una
superficie de vidrio esférica y una superficie de vidrio plana en contacto. Estas
7-8
7. Interferencia y difracción
franjas de interferencia circulares se
conocen como anillos de Newton. En la
figura 7.7.b se muestran los típicos rayos
reflejados en la superficie superior e
inferior de la película de aire. Cerca del
punto de contacto de las superficies, en
donde la diferencia de camino entre el rayo
reflejado en la superficie superior vidrioaire y en la superficie inferior aire-vidrio es
esencialmente cero, la interferencia es
destructiva debido al cambio de fase π del
rayo reflejado en la superficie inferior airevidrio. Por consiguiente la zona central es
oscura. La primera franja brillante se
presenta para un radio tal que la diferencia
de camino es λ/2 que contribuye con una
diferencia de fase π y por tanto la
diferencia de fase total es 2π causando
interferencia constructiva. La segunda
región oscura se presenta para un radio
Figura 7.7.a) Anillos de Newton formados en la para el que la diferencia de caminos es λ,
interferencia de luz al b) atravesar un vidrio y así sucesivamente. Siguiendo la figura
esférico apoyado en uno plano
7.8, el espesor d de la película de aire en
un punto P de la lente que corresponde a uno de los anillos de Newton es igual a
d=
r2
2R
[7.26]
siendo r el radio del anillo y R el radio de la lente. Si en el punto P se observa por
reflexión una franja luminosa se debe cumplir [7.24] y por tanto
r 2 = ( 2 N − 1) R
λ
2
[7.27]
y para la franja oscura
r 2 = NRλ
[7.28]
La diferencia entre dos anillos,
luminosos u oscuros, consecutivos será
igual a
Figura 7.8. Construcción geométrica de los
anillos de Newton
rN2+1 − rN2 = Rλ
[7.29]
7-9
7. Interferencia y difracción
7.4.2 Láminas antirreflectantes. Para evitar la reflexión en superficies ópticas
de medios transparentes, hecho de vital importancia para aumentar el rendimiento
de ciertos instrumentos ópticos, se emplean los recubrimientos antirreflectantes.
Estos recubrimientos se fabrican depositando sobre las superficies ópticas una
delgada película de material transparente de índice n y espesor d, calculados de tal
forma que la luz de una determinada
longitud de onda λ0 no sufra reflexión.
Supongamos,
tal
y
como
se
esquematiza en la figura 7.9, un vidrio,
de índice nv , sobre el que tenemos una
lámina, de índice n<nv y espesor d, con
coeficientes de reflexión R en la
interfase aire/lámina y Rv en la interfase
lámina /vidrio y con coeficientes de
transmisión T en la interfase aire/lámina
y T´ en la interfase lámina/aire. Sobre el
conjunto incide de forma normal a la
superficie luz que se propaga en el aire,
Figura 7.9 Luz incidiendo sobre un sustrato de de amplitud unidad y de longitud de
vidrio con lámina antirreflectante
onda λ0, Para que la luz reflejada se
anule, en cuyo caso toda la incidente pasará a través de la lámina hacia el vidrio,
bastará que los rayos 2,3,4,… salgan en oposición de fase con el 1, y que la suma
de amplitudes de 2,3,4,… sea igual a la del 1. Vimos como para el caso
esquematizado en 7.9 (n<nv , θr=0 y haciendo N=1 para obtener el espesor más
delgado) la oposición de fase entre 1 y 2 obliga a que el espesor de la lámina sea
d=
λ0
4n
[7.30]
Bastará ahora que la amplitud reflejada sea nula, es decir que la amplitud del
rayo 1 sea igual a la suma de todos los demás. Esta condición obliga a que
R = TT ´Rv (1 + RR v + R 2 Rv2 + .....) = (1 − R 2 ) Rv
1
1 − RR v
[7.31]
donde se ha hecho uso de que TT´=(1-R2 ), tal y como se demuestra a partir de las
ecuaciones [5.48] y [5.49], y del resultado del sumatorio de la serie (1+xn) con x<1.
De [7.31] resulta la condición R=Rv que junto a [5.48] nos permite obtener la relación
que debe existir entre índices de refracción para anular la amplitud reflejada
n = nv
[7.32]
Las ecuaciones [7.30] y [7.32] determinan las características de la lámina
antirreflectante. Los instrumentos con óptica azul, diseñados para que la reflexión
sea mínima en el centro del espectro visible, amarillo, presentan un color violáceo al
reflejarse predominantemente el azul y el rojo.
7-10
7. Interferencia y difracción
7.5 Condiciones de difracción
La difracción se observa cuando se distorsiona una onda por un obstáculo
cuyas dimensiones son comparables a la longitud de onda de aquella. Por la
experiencia diaria sabemos que las ondas, al contrario que las partículas se
extienden alrededor de los obstáculos interpuestos en su camino, caso de la luz y el
sonido. Este efecto se hace más notable cuando las dimensiones de los obstáculos
se aproximan a la longitud de onda de las ondas. En este apartado estudiaremos la
difracción producida por ciertas aberturas y pantallas de geometría simple, en dos
circunstancias especiales.
En la difracción de Fraunhofer suponemos que los rayos incidentes son
paralelos, frente de ondas plano, y que observamos el patrón de difracción a una
distancia lo suficientemente grande como para que se reciban únicamente rayos
difractados paralelos. En la difracción de Fresnel, bien los rayos incidentes se
originan en una fuente puntual, bien se observan los rayos difractados cerca del
obstáculo y no pueden ser considerados paralelos.
7.6 Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular
Consideremos una rendija rectangular estrecha, de anchura b, y larga, de
modo que podamos ignorar los efectos de los bordes, sobre la que inciden ondas
normales al plano de la rendija de longitud de onda λ. De acuerdo con el principio de
Huygens, cuando la onda incide sobre la rendija todos los puntos de su plano se
convierten en fuentes de ondas secundarias emitiendo nuevas ondas que en este
caso reciben el nombre de ondas difractadas. Observando las ondas difractadas a
diferentes ángulos θ respecto a la dirección de incidencia, figura 7.10, encontramos
que para ciertas direcciones su intensidad es nula.
Figura 7.10.a) Rendija rectangular estrecha donde tiene lugar b) la difracción de la onda luminosa
7-11
7. Interferencia y difracción
Estas direcciones de intensidad nula están dadas por la relación
bsen θ = nλ
nλ
senθ =
b
n≠0
[7.33]
La figura 7.11 se representa el diagrama de difracción de una sola rendija
observado y la intensidad de las ondas
difractadas en función del ángulo θ.
Obsérvese que el máximo central tiene un
ancho doble del de los demás máximos
secundarios. Calculemos la distribución de
intensidades que aparece en la figura
anterior. Para ello dividimos la rendija en
bandas muy estrechas de ancho dx, tal y
como se muestra en la figura 7.12.a y
cada banda es una fuente secundaria de
ondas de amplitud dξ 0 muy pequeña. Si
Figura 7.11 Diagrama de difracción de una sola consideramos los rayos emitidos en la
dirección correspondiente al ángulo θ,
rendija
figura 7.12.b, el defasaje entre el rayo CC´
y el AA´ tomado como referencia es
δ =
2π
2πxsenθ
CD =
λ
λ
[7.34]
y por lo tanto aumenta gradualmente con x.
Figura 7.12.a) Se divide la rendija en bandas estrechas de espesor dx y b) cada banda es una fuente
secundaria de ondas desfasada con las demás bandas
7-12
7. Interferencia y difracción
Para obtener la amplitud correspondiente al ángulo θ, debemos representar
los vectores rotantes correspondientes a las ondas que provienen de todas las
bandas entre A y B. Como todas son de
amplitud infinitesimal y como el ángulo de
fase δ aumenta proporcionalmente a x, los
vectores yacen sobre un arco de
circunferencia OP cuyo centro está en C y
cuyo radio es ρ, figura 7.13. La amplitud
resultante A es la cuerda OP. La pendiente
en cualquier punto del arco entre O y P es
justamente el ángulo δ dado por la
ecuación [7.34]. En P, que corresponde a
x=b, la inclinación de la tangente es
Figura 7.13. Suma de vectores rotantes en el
proceso de difracción en una rendija
α=
2πbsen θ
λ
[7.35]
Este es también el ángulo formado por los radios CO y CP. Por consiguiente
la amplitud resultante es
1
πbsenθ
A = 2QP = 2 ρsen α = 2 ρsen (
)
2
λ
[7.36]
Para observación normal, todos los vectores dξ 0 son paralelos y su resultante
es la suma de sus longitudes, que es igual a la longitud del arco OP. Llamando A0 la
amplitud resultante para observación normal tenemos
A0 = ρα = ρ (
2πbsenθ
)
λ
[7.37]
y dividiendo ambas ecuaciones llegamos a
  πbsen θ  
 sen λ  

A = A0 
 πbsenθ 


λ
[7.38]
y como las intensidades son proporcionales a los cuadrados de la amplitudes
obtenemos
7-13
7. Interferencia y difracción
  πbsenθ  
 sen  λ  

I = I0 
 πbsenθ 


λ
2
[7.39]
Los ceros de intensidad tienen lugar para bsenθ=nλ de acuerdo con la
ecuación [7.33]. Para obtener los máximos de intensidad debemos hallar los valores
de θ que satisfacen que dI / dθ = 0 resultando el diagrama de difracción mostrado en
la figura 7.11.
Cuando λ es muy pequeña respecto a b, los primeros ceros de intensidad a
ambos lados del máximo central corresponden al ángulo
θ ≈ senθ = ±
λ
b
[7.40]
Este hecho nos permite definir el poder de resolución de una rendija como el
ángulo mínimo que subtienden dos ondas incidentes provenientes de dos fuentes
puntuales distantes S1 y S2 que permita distinguir sus respectivos diagramas de
difracción. Cuando las ondas provenientes de las dos fuentes pasan a través de la
misma rendija en dos direcciones que forman un ángulo θ, figura 7.14, los diagramas
de difracción están superpuestos y se pueden comenzar a distinguir cuando el
máximo central de uno cae en el primer cero del otro, criterio de resolución de
Rayleigh, y esto ocurre a partir de un ángulo θc
θc =
λ
b
[7.41]
que da el poder de resolución de la rendija, es decir, da la separación angular
mínima entre dos puntos de un objeto para que se pueden reconocer como
diferentes al observar el objeto a través de la rendija.
En caso de que la abertura sea circular, en lugar de una rendija rectangular,
se obtiene un diagrama de difracción consistente en un disco brillante rodeado de
anillos alternativamente oscuros y brillantes tal y como se muestra en la figura 7.15.
Omitiendo el análisis matemático se llega a que el ángulo θ correspondiente al
primer disco oscuro está dado por la condición
2πRsen θ
= 3,8317
λ
ó
7-14
[7.42]
7. Interferencia y difracción
θ ≈ senθ = 1,22
λ
λ
= 1,22
2R
D
[7.43]
siendo D=2R el diámetro de la abertura y θ expresado en radianes. Está ecuación da
a su vez el poder de resolución de una abertura circular. Una lente es en realidad
una abertura circular, por lo que la imagen de un punto, que se supuso que era otro
punto en el capítulo 6, es en realidad un diagrama de difracción. Por tanto el poder
de resolución de un instrumento óptico basado en lentes, por ejemplo microscopios y
telescopios, vendrá dado por la ecuación [7.43] y lo aumentaremos incrementando el
diámetro de las lentes ó disminuyendo la longitud de onda empleada. Sin embargo,
el radio de una lente es en general tan grande respecto a la λ de la luz que en la
mayoría de los casos se pueden ignorar los efectos de la difracción.
Figura 7.14. Poder de resolución de una rendija rectangular siguiendo el criterio de Rayleigh; dos
objetos con una separación angular θ son distinguibles a partir de que el primer cero del diagrama de
difracción de uno caiga sobre el máximo central del otro
Figura 7.15.Poder de resolución de una apertura circular
7-15
7. Interferencia y difracción
7.7 Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas
Consideremos ahora dos rendijas, ambas de ancho b, separadas una
distancia a, figura 7.16.
Figura 7.16. Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas
Para la dirección correspondiente al
ángulo θ, tenemos ahora dos conjuntos de
ondas difractadas provenientes de cada
rendija,
es
decir
tendremos
una
combinación de difracción e interferencia.
Utilizando la suma de vectores rotatorios,
figura 7.17, tenemos para la amplitud A1
resultante de la rendija 1
πbsen θ 
sen 

 λ 
A1 = A0
πbsenθ
λ
[7.44]
Figura 7.17. Suma de vectores rotantes en el
proceso de difracción
Como las dos rendijas tienen el mismo ancho, la amplitud resultante para la
rendija 2 tiene el mismo valor A1 pero su fase es diferente. En la figura 7.16
observamos que entre los rayos correspondientes de las rendijas 1 y 2 hay una
diferencia de fase constante dada por
β=
2π
2πasen θ
CE =
λ
λ
[7.45]
y en consecuencia las amplitudes ó vectores correspondientes de las dos rendijas
forman un ángulo igual a β. De acuerdo con esto, la línea OQ=A 2 correspondiente a
la rendija 2 se obtiene rotando en un ángulo β la línea OP=A 1 correspondiente a la
rendija 1. La amplitud A resultante de ambas es entonces
7-16
7. Interferencia y difracción
A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos β
y haciendo A1=A 2 y utilizando la identidad
[7.46]
2(1 + cos β ) = 2 cos
1
β obtenemos junto a
2
las ecuaciones anteriores
πbsenθ 
sen 

πasenθ
λ 

A = 2 A0
cos
πbsen θ
λ
λ
[7.47]
y para la intensidad
2
  πbsenθ  
 sen  λ  
  cos 2 πasenθ
I = 4I 0  
λ
 πbsenθ 


λ


[7.48]
Si comparamos esta ecuación con las obtenidas anteriormente para los
fenómenos de interferencia y difracción observamos como el diagrama de difracción
total de dos rendijas es la expresión que describe el diagrama de interferencia de
dos fuentes modulado por la expresión del diagrama de difracción de una sola
rendija ta l y como se muestra en la figura 7.18 y en la fotografía 7.19. Nótese que los
máximos del diagrama de interferencia se dan para senθ = nλ a mientras que los
ceros del diagrama de difracción son senθ = nλ b . Como a>b, los ceros del diagrama
de difracción están más espaciados que los máximos del diagrama de interferencia.
En consecuencia, cuando hay dos rendijas, las franjas brillantes son mucho más
estrechas y están más juntas que las producidas por una sola rendija.
Figura 7.18. Diagrama de intensidades en un proceso de interferencia-difracción en doble rendija
7-17
7. Interferencia y difracción
Figura 7.19. Intensidad en pantalla en un proceso de interferencia-difracción en doble rendija
7.8 Redes de difracción
El paso siguiente consiste en considerar el diagrama de difracción producida
por N rendijas paralelas de igual ancho b y espaciadas regularmente una distancia a,
sistema conocido como red de difracción y esquematizado en la figura 7.20.
Figura 7.20. Vista frontal (a) y en corte de una red de difracción (b)
Por analogía con lo analizado hasta ahora, la distribución de intensidades en
la dirección θ vendrá dada por la ecuación del diagrama de interferencia producida
por N fuentes modulada por el diagrama de difracción de una sola rendija
  πbsenθ
 sen  λ
I = I0 
 πbsenθ

λ
7-18





2
  Nπasenθ  

 sen 
λ


 sen  πasenθ  

 λ  
2
[7.49]
7. Interferencia y difracción
Si el número N de rendijas es muy grande, el diagrama consistirá en una serie
de franjas brillantes angostas correspondientes a los máximos principales del
diagrama de interferencia dados por
senθ =
nλ
a
n = 0, ±1, ±2,....
[7.50]
con una intensidades moduladas por el diagrama de difracción tal y como se
muestra en la figura 7.21 para el caso de 8 rendijas. Según el valor de n, los
máximos principales reciben el nombre de 1º, 2º,… orden de difracción.
Se demuestra que la anchura angular de cada franja presente en el diagrama
de difracción es igual a
2 dϑ =
2λ
Nd cos ϑ
[7.51]
y por tanto es inversamente proporcional al número de rendijas N. Esto implica que
cuanto mayor sea el número de rendijas N de la red de difracción, más agudos son
los máximos de difracción obtenidos y con mayor exactitud se podrá determinar su
posición.
Figura 7.21. Diagrama de interferencia-difracción para 8 rendijas
Las redes de difracción son muy utilizadas como espectroscopios para
analizar las longitudes de onda que componen un haz de luz proveniente de un foco
que pasa a través de una rendija colimadora, figura 7.22. En la dirección θ=0 se
observará el máximo central correspondiente a todas las longitudes de onda que
compongan el haz, orden cero. Para diferentes ángulos, cada longitud de onda
producirá una imagen dada por [7.50], con n=1 para el 1º orden de difracción,
permitiéndonos conocer el espectro, longitudes de onda, de la radiación incidente.
7-19
7. Interferencia y difracción
Una característica importante de un espectroscopio es su capacidad para
medir longitudes de onda muy próximas. Para ello se define el poder de resolución R
de una red de difracción como R = λ ∆λ en donde ∆λ es la diferencia más pequeña
entre dos longitudes de onda en torno a λ que pueden ser resueltas. Se demuestra
que el poder de resolución es igual a
R=
λ
= nN
∆λ
[7.52]
siendo n el orden de difracción y N el número de rendijas. Por tanto un aumento del
número de rendijas incrementa el poder de resolución de una red de difracción.
Valores entre 10.000 y 20.000 rendijas por cm son habituales en las redes de los
espectroscopios.
Figura 7.22. Espectroscopio basado en una red de difracción
7.9 Difracción de Fresnel
Cuando el diagrama de difracción se observa cerca de la abertura ú obstáculo
se denomina difracción de Fresnel. Debido a que los rayos procedentes de la
abertura no pueden considerarse ya paralelos, este fenómeno es más difícil de
analizar matemáticamente y nos ceñiremos a aspectos meramente cualitativos del
mismo. La figura 7.23 ilustra la diferencia existente entre los diagramas de Fresnel y
de Fraunhofer en el caso de una sola rendija.
En la figura 7.24 se muestran los diagramas de difracción de Fresnel de un
disco opaco y de una abertura circular iluminados por luz procedente de un foco
puntual situado sobre sus ejes pudiéndose ver como ambos diagramas son
complementarios entre si. Obsérvese el punto brillante en el centro del diagrama del
disco opaco causado por la interferencia constructiva de las ondas luminosas
difractadas desde el borde del disco. Este hecho, desde el punto de vista
7-20
7. Interferencia y difracción
corpuscular para la propagación de la luz totalmente contradictorio, sirvió de fuerte
apoyo para la teoría ondulatoria de la luz.
La figura 7.25 muestra el diagrama de difracción de Fresnel de un borde
rectilíneo iluminado por luz procedente de un foco puntual y el gráfico de
intensidades en función de la distancia según una línea perpendicular al borde. La
intensidad de la luz no cae abruptamente a cero en la sombra geométrica sino que
disminuye rápidamente y es despreciable al cabo de unas pocas longitudes de onda
del borde.
Figura 7.23. Paso del diagrama de Fraunhofer al
Figura 7.24. Difracción de Fresnel de a) un disco
de Fresnel al acercar la pantalla
opaco y b) una abertura circular
Figura 7.25. Difracción de Fresnel de un borde rectilíneo
7-21
7. Interferencia y difracción
Problemas
1. Dos rendijas estrechas distantes entre si 1,5 mm se iluminan con la luz amarilla
de una lámpara de sodio de 589 nm de longitud de onda. Las franjas de
interferencia se observan sobre una pantalla situada a 3 m de distancia. Hallar la
separación de las franjas sobre la pantalla. Repetir los cálculos si la distancia
entre rendijas es de 0,8 mm, λ=590 nm y la pantalla está a 0,5 m.
2. Discutir el diagrama de interferencia producido por dos fuentes no coherentes de
la misma frecuencia.
3. Con el objetivo de determinar la longitud de onda de una fuente desconocida se
realiza un experimento de interferencia de Young con una separación entre
rendijas de 1 mm y la pantalla situada a 1 m. Sobre la pantalla se forman franjas
brillantes consecutivas que distan 0,546 mm. ¿Cuál es la longitud de onda?
4. Hallar la distribución angular de intensidad emitida por una batería lineal de 4
antenas separadas una distancia igual a la mitad de la longitud de onda de
emisión.
5. Se utiliza una capa muy fina de un material transparente con un índice de
refracción n = 1,3 como recubrimiento antirreflectante sobre la superficie de un
vidrio de índice de refracción n = 1,5. ¿Cuál deberá ser el espesor mínimo de la
película para que ésta no refleje la luz de 600 nm de longitud de onda (en el aire)
que incide casi normalmente sobre el sistema?
6. Las placas solares se suelen recubrir con una delgada película transparente de
óxido de silicio (n = 1,45) para evitar la reflexión de la luz solar en su superficie.
Una placa solar de Si (n = 3,5) se cubre con una película de óxido con este fin.
Determínese, para radiación de longitud de onda λ = 550 nm, el espesor mínimo
de la película de óxido de manera que los rayos reflejados sufran interferencia
destructiva. ¿Es el óxido de silicio el material ideal para actuar como
recubrimiento antirreflectante ó se podría utilizar otro material con mejores
resultados?
7. Calcular el espesor de una película de jabón que al ser iluminada por luz natural
se ve roja por reflexión y verde por transmisión cuando se mira normal a la
superficie. Tomar como índice de refracción del agua jabonosa n=4/3, longitud de
onda del rojo λ=667 nm y longitud de onda del verde λ=500 nm.
8. Obtenemos una película de aire en forma de cuña situando un pequeño trozo de
papel entre los bordes de dos piezas planas de vidrio. Se hace incidir luz de 500
nm normalmente a las superficies de vidrio y se observan las franjas de
interferencia por reflexión. Si el ángulo que forman las dos superficies es de
θ=3x10-4 rad, ¿cuántas franjas de interferencia se observan por unidad de
longitud?
9. Una lente plano-convexa de 2 dioptrías y n=1,5 se sitúa sobre una lámina de
vidrio plana apoyándola sobre su cara convexa. El conjunto se ilumina por
encima de la cara plana con luz de 700 nm. Calcular el radio de la séptima
circunferencia que presenta máximo de interferencia considerando que se
observa por reflexión.
7-22
7. Interferencia y difracción
10. Se hace pasar el haz de un láser de 700 nm de longitud de onda a través de una
rendija vertical de 0,2 mm de ancho que luego incide sobre una pantalla a 6 m de
distancia. Hallar la anchura del máximo de difracción central sobre la pantalla.
11. Estimar la magnitud de los máximos sucesivos en el diagrama de difracción de
una rendija.
12. Una lente de 2 cm de diámetro tiene una distancia focal de 40 cm. Está iluminada
con un haz paralelo de luz monocromática de 590 nm. Hallar el radio del disco
central del patrón de difracción observado en un plano que pasa por el foco y el
poder de resolución de la lente.
13. Dos rendijas de anchura a=0,015 mm están separadas por una distancia d=0,06
mm y se encuentran iluminadas por luz de longitud de onda λ=650 nm. ¿Cuántas
franjas brillantes se ven en el máximo central de difracción?
14. ¿Qué separación angular mínima deben tener dos objetos puntuales si han de
ser resueltos justamente por el ojo?¿A qué distancia mutua deben estar si se
encuentran alejados ambos 100 m? Suponer que el diámetro de la pupila del ojo
es 5 mm y que la longitud de onda es de 600 nm
15. Una red de difracción de 20.000 líneas tiene una longitud de 5 cm. Hallar la
separación angular de todo el espectro visible, desde 390 nm (violeta) hasta 770
nm (rojo), para el primero y segundo orden.
16. Sobre una red de difracción de 12.000 rayas por cm incide luz de una lámpara de
sodio ¿A qué ángulos se verán las dos líneas amarillas de longitudes de onda de
589 nm y 589,59 nm en el primer orden?
17. Consideremos una red de difracción de 20.000 líneas y longitud 4 cm. ¿Es capaz
esta red de resolver las dos líneas amarillas del sodio dadas en el problema
anterior?
18. Demostrar que el poder de resolución de una red de difracción de N rendijas
viene dado por la ecuación [7.49].
7-23