TEOREMA DE GAUSS

109
TEOREMA DE GAUSS- GREEN


Si F:A  R2 con A  R2 / F( x; y)  (P(x;y); Q(x;y)) es un campo vectorial continuo, lo
 P  Q
mismo que
y
sobre un recinto R  A ,simple limitado por una curva regular
 y
 x

simple, asociada a r :[a,b]  R2 orientada en sentido antihorario , resulta :
cerrada
C

 Q  P
( P( x; y)dx  Q( x; y)dy)   

 dx dy
R  x
 y
Demostración:
Sea R un recinto limitado por una curva cerrada y simple tal que una paralela a
uno de los ejes no la corte en más de dos puntos.
La curva puede pensarse como unión de dos arcos:



= ABC  CDA (respecto de x) , o bien

= DAB BCD (respecto de y)
Las ecuaciones de estos arcos son:

ABC
y2(x)
y
y = y1 (x)
D
|
a  x < c
(Tomando x como
C
parámetro)

CDA
A
B|
y = y2 (x)
y1(x)
c  x a
x
c
a
Si se toma y como parámetro es:
y
d

DAB
D
x = x1 (y)
d y b
x1(y)
x2(y)
A
C

BCD x = x2 (y)
b
B
b<y<d
x
Para demostrarlo, partiremos del segundo miembro de la tesis:
110
 Q  P 
Q
 P

dx
dy

dx
dy

dx dy =



R
R  x
R  y
x  y
  
 b dy
d
xx
2
( y)
( y)
1
c
 Q
y ( x)  P

dx  a dx  ( x )
y  y
 x
2
1
 b [Q( x2 ( y ); y )  Q( x1 ( y ); y )] dy  a [ P( x; y2 ( x ))  P( x; y1 ( x ))] dx 
d
c
 b Q( x2 ( y ); y ) dy  d Q( x1 ( y ); y ) dy  c P( x; y2 ( x )) dx  a P( x; y1 ( x ))] dx 
d
=

BCD
b
a
c
Q( x; y) dy  DAB Q( x; y) dy  CDA P( x; y) dx  ABC P( x; y) dx 
 C P( x: y) dx  C Q( x; y) dy  C [ P( x; y) dx  Q( x; y) dy]
OBSERVACIÓN: Si el recinto no cumple con la condición de que cualquier paralela a
los ejes corta a su contorno sólo en dos puntos, se puede descomponer en un número
finito de recintos que cumplan la mencionada condición y aplicar el teorema de GaussGreen en cada uno de ellos. y sumar los resultados parciales.
Cálculo de áreas planas mediante integrales curvilíneas
Por el Teorema de Gauss-Green si R es un recinto limitado por una curva regular
cerrada C y bajo ciertas hipótesis de continuidad se cumple que:
 Q  P 
R   x   y  dx dy  C ( P( x; y)dx  Q( x; y)dy)
 Q  P

 1  R dx dy  área de R ; por lo tanto cualquier par de funciones
 x  y
 Q  P

 1 , permitirán calcular el área de R con
P(x;y) y Q(x;y) que verifiquen
 x  y
Pero :
 ( P( x; y)dx  Q( x; y)dy)
C
Por ejemplo:
I.- Si P(x;y) = 0
y
II.- Si P(x;y) = -y
y Q(x;y) = 0 , resulta área de R =
Q(x;y) = x, resulta área de R =
 x dy
  y dx
C
C
III.- Sumando miembro a miembro las dos expresiones anteriores se obtiene:
2 área de R =

C
x dy
-

C
y dx de donde:
área de R =
1
2
 ( x dy  y dx)
C