Sesión teórica 21

Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Series de potencias (II)
Álgebra de series de potencias
1
Álgebra de series de potencias
2
Teorema de Abel
Teorema de Abel
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la función senh(x).
senh(x) =
1
ex − e−x
=
exp(x) − exp(−x)
2
2
1
x x2 x3
x x2 x3
(1+ + + +· · · )−(1− + − +− · · · ) =
2
1! 2! 3!
1! 2! 3!
3
5
x
x
x
+
+
+ ···
1!
3!
5!
válido para todo x ∈ R
Del mismo modo:
senh(x) =
cosh(x) = 1 +
x2 x4 x6
+
+
+ · · · ∀x ∈ R
2!
4!
6!
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la función senh(x).
senh(x) =
1
ex − e−x
=
exp(x) − exp(−x)
2
2
1
x x2 x3
x x2 x3
(1+ + + +· · · )−(1− + − +− · · · ) =
2
1! 2! 3!
1! 2! 3!
3
5
x
x
x
+
+
+ ···
1!
3!
5!
válido para todo x ∈ R
Del mismo modo:
senh(x) =
cosh(x) = 1 +
x2 x4 x6
+
+
+ · · · ∀x ∈ R
2!
4!
6!
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (suma de series)
Calcular la serie de McLaurin de la función senh(x).
senh(x) =
1
ex − e−x
=
exp(x) − exp(−x)
2
2
1
x x2 x3
x x2 x3
(1+ + + +· · · )−(1− + − +− · · · ) =
2
1! 2! 3!
1! 2! 3!
3
5
x
x
x
+
+
+ ···
1!
3!
5!
válido para todo x ∈ R
Del mismo modo:
senh(x) =
cosh(x) = 1 +
x2 x4 x6
+
+
+ · · · ∀x ∈ R
2!
4!
6!
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)
q
1+x
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = 1+x
2.
r
−1
1
1+x
f (x) =
= (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2
1 + x2
1
(1+x) 2 =
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1/2
+
x+
x 2+
x 3+
x 4 +· · · =
1
2
3
4
1 3
1 4
1
x
− x2 +
x −
x + · · · para todo x ∈ (−1, +1)
2
8
16
128
−1
−1/2
−1/2
−1/2
(1 + x 2 ) 2 =
+
x2 +
(x 2 )2 + · · · =
0
1
2
1+
=1−
x2
3
+ x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1)
2
8
Multiplicando:
r
f (x) =
−1
1
1+x
1
1 1
1 1 3
= (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − +
x +· · ·
1 + x2
2
8 2
4 16
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)
q
1+x
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = 1+x
2.
r
−1
1
1+x
f (x) =
= (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2
1 + x2
1
(1+x) 2 =
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1/2
+
x+
x 2+
x 3+
x 4 +· · · =
1
2
3
4
1 3
1 4
1
x
− x2 +
x −
x + · · · para todo x ∈ (−1, +1)
2
8
16
128
−1
−1/2
−1/2
−1/2
(1 + x 2 ) 2 =
+
x2 +
(x 2 )2 + · · · =
0
1
2
1+
=1−
x2
3
+ x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1)
2
8
Multiplicando:
r
f (x) =
−1
1
1+x
1
1 1
1 1 3
= (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − +
x +· · ·
1 + x2
2
8 2
4 16
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)
q
1+x
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = 1+x
2.
r
−1
1
1+x
f (x) =
= (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2
1 + x2
1
(1+x) 2 =
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1/2
+
x+
x 2+
x 3+
x 4 +· · · =
1
2
3
4
1 3
1 4
1
x
− x2 +
x −
x + · · · para todo x ∈ (−1, +1)
2
8
16
128
−1
−1/2
−1/2
−1/2
(1 + x 2 ) 2 =
+
x2 +
(x 2 )2 + · · · =
0
1
2
1+
=1−
x2
3
+ x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1)
2
8
Multiplicando:
r
f (x) =
−1
1
1+x
1
1 1
1 1 3
= (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − +
x +· · ·
1 + x2
2
8 2
4 16
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)
q
1+x
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = 1+x
2.
r
−1
1
1+x
f (x) =
= (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2
1 + x2
1
(1+x) 2 =
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1/2
+
x+
x 2+
x 3+
x 4 +· · · =
1
2
3
4
1 3
1 4
1
x
− x2 +
x −
x + · · · para todo x ∈ (−1, +1)
2
8
16
128
−1
−1/2
−1/2
−1/2
(1 + x 2 ) 2 =
+
x2 +
(x 2 )2 + · · · =
0
1
2
1+
=1−
x2
3
+ x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1)
2
8
Multiplicando:
r
f (x) =
−1
1
1+x
1
1 1
1 1 3
= (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − +
x +· · ·
1 + x2
2
8 2
4 16
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (producto de series)
q
1+x
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = 1+x
2.
r
−1
1
1+x
f (x) =
= (1 + x) 2 (1 + x 2 ) 2
1 + x2
1
(1+x) 2 =
1/2
0
1/2
1/2
1/2
1/2
+
x+
x 2+
x 3+
x 4 +· · · =
1
2
3
4
1 3
1 4
1
x
− x2 +
x −
x + · · · para todo x ∈ (−1, +1)
2
8
16
128
−1
−1/2
−1/2
−1/2
(1 + x 2 ) 2 =
+
x2 +
(x 2 )2 + · · · =
0
1
2
1+
=1−
x2
3
+ x 4 + · · · , ∀ x ∈ (−1, +1)
2
8
Multiplicando:
r
f (x) =
−1
1
1+x
1
1 1
1 1 3
= (1+x) 2 (1+x 2 ) 2 = 1+ x+ − − x 2 + − +
x +· · ·
1 + x2
2
8 2
4 16
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (sustitución de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +
x
x2
x3
+
+
+ ···
1!
2!
3!
exp(sen(x)) = 1 +
∀x ∈ R, entonces
sen(x)
sen2 (x)
sen3 (x)
+
+
+ ···
1!
2!
3!
x5
x3
+
− + · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
3!
5!
2
1
x3
x5
1
x3
x5
exp(sen(x)) = 1 +
+
x−
+
− +··· +
x−
+
− +···
1!
3!
5!
2!
3!
5!
Como sen(x) = x −
+
1
3!
x−
x3
x5
+
− +···
3!
5!
3
+
1
4!
4
x3
x5
x−
+
− +···
+ ··· =
3!
5!
exp(sen(x)) = 1 + x +
1 2 1 4
x − x + ···
2
8
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (sustitución de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +
x
x2
x3
+
+
+ ···
1!
2!
3!
exp(sen(x)) = 1 +
∀x ∈ R, entonces
sen(x)
sen2 (x)
sen3 (x)
+
+
+ ···
1!
2!
3!
x5
x3
+
− + · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
3!
5!
2
1
x3
x5
1
x3
x5
exp(sen(x)) = 1 +
+
x−
+
− +··· +
x−
+
− +···
1!
3!
5!
2!
3!
5!
Como sen(x) = x −
+
1
3!
x−
x3
x5
+
− +···
3!
5!
3
+
1
4!
4
x3
x5
x−
+
− +···
+ ··· =
3!
5!
exp(sen(x)) = 1 + x +
1 2 1 4
x − x + ···
2
8
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (sustitución de una SP en otra)
Como exp(x) = 1 +
x
x2
x3
+
+
+ ···
1!
2!
3!
exp(sen(x)) = 1 +
∀x ∈ R, entonces
sen(x)
sen2 (x)
sen3 (x)
+
+
+ ···
1!
2!
3!
x5
x3
+
− + · · · ∀x ∈ R, sustituyendo:
3!
5!
2
1
x3
x5
1
x3
x5
exp(sen(x)) = 1 +
+
x−
+
− +··· +
x−
+
− +···
1!
3!
5!
2!
3!
5!
Como sen(x) = x −
+
1
3!
x−
x3
x5
+
− +···
3!
5!
3
+
1
4!
4
x3
x5
x−
+
− +···
+ ··· =
3!
5!
exp(sen(x)) = 1 + x +
1 2 1 4
x − x + ···
2
8
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (división de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) =
1
.
cos(x)
x2
x4
+
− + · · · ∀x ∈ R, llamamos
2!
4!
sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
1
sec(x) =
⇔ sec(x) cos(x) = 1
cos(x)
x2
x4
d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · ·
1−
+
− +··· = 1
2!
4!
Como sabemos que cos(x) = 1 −
Término en x 0 :
Término en x 1 :
Término en x 2 :
Término en x 3 :
Término en x 4 :
d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1
d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0
) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
d0 · ( −1
2
d0 · 0 + d1 · ( −1
) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
2
1
d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1
) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 =
2
sec(x) = 1 +
1 2
5 4
x +
x + ···
2
24
5
24
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (división de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) =
1
.
cos(x)
x2
x4
+
− + · · · ∀x ∈ R, llamamos
2!
4!
sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
1
sec(x) =
⇔ sec(x) cos(x) = 1
cos(x)
x4
x2
d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · ·
1−
+
− +··· = 1
2!
4!
Como sabemos que cos(x) = 1 −
Término en x 0 :
Término en x 1 :
Término en x 2 :
Término en x 3 :
Término en x 4 :
d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1
d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0
) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
d0 · ( −1
2
d0 · 0 + d1 · ( −1
) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
2
1
d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1
) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 =
2
sec(x) = 1 +
1 2
5 4
x +
x + ···
2
24
5
24
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (división de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) =
1
.
cos(x)
x2
x4
+
− + · · · ∀x ∈ R, llamamos
2!
4!
sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
1
sec(x) =
⇔ sec(x) cos(x) = 1
cos(x)
x4
x2
d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · ·
1−
+
− +··· = 1
2!
4!
Como sabemos que cos(x) = 1 −
Término en x 0 :
Término en x 1 :
Término en x 2 :
Término en x 3 :
Término en x 4 :
d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1
d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0
) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
d0 · ( −1
2
d0 · 0 + d1 · ( −1
) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
2
1
d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1
) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 =
2
sec(x) = 1 +
1 2
5 4
x +
x + ···
2
24
5
24
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (división de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) =
1
.
cos(x)
x2
x4
+
− + · · · ∀x ∈ R, llamamos
2!
4!
sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
1
sec(x) =
⇔ sec(x) cos(x) = 1
cos(x)
x4
x2
d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · ·
1−
+
− +··· = 1
2!
4!
Como sabemos que cos(x) = 1 −
Término en x 0 :
Término en x 1 :
Término en x 2 :
Término en x 3 :
Término en x 4 :
d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1
d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0
) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
d0 · ( −1
2
d0 · 0 + d1 · ( −1
) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
2
1
d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1
) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 =
2
sec(x) = 1 +
1 2
5 4
x +
x + ···
2
24
5
24
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
Ejemplo (división de SP)
Calcular la serie de McLaurin de la función f (x) = sec(x) =
1
.
cos(x)
x2
x4
+
− + · · · ∀x ∈ R, llamamos
2!
4!
sec(x) = d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · · y tenemos que calcular los di
tales que
1
sec(x) =
⇔ sec(x) cos(x) = 1
cos(x)
x4
x2
d0 + d1 x + d2 x 2 + d3 x 3 + d4 x 4 + · · ·
1−
+
− +··· = 1
2!
4!
Como sabemos que cos(x) = 1 −
Término en x 0 :
Término en x 1 :
Término en x 2 :
Término en x 3 :
Término en x 4 :
d0 · 1 = 1 ⇒ d0 = 1
d0 · 0 + d1 · 1 = 0 ⇒ d1 = 0
) + d1 · 0 + d2 · 1 = 0 ⇒ d2 = 12
d0 · ( −1
2
d0 · 0 + d1 · ( −1
) + d2 · 0 + d3 · 1 = 0 ⇒ d3 = 0
2
1
d0 · ( 4! ) + d1 · 0 + d2 · ( −1
) + d3 · 0 + d4 · 1 = 0 ⇒ d4 =
2
sec(x) = 1 +
1 2
5 4
x +
x + ···
2
24
5
24
Álgebra de series de potencias
1
Álgebra de series de potencias
2
Teorema de Abel
Teorema de Abel
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
El Teorema de Abel
Teorema de Abel
Sea f : P
[0, R] −→ R una función continua tal que P
f (x) = n≥0 an x n paraP
todo x ∈ [0, R). Si la serie
an R n es
convergente entonces
an R n = f (R). Lo mismo ocurre con el
intervalo [−R, 0].
Ejemplo: log(1 + x) y cálculo de la suma de la serie armónica
alternada
Ejemplo: arctg(x) y cálculo de una serie que sume π/4 (serie
de Gregory)
Ejemplo: cálculo de la suma de la serie subarmónica
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
El Teorema de Abel
Teorema de Abel
Sea f : P
[0, R] −→ R una función continua tal que P
f (x) = n≥0 an x n paraP
todo x ∈ [0, R). Si la serie
an R n es
convergente entonces
an R n = f (R). Lo mismo ocurre con el
intervalo [−R, 0].
Ejemplo: log(1 + x) y cálculo de la suma de la serie armónica
alternada
Ejemplo: arctg(x) y cálculo de una serie que sume π/4 (serie
de Gregory)
Ejemplo: cálculo de la suma de la serie subarmónica
Álgebra de series de potencias
Teorema de Abel
El Teorema de Abel
Teorema de Abel
Sea f : P
[0, R] −→ R una función continua tal que P
f (x) = n≥0 an x n paraP
todo x ∈ [0, R). Si la serie
an R n es
convergente entonces
an R n = f (R). Lo mismo ocurre con el
intervalo [−R, 0].
Ejemplo: log(1 + x) y cálculo de la suma de la serie armónica
alternada
Ejemplo: arctg(x) y cálculo de una serie que sume π/4 (serie
de Gregory)
Ejemplo: cálculo de la suma de la serie subarmónica