TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
TEORÍA CLÁSICA DE LAMINADOS
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de
Estructuras
LAMINADOS
NO
A
PL
IO
D
ME
AM
L
L
DE
DO
A
IN
Para definir el laminado se emplearán los siguientes criterios:
- Se definirán las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado.
- Se indicará con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de
referencia y, mediante un subíndice, el número de láminas seguidas que poseen esta orientación.
- Cuando se defina la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado se empleará el
subíndice T para indicar que, el laminado, ha sido definido en su totalidad.
- Cuando se trate de un laminado simétrico, sólo se expresará la secuencia de apilado de uno de los
lados y utilizaremos el subíndice S para indicar que el laminado es simétrico.
LAMINADOS
Ejemplos de nomenclatura:
Un laminado simétrico compuesto por 3 láminas a 90º, 2 a 0º, 1 a -45º y
otra a +45º puede nombrarse de las siguientes maneras alternativas:
-
[903, 02,-45,+45,+45,-45,02,903]T
[903, 02,-45,+45]S
[903, 02,-45,+452,-45,02,903]T
Si laminado anterior tuviera una lámina justo en el plano de simetría que, por ejemplo,
presentara una orientación de sus fibras de 90º, su nomenclatura sería:
• [903, 02,-45,+45,90,+45,-45,02,903]T
• [903, 02,-45,+45,90]S
Un laminado puede, también, estar constituido por una secuencia de "sublaminados" que se repiten.
Así, por ejemplo, un laminado realizado a base de sublaminados, podría ser:
-
[02,60,+453]2S
-
[02,60,+452}S
-
[02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45,02,60,+45]T
LAMINADOS
Laminados simétricos:
ANTES DEL PROCESO DE CURADO
DESPUES DEL PROCESO DE CURADO
Laminado no simétrico
Laminado simétrico
LAMINADOS
Posibles secuencias de apilamiento simétricas para evitar la pérdida de
planitud del laminado una vez que la resina ha curado:
0o
90o
0/90/90/0
[0,90]s
90/0/0/90
[90,0]s
PLACAS LAMINADAS
PLACAS LAMINADAS
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
¡Cada lámina se supone trabajando
en tensión plana!
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
RIGIDEZ EN EL PLANO DE LAMINADOS SIMETRICOS
Hipótesis:
El material compuesto presenta un comportamiento elástico-lineal hasta rotura
El laminado tiene un espesor pequeño (laminado delgado)
La deformación de cualquier lámina es igual a la del laminado
(comportamiento solidario de todas las láminas)
x
z
x
z
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Nyx
Ny
x
Nxy
Nx
Nx
Nxy
Nyx
y
Ny
z
Vector de cargas (N/m):
⎧Nx ⎫
⎪
⎪
{N } = ⎨ N y ⎬
⎪N ⎪
⎩ xy ⎭
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Vector de tensiones:
⎧σ x ⎫
{σ } = ⎪⎨σ y ⎪⎬
⎪τ ⎪
⎩ xy ⎭
Vector de deformaciones:
⎧ ε x ⎫ ⎧ ε x0 ⎫
{ε } = ⎪⎨ ε y ⎪⎬ = ⎪⎨ ε 0y ⎪⎬ = ε 0
⎪γ ⎪ ⎪γ 0 ⎪
⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭
{ }
h/ 2
h/ 2
−h / 2
−h / 2
{N } = ∫ {σ }dz = ∫ [Q ]{ε }dz
⎡ h/ 2
⎤
{N } = ⎢ ∫ Q dz ⎥ ⋅ ε 0
−h / 2
⎣1
4243⎦
⎡ A⎤
⎢⎣ ⎥⎦
[ ]
{N } = [A]⋅ {ε 0 }
{ }
en N/m
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
RIGIDEZ A FLEXIÓN DE LAMINADOS SIMETRICOS
Hipótesis:
„
Hipótesis de Kirchhoff:
1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado
se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se
haya deformado.
2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún
tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)
3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen
perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que
que el laminado flecte.
Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del
laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que
adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Hipótesis (Cont.):
„
El comportamiento del material se supone elástico lineal.
„
Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras
„
No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las
láminas trabajan en condiciones de tensión plana
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
x, u
Plano medio
y, v
z, w
Campo de desplazamientos:
u=u (x,y,z)
v=v (x,y,z)
w=w (x,y,z)
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
My
Myx
x
Mx
Mxy
y
Mxy
My
Mx
z
Myx
⎧ Mx ⎫
⎪
⎪
Vector de cargas (Momentos, N.m/m): {M } = ⎨ M y ⎬
⎪M ⎪
⎩ xy ⎭
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS EN EL LAMINADO
Utilizando las hipótesis de Kirchhoff y llamando u0, v0 y w0 a los desplazamientos del plano medio:
u0
O
zP
z
uP = uO − z P β
uP = uO − z
x
P
w0
uP
∂ wO
β=
∂x
∂ wO
∂x
O
P β
β
zPβ
De la misma manera podríamos llegar a que:
v P = vO − z
∂ wO
∂y
Dado que la deformación εz es nula:
w P = wO
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:
∂ 2 wO
∂ uP ∂ uO
=
−z
εx =
∂x
∂x
∂ x2
∂ 2 wO
∂ v P ∂ vO
=
−z
εy =
∂y ∂y
∂ y2
εz = 0
γ xy
∂ 2 wO
∂ uP ∂ v P ∂ uO ∂ vO
=
+
=
+
− 2z
∂y ∂x
∂y ∂x
∂ x∂ y
γ xz = 0
γ yz = 0
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
⎧ ε x ⎫ ⎧ ε xo ⎫ ⎧ κ x ⎫
⎪ ⎪ ⎪ o⎪ ⎪ ⎪
⎨ ε y ⎬ = ⎨ ε y ⎬ + z⎨κ y ⎬
⎪γ ⎪ ⎪γ o ⎪ ⎪κ ⎪
⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭
⎫
⎧ ∂ uO
⎪
⎪
∂ x
⎧ ε xo ⎫ ⎪
⎪
∂ vO
⎪ o⎪ ⎪
⎪
ε
=
⎬
⎨ y⎬ ⎨
∂
y
⎪
⎪γ o ⎪ ⎪
xy
⎩ ⎭ ⎪ ∂ uO ∂ vO ⎪
⎪∂ y + ∂ x⎪
⎭
⎩
Vector de deformaciones
en el plano medio
⎧ ∂ 2 wO ⎫
⎪
⎪
2
x
∂
⎧κ x ⎫
⎪ 2
⎪
⎪ ⎪
⎪ ∂ wO ⎪
=
−
κ
⎨ y⎬
⎨
⎬
2
y
∂
⎪κ ⎪
⎪
⎪
2
xy
⎩ ⎭
⎪ ∂ wO ⎪
⎪ 2 ∂ x∂ y ⎪
⎩
⎭
Vector de curvaturas
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Laminado simétrico sometido a flexión pura:
ε =ε =γ
o
x
o
y
o
xy
=0
⎧ ε x ⎫ ⎧κ x ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ ε y ⎬ = z⎨κ y ⎬
⎪γ ⎪ ⎪κ ⎪
⎩ xy ⎭ ⎩ xy ⎭
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
M
x
z
x
z
h/ 2
h/2
h/2
−h / 2
- h/2
- h/2
h/2
⎤
⎡
2
2
Q {κ } z dz = ⎢ ∫ Q z dz ⎥{κ }
⎣-h/2
⎦
{M } = ∫ {σ } z dz = ∫ [Q ]{ε } z dz = ∫ [ ]
[ ]
[D]
{M } = [D]{κ }
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
RIGIDECES DE LAMINADOS SIMÉTRICOS
Rigidez en el plano:
{N } = [A]⋅ {ε
0
}
h/ 2
[A] = ∫ [Q ]dz
(en N/m)
−h / 2
Rigidez a flexión:
{M } = [D]{κ }
h/2
[D] = ∫ [Q ] z 2 dz
- h/2
(en N.m)
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
RIGIDEZ A FLEXION DE LAMINADOS NO SIMETRICOS
M
x
N x
{ε } = {ε }+ z {κ }
z
o
{σ } = [Q ]{ε }
z
{N } = ∫−h / 2 {σ } dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε } dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε o }dz
h/ 2
h/ 2
h/ 2
144244
3
⎧
⎫
⎡ A⎤ ⎪ε o ⎪
⎨
⎬
⎢⎣ ⎥⎦
⎪⎩
⎪⎭
{M } = ∫−h / 2 {σ } z dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε } z dz = ∫−h / 2 [Q ]{ε
h/ 2
h/ 2
h/ 2
+
[Q ]{k} z dz
∫144
2443
h/ 2
−h / 2
⎡
⎢⎣
B ⎤⎥⎦ {k }
}z dz + ∫ [Q ]{k} z
h/ 2
2
dz
1442443 1442443
⎡ B ⎤ {ε o }
⎡ D ⎤ {k }
⎢⎣ ⎥⎦
⎢⎣ ⎥⎦
o
−h / 2
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
z0=h/2
zi
1
2
z1
z2
zi-1
x
h
i
N
b
y
z
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
{N} = [A] {ε o }+ [B]{k}
(en N/m)
{M} = [B] {ε o }+ [D]{k}
(en N)
(i)
[A] = ∑ [Q ] [z (i) − z ( i −1) ]
m
(en N/m)
i =1
[B ] = 1 ∑ [Q ] [(z (i) )2 − (z ( i −1) )2 ]
(i)
m
2
i =1
[ ] [(z ) − (z ) ]
1 m
[D] = ∑ Q
3 i =1
(i)
(i) 3
( i −1) 3
(en N)
(en N.m)
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
⎧ N x ⎫ ⎡ A11
⎪N ⎪ ⎢
⎪ y ⎪ ⎢A12
⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16
⎨
⎬=⎢
⎪ M x ⎪ ⎢ B11
⎪ M y ⎪ ⎢ B12
⎪
⎪ ⎢
⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16
A12
A 22
A 26
B12
B22
B26
A16
A 26
A 66
B16
B26
B66
B11
B12
B16
D11
D12
D16
B12
B22
B26
D12
D 22
D 26
0
⎧
B16 ⎤ ε x ⎫
⎪ 0 ⎪
⎥
B26 ⎥ ⎪ ε y ⎪
B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪
⎥⎨
⎬
D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪
D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪
⎥⎪
⎪
D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
En resumen:
⎧⎪ N ⎫⎪ ⎡ A B ⎤ ⎧⎪ ε 0 ⎫⎪
⎥⎨ ⎬
⎨ ⎬=⎢
⎪⎩ M ⎪⎭ ⎢⎣ B D ⎥⎦ ⎪⎩ κ ⎪⎭
Si el laminado fuese simétrico:
[B] = 0
⎧⎪ N ⎫⎪ ⎡ A 0 ⎤ ⎧⎪ε 0 ⎫⎪
⎥=⎨ ⎬
⎨ ⎬=⎢
⎪⎩M ⎪⎭ ⎢⎣ 0 D⎥⎦ ⎪⎩ κ ⎪⎭
{N} = [A]{ε 0 }
{M} = [D]{κ}
Quedan desacoplados los
comportamientos en el plano
y a flexión
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
TIPOS DE LAMINADOS
•Simétrico
•Antimétrico
•Balanceado
•Cuasi-Isótropo
•Láminas cruzadas (Cross-Ply laminate)
•Láminas a ± α (Angle-Ply laminate)
• Ortotrópico
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
LAMINADOS SIMETRICOS:
•Láminas del mismo material, espesor, y orientación,
dispuestas simétricamente respecto al plano
medio
•Ejemplo: [+θ/−θ/−θ/+θ]
•Característica principal:
Bij=0
•Característica mecánica:
No existe acoplamiento entre cargas en el plano y flexión
⎧ N x ⎫ ⎡ A11
⎪N ⎪ ⎢
⎪ y ⎪ ⎢A12
⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16
⎨
⎬=⎢
M
x
⎪
⎪ ⎢ B11
⎪ M y ⎪ ⎢ B12
⎪
⎪ ⎢
⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16
A12
A 22
A16
A 26
B11
B12
B12
B22
A 26
B12
B22
A 66
B16
B26
B16
D11
D12
B26
D12
D 22
B26
B66
D16
D 26
B16 ⎤ ⎧ ε 0 x ⎫
⎪
⎪
B26 ⎥⎥ ⎪ ε 0 y ⎪
B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪
⎥⎨
⎬
D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪
D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪
⎥⎪
⎪
D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
LAMINADOS ANTIMETRICOS:
•Las láminas que ocupan posiciones simétricas tienen orientaciones
del mismo ángulo pero con signo distinto, son del mismo material y
espesor.
•Ejemplo: [+θ/-θ/+θ/-θ]
•Característica importante:
A16=A26=0
D16=D26=0
•Característica mecánica: Difíciles de analizar porque B16 y B26 no son nulos.
⎧ N x ⎫ ⎡ A11
⎪N ⎪ ⎢
⎪ y ⎪ ⎢A12
⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16
⎨
⎬=⎢
M
x
⎪
⎪ ⎢ B11
⎪ M y ⎪ ⎢ B12
⎪
⎪ ⎢
⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16
A12
A 22
A16
A 26
B11
B12
B12
B22
A 26
B12
B22
A 66
B16
B26
B16
D11
D12
B26
D12
D 22
B26
B66
D16
D 26
B16 ⎤ ⎧ ε 0 x ⎫
⎪
⎪
B26 ⎥⎥ ⎪ ε 0 y ⎪
B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪
⎥⎨
⎬
D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪
D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪
⎥⎪
⎪
D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
LAMINADO BALANCEADO
•Descripción: Por cada lámina + θ, hay otra a -θ, y por cada una a 0° hay
otra a 90°
•Ejemplo: [0/45/90/-45]
•Características:
Q16(θ )=-Q16(-θ)
Q26(θ )=-Q26(-θ)
•Característica importante:
A16=A26=0
⎧ N x ⎫ ⎡ A11 A12 A16 B11 B12 B16 ⎤ ⎧ ε 0 x ⎫
⎪N ⎪ ⎢
⎥⎪ ε0 ⎪
A
A
A
B
B
B
D16=D26=0
y
12
22
26
12
22
26
⎪
⎪ ⎢
⎥⎪ y ⎪
⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢A16 A 26 A 66 B16 B26 B66 ⎥ ⎪⎪γ 0 xy ⎪⎪
B11=B22=B12=0
⎥⎨
⎨
⎬=⎢
⎬
M
x
⎪
⎪ ⎢ B11 B12 B16 D11 D12 D16 ⎥ ⎪ κ x ⎪
•Característica mecánica:
⎪ M y ⎪ ⎢ B12 B22 B26 D12 D 22 D 26 ⎥ ⎪ κ y ⎪
⎥⎪
⎪
⎪ ⎢
⎪
Nx=B16κxy
⎪⎩M xy ⎪⎭ ⎢⎣ B16 B26 B66 D16 D 26 D 66 ⎥⎦ ⎪⎩κ xy ⎪⎭
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
LAMINADO CUASI-ISOTROPO
•El laminado se comporta como una placa isótropa
•Su comportamiento en el plano es similar al de los materiales isótropos
•La rigidez a flexión es diferente a la de las placas con materiales isótropos
•Se define como:
kπ
+ θ0
θk =
N
donde k es el número de lámina, N=el número total de láminas (>=3) y θ0
es un ángulo arbitrario
•Igual número de láminas a
–0, 45, -45, 90 o
–0, 60, -60
•La matriz A es independiente de la orientación de aplicación de las cargas
•Sin embargo, B y D sí que dependen de dicha orientación
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
LAMINADO DE LAMINAS CRUZADAS Y LAMINADO ±θ°
•Láminas cruzadas: láminas a 0° y 90°, solamente: [D] =0
Fácil de analizar si es simétrico ([B]=0)
•Laminado a ±θ°: láminas con esas dos orientaciones
Si es simétrico: A16=A26=0; Bij=0; D16≠0; D26≠0
Si es antimétrico: A16=A26=0; D16=D26=0; B16≠0; B26≠0
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
LAMINADO ESPECIALMENTE ORTÓTROPO
•Laminado de láminas cruzadas o giradas θ
Tejidos bidireccionales
A16=A26=0
D16=D26=0
B16= B26 =0
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
MODULOS EQUIVALENTES DEL LAMINADO:
•Módulos equivalentes: Ex, Ey, Gxy, νxy
Definido para laminados simétricos y
balanceados
Propiedades de una placa ficticia
equivalente que se comporta de
manera análoga al laminado bajo
cargas en el plano
No utilizables para casos de flexión
puesto que: D16≠0; D26≠0
2
A11A 22 − A12
Ex =
tA 22
2
A11A 22 − A12
Ey =
tA11
A 66
t
A
ν xy = 12
A 22
G xy =
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
CALCULO DE LAMINADOS
•Pasos:
1) Calcular las deformaciones que sufre el
laminado a partir de las cargas en el
plano y momentos a él aplicados
2) Referir las deformaciones obtenidas a
los ejes materiales en cada lámina
3) Calcular las tensiones dentro de cada
lámina en el sistema de ejes materiales
4) Aplicación del criterio de rotura a cada
lámina
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Paso 1: Cálculo de deformaciones globales en el laminado
⎧ε ⎫
⎧N⎫
⎨ ⎬ = [F]⎨ ⎬
⎩M ⎭
⎩κ⎭
o
{ε} = ε + z{κ}
o
{ }
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Paso 2: Cálculo de las deformaciones en cada lámina en
ejes materiales:
{ε}12 = [R ][T][R ] {ε}xy
−1
Paso 3: Cálculo de las tensiones en cada lámina en ejes materiales:
{σ}12 = [Q]{ε}12
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Paso 4: Aplicación del criterio de rotura a cada lámina
Rotura de la primera lámina:
- En ella se alcanza un estado tenso-deformacional que verifica el criterio de rotura empleado.
- El laminado seguiría trabajando pero se debe eliminar (o ir degradando sus propiedades) la
lámina rota, suponiendo que cada una de las otras láminas conserva sus propiedades y
su posición original.
- Hay que determinar las nuevas matrices A,B y D sin considerar la lámina rota (o considerándola
con unas propiedades “degradadas”) y repetir el proceso de cálculo para obtener las nuevas
tensiones y deformaciones en cada una de las láminas restantes.
Repitiendo este proceso, podríamos ir eliminando láminas a medida
que se van rompiendo hasta llegar a la rotura de la última lámina.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
1. Suponer elásticamente cargado el laminado.
2. Calcular las tensiones y deformaciones en cada lámina.
3. Aplicar el criterio de rotura a cada lámina.
4. Incrementar la carga hasta que se produzca la rotura de
la primera lámina.
5. Modelizar el comportamiento postrotura de la lámina.
6. Recalcular las matrices de rigidez del laminado y
redistribuir las cargas entre las láminas que siguen
trabajando.
7. Continuar el proceso hasta que rompa la siguiente lámina.
8. Volver al paso 5 y continuar así hasta que rompan todas
las láminas del laminado.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
Carga
Rotura
última
lámina
N (x 3 )
Rotura tercera lámina, k=3
N (x 2 )
( N x ) Total
Rotura segunda lámina, k=2
Rotura primera lámina, k=1
N (x1 )
n=1
ε (x1 )
n=3
n=2
ε (x 2 )
ε (x 3 )
Deformación
(ε )
x
Total
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
HIPÓTESIS MÁS SIMPLE:
•Si una lámina rompe, su matriz de rigidez de hace nula
•La lámina rota NO SOPORTA ninguna carga. Por tanto, la carga
total aplicada es absorbida por el resto de láminas y las tensiones
se redistribuyen. Esta redistribución puede llevar a la rotura
inmediata de otras láminas. Cuando la redistribución de cargas
cause la rotura de todas las láminas, diremos que el laminado ha
roto.
TEORIA CLASICA DE LAMINADOS
(n ) ⎫
n ⎧N
⎧⎪ N ⎫⎪
⎪
⎪
= ∑⎨
⎨ ⎬
⎬
(
n)
⎪⎩M ⎪⎭Total k =1 ⎪⎩M ⎪⎭
0 (n )
n ⎧ε
⎧⎪ ε 0 ⎫⎪
⎫⎪
⎪
= ∑⎨
⎨ 0⎬
⎬
0 (n )
⎪⎩κ ⎪⎭Total k =1 ⎪⎩κ ⎪⎭
⎧⎪ N (n ) ⎫⎪ ⎡ A (n )
⎨ (n ) ⎬ = ⎢ ( n )
⎪⎩M ⎪⎭ ⎢⎣ B
A(n ) , B (n ) , D (n ) son las matrices modificadas
de rigidez después de la rotura de la (n - 1)
ésima
[
Dependen de las matrices de rigidez Q (n )
de las láminas que siguen trabajando.
B (n ) ⎤ ⎧⎪ ε 0 (n ) ⎫⎪
⎥⎨
⎬
D(n ) ⎥⎦ ⎪⎩κ 0 (n ) ⎪⎭
]
.